简单低通滤波器设计及matlab仿真

东北大学

研究生考试试卷

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考试日期：

姓名：xl

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注意事项

1.考前研究生将上述项目填写清楚.

2.字迹要清楚,保持卷面清洁.

3.交卷时请将本试卷和题签一起上交.

4.课程考试后二周内授课教师完成评卷工作,公共课成绩单与试卷交研究生院培养办公室,

专业课成绩单与试卷交各学院,各学院把成绩单交研究生院培养办公室.

东北大学研究生院培养办公室

数字滤波器设计

技术指标：

通带最大衰减： =3dB ，

通带边界频率： ＝100Hz

阻带最小衰减： ＝20dB 阻带边界频率： ＝200Hz

采样频率：Fs=200Hz 目标：

1、根据性能指标设计一个巴特沃斯低通模拟滤波器。

2、通过双线性变换将该模拟滤波器转变为数字滤波器。 原理：

一、模拟滤波器设计

每一个滤波器的频率范围将直接取决于应用目的，因此必然是千差万别。为了使设计规范化，需要将滤波器的频率参数作归一化处理。设所给的实际频率为Ω（或f ），归一化后的频率为λ，对低通模拟滤波器令λ＝p ΩΩ/，则1=p λ，

p

s s ΩΩ=/λ。令归一化复数变量为p ，λj p =，则p p s j j p Ω=ΩΩ==//λ。所以巴

特沃思模拟低通滤波器的设计可按以下三个步骤来进行。 (1)将实际频率Ω规一化 (2)求Ωc 和N

11010/2-=P C α

s

p s N λααlg 1

10

110lg

10

/10/--=

这样Ωc 和N 可求。

p x fp s x s f

根据滤波器设计要求＝3dB ，则C ＝1，这样巴特沃思滤波器的设计就只剩一个参数N ，这时

N

p N

j G 222

)/(11

11)(ΩΩ+=

+=

λλ

(3)确定)(s G

因为λj p =，根据上面公式有

N N N p j p p G p G 22)1(11

)/(11)()(-+=

+=

-

由

0)1(12=-+N

N p 解得 )221

2exp(πN N k j

p k -+=，k ＝1，2， (2)

这样可得

1

)21

2cos(21

)

)((1

)(21+-+-=

--=

-+πN N k p p p p p p p G k N k k

求得)(p G 后，用p s Ω/代替变量p ，即得实际需要得)(s G 。

二、双线性变换法

双线性变换法是将s 平面压缩变换到某一中介1s 平面的一条横带里，再通过标准变换关系)*1exp(T s z =将此带变换到整个z 平面上去，这样就使s 平面与z 平面之间建立一一对应的单值关系，消除了多值变换性。

为了将s 平面的Ωj 轴压缩到1s 平面的1Ωj 轴上的pi -到pi 一段上，可以通过以下的正切变换来实现：

)21

tan(21T T Ω=

Ω

这样当1Ω由pi -经0变化到T pi 时，Ω由∞-经过0变化到∞+，也映射到了整个Ωj 轴。将这个关系延拓到整个s 平面和1s 平面，则可以得到

T s T s e e T T s T s ⋅-⋅-+-=

⋅=11112)21tan(2

再将1s 平面通过标准变换关系映射到z 平面，即令)*1exp(T s z =得到

11112--+-=

z z T s

同样对z 求解，得到

s T s T z -+=22

这样的变换叫做双线性变换。为了验证这种映射具有s 平面的虚轴映射到z 平面

单位圆上的特性，考虑 Ω=j s ,ω

j e z =，得

ωω

j j e e T j --+-=

Ω112 ω21tan 2T =

Ω

除了使s 平面的虚轴映射到单位圆上之外，s 平面的左半部分映射到单位圆的内部，s 平面的右半部分映射到单位圆的外部。

设计过程

一、计算滤波器阶数N 和截止频率Ωc 。 根据公式：

代入数据，计算可得：

λps =0.5

K ps =0.99885 N=3.3151

所以取N=4，即滤波器为四阶滤波器。

计算3dB 截止频率，根据公式

计算可得 Ωc =112.6096

二、计算系统函数

已知四阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器系统函数为：

()16131.24142.36131.21

234++++=

s s s s s H a

将S 用S/Ωc 替代，求出系统函数： H a (s) = b/ (s 4+a 3s 3+ a 2s 2+ a 1s+ a 0) 其中：

b=2.5063*10^(11) a 3=1.8489*10^(5) a 2=1.7092*10^(6) a 1=9.2560*10^(8) a 0=2.5063*10^(11)

三、程序实现模拟滤波器（MATLAB ） clear; close all

fp=100;fs=200;Rp=3;As=20; %滤波器指标

[N,fc]=buttord(fp,fs,Rp,As,'s') %计算阶数N 和3dB 截至频率fc [B,A]=butter(N,fc,'s'); %设计低通巴特沃斯模拟滤波器