最简二次根式复习题

2
(3)
x 3
2

1 x 1 x 3 (3)2
2
2、如果 a a a a 1，
3 2
那么a的取值范围是
(
D
)
a0 C． a 1
A．
B． D．
a 1
1 a 0
1 3 3.化简 x x
1 错解：原式 x x2 x
正解：由-x3≥0,得x≤0, 又x为分母不为0， ∴x＜0
20a 2b 4a 2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc c cc c c
x2
2 1 1 2 x x 2x 2 x 2 2x 3 3 8x 8x 2 x 4 x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数不含分母。
mn (3) (m n 0) mn
(m n) (m n) 解原式= (m n) (m n)
m2 n2 ( m n)
2

2 2
m2 n2 (m n) 2
m n (m n 0) mn
＆将被开方数中的分母化去
化简二次根式的步骤:
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
ab
a
.
9.若代数式 值范围是(C ) A. a 2 C. 2 a 4
( 2 a ) 2 ( a 4) 2 的值是常数2,则a的取
B. a 2 D. a 2或a 4
二次根式化简
1． 被开方数是非完全平方数的二次根式化简
例 1 化简 48． 分析：因为，48=16× 3=42× 3，所以，根据公
2
的结果为（D） D. -a+b
C. -a-b
3、实数 p 在数轴上的位置如图所示,化简: 5
1 ( p 1)2 ( p 2)2 _______ .
p
-1
0
1
2
6、已知三角形的三边长分别是 a、b、c，
且
ac
，那么
c a ( a c b)
B、2c-b
2
等于（ D ） A、2a-b
分析：当幂的指数是奇数时，保持底数不变， 设法把幂化成是一个偶数次幂和一个奇数次幂的 积．
解：当 x＋y≥0 时， (x＋y)3＝ (x＋y)2(x＋y) ＝ (x＋y)2· x＋y ＝(x＋y) x＋y．
5．被开方数有隐含条件的二次根式化简
例 5 化简 a 1 －a的结果是： ．
分析：含字母的化简，通常要知道字母的符 号 , 而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐 藏．因此，化简时要从被开方数入手．
人教版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.2（1） 最简二次根式
复 习
(1) (2)
二次根式的性质
2
( a ) a(a 0); a(a 0), a | a | a(a 0);
2
(3)
ab a b (a 0; b 0); a a (a 0; b 0). b b
2.如何化二次根式为最简二次根式 .
（1）把被开方数分解因式(或因数) ；
（2）将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替 后移到根号外面 .
（3）将被开方数中的分母化去
1、化简下列各式：
(1) 250a b (b 0);
3
(1) 5a 10ab
(2)3x 1
1 (2) 1 6 x 9 x ( x ) 3
6m( a 2 b 2 ) √
3
3
6ma b ab
2 2
6m
24 x 2 3 x 2x 6x ( x 0)
3
例１．判断下列二次根式是不是最简二次根式
5a 3 2 2 (4) 25 m 50 m (1) (2) 42a (3) 3(a 2a 1) 3
5a 解(1)因为被开方数 含分母３， 3
4 3 3 4
练习2、 把下列各式化成最简二次根式：
（1） 4 1 1 ；（2） x y3 x 2 解（1） 4
（2） x
x>0,y 0
1 4 6 3 4 3 2 1 4 2 6 2 2 2 2 2
yx x 2 3 x 3 x x x x
y
xy xy x
练习3
3 2 4 x y 0 和 y 0 解原式 解 :由
得x≥0
2 2 2 2 x x y 原式=
(a b)(a b)(a b) (a b)(a b) 2
(a b) a b (a b 0)
2 xy x
＆将被开方数中 用它的正平方根代替后移到根号外面 . ＆把被开方数(或式)化成积的形式，即分解因式
1 2 1 1 1 1 1 原式 （a ) a a ， a 0 a a a a 2 a 1 1 1 1 2 1 1 1 即 a a a,当a 时，原式 4 - 3 a a a a a 2 2 2
8.若
ab 0 ,则化简 a3b2 =
解法一： 1 ＝ 125 1× 5 5 ＝ ． 3 5× 5 25
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相 应的分数，然后进行求解．
解： 1.5＝
3 ＝ 2
3×2 ＝ 2×2
6 6 ． 2＝ 2 2
4．被开方数是幂的二次根式的化简
例4 化简 (x＋y)3 （x＋y≥0） ．
(4)
观察下列二次根式及其化简所得结果, 比较被开方数发生了什么变化?
18
a 3
3 2
3a 3
b a (b 0) 3a
被开方数不 含开得尽方 的因数
被开方数 不含分母
b (b 0) 9a
2
（１）被开方数各因式的指数都为1． （２）被开方数不含分母． 被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫 做最简二次根式． 1 2 1 2 x x y 如： x y √ y 4 4 4
、二次根式化简的常见错误
2 化简 25a3b3 (a＜0)．
错解： 25a3b3＝ 52a2b2· ab＝5· (－a) · b· ab ＝－5ab ab．
正解：∵25a3b3≥0，a＜0，∴b≤0，∴ab≥0． 25a3b3＝ 52a2b2· ab＝ 52· a2b2· ab＝5ab ab．
把下列各式化成最简二次根式：
1 （ 2） 4 2
（1） 0.8
2
1 20a b 2 x x 0 a 0, b 0, c 0 3 （ 3） c （4） 8 x
4 45 2 5 0.8 5 5 5 5
1 4 2 9 2 9 2 3 2 2 2 2
42a 2 3 7 a (2)因为被开方数分解： 所以 42a 是最简二次根式．
注:被开方数比较复杂时， 应先进行因式分解再观察
5a 所以 不是最简二次根式． 3
例2.将下列二次根式化成最简二次根式.
(1) 4 x 3 y 2 ( y 0)
(2) ( a 2 b 2 )(a b) (a b 0)
式 a b= ab (a≥0，b≥0)，就可以把积的是完 全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来， 从而实现化简的目的．
解： 48＝ 16× 3＝ 16× 3＝ 42× 3＝4 3．
2．被开方数是分数的二次根式化简
例2 化简 1 ． 125
分析：因为，125=5× 5× 5=52× 5，所以，只需 分子、分母同乘以 5 就可以了．
× （3） 30 x（ √ ）；（4）
（ 1）
12
（
1 （ （ 5） 4 1 2
（ 7）
4
45a b（ × ）； y （ ×）； x 3 x
×
）； （6）5m m 2 9 （
2
2
√
2
）；
25m 225m （ × ）； 25 m (m 9)
练习1.将下列二次根式化成最简二次根式.
5n 2 (1)m (m 0) (2) 7 14 x 7 x ( x 1) 24m x y x y x y 1 (0<x<y) (3) ( x y ) (4) a 2 2 y x 2 xy y a
5．被开方数是隐含条件的二次根式化简
例 5 化简 a
解：∵a ∴a
1 －a的结果是：
．
1 1 －a有意义，∴－a≥0，∴－a＞0． (－a) 1 ＝a (－a) (－a) (－a) －a －a 2＝a (－a) －a
1 －a＝a ＝a
a ＝ －a＝－ －a． －a
、二次根式化简的常见错误
2.将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正 平方根代替后移到根号外面 . 3.将被开方数中的分母化去 4.被开方数是带分数或小数时要化成 假分数.
1 4 2
9 9 2 9 2 3 2 2 2 2 2 4
被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断．
辨析训练一
）；（2）
2
判断下列各式是否为最简二次根式？
1 原式 x

x x2
x x x2
1 x x x x
1 x x
x 1 x ( x) x x
分析：本题重点考察 的符号，而
x 2 x 的应用，这里关键是确定x
x3 中隐含了-x3≥0,即x≤0,此时
x2 x。
4、若a<b，则化简 ( a b) A. a+b B. a-b