第五章 条件平差
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第5章附有条件的条件平差
按求条件极值的方法组成新的函数： 按求条件极值的方法组成新的函数： T ˆ ˆ Φ = V T PV − 2 K T ( AV + Bx − W ) − 2 K S (Cx − W x ) 分别对
V
和
ˆ x
求一阶偏导数并令一阶偏导数为零，得 求一阶偏导数并令一阶偏导数为零，
n×n n×1
∂Φ = 2V T P − 2 K T A = 0 ∂V
− − N bb = B T N aa1 B We = B T N aa1W u×u
u ×1
ˆ N bb x − C T K s − We = 0
− ˆ x = N bb1 (C T K s + We )
(d )
6
第五章 附有条件的条件平差
§5-2 精度评定
一、单位权方差估值的计算公式
V T PV V T PV ˆ σ = = r c−u + s
u×c c×1 u ×s s×1
基础方 程
B T K+ C T K S= 0
u ×c c×1
u× s
s×u u ×1
ˆ C x − Wx = 0
s×1
s×1
由（3 ）得： 改正数方 程 V = P −1 AT K = QAT K
n×1
法方程
法方程的矩阵形式： 法方程的矩阵形式：
代入（1）： 代入（
c×n n×n n×c
2010-11-15
− ˆ V T PV = W T N aa1W − WeT x + W xT K s
7
第五章 附有条件的条件平差
§5-2 精度评定
二、各种向量的协因数阵
ˆ ˆ 基本向量： L，W，X，K，K s，V，L 基本向量：
第五章条件平差
（5-1-7） ）
令
a1 b A= 1 ⋅⋅⋅ r 1 a2 b2 ⋅⋅⋅ r2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ an bn ⋅⋅⋅ rn
v1 Wa Wb v W = ,V = 2 M M W v r n
第五章
条件平差
第一节
条件平差原理 2
第二节 第三节
条件方程 16 精度评定 39
第四节
条件平差公式汇编和水准网平差示例
第一节
条件平差的函数模： 条件平差的函数模：
r ,n n,1
条件平差原理
或
A∆ −W = 0
~ A L+ A0 = O
r ,1 r ,1
~ ˆ 当 L 的估值为 L ，∆的估值为V时，则有 的估值为 时
v L an 1 wa v L bn 2 + w b = 0 M L cn wc v n
组成新函数： 组成新函数：
K与方程个数相同 与方程个数相同
2 2 Φ = [ p 1 v 12 + p 2 v 2 + L + p n v n ]− 2k a ( [av ] + w a )
一、条件平差原理
设有r个 设有 个平差值线性条件方程
ˆ ˆ ˆ a1L1 + a2 L2 +L+ anLn + a0 = 0 ˆ + b L +L+ b L + b = 0 ˆ ˆ b1L1 2 2 n n 0 L L L L L L L ˆ ˆ ˆ r1L1 + r2 L2 +L+ rnLn + r0 = 0
令
a1 b A= 1 ⋅⋅⋅ r 1 a2 b2 ⋅⋅⋅ r2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ an bn ⋅⋅⋅ rn
v1 Wa Wb v W = ,V = 2 M M W v r n
第五章
条件平差
第一节
条件平差原理 2
第二节 第三节
条件方程 16 精度评定 39
第四节
条件平差公式汇编和水准网平差示例
第一节
条件平差的函数模： 条件平差的函数模：
r ,n n,1
条件平差原理
或
A∆ −W = 0
~ A L+ A0 = O
r ,1 r ,1
~ ˆ 当 L 的估值为 L ，∆的估值为V时，则有 的估值为 时
v L an 1 wa v L bn 2 + w b = 0 M L cn wc v n
组成新函数： 组成新函数：
K与方程个数相同 与方程个数相同
2 2 Φ = [ p 1 v 12 + p 2 v 2 + L + p n v n ]− 2k a ( [av ] + w a )
一、条件平差原理
设有r个 设有 个平差值线性条件方程
ˆ ˆ ˆ a1L1 + a2 L2 +L+ anLn + a0 = 0 ˆ + b L +L+ b L + b = 0 ˆ ˆ b1L1 2 2 n n 0 L L L L L L L ˆ ˆ ˆ r1L1 + r2 L2 +L+ rnLn + r0 = 0
第五章 条件平差
cot
a3
va3
sin a1 sin b1
sin sin
a2 b2
sin sin
a3 b3
cot
b1
vb1
sin a1 sin b1
sin sin
a2 b2
sin sin
a3 b3
cot
b2
vb2
sin a1 sin b1
sin sin
a2 b2
sin a3 sin b3
cot
b3
vb3
0
cot a1va1 cot a2va2 cot a3va3 cot b1vb1 cot b2vb2 cot b3vb3
§5-2 条件方程
4.水准网中条件方程的列立方法
• 列条件方程的原则：足数、独立、最简 • （1）先列附合条件，再列闭合条件 • （2）附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个
数等于已知点的个数减1 • （3）闭合条件按小环建立（保证最简），一个水准
网中有多少小环，就列多少个闭合条件。
§5-2 条件方程
• （2）极条件
A a4 b4
a1 B b1
AB AC AD 1 0
AC AD AB
D b3a3
sin aˆ2 sin(aˆ3 bˆ3) sin aˆ1 sin(aˆ1 bˆ1) sin bˆ2 sin bˆ3
1
0
b2a2 C
cot a2va2 cot(a3 b3 ) (va3 vb3 ) cot a1va1
• 原则：将复杂图形分解成典型图形
三角形
大地四边形
中心多边形
§5-2 条件方程
7.条件方程的类型
• 图形条件（内角和条件）:三角形内角和等于180 • 圆周条件（水平条件）：圆周角等于360 • 极条件（边长条件）：由不同推算路线得到的同一
条件平差原理
§9.1 条件平差原理在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1ˆ⨯n L 作为未知数，列出v 个未知数的条件式，在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。
9.1.1基础方程和它的解设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。
当有r 个多余观测时，则平差值 应满足r 个平差值条件方程为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ221122112211οοοr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数；0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数以ii i v L L +=ˆ（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程（9-2）式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即（9-3） 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯n n n n r r r r b b b a a a A212121⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L 211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L ˆˆˆˆ2111⨯n L nn P ⨯1⨯n V 1ˆ⨯n L 1ˆ⨯n L则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为0ˆ0=+A LA （9-4） 0=+W AV （9-5）上改正数条件方程式中V 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在V 的无穷多组解中，取PV V T = 最小的一组解是唯一的，V 的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。
测量平差第五章
1
1
v1
AP1AT K W 0
1v2
9
0
4Ka 12 0
vv43
Ka 3
Lˆ1 Lˆ2
Lˆ3 Lˆ4
L1
L2
L3 L4
v1 v2 v3 v4
A)dSb
(Sc
Sb
cos
A)dSc
]
由图5-10知： SbSc sin A Sbhb （2倍三角形面积） Saha
Sb Sc cos A Sa cos C，Sc Sb cos A Sa cos B
代入上式，得： dA
1 ha
(dSa
cos CdSb
cos
BdS c )
1
1
1
Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 Lˆ4
360
0
W AL A0 [1 1
573216
1
1]
730308
360
12
1265128
1023320
③计算改正数和平差值 1
一、测角网条件方程
圆周条件只有一个！
图形条件不只列 三个，但独立的 只有三个！
§5.2 条件方程
各边均与D有关，即以D为极，故称为极条件。 在中点多边形测角网中，ai、bi、ci通常按顺时针编号，且ci以 中点为顶点，称为圆周角或间隔角；ai称为求距角；bi称为传 距角。这样，在列极条件时规律性很强！
条件平差
n ,1 n , n n , r r ,1
得法方程： AQATK-W=0 T 1 T N AQA AP A 令 aa r .r r .nn.nn.r 则有： NaaK-W=0
法方程系数阵Naa是一个r阶的满秩方阵，且可逆
N11k1 N12k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22k 2 N 2 r k r W2 0 N r1k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
目标函数：f x min n1 x a h x min F a , x f 1k 约束条件： h x 0 k 1 n1 F a, x
0 a F a, x 0 x
L2
L4 L1 L3 L2
A
B
C
§6-2 条件方程
条件方程的个数等于多余观测数r。条件方程之间 不能线性相关,在一个平差问题中，条件方程的个 数是固定不变的.
一、r的确定： r=n-t 二、条件方程的列立： 原则：足数（r个），线性无关，形式简单，易 于列立
控制网常见几何模型
水准网 三角网(测角网) 三边网(测边网) GPS基线向量网 单一附合导线
由此可得联系数K的解：
r ,1
K ( AQA ) W
T
T 1
V QA K
条件平差的 最小二乘解：
n,1
ˆ L V L
三、条件平差计算步骤：
1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程，条 件方程的个数等于多余观测数r。 2．组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r 3．解法方程，求出联系数K值。 4．将K代入改正数方程式，求出V值，并求出观测 值的平差值=L+V。 5．检验平差计算的正确性（可用平差值重新列出 平差值条件方程式，看其是否满足方程）。
得法方程： AQATK-W=0 T 1 T N AQA AP A 令 aa r .r r .nn.nn.r 则有： NaaK-W=0
法方程系数阵Naa是一个r阶的满秩方阵，且可逆
N11k1 N12k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22k 2 N 2 r k r W2 0 N r1k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
目标函数：f x min n1 x a h x min F a , x f 1k 约束条件： h x 0 k 1 n1 F a, x
0 a F a, x 0 x
L2
L4 L1 L3 L2
A
B
C
§6-2 条件方程
条件方程的个数等于多余观测数r。条件方程之间 不能线性相关,在一个平差问题中，条件方程的个 数是固定不变的.
一、r的确定： r=n-t 二、条件方程的列立： 原则：足数（r个），线性无关，形式简单，易 于列立
控制网常见几何模型
水准网 三角网(测角网) 三边网(测边网) GPS基线向量网 单一附合导线
由此可得联系数K的解：
r ,1
K ( AQA ) W
T
T 1
V QA K
条件平差的 最小二乘解：
n,1
ˆ L V L
三、条件平差计算步骤：
1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程，条 件方程的个数等于多余观测数r。 2．组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r 3．解法方程，求出联系数K值。 4．将K代入改正数方程式，求出V值，并求出观测 值的平差值=L+V。 5．检验平差计算的正确性（可用平差值重新列出 平差值条件方程式，看其是否满足方程）。
第五章条件平差
二、法方程及改正数方程
将V T PV min的原则作用于条件方程 。
组成新函数:
V T PV－2k T AV W
式中
r 1
k k a , kb , k r 条件方程联系数
T
对新函数求导： T T 2V P 2A k ---改正数方程
dSCD ˆ f T dL SCD ˆ SCD T 2 T ˆ f D f f QL ˆL ˆ ˆL ˆ f 0 L S CD
得测边相对中误差为： 3、大地四边形测角网
2
ˆS
CD
SCD
＝
ˆ 0 f T QL ˆL ˆ f
设
F ( f1 , f 2 , f m )
T T
G ( g1 , g 2 , g m ) 有
均为m维向量函数，且 f i、g i 均为x的函数， d F G dG F T dG T dF F G dx dx dx dx
注意：当N为满秩方阵时，才有 N 1唯一存在,法方程才有唯
测方向网
测角网
测角网
三角网
测边网
测边长
测边＋测方向
边角网
（导线网） 测边＋测角
三、三角网的布设－－从高级到低级逐级布设 四、三角网平差的方法 1。严密平差 ----遵守VTPV=min原则 ； 2。近似平差
5.3 测角网条件平差
独立网（经典自由网）－-－只有必要起算数据d。
非独立网（附合网）－-－已知条件超过必要起算数据。
3 图形条件： n=12 t=2×2+4=8 r =4 1 极条件：
v2 v1 v6 v5 v11 v10 W1 0
测量程序设计_条件平差和间接平差
程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程： 将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作： 由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为
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h3
B
§5-2 条件方程
4.水准网中条件方程的列立方法
• 列条件方程的原则：足数、独立、最简 • （1）先列附合条件，再列闭合条件 • （2）附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个
数等于已知点的个数减1 • （3）闭合条件按小环建立（保证最简），一个水准
网中有多少小环，就列多少个闭合条件。
§5-2 条件方程
空间数据误差处理
Surveying Adjustment
第五章 条件平差
第五章 条件平差
❖§5-1 条件平差原理 ❖§5-2 条件方程 ❖§5-3 精度评定 ❖§5-4 条件平差公式汇编和水准网平差实例 ❖作 业
预备知识
❖拉格朗日乘数法
求函数Z =f（x，y）在满足附加条件(x, y) 0
个数等于多余观测数r。
ALˆ A0 0
AV W 0
组成法方程式，法方程的个数等于多余观测
数r。Naa K W 0 (式中Naa AQAT）
§5-1 条件平差原理
解算法方程，求出联系数K值。 K Naa1W 将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平
差值
V QAT K P1AT K
P为对角阵时
• 改正数方程： V P1AT K QAT K
vi
1 pi
(aika bi
n
• 法方程： i1
kb L
ai ai pi
ka
rikr ) Qii
n i 1
aibi pi
kb
L
(aika
n airi p i1 i
bi kb
kr
L
wa
0
ri kr
)
n i 1
aibi pi
的情况下的极值问题，首先构成辅助函数，
F f (x, y) (x, y)
其中λ为某一常数。即拉格朗日乘数。再来求上 式的极值
预备知识
❖函数向量关于向量的求导规则
（1）dC 0 dX m,n
（2）Z F G m,1 m,1 m,1
（3）F A X m,1 m,n n,1
（4）F X T A X , d ( X T AX ) 2 X T A
Lˆ L V
为了检查平差计算的正确性，常用平差值 Lˆ重
新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。
F (Lˆ) 0
§5-1 条件平差原理
❖ 例1.设对图中的三个内角做同精度观测，得观测值 L1=
42°12′20″ ，L2= 78°09′09″ ，
L3= 59°38′40″ 。
试按条件平差求三个内角的平差值。
平差值方程
A
r,n
Lˆ
n,1
A0
r ,1
0
r ,1
a1Lˆ1 b1Lˆ1
a2 Lˆ2 b2 Lˆ2
anLˆn a0 0 bnLˆn b0 0
r1Lˆ1 r2Lˆ2 rnLˆn r0 0
§5-1 条件平差原理
条件方程
AV W 0
a1v1 a2v2 anvn wa 0
L3
L1
L2
§5-1 条件平差原理
h4
C
D
h3
h2
❖ 例2.A,B为已知水准点，其高程为HA=12.013m， HB=10.013m，可视为无误差。为了确定C及D点的高程，
共观测了四个高差，高差观测值及相应水准路线的距离 为：h1 1.004m, S1 2km ; h2 1.516m, S2 1km
1,1 1,n n,n n,1
dX
1,n n,n
§5-1 条件平差原理
➢ 基础方程及其解 ➢ 条件平差的的计算步骤
§5-1 条件平差原理
❖函数模型
A
r,n
Lˆ
n,1
A0
r ,1
0
r ,1
或
AV W 0
❖随机模型
D
n,n
2 0
Q
n,n
2 0
P1
n,n
❖平差准则
V T PV min
§5-1 条件平差原理
的平差值 l$ 4 ,1 l4
l1
A
B
l3
l2 C
§5-2 条件方程
➢ 水准网条件方程 ➢ 测角网条件方程 ➢ 测边网条件方程
§5-2 条件方程
❖一、水准网
1.水准网的分类及水准网的基准
• 分为有已知点和无已知点两类 • 要确定各点的高程，需要1个高程基准
2.水准网中必要观测数t的确定
• 有已知点： t = 网中待定点数 • 无已知点： t = 网中待定点数 - 1
❖二、测角网
1.测角网的组成
• 由三角形、大地四边形和中点多边形等三种基本图 形互相邻接或互相重叠而成。
2.测角网的观测值
• 测角网的观测值很简单，全部是角度观测值
ka
n i 1
bibi pi
kb
L
n i 1
bi ri pi
kr
wb
0
LLLL
n i 1
ai ri pi
ka
n biri p i1 i
kb L
n
i 1
ri ri pi
kr
wr
0
§5-1 条件平差原理
❖ 二、条件平差的计算步骤
根据平差问题的具体情况，列出平差值条件
方程并转化为改正数条件方程，条件方程的
V T PV min
AV W 0
r ,n n,1 r ,1
问题：根据上述方程求解V值 方法：拉格朗日乘数法
§5-1 条件平差原理
基础方程
V Βιβλιοθήκη P1AT KQAT K
AV W 0
法方程:Naa K W 0
解向量:
(1)K
N
W 1
aa
(2)V P1AT K QAT K
(3)L$ L V
§5-1 条件平差原理
h3 2.512m, S3 2km ; h4 1.520m, S4 1.5km
试求C和D点高程的平差值。
§5-1 条件平差原理
❖ 例3.如图，A、B、C三点在一直线上，测出了AB、BC及 AC的距离，得4个独立观测值：l1=200.010m， l2=300.050m，l3=300.070m，l4=500.090m。若令100m量距 的权为单位权，试按条件平差法确定A、C之间各段距离
b1v1
b2v2 bnvn
wb
0
r1v1 r2v2 rnvn wr 0
方程闭合差
wa a1L1 a2L2 anLn a0
W
AL
A0
wbb1L1
b2L2 bn Ln
b0
wr r1L1 r2L2 rn Ln r0
§5-1 条件平差原理
❖一、基础方程及其解
§5-2 条件方程
3.水准网中条件方程的分类
• 分为附合条件和闭合条件两类
• 已知点个数大于1：存在闭合和附合两类条件
• 已知点个数小于等于1：只有闭合条件
A
例：水准网如图，A、B、C三点高程 h1
未知，观测值h1—h3，列出条件方程 C
n=3，t=2，r=1
h$1 h$2 h$3 0
h2