变压器的数学模型及等效电路分析方法
电机学变压器的运行原理(空载、负载、数学模型)
第8章 变压器
28
2、T型等效电路 T型等效电路的形成过程，见下图。
I&1 R1
X 1
R2
I&0
Rm
U&1
E&2 E&1E&2 E&1
E&2
Xm
X 2 I&2
U&2
Z L
T型等效电路的形成过程
第8章 变压器
29
Γ型等效电路
对于电力变压器，一般 I1NZ1＜0.08U1N，且 I1NZ1 与 -E1是相量相加，因此可将励磁支路前移与电源并 联，得到Γ型等效电路。
1、空载电流的波形
电网电压为正弦波，铁 心中主磁通亦为正弦波。若 铁心不饱和（Bm < 1.3T）， 空载电流 i0 也是正弦波。
电力变压器，Bm= 1.4T ～1.73T，铁心都是饱和的 。其励磁电流呈尖顶波，除 基波外，还有较强的三次谐 波和其它高次谐波。
第8章 变压器
11
2、空载电流与主磁通的相量关系
问题：一般电力变压器 的变比 k 较大，一、二 次侧的电压、电流差别
很大，计算不便，画相
量图更加困难。因此，
下面介绍分析变压器的 一个重要方法——等效 电路、折算。
第8章 变压器
19
四、绕组归算(折算)及数学模型
所谓把二次侧折算到一次侧，就是用一个匝数为N1 的等效绕组，去替代变压器匝数为N2二次侧绕组，折 算后的变压器变比 N1/ N1=1 。
第8章 变压器
30
4、简化等效电路和相量图
对于电力变压器，由于 I0＜0.03I1N，故在分析变压器满载及负 载电流较大时，可以近似地认为 I0＝0，将励磁支路断开,等效电 路进一步简化成一个串联阻抗，如图所示。
电力网络等值电路
近似
k1 p 10.5 / 230
k2 230/ 115
10.5 230 2 10.5 2 Z l 2 Z l2 ( * ) Z l2 ( ) 230 115 115
2. 采用标幺值时的电压级归算
根据计算精度要求的不同，求取标么值的方
法有两种：准确算法和近似算法。
准确算法：参数按变压器的实际变比归算
Uk %
2 U k % U k %U N UN XT 100 100S N 3I N
3I N XT 100 UN
折算时注意问题： ①基本侧
②功率不变性
导纳（空载实验：在原边加UN）
RT . . U1NIo . Ur . Ux jXT . . U1N Ig . Io
GT
RT
.BT Ib
jXT
电导
变压器电导对应的是变压器的铁耗，近似等 于变压器的空载损耗，因此变压器的电导可 如下求解： P0 GT 2 1000 UN
电纳
在变压器中，流经电纳的电流和空载 电流在数值上接近相等，其求解如下：
I0% SN BT 2 100 U N
二.三绕组变压器的参数和数学模型
高
中
ZT2 1 ZT1 ZT3 YT
对于 100/100/100 3I R 3I R
N 1 N 2 2 2
1 Pk 1 ( Pk (1 2 ) Pk (1 3 ) Pk ( 2 3 ) ) 2 1 Pk 2 ( Pk (1 2 ) Pk ( 2 3 ) Pk (1 3 ) ) 2 1 Pk 3 ( Pk (1 3 ) Pk ( 2 3 ) Pk (1 2 ) ) 2
2 PCu 3 I N RT 3(
基于Matlab电力变压器励磁涌流的分析和仿真
基于Matlab电力变压器励磁涌流的分析和仿真
电力变压器励磁涌流分析和仿真是电力系统工程中的重要课题之一。
励磁涌流会导致变压器内部的电流波形畸变，进而引起变压器额定电流的超过。
因此，为了保证变压器的安全运行，必须对励磁涌流进行分析和仿真。
Matlab是一款强大的数学建模和仿真软件，适用于多种工程领域。
基于Matlab进行电力变压器励磁涌流的分析和仿真可以使用以下步骤：
1. 建立变压器模型：根据变压器的参数和拓扑结构，利用Matlab建立变压器的等效电路模型。
可以使用不同的模型，如双绕组模型或多绕組模型。
2. 电源模拟：为了模拟励磁源（如励磁变压器或励磁发电机）的输出，并将其连接到变压器模型的一侧，可以使用Matlab 的函数生成正弦波源。
3. 励磁特性模拟：通过在变压器模型中增加励磁特性模块，可以模拟变压器的磁导特性。
可以使用各种励磁特性模型，如线性励磁模型、饱和励磁模型或非线性励磁模型。
4. 动态仿真：将电源和励磁特性与变压器模型连接，并对整个系统进行动态仿真。
可以使用Matlab的ode45函数或Simulink仿真工具来求解变压器模型的动态方程。
5. 结果分析：根据仿真结果，分析励磁涌流的波形、振幅和频
谱。
可以使用Matlab的绘图功能来绘制变压器电流波形和频
谱图。
基于Matlab进行电力变压器励磁涌流的分析和仿真可以帮助
工程师深入了解励磁涌流的特性，并优化变压器的设计和运行参数。
此外，Matlab还提供了丰富的工具箱和函数，可以用
于更复杂的励磁涌流分析，如短路电流计算、降压启动分析等。
电力变压器的参数与数学模型
.-电力变压器的参数与数学模型————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：电力变压器的参数与数学模型2.3.1理想变压器对于理想变压器，假定：绕组电阻为零；因此绕组损耗I2R为零。
铁心磁导率是无穷大，所以铁心磁阻为零。
不计漏磁通；即整个磁通为铁心和一次侧绕组、二次侧绕组相交链的磁通。
不计铁心损耗。
图2-20双绕组变压器内部结构图2-21 双绕组变压器示意图从安培和法拉第定律知:（2-46）磁场强度矢量Hc 为（2-47）其中，磁场强度、磁感应强度和磁通量的关系为由于理想变压器铁心磁导率为无限大，则磁阻R c近似为零。
（2-48）上式可写为：图2-21为双绕组变压器的示意图。
（2-49）或者图2-21中的标记点表示电压E1和E2，在标记点侧是＋极，为同相。
如果图2-21中的其中一个电压极性反向，那么E1与E2相位相差180o。
匝数比k定义如下：理想单相双绕组变压器的基本关系为（2-50）（2-51）由推导可得两个关于复功率和阻抗的关系如下。
图2-21中流进一次侧绕组的复功率为（2-52）代入（2-50）和（2-51）（2-53）可见，流进一次侧绕组的复功率S1与流出二次侧绕组的复功率S2相等。
即理想变压器没有有功和无功损耗。
如果阻抗Z2与图2-21中理想变压器的二次侧绕组相连，那么（2-54）这个阻抗，当折算到一次侧时，为（2-55）因此，与二次侧绕组相连的阻抗Z2折算到一次侧，需将Z2乘以匝数比的平方k2。
2.3.2实际双绕组变压器1.简化条件实际单相双绕组变压器，与理想变压器的区别如下：计及绕组电阻；铁心磁导率为有限值；磁通不完全由铁心构成；计及铁心有功和无功损耗。
图2-22实际单相双绕组变压器的等效电路图电阻串联于图中一次侧绕组，用于计及该绕组损耗I2R。
电抗为一次绕组的漏电抗，串联于一次绕组用于计及一次绕组的漏磁通。
第三章 电力系统各元件的数学模型2
3.2.2 变压器零序参数与等值电路
零序励磁阻抗Z 与变压器的结构有很大关系： 零序励磁阻抗 m0与变压器的结构有很大关系： 由三个单相变压器组成的三相变压器， 由三个单相变压器组成的三相变压器，可以近 似认为励磁电抗为无穷大； 似认为励磁电抗为无穷大； 对于三相五柱式和壳式变压器， 对于三相五柱式和壳式变压器，零序励磁电抗 也相当于无穷大； 也相当于无穷大； 对于三相三柱式变压器，零序励磁电抗较小， 对于三相三柱式变压器，零序励磁电抗较小， 其值可用试验方法求得
RT 1 RT 2
2 Pk 1 %U N , = 2 1000 S N 2 Pk 2 %U N , = 2 1000 S N 2 Pk 3 %U N , = 2 1000 S N
RT 3
1 Uk1%= (Uk(1−2)%+Uk(1−3)%−Uk(2−3)%) 2 1 Uk 2% = (Uk (1−2) %+ Uk (2−3) %− Uk (1−3) %) 2 1 U k 3 % = (U k (1−3 ) % + U k ( 2−3 ) % − U k (1−2 ) %) 2
自耦变压器是 自耦变压器是一次与二次绕组有共同部分的变压器 可等值于普通变压器，等值电路与参数计算方法相同。 可等值于普通变压器，等值电路与参数计算方法相同。 但其第三绕组容量总是小于变压器的额定容量, 但其第三绕组容量总是小于变压器的额定容量,如果 制造厂提供的短路数据未经归算， 制造厂提供的短路数据未经归算，归算的方法也与普 通三绕组变压器相同， 通三绕组变压器相同，即将短路损耗乘以额定容量和 第三绕组容量比的平方， 第三绕组容量比的平方，短路电压乘以额定容量和第 三绕组容量比
三绕组变压器近似等效电路
3.2.1 变压器正序参数与等值电路
第二章电力系统各元件的数学模型
试验时小绕组不过负荷，存在归算问题，归算到SN
2) 对于（100/50/100）
2
Pk (12)
P' k (12)
IN 0.5IN
P 4 ' k (12)
2
Pk ( 23)
P' k (23)
IN 0.5IN
P 4 ' k ( 23 )
3) 对于（100/100/50）
2
Pk (13)
P' k (13)
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
一次整循环换位：
A B
C
换位的目的：为了减 少三相参数的不平衡
§2.3 电力线路的参数和数学模型
Xd
§2.1 发电机的数学模型
受限条件
定子绕组： IN为限—S园弧
转子绕组： Eqn ife 励磁电流为限—F园弧 Xd
原动机出力：额定有功功率—BC直线
其它约束： 静稳、进相导致漏磁引起温升—T弧
进相运行时受定 子端部发热限制 受原动机出力限制
定子绕组不超 过额定电流
励磁绕组不超 过额定电流 留稳定储备
2、由短路电压百分比求XT（制造商已归算，直接用）
U U U U 1 k1(%) 2
k(12) (%) k(13) (%) (%) k(23)
XT1
Uk
1(%
)U2 N
100SN
U U U U 1 k2 (%) 2
k(12) (%) k(23) (%) (%) k(13)
变压器中的等效电阻法
变压器中的等效电阻法
变压器等效电阻公式是R等于PkxUn^2(1000xSn^2)。
将这一等效电阻代替原有的几个电阻后，对于整个电路的电压和电流量不会产生任何的影响。
如果副线圈接的是纯电阻负载Rx，原、副线圈匝数比值（变比n1n2）为n比1，那么该负载在变压器初级表现出来的电阻值为Rx的n的平方倍。
变
变压器等效电阻公式信息
在电力系统稳态里都有，有变压器的数学模型．Un和Sn为额定电压和额定功率．等效阻抗R等于Pk*Un^2(1000*Sn^2)X等于
Uk%*Un^2/(100*Sn)其中Pk变压器短路损耗百分之Uk短路电压百分
比对地导纳G等于P0(1000*Un^2)B等于百分之I0*Sn1设理想变压器原。
副线圈匝数为n1、n2,原副线圈电压为U1、U2,副线圈电阻为R，分析变压器问题，我们总是要把变压器分成左右两个电路来看待，现在我们将右边的电路等效，将其右边的电路等效后消去，变成左边的电路，变成一个单一的回路可以使得问题变得更简单。
变压器中原线圈的等效电阻公式是，R等于K方乘以R总，公式中K是变压比n1n2，R总是副线圈中负载的总电阻。
变压器基本方程式、相量图和等效电路图基础知识讲解
Zm Z1 ，一般 I0 (0.002 0.01)I1N
X1是与一次绕组漏磁通对应的电抗；Xm是与
主磁通对应的电抗
X1是常数， Xm与磁路饱和有关，是一个变
化量。
变化，则主磁通的瞬时值为 m sin t
根据电磁感应定律
e1
N1
d
dt
N1m
sin(t
90
)
则电动势的有效值为
E1
E1m 2
N1m
2
4.44 fN1m
取m m0参考向量，因 E1落后主磁通 m 900，
则： 同理：
E1 j4.44 fN1m
E2 j4.44 fN2m
3.主磁通感应电动势结论：
变压器各物理量的参考方向
1、U1和 I 1 按电动机惯例，
吸收电功
m
2、I1 和 m 符合右手 A I1 *
螺旋定则
3、E1 、E2 和 m 符合 右手螺旋定则
U1
E1
X
N1
N2
4、I2 和 m 符合右手螺旋定则 5、U 2 和 I 2 按发电机惯例，发出电功
6、I 1 和 I 2 均由同名端流入
因为空载功率因数很小，所以变压器空载运 行时从电源吸收很大的滞后性无功功率。
8. 变压器空载运行的等效电路
I0 I0a I0r
G0－励磁电导
I0a G0 (E1)
B0－励磁导纳
I0r jB0 (E1)
所以 I0 E1(G0 jB0 )
E1
G0
I0 jB0
(Rm
jX m )I0
I0Zm
I2 x
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y m y leak
1. 磁路与电感
变压器数学建模的方法
– （1）电压方程 – （2）磁链方程 – （3）法拉第电磁感应定律——电压、磁链方程联立
– （4）绕组折算（坐标变换） – （5）画等效电路图
比电机的数学模型少转矩方程
10
2. 单铁芯双绕组 变压器数学模型
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
– 3-phase 3-winding Y/Y/D transformer
31
中国科学院电工研究所大功率电力电子与直线驱动技术研究部
（1）电压方程（原副边）
u12 r12i12 e12 u34 r34i34 e34
（2）磁链方程（原副边）
y 12 L12i12 Lm i34 y 34 L34i34 Lm i12
L12为12绕组自感，L34为34绕组
自感，Lm为12和34绕组之间的互 感。这三个电感需要进一步表示。
1 2 i12 i34 3 4
18
3. 单铁芯多绕组 变压器数学模型
3. 单铁芯多绕组变压器数学模型
同样按照前面五个步骤 绕组折算公式也相同
– 折算到x绕组则y绕组的电压方程 两端乘以Nx/Ny
– 单相变压器，不需要坐标变换
1 2 i56 5 6 i12 i34 3 4
三个绕组之间连接关系如何？
i12
i34
3 4
（3）法拉第电磁感应定律——电压、磁链方程联立
dy 12 e12 dt e dy 34 34 dt
15
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
（3）法拉第电磁感应定律——电压、磁链方程联立
2 2 u r i p [( N l N 12 12 12 12 m 12 l12 l )i12 ( N12 N 34 lm )i34 ] 2 2 u r i p [( N l N 34 m 34 l34 l )i34 ( N12 N 34 lm )i12 ] 34 34 34
磁感应强度与磁通
– 垂直穿过单位面积的磁力线叫做磁通量密度，简称磁通密度，它从 数量上反映磁力线的疏密程度。磁场的强弱通常用磁感应强度“Ｂ”
来表示 – 磁通，又称磁通量，是通过某一截面积的磁力线总数，用f表示，
单位为韦伯（Wb）
f B dA
A
3
1. 磁路与电感
安培环路定理
– 磁场强度定义为
电感
– 任两点间与另外一电流之间的互感L由下式定义：
di e L dt
– 又因为：
dy e dt
– 故有：
y Li
7
1. 磁路与电感
电感
– 对于右图，假设磁场线毫无泄露地在铁芯中闭合，则有：
Nf N f L i i Ni N 2f N 2f F (f / l )
1 2
i12
i34
3 4
12
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
L12为12绕组自感：
L12 L12 m L12l N l N l
2 12 m 2 12 12 l
L34为34绕组自感：
1 2
i12
i34
3 4
L34 L34 m L34l
2 2 N 34 lm N 34 l34l
13
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
Lm为12和34绕组之间的互感：
– 假设34绕组加电流i34，而i12 =0，环 绕铁芯一圈对磁场强度积分或者认
为磁动势F34产生了4
N12fm i34
1 2
i12
i34
3 4
N12 ( F34 lm ) i34 N12 ( N 34i34 lm ) i34 N12 N 34 lm
（4）绕组折算（坐标变换）
– 【公式：折算到x绕组则y绕组的电压方程两端乘以Nx/Ny】 – 以折算到12绕组为例，上面第二方程两端乘以N12/N34，则有：
16
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
（4）绕组折算（坐标变换）
N12 N12 2 2 u34 r34i34 p[ N12 ( N 34 lm N 34 l34l )i34 ( N12 lm )i12 ] N 34 N 34
17
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
于是联立的方程组转化为：
i12 ) pL12l i12 u12 r12i12 pL12 m (i34 r34 i34 pL12 m (i34 i12 ) pL34 l i34 u34
单相变压器不需要坐标变换 （5）画等效电路图
H B/
– 磁场强度沿任意闭环路径L的环路积分等于路径L所包围的电流强度
的代数和
L
H dl i
4
1. 磁路与电感
安培环路定理
– 假设右图中磁场均匀则沿l对H积分有：
l l f Ni A
– 或者：
B
f f Rm F l
– Rm：磁阻 – lA/l：磁导 – F：磁动势
中国科学院电工研究所大功率电力电子与直线驱动技术研究部
李子欣 2015.03.31
Outline
1. 磁路与电感
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型 3. 单铁芯多绕组变压器数学模型
4. 三相三芯、多芯柱变压器数学模型 5. 电力电子仿真软件中的变压器
1
1. 磁路与电感
1. 磁路与电感
28
5. 电力电子仿真软件中的变压器
– Single-phase
transformer (1
primary and 2 secondary
windings)
29
5. 电力电子仿真软件中的变压器
– 3-phase 3-winding Y/Y/D transformer
30
5. 电力电子仿真软件中的变压器
iB iAB ib
f2
iC iBC ic
f3
ia
ib
ic
+ ua -
+ ub -
+ uc -
n
n
Y/Y接
D/Y接
【注意】三相三芯柱变压器有： f1+f2+f3=0 abc坐标变换到ab0坐标系模型更加清晰
23
4. 三相多芯柱变压器数学模型
请自行推导
f1
+ uA + ua iA + uB + ub iB
2 N 34 N12 [(r34 2 )(i34 )] N 34 N12
N 34 2 p[( N l N l )(i34 ) ( N12 lm )i12 ] N12
2 12 m 2 12 34 l
u34
i34 pL12 m (i34 i12 ) pL34 l i34 r34
2
y
N 2l
– 可见电感与线圈匝数的平方成正比，与是否通有电流无关
8
1. 磁路与电感
漏感
– 除去铁芯外，实际上一部分磁场线在线圈与空气之间形成闭合回路，
这部分磁链对应的电感为漏自感；对于变压器来说，这部分磁通没 有与原副边绕组同时链绕，称为漏感。
– 对于右图来说有：
L
y
i i Lm Lleak
14
2. 单铁芯双绕组变压器数学模型
将用磁导和线圈匝数表示的L12、L34和Lm带入磁链方程：
2 2 y 12 ( N12 lm N12 l12l ) i12 ( N12 N 34 lm ) i34 L12 Lm 1 2 2 2 y 34 ( N 34 lm N 34 l34l ) i34 ( N12 N 34 lm ) i12 L34 Lm
f2
+ uC + uc iC
f3
iA iCA ia
f1
iB iAB ib
f2
iC iBC ic
f3
ia
ib
ic
+ ua -
+ ub -
+ uc -
n
n
Y/Y接
D/Y接
【注意】三相多芯柱变压器有： f1+f2+f3≠0 abc坐标变换到ab0坐标系模型更加清晰
24
5. 电力电子仿真 软件中的变压器
– 串联？ – 并联？
– 其他？
20
3. 单铁芯多绕组变压器数学模型
等效电路
三个绕组为并联关系
21
4. 三相三芯、多芯 柱变压器数学模型
4. 三相三芯柱变压器数学模型
请自行推导
f1
+ uA + ua iA + uB + ub iB
f2
+ uC + uc iC
f3
iA iCA ia
f1
5
1. 磁路与电感
法拉第电磁感应定律
– 通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的磁感应电 动势e与磁通量f对时间的变化率成正比：
df e dt
– 当由N匝线圈构成时，感应电动势为：
df d ( Nf ) dy e N dt dt dt
– y称为磁链
6
1. 磁路与电感
5. 电力电子仿真软件中的变压器
以PSIM为例（Matlab类似）
– Single-phase transformer
26
5. 电力电子仿真软件中的变压器
– Single-phase transformer
27
5. 电力电子仿真软件中的变压器