1.3 轴对称
青岛版八年级数学上册重难点
青岛版八年级数学上册重难点青岛版数学八年级上册重难点汇总第一章全等三角形1.1全等三角形教学重点：全等三角形的性质。
教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。
1.2如何确定三角形的同余教学重点：掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法。
教学难点：探究满足“两边一角”对应相等的两个三角形是否全等，如何画出相应的图形。
1.3直尺和量规图纸教学重点：轴对称与轴对称图形的概念及识别。
教学难点：轴对称与轴对称图形的区别和联系。
第二章图形的轴对称性2.2轴对称的基本性质教学重点：了解轴对称的基本性质，绘制轴对称图形，以及关于坐标轴对称点的坐标。
教学难点：在直接坐标系中，会求已知点关于坐标轴的对称点坐标。
2.3轴对称图形教学重点：理解连接对应点的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。
教学难点：能够使用轴对称特性制作对称点、对称图形、对称轴等。
2.4线段的垂直平分线教学重点：掌握直线段垂直平分线的性质。
能够利用直线段垂直平分线的性质来解决简单的实际问题。
教学难点：能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。
能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。
2.5角平分线的性质教学重点：重点是角平分线的性质。
教学难点：角平分线性质的由来与应用。
2.6等腰三角形教学重点：掌握等腰三角形的性质，等边三角形的性质。
教学难点：等腰三角形性质的探索。
第三章分数3.1分式的基本性质教学重点：分数的定义。
教学难点：分式有意义、值为零的条件的应用。
3.2减少分数教学重点：找到分子分母中的公因式，并利用分式的基本性质约分。
教学难点：分子、分母是多项式的分式的约分。
3.3分数的乘法和除法教学重点：探索分式的乘除法的法则。
教学难点：多项式分子或分母分数的乘法和除法及应用问题。
3.4分式的通分教学重点：确定最简单的公分母。
教学难点：分母是多项式的分式的通分。
3.5分数的加减法教学重点：同分母分数的加减法的法则，进行异分母分式的加减运算。
高考函数对称轴对称中心压轴题专题
高考函数对称轴对称中心压轴题专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考函数压轴题专题1.3对称性与周期性（1）周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． （2）关于函数周期性常用的结论①若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ②若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ③若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). ④如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．⑤函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． ⑥函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．⑦函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒． （3）函数()y f x =的图象的对称性结论①若函数)(x f y =关于x a =对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -⇔对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -⇔()y f x a =+是偶函数；②函数)(x f y =关于点（a ，0）⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +⇔(2)f a x -=－()f x ⇔()y f x a =+是奇函数；③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a f b x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(,0)2a b+； 改编：若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有f(a+x)+f(b-x)=c 则函数)(x f 的对称轴中心为________⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.例1 2016 (12) 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m例 2 （2016年全国II 高考）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图像的交点为 1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 例3（2017新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1例4【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称【命题意图探究】本题主要考查函数的单调性、对称性，是中档题. 【答案】C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误；又112(1)'()2(2)x f x x x x x -=-=--（02x <<），在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误，故选C ．例5 【2018全国卷Ⅱ】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)++f f f (50)++=fA ．50-B ．0C ．2D ．50例6 【2015高考新课标1，文12】设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( ) （A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4例7【2015高考湖南，文14】若函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 .例8 【2015高考福建，文15】若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______．例9 【2015高考湖北，文13】函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.例10 （2017新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x --≤≤ 的x 的取值范围是A ．B ．C ．D ．D 【解析】由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=，不等式1(2)1f x --≤≤即为(1)(2)(1)f f x f --≤≤，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x --≥≥，即13x ≤≤，选D ． 例11 (2016山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f (6)= A ．−2 B ．−1C ．0D ．2D 【解析】当11x -时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=， 所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=， 所以(6)2f =，故选D ．2018高考函数专题(2018全国卷 理数-1)5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）16．已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． (2018全国卷 理数-2)3．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为6．在ABC △中，5cos2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．2B ．30C 29 D ．2510．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．50(2018 全国卷 理数-3) 4．若1sin 3α=，则cos2α=A．89B．79C．79-D．89-12.(2018鄂尔多斯市模拟卷）若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(1-x)=f(1+x),且当xє(0,1]时，f(x)=1-x,则方程()1[7,1]xf x e=--在区间上的实数根的数为( )A.7B.6C.5D.4。
专题1.3 轴对称章末重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)
专题1.3 轴对称章末重难点题型【人教版】【考点1 轴对称图形的识别】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【例1】（2020春•岳阳期末）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（）A．协和医院B．湘雅医院C．齐鲁医院D．华西医院【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【变式1-1】（2020春•青岛期末）下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合解答．【解答】解：第一、二、四个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，故选：C．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【变式1-2】（2020春•陈仓区期末）下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．【解答】解：第一个图案和第二个图案是轴对称图形，第三个图案和第四个图案不是轴对称图形，则不是轴对称图形的有2个，故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．【变式1-3】（2020春•揭阳期末）下列图形中，是轴对称图形的有（）个．①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．【解答】解：①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形中只有平行四边形不是轴对称图形．故轴对称图形有6个．故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．【考点2 生活中的轴对称现象】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握镜面对称原理及反射角与入射角的定义.【例2】（2020春•玉门市期末）如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是．【分析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．【解答】解：做轴对称图形得：|630085，故答案是：630085．【点评】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意2的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5．【变式2-1】（2020春•禅城区期末）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（）A．3：20B．3：40C．4：40D．8：20【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实际时刻为3：40．故选：B．【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．【变式2-2】（2019秋•润州区校级月考）如图是一个经过改造的规则为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：所以球最后将落入的球袋是4号袋，故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．【变式2-3】（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时人射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（）A．A点B．B点C．C点D．D点【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，∵2020÷6＝336…4，∴当点P第2020次碰到长方形的边时为第337个循环组的第4次反弹，∴第2020次碰到长方形的边时的点为图中的点D，故选：D．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律以及生活中的轴对称现象，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．【考点3 轴对称的性质与运用】【方法点拨】轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．【例3】（2020春•青川县期末）如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2．交OA于点M，交OB于点N．若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为．【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得△PMN的周长．【解答】解：如图所示：∵P与P1关于OA对称，∴OA为线段PP1的垂直平分线．∴MP＝MP1．同理可得：NP＝NP2．∵P1P2＝5cm，∴△PMN的周长＝MP+MN+NP＝P1M+MN+NP2＝P1P2＝5cm．故答案为5cm．【点评】本题考查了求作关于直线的对称点的作法和中垂线的性质，利用轴对称的性质得出对应线段相等是解题关键．【变式3-1】（2020•延边州二模）如图，∠AOB＝40°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于直线OA，OB的对称点，连接CD分别交OA，OB于点E、F．则∠EPF＝．【分析】要求∠EPF的度数，要在△EPF中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与∠MPN 的关系，利用已知∠AOB＝40°可求出∠EPF，答案可得．【解答】解：如图，∵点M、N分别是点P关于直线0A、OB的对称点，∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，∴ME＝PE，PF＝NF，∴∠PEF＝2∠M，∠PFE＝2∠N，∵∠PRE＝∠PTF＝90°，∴在四边形OTPR中，∴∠MPN+∠AOB＝180°，∵∠EPF+2∠M+2∠N＝180°，即∠MPN+∠M+∠N＝180°，∴∠M+∠N＝∠AOB＝40°∴∠EPF＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为100°．【点评】本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，在计算的过程中运用了四边形的内角和和三角形的内角和定理及其推论．【变式3-2】（2020春•长春期末）如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P 关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM ＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为．【分析】由轴对称的性质可知：PM＝MQ，PN＝RN，先求得QN的长度，然后根据QR＝QN+NR即可求得QR的长度．【解答】解：由轴对称的性质可知：PM＝MQ＝2.5cm，PN＝RN＝3cm，QN＝MN﹣QM＝4﹣2.5＝1.5cm，QR＝QN+NR＝1.5+3＝4.5cm．故答案为：4.5cm．【点评】本题主要考查的是轴对称的性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．【变式3-3】（2020春•竞秀区期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝60°，则∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为．【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长；【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2×60°＝120°，故答案为：120°．②∵点C和点P关于OA对称．∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α．（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，所以△PMN的周长为：PM+PN+MN＝CM+DN+MN＝CD＝4，故答案为：4【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．【考点4 线段垂直平分线的应用】【方法点拨】线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键【例4】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC 的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（）A．4.5B．5C．5.5D．6【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，然后根据三角形的周长推出△BCF的周长＝AC+BC，即可得解．【解答】解：∵DF为AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴△BCF的周长＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，∵AB＝AC，AB+BC＝6，∴AC+BC＝6，∴△BCF的周长为6．故选：D．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．【变式4-1】（2020春•郫都区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【分析】（1）根据三角形内角和定理计算，得到答案；（2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠F AC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠F AC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+F A＝20，由（2）可知，DA＝DB，F A＝FC，∴BC＝DB+DF＝FC＝DA+DF+F A＝20．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【变式4-2】（2019秋•百色期末）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．（1）说明BE ＝CF 的理由；（2）如果AB ＝5，AC ＝3，求AE 、BE 的长．【分析】（1）连接BD ，CD ，由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，根据角平分线的性质，即可得DE ＝DF ，又由DG ⊥BC 且平分BC ，根据线段垂直平分线的性质，可得BD ＝CD ，继而可证得Rt △BED ≌Rt △CFD ，则可得BE ＝CF ；（2）首先证得△AED ≌△AFD ，即可得AE ＝AF ，然后设BE ＝x ，由AB ﹣BE ＝AC +CF ，即可得方程5﹣x ＝3+x ，解方程即可求得答案．【解答】（1）证明：连接BD ，CD ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴BD ＝CD ，在Rt △BED 与Rt △CFD 中，{BD =CD DE =DF， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD （HL ），∴BE ＝CF ；（2）解：在△AED 和△AFD 中，{∠AED =∠AFD =90°∠EAD =∠FAD AD =AD，∴△AED ≌△AFD （AAS ），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．【变式4-3】（2020春•萍乡期末）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD ⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP 是∠DAC 的平分线，∴DP ＝EP ，在Rt △BDP 和Rt △CEP 中，{BP =CP DP =EP， ∴Rt △BDP ≌Rt △CEP （HL ），∴BD ＝CE ；（2）解：在Rt △ADP 和Rt △AEP 中，{AP =AP DP =EP， ∴Rt △ADP ≌Rt △AEP （HL ），∴AD ＝AE ，∵AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，∴6+AD ＝10﹣AE ，即6+AD ＝10﹣AD ，解得AD ＝2cm ．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．【考点5 关于坐标轴对称的点的坐标】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握：关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．【例5】（2019秋•邛崃市期末）在平面直角坐标系中，点P 与点M 关于y 轴对称，点N 与点M 关于x 轴对称，若点P 的坐标为（﹣2，3），则点N 的坐标为（ ）A ．（﹣3，2）B ．（2，3）C ．（2，﹣3）D ．（﹣2，﹣3）【分析】作出相关对称后可得点P 与点N 关于原点对称，那么依据点P 的坐标为（﹣2，3），可得点N 的坐标．【解答】解：∵点M与点P关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，∴点N与点P关于原点对称，又∵点P的坐标为（﹣2，3），∴点N的坐标为（2，﹣3），故选：C．【点评】考查关于坐标轴对称的点的规律，用到的知识点为：两点是关于一次x轴对称，又关于y轴一次对称得到的点，那么这两点关于原点对称．【变式5-1】（2019秋•潮州期末）若点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），则点M（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出a，b的值，进而利用关于x轴对称点的性质得出答案．【解答】解：∵点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），∴2a﹣1＝﹣3，b＝3，解得：a＝﹣1，故M（﹣1，3），关于x轴对称的点的坐标为：（﹣1，﹣3）．故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．【变式5-2】（2019秋•河东区期末）小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b），另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a）；则A，B两点原来的位置关系是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．A和B重合D．以上都不对【分析】根据题意表示出A、B的正确坐标，再根据坐标的关系确定A，B两点原来的位置关系．【解答】解：∵小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b），∴A点的正确坐标为（b，a），∵另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a），∴B点的正确坐标为（b，﹣a），∴A，B两点原来的位置关系是关于x轴对称，故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关键是掌握：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．【变式5-3】（2019秋•阳信县期末）已知点P（﹣1﹣2a，5）关于x轴的对称点和点Q（3，b）关于y轴的对称点相同，则A（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，﹣5）B．（1，5）C．（﹣1，5）D．（﹣1，﹣5）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）∴P（﹣1﹣2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣1﹣2a，﹣5），Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，b），因而就得到关于a，b的方程，从而得到a，b的值．则A（a，b）关于x轴对称的点的坐标就可以得到．【解答】解：∵P（﹣1﹣2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣1﹣2a，﹣5），Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，b）；∴﹣1﹣2a＝﹣3，b＝﹣5；∴a＝1，∴点A的坐标是（1，﹣5）；∴A关于x轴对称的点的坐标为（1，5）；故选：B．【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．【考点6 轴对称变换（点的坐标规律）】【例6】（2019秋•长白县期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（﹣a，b）B．（﹣a，﹣b）C．（a，﹣b）D．（a，b）【分析】图观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴对称后在第二象限，点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2019÷4＝504余3，∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣a，b）．故选：A．【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．【变式6-1】（2020•盐城模拟）如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD “先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（）A．（﹣2018，﹣3）B．（﹣2018，3）C．（﹣2016，﹣3）D．（﹣2016，3）【分析】根据正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），可得AB＝BC＝2，C（3，3），先求出前几次变换后C点的坐标，发现2019次变换后的正方形在x轴下方，进而可求出结果．【解答】解：∵正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），∴AB＝BC＝2，∴C（3，3），一次变换后，点C1的坐标为（2，﹣3），二次变换后，点C2的坐标为（1，3），三次变换后，点C3的坐标为（0，﹣3），…，∵2019次变换后的正方形在x轴下方，∴点C2019的纵坐标为﹣3，其横坐标为3﹣2019×1＝﹣2016．∴经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（﹣2016，﹣3）．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称、规律型﹣点的坐标、坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握对称性质和平移旋转．【变式6-2】（2020春•岳阳期末）如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C 的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2020，2）D．（2020，﹣2）【分析】首先由正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2015次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．【解答】解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2+1，﹣2），即（3，﹣2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2+2，2），即（4，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2+3，﹣2），即（5，﹣2），第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），∴连续经过2020次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（2022，2）．故选：A．【点评】此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质．得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣3），当n为偶数时为（2+n，3）是解此题的关键．【变式6-3】（2020•九江模拟）如图，已知平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），C（1.6，0.8）．若将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循y轴、x轴、y轴、x轴…的规律进行，则经过第2018次变换后，平行四边形顶点A 的坐标为（）A．（﹣0.4，1.2）B．（﹣0.4，﹣1.2）C．（1.2，﹣0.4）D．（﹣1.2，﹣0.4）【分析】先求得A的坐标，然后根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”以及“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求得每一次轴对称变换A的坐标，得出每4次轴对称变换重复一轮的规律，即可得出经过第2018次变换后，平行四边形顶点A的坐标．【解答】解：∵平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），C（1.6，0.8）．∴A（0.4，1.2），将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，A（﹣0.4，1.2），所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，A（﹣0.4，﹣1.2），第三次轴对称变换，A（0.4，﹣1.2），第四次轴对称变换，A（0.4，1.2），即A点回到原处，即每4次轴对称变换重复一轮，∵2018÷4＝54…2，∴经过第2018次变换后，平行四边形顶点A的坐标为（﹣0.4，﹣1.2）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图象变换﹣对称，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数以及关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数得出每一次的坐标，得出规律是解题的关键．【考点7 轴对称变换（作图）】【例7】（2020春•贵港期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题：（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A1与A，B1与B对应．（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为．（3）若△ABC平移后得△A2B2C2，点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣1），请在平面直角坐标系中画出△A2B2C2．【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解；（3）利用点A和点A2的坐标变换确定平移的规律，然后写出B2、C2的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为（﹣x，y）；故答案为（﹣x，y），（3）如图，△A2B2C2为所作．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．【变式7-1】（2020秋•锦江区校级月考）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．（3）点P 在直线MN 上，当△P AC 周长最小时，P 点在什么位置，在图中标出P 点．【分析】（1）根据轴对称的性质即可作△ABC 关于直线MN 对称的图形△A 'B 'C '；（2）根据网格中最小正方形的边长为1，即可求△ABC 的面积；（3）根据两点之间线段最短，作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′C 交直线MN 于点P ，此时△P AC 周长最小．【解答】解：（1）如图，△A 'B 'C '即为所求；（2）△ABC 的面积为：12×3×2＝3； （3）因为点A 关于MN 的对称点为A ′，连接A ′C 交直线MN 于点P ，此时△P AC 周长最小． 所以点P 即为所求．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短．【变式7-2】（2020春•文圣区期末）已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、M 、N 都在格点上．（1）画出△ABC 关于直线MN 对称的△A 1B 1C 1．（2）在直线MN 上找点P ，使|PB ﹣P A |最大，在图形上画出点P 的位置，并直接写出|PB ﹣P A |的最大值．【分析】（1）利用网格特点，分别画出A、B、C关于直线的对称点A1、B1、C1即可；（2）由于P A＝P A1，则|PB﹣P A|＝|PB﹣P A1|，而|PB﹣P A1|≤A1B，当点P、A1、B共线时取等号，从而得到|PB﹣P A|的最大值．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，点P为所作，|PB﹣P A|的最大值为3．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，【变式7-3】（2020春•五华区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．（1）顶点A关于x轴对称的点的坐标A'（，），顶点C先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标C'（，）；（2）将△ABC的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1得△DEF，请你直接画出图形；（3）在平面直角坐标系xOy中有一点P，使得△ABC与△PBC全等，这样的P点有个．（A点除外）【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点A′的坐标，根据平移的性质可得点C′的坐标；（2）根据题意可得△ABC关于y轴对称的图形即为△DEF；（3）根据全等三角形的判定即可得点P．【解答】解：（1）∵A（﹣4，3），C（﹣2，5），∴A′（﹣4，﹣3），C'（1，3）；故答案为：﹣4，﹣3；1，3；（2）如图所示：即为所求；（3）△ABC与△PBC全等，这样的P点有3个．故答案为：3．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换、全等三角形的判定、作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称和平移的性质以及全等三角形的判定定理．【考点8 设计轴对称图案】【方法点拨】轴对称设计图案的关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【例8】（2020春•抚州期末）如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【解答】解：如图，共有10种符合条件的添法，故选：D．【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．【变式8-1】（2020•宁波模拟）请在如图四个3×3的正方形网格中，画出与格点三角形（阴影部分）成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四个图不能重复）【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的图形．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．【变式8-2】（2020春•禅城区期末）观察设计：（1）观察如图①、②中阴影部分构成的图案，请写出这2个图案都具有的2个共同特征；（2）借助后面的空白网格，请设计2个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的2个共同特征．（注意：新图案与已有的2个图案不能重合）【分析】（1）根据轴对称图形的定义以及图形的面积解答即可．（2）根据条件画出图形即可．【解答】解：（1）都是轴对称图形，面积都是4个小正方形的面积和．（2）符合题意他图案如图所示：【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式8-3】（2020春•兰州期末）如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形．并画出它的一条对称轴（如图例．画对一个得1分）。
如何轻松讲解轴对称图形教案
如何轻松讲解轴对称图形教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解轴对称图形的概念。
培养学生观察、分析和描述轴对称图形的能力。
引导学生运用对称性质解决实际问题。
1.2 教学内容轴对称图形的定义与特点。
轴对称图形的性质。
轴对称图形在实际中的应用。
1.3 教学方法采用问题驱动的教学方式，引导学生主动探究。
利用多媒体演示和实物模型，增强学生的直观感受。
分组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力。
第二章：轴对称图形的定义与特点2.1 教学目标让学生理解轴对称图形的定义。
培养学生识别轴对称图形的能力。
2.2 教学内容轴对称图形的定义。
轴对称图形的特点。
2.3 教学方法采用讲解和示例相结合的方式，让学生清晰地理解轴对称图形的定义。
引导学生通过观察和分析，发现轴对称图形的特点。
第三章：轴对称图形的性质3.1 教学目标让学生掌握轴对称图形的性质。
培养学生运用性质解决实际问题的能力。
3.2 教学内容轴对称图形的性质。
3.3 教学方法通过讲解和示例，让学生理解和掌握轴对称图形的性质。
设计练习题，让学生运用性质解决实际问题。
第四章：轴对称图形在实际中的应用4.1 教学目标让学生了解轴对称图形在实际中的应用。
培养学生运用对称性质解决实际问题的能力。
4.2 教学内容轴对称图形在实际中的应用。
4.3 教学方法通过实例讲解，让学生了解轴对称图形在实际中的应用。
设计实践题目，让学生运用对称性质解决实际问题。
第五章：总结与评价5.1 教学目标让学生回顾和总结轴对称图形的知识。
评价学生对轴对称图形的理解和应用能力。
5.2 教学内容总结轴对称图形的定义、性质和应用。
评价学生的学习成果。
5.3 教学方法通过问答和讨论，让学生回顾和总结轴对称图形的知识。
设计评价题目，评价学生对轴对称图形的理解和应用能力。
第六章：轴对称图形的绘制与展示6.1 教学目标让学生学会如何绘制和展示轴对称图形。
培养学生运用对称性质进行创作的能力。
6.2 教学内容轴对称图形的绘制方法。
小学数学五年级上册第二单元《轴对称再认识(一)》应用作业
【答案：CD A B C DA DCBE4.将轴对称图形折叠后会是什么样子？（）【答案： D 】C形的对称轴方格中的图案（）（填“是”或“不是”【答案：不是】一、选择正确的答案填在括号里。
1.根据轴对称的意义，判断基本图形中的轴对称图形 1.1 下面不是轴对称图形的是（ B ）A B C D1.3 下面不是轴对称图形的是（ C D ）1.4 下面是轴对称图形的是（ A B ）1.5 下面是轴对称图形的是（ A C ）2、根据轴对称的意义判断生活中的轴对称图形（B2） 2.1下面图形中是轴对称图形的是（ C D ）2.2下面图形中不是轴对称图形的是（A B E ）；A DC BA DC BA B C DA DCBE2.3下面图形中是轴对称图形的是（ A B C ）2.4下面图形中不是轴对称图形的是（D ）；2.5下面图形中不是轴对称图形的是（A B ）；3、根据轴对称图形特点找对称轴（C2）3.1有（ A ）条对称轴。
A. 2 B. 4 C. 8 D.无数 3.2下图中有两条对称轴的是（ A B）A DCBA DCBA DC B EA DC BA. 0B. 1C. 2D.33.4 有（ B ）条对称轴。
A. 2B. 4C. 8D.无数A ）条对称轴。
A. 0B. 2C. 4D.无数4.能根据轴对称图形的形状辨别对称后的形状4.1将轴对称图形折叠后会是什么样子？（ D ）4.2将轴对称图形折叠后会是什么样子？（ C ）4.3将轴对称图形折叠后会是什么样子？（ B ）4.5将轴对称图形折叠后会是什么样子？（ C ）5.判断基本图形中的轴对称图形（B1）5.1正方形（ B ）是轴对称图形。
A.可能B.一定C.不可能5.2平行四边形（ C ）是轴对称图形。
A.可能B.一定C.不可能5.3三角形( A )是轴对称图形。
A.可能B.一定C.不可能5.4梯形( A )是轴对称图形。
A.可能B.一定C.不可能5.5圆（ B ）是轴对称图形。
浅谈多重积分中的对称性问题
浅谈多重积分中的对称性问题【摘要】在求解多重积分的问题的时候,总会有一些特殊的情况是用一般的方法无法解决或者说很困难的,然而这些替米可以通过很特殊的对称性问题得以简便得解决,既方便又准确无误,本文将就多重积分求解中的对称性问题做一简短的总结归纳。
【关键词】二重积分三重积分对称性奇偶性1.二重积分中的对称性问题。
在计算二重积分的问题的时候,往往有些题目是通过一般方法无法解决的,而这些题目中会有一些题目是很特殊的对称性问题,通过使用固定的方法就能够迅速准确地算出答案,节省了时间,提高了效率和准确度。
1.1 积分域关于轴的对称。
1.1.1 关于x轴对称。
设D关于x轴对称()其中,1.1.2 关于y轴对称。
与关于x轴对称相似。
例1.1.1 计算:,解:添,分域为1.2 积分域关于原点对称。
与关于x轴对称相似。
1.3 积分域关于直线y=x对称(即轮换对称性)设D关于y=x对称,()例1.3.1 D:D1是D在x≥0部分,则(B)A.B.C.D.解:A.=0,C.,D.B.评注:D关于y=x对称。
例1.3.2 求其中解:区域D关于x,y轴均对称,对x,y均为偶函数。
,其中再用变量轮换对称性(把x与y互换,区域D1不变),于是因此,I=评注:D1关于y=x对称,于是。
例1.3.3 计算,其中S是球面在第一卦限中的部分。
解:直接化为二重积分计算。
由于所以记,则评注:本题使用了轮换对称性。
例1.3.4 计算,其中曲面S:, ; 是S向上的法向量。
解:由于,所以根据曲面S关于坐标面的对称性,得再由S关于x,y的轮换对称性,得因此I=0。
2.三重积分中的对称性问题。
三重积分往往相对较麻烦,和二重积分一样,一些特殊的有关对称性的问题可以通过一些特殊的方法迎刃而解,方便迅速又准确无误。
2.1 积分域关于面的对称。
2.1.1 积分域关于xoy面对称。
设Ω是空间中的有界闭区域,在Ω上可积。
若Ω关于xoy平面对称,则其中例2.1.1 ,解:Ω关于xoy面对称,关于z轴为奇函数,I=0。
1.3探索轴对称的性质——1.1认识三角形
知新篇一.轴对称的性质及其应用（1）轴对称的性质：①对应点所连的线段被对称轴 。
②对应 相等，对应 相等。
（2）如图是一个轴对称图形，直线AO 是对称轴， 则相等的线段有： = ， = 。
线段CD 被直线AO 。
量得30B∠，则∠E= 。
（3）设A 、B 两点关于直线MN 对称，则_____垂直平分______。
（4）等腰三角形是轴对称图形，它的底边被对称轴_________。
提醒：（1）对称轴上的点即是对应点所连线段的垂直平分线. （2）找准对应线段和对应角。
二.轴对称在实际中的应用 1.按边分类：图（1）是 三角形，图（2）是 三角形，图（3）是 三角形. 2.按角分类：图（1）是 三角形，图（2）是 三角形，图（3）是 三角形. 三.三角形的三边关系1.AB+AC BC, AB-AC BC.2.结论：三角形两边的和______第三边．三角形两边的差____第三边．【典例】【思路分析】判断三条线段能否组成三角形可根据三角形三边关系：“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行判断.最简单方法是：看较短两边的和是否大于最长边. 【解析】【点睛】在判断已知三条线段是否能够组成三角形，必须满足下列两个条件之一：（1）如果选最长边作第三边，则需判断其余两边之和大于第三边，（2）如果选最短边作第三边，则需判断其余两边之差小于第三边.三角形三边关系靓题拾贝三角形的三边关系：（1）三角形任意两边之和大于第三边．（2）三角形任意两边之差小于第三边．注意：这里的“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值． 一、 判断三条已知线段能否组成三角形【例1】已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是 （ ） A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，10解：选C ．对于A ，1+2=3，所以A 不能，对于B ，2+5＜8，所以B 不能，对于D ，4+5＜10，所以D 不能． 二、已知三角形的周长，判断三边能否组成等腰三角形【例2】将长度为12m 的一根铁丝，截成三段，能围成等腰三角形的是 （ ） A.8m ，2m ，2m B.7m ，2.5m ，2.5m C.6m ，3m ，3m D.1m ，5.5m ，5.5m 解：选D ．根据三边关系，三个选项A 、B 、C 均有两边之和小于或等于第三边． 三、已知三角形的两边长，求第三边取值的个数【例3】已知三角形的三边长分别是3、8、x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ） A.6个 B.5个 C.4个 D.3个解：选D ．根据三角形三边关系有：8-3＜x ＜8+3即5＜x ＜11，若x 为偶数，则x=6，8，10.1.探新知 预习乐园提素能 自测自评A B ECD O214版北师七上学案教用P12左上T22.如图，ABC △与A B C '''△关于直线l 对称，则B ∠的度数为（ ） A ．30B ．50C ．90D 100．3.下列图形中，哪一幅成轴对称（ ）4.已知三角形的三边长分别是3，8，x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ）A.6个B.5个C.4个D.3个5.为估计池塘两岸A 、B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取 了一点P ，测得PA=16m ，PB=12m ，那么AB 间的距离不可能是（ ）A.5mB.15mC.20mD.28m6.一辆汽车的牌号在水中的倒影如图所示，则这辆汽车的牌号应为______．7.如图，三角形纸片ABC ，10cm 7cm 6cm AB BC AC ===，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则AED △的周长为 cm ．8.两根木棒的长分别是8cm ，10cm ，要选择第三根木棒将它们钉成三角形，那么第三根木棒的长x 的取值范围是________.9.如图所示，在△ABC 中，D ，E 是BC ，AC 上的两点，连结BE ，AD 交于F ，（1）图中有几个三角形?并表示出来;（2）△BDF 的三个顶点是什么?三条边是什么? （3）AB 边是哪些三角形的边? （4）F 点是哪些三角形的顶点?10.一个等腰三角形的周长是36 cm ．（1）已知腰长是底边长的2倍,求各边的长； （2）已知其中一边长8cm ，求另外两边的长．11.已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ．（1）求第三边的取值范围； （2）已知第三边长是偶数，求第三边长；（3）求周长的取值范围．12.（全家总动员）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式"，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿出了一面镜子，就很快解决了这道题目，你知道她是怎样做的吗？答案探新知，预习乐园:一、1.互相重合 对称轴2.（1）（2）（4）（5）是轴对称图形，都有2条对称轴，（3）是轴对称图形，有无数条对称轴。
1.3设计轴对称图案_马继波
苏科版八上1.3《设计轴对称图案》教案
【百度搜索】双鱼吻莲①
【百度搜索】喜鹊登梅②
【百度搜索】双鱼枕③
问题：这两幅图形有什么共同特征？（它们都是轴对称图形）
你还见过哪些轴对称图形？
这些图形帖近生活，又给人以美的享受，人们常常利用轴对称设计
′
准备一组徽标、标志的轴对称图案，
让学生欣赏，同时提供设计素材。
要求贴近学生生活，突出运动主题，是轴对称图案。
小组合作，于下周一前各小组上交一份完成好的作
轴对称图形欣赏
【百度搜索】轴对称图形㈠。
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轴对称。
(教材第5、第6页)
1.结合欣赏民间艺术的剪纸图案,以及服饰、工艺品与建筑等图案,感知现实世界中普遍存在的对称现象。
2.通过折纸、剪纸、画图、图形分类等操作活动,体会对称图形的特征,能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。
3.培养学生的动手操作能力。
重点:感知现实世界中普遍存在的对称现象,掌握轴对称图形的特征。
难点:掌握轴对称图形的特征,能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。
课件、长方形纸、正方形纸、平行四边形纸。
师:同学们,你们看看这些图片画的是什么?(课件出示天安门、蜻蜓、蝴蝶、树叶图片)生:天安门、蜻蜓、蝴蝶、树叶。
师:你们看这些图形漂亮吗?你发现这些图形有什么特点呢?
生:这些图形如果沿着中间的一条线对折,两边的部分能够完全重合。
师:什么叫“完全重合”呢?
生:就是一模一样的两部分能够纹丝合缝地对折在一起。
师:像这样的图形我们就说是轴对称图形,在生活中有很多这样的图形,今天我们来研究这些图形。
【设计意图:引导学生观察具有轴对称特点的图片,吸引学生注意力,激发学生的探究兴趣,为新课教学营造良好的氛围】
1.教学例4。
师:请同学们从课本第113页剪下长方形、正方形和平行四边形,折一折,哪些是轴对称图形?
学生动手操作;教师巡视了解情况。
师:把你的发现跟大家说一说吧。
生1:长方形是轴对称图形。
生2:正方形是轴对称图形。
生3:平行四边形不是轴对称图形。
师:把长方形纸对折,使折痕两边完全重合,有几种不同的折法?试一试。
学生尝试动手操作并交流;教师巡视了解情况。
组织学生展示交流不同的折法,明确有两种不同的折法。
师:像这样对折,折痕所在的直线叫作轴对称图形的对称轴。
长方形有两种不同的对折方法,可见长方形有两条对称轴。
正方形有几条对称轴?你能折一折、画一画吗?
学生尝试折一折,画一画;教师巡视了解情况。
组织学生交流汇报并小结:正方形有4条对称轴。
明确:画对称轴要用虚线。
2.教学例5。
师:你能把下面的图形补全,使它成为一个轴对称图形吗?说说你是怎样想的。
(课件出示:教材第6页例5题)
学生可能会说:
·在对称轴右边依次画出与左边对称的另一半。
·先数格子,找出对应的顶点,再连接这些点,画出图形的另一半。
【设计意图:结合具体实例,引导学生动手操作,充分感知轴对称图形的特点。
在此基础上引导学生学习在方格纸上画轴对称图形,加深学生对轴对称图形的认识】
师:今天你有什么收获呢?
学生自由交流各自的收获或体会。
【设计意图:梳理所学知识,将所学知识系统化】
轴对称
像这样对折,折痕所在的直线叫作轴对称图形的对称轴。
长方形有2条对称轴。
正方形有4条对称轴。
平行四边形不是轴对称图形。
1.本课从学生感兴趣的具体的物体中,让学生自己发现问题、提出问题,体验探索成功的快乐;通过动手操作、小组讨论来解决自己提出的问题;通过有层次的练习,提高学生解决问题的能力,巩固所学知识。
本堂课我借助多媒体技术从学生熟悉的生活入手,以折纸活动入手,让同学们能直观地感受和认识轴对称图形的特点。
同时让学生体会关于数学的美。
2.教学时首先为学生展示彩色图片,为学生创设优美的学习情境,根据学生好动、好奇、好问的心理特征,设置悬念,激发学生的求知欲望,让每个学生都能进行积极的思考。
在引入课题的基础上,讲授新知识,让每个同学都动手操作,通过实验、观察,引导学生发现轴对称图形定义中的两点:一,它是一个能沿某一直线折叠的图形。
二,直线两旁的部分互相重合,并把这两个特征作为判断轴对称图形的标准。
在强化学生对轴对称图形定义理解的基础上,引导学生复习轴对称定义中的两点:①有两个图形,能够完全重合即形状大小都相同;②对重合的方
式有限制,也就是它们的位置关系必须满足一个条件:把它们沿某一直线对折后,能够完全重合。
最后通过小结,使知识成为“体系”,帮助学生全面地理解,掌握所学知识。
A类
请你认一认下面的图形哪些不是轴对称图形,把不是轴对称图形的圈出来。
(考查知识点:轴对称;能力要求:正确识别轴对称图形)
B类
下面的图形是轴对称图形吗?请你说一说自己的想法。
如果是轴对称图形,请画出对称轴。
(考查知识点:轴对称;能力要求:正确辨别轴对称图形并能画出轴对称图形的对称轴)
课堂作业新设计
A类:
不是轴对称图形:②③④
B类:
(不是轴对称图形)
教材习题
教材第6页“练一练”
1.
2.
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