角的轴对称性
1.4(2)角的轴对称性
角的轴对称性
角平分线上的点到角的两边距离相等． 角平分线上的点到角的两边距离相等．
几何语言： 几何语言：
平分∠ 平分 ， ∵OP平分∠MON， 点C在OP上，且CA⊥OM于A， 在 上 ⊥ 于 ， CB⊥ON于B， ⊥ 于 ， ＝ ． ∴CA＝CB．
M A C B P N
O
我们已经知道： 我们已经知道：
如果点P 如果点P在∠AOB的平分线上，那么点P到 AOB的平分线上，那么点P 的平分线上 边OA、OB的距离相等． OA、OB的距离相等． 的距离相等
反过来： 反过来：
如果点P在∠AOB的内部，且点P到边OA、 如果点P AOB的内部，且点P到边OA、 的内部 OA OB的距离相等，那么点P的位置如何呢？ OB的距离相等，那么点P的位置如何呢？ 的距离相等
4.到三角形的三个顶点距离相等的点是 到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A.三条角平分线的交点 三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 三条中线的交点 C.三条高的交点 三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 三条边的垂直平分线的交点
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D， 、如图， 平分∠ 中 平分 ， 于 ， DE⊥AB，DF⊥AC，且BD = DC，问EB = FC吗？ ⊥ ， ⊥ ， ， 吗 说明理由 A
在∠AOB的内部任取折痕上的一点P，分 AOB的内部任取折痕上的一点P 的内部任取折痕上的一点 别作P OA、OB的垂线段PC、PD， 别作P到OA、OB的垂线段PC、PD，再 的垂线段PC 沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ 沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ C O D A P B
PC与PD重合， PC＝PD． PC与PD重合，即PC＝PD． 重合
角的轴对称性教学反思
角的轴对称性教学反思
店头中学齐亚娟
本节课采用“创设情境—自主探究—合作交流—反馈测试”等
流程
一、重视情境创设，让学生经历求知过程。
本节课通过让学生画角、折角对称轴、猜想、验证角的平分线性质，然后运用全等三角形的知识加以论证。
使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目标。
其目的是引导学生积极参与课堂，积极投入到解题思路的探索过程中，通过合作学习引导学生深层次参与。
二、有效利用多媒体辅助教学，增加课堂教学效益。
在学生通过动手实践、猜想、概括等活动后，用电子白板演示角平分线上的点运动时，该点到角两边的距离的变化情况，进一步体会变化中的规律并快速反馈出相应的结论，为下一步的命题的归纳与概括、证明奠定基础。
课件的动态演示，对抽象思维能力偏弱的学生有了更好的帮助，有效促进学生从直觉思维到抽象思维的过渡。
三、注重对学生数学课堂学习过程的评价，尽可能做到充分理解和尊重学生的发言。
对正确的发言给予真诚的肯定，对不对的意见有意进行冷处理，创造机会让学生去争论。
学生能够在课堂上敢说、敢
议、敢评。
不足是有时过于急躁，应把更多的时间留给学生，让学生在课堂上有更多的时间去思考。
《线段、角的轴对称性》教案(4)
学会证明点在角平分线上．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
开场白
同学们，上节课我们知道了“角平分线上的点到角两边距离相等”，而且“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．这两个定理能用来解决什么问题呢？
回忆、思考．
点明课题，制造悬念，激发学生的学习热情．
例2已知：△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线上．
实行作业分层，便于不同发展水平的学生自我发展．
学生利用分析法填空；
阐述证明思路；
完成证明过程．
利用分析法引导学生学会分析问题，培养学生良好的思考习惯．
开放的分析过程，提供了多样化的思考路径．
指导学生完成练习．
解完题后，说说你的发现，提出你的问题．
练习：课本P56练习．
学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题”．
通过解决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系？
1．结合图形认真审题．
2．分析、讨论证明思路．
3．口述证明思路及证明过程．
4．讨论归纳得到结论：三角形
的三个内角的角平分线相交于一点．
运用例题引导学生逐渐学会综合利用性质定理和逆定理．
采用“要证，只要证”的思考方法引导学生逐步Байду номын сангаас会“分析法”．
本题是角平分线性质定理和逆定理的综合应用，实际上是例2的变式应用．
学生“一折，二画，三验证”有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性，再次鼓励学生使用逆推的思路寻找证明方法．
布置作业
课本P58-59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出过程．
八年级数学角的轴对称性知识点梳理及练习
角的轴对称性学习目标：1. 通过动手试验掌握角平分线的性质与判定；2. 理解角平分线与对称轴的关系；3. 掌握角平分线的性质及判定。
学习重点：角平分线的性质与判定的理解。
学习难点：运用角平分线性质及判定解决问题。
1.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＝PF.用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB2. 角平分线的画法角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC 即为所求.例题：已知：如图，AB ∥CD ，∠BAC 和∠ACD 的平分线交于点P ，试说明：点P 到AB 、CD 的距离相等.PDC BA【变式】已知：如图，BP 、CP 分别是△ABC 的外角平分线，PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 于点N ．求证：PA 平分∠MAN ．考点训练1. （2020·无锡市期中）如图，直线123l l l 、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处2.（2020春•凌海市期末）在正方形网格中，AOB ∠的位置如图所示，则点P 、Q 、M 、N 中在AOB ∠的平分线上是( )A ．P 点B ．Q 点C ．M 点D ．N 点3. （2020•南山区模拟）如图，ABC ∆中，5AB =，4AC =，以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、AC 于D 和E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于二分之一DE 为半径作弧，两弧交于点F ，连接AF 并延长交BC 于点G ，GH AC ⊥于H ，2GH =，则ABG ∆的面积为( )A ．4B ．5C ．9D ．104. （2020春•竞秀区期末）如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若两平行线AD 与BC 间的距离为4，则(PE = )A ．4B ．2C ．8D ．6【变式】（2020春•锦州期末）如图，//AB CD ，BE 和CE 分别平分ABC ∠和BCD ∠，AD 过点E ，且与AB 互相垂直，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若8AD =，则PE 的最小值为( )A ．8B ．6C ．5D ．45. （2020•开福区模拟）如图，点O 在ABC ∆内，且到三边的距离相等．若40A ∠=︒，则BOC ∠等于( )A ．110︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒6. （2019·南京市期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是( )A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确7. （2020春•南岗区校级期中）如图，在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC ∆的面积为221cm ，8AB cm =，6AC cm =，则DE 的长为 cm ．8 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，AC ＝15cm ，且CD ∶AD ＝2∶3，则点D 到AB 的距离为 ．CD BA9. 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝ ．10. （2020春•沙坪坝区期末）如图，OP 平分AOB ∠，PM OA ⊥于M ，点D 在OB 上，DH OP ⊥于H ．若4OD =，7OP =，3PM =，则DH 的长为 ．11. 如图所示，A 、B 是两个工厂，m 、n 是两条公路，现要在这一地区建一加油站，要求这个加油站到A 、B 两个工厂的路程相等、到两条公路m 、n 的距离也相等，是否存在同时满足这两个要求的地点？怎样找出这个地点？m n B A12. （2020春•岳阳期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，且E 为AB 的中点．（1）求B ∠的度数．（2）若5DE =，求BC 的长．13. 如图所示，OC 平分∠AOB，P 是OC 上一点，D 是OA 是上一点，E 是OB 上一点，且PD ＝PE ，试说明：∠PDO＋∠PEO＝180°.PO E D CB A思维拓展如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ）A ．11B ．5.5C ．7D ．3.5如图,△ABC 中,∠B =90∘，两直角边AB =7，BC =24，三角形内有一点P 到各边的距离相等，PE ⊥AB 、PF ⊥BC 、PD ⊥AC ，垂足分别为E. F. D ，求PD 的长。
1.4线段、角的轴对称性(1)教案
教案1．4线段、角的轴对称性(1)【学习目标】：1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质.【重点难点】：线段中垂线的性质和判定【预习指导】：自学课本18页到19页，回答下列问题并写下疑惑摘要问题1：线段是轴对称图形吗？为什么问题2线段的对称轴是什么？问题3已知线段MN=3cm ,直线l是MN的垂直平分线。
分别以M,N 为圆心，2cm的长为半径画弧，两弧相交于点G、H，并观察点G,H与直线l有什么关系?课堂活动活动一对折线段问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿例题：P18 例1这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？活动二用圆规找点问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线；2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿【典题选讲】：已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，.求DC的长【学习体会】：【课堂练习】：1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长？2.在下图中分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连结C 、D 交OA 于M ，交OB 于N,若CD=5厘米，求ΔPMN 的周长.3、滨海政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.C BA（ 编写者：李晓红）· BO A。
北师大版数学七年级下册《角的轴对称性》说课稿3
北师大版数学七年级下册《角的轴对称性》说课稿3一. 教材分析《角的轴对称性》是北师大版数学七年级下册的一节重要内容。
本节课主要让学生了解角的对称性，通过对称性来进一步理解角的概念。
教材从实际生活中的例子出发，引入角的对称性，然后通过大量的图片和实例，使学生直观地认识和理解角的对称性。
教材还设置了丰富的练习题，让学生在实践中巩固角的对称性知识。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们对数学已有一定的认识和基础。
但是，对于角的对称性，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，以生动有趣的实例引出角的对称性，让学生通过观察、思考、交流、实践等方式，理解和掌握角的对称性。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生了解和掌握角的对称性，能运用角的对称性解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、交流、实践等环节，培养学生的数学思维能力和动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们独立思考、合作交流的良好习惯。
四. 说教学重难点1.重点：角的对称性的概念及其运用。
2.难点：理解并掌握角的对称性的本质，能灵活运用角的对称性解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、情境教学法、实践教学法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、图片等，为学生提供丰富的直观信息，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际生活中的对称图形，如蝴蝶、树叶等，引导学生发现对称性的存在，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍角的对称性的概念，让学生初步认识角的对称性。
3.实例讲解：通过展示各种具有对称性的角，让学生观察、思考，引导学生发现角的对称性规律。
4.实践操作：让学生亲自动手，剪出具有对称性的角，并贴在黑板上，向大家展示。
5.讲解与练习：讲解角的对称性的性质和运用，让学生在实践中巩固知识。
6.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调角的对称性的重要性和运用。
第7讲线段与角的轴对称性
142
∴∠C＝∠A＝20°，∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠A＝70°． 故选：D．
学习，为了追寻更好的自己！
例 3、如图，在△ABC 中，DE 和 DF 分别是边 AB 和 AC 的垂直平分线，且 D 点在 BC 边上，
连接 AD，则∠BAC＝
°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C
学习，为了追寻更好的自己！
第七讲 线段与角的轴对称性
一、知识梳理
要点一、线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）：到线段两个端距离相等的点
在 线段的垂直平分线上． 要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
பைடு நூலகம்
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式 1】如图在△ABC 中 MP，NQ 分别垂直平分 AB、AC，若 BC 的长度为 9，则△APQ
的周长是
．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得出 AP＝BP，AQ＝CQ，求出△APQ 的周长＝BC， 再代入求出即可．
145
学习，为了追寻更好的自己！
【详解】
解：作 OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 OC，
∵点 O 为∠ABC 与∠CAB 的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
2.4线段、角的轴对称性(1)
lO PB AB A 课题：2.4线段、角的轴对称性 (1)主备：罗彬 课型：新授 审核：严玲凤班级 姓名 学号【学习目标】1．经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体会轴对称性的特征，发展空间观念。
2．探索证明线段的垂直平分线的性质。
3．运用线段的垂直平分线的性质解决相关问题。
【重点难点】重点：线段的轴对称性。
难点：线段的垂直平分线的性质及其应用。
【自主学习】读一读：课本P 51-P 52想一想:1．折纸使线段AB 两端点重合,并画出对称轴.2．对称轴上取一点P ，连接PA 、PB ，再沿对称轴对折，观察PA 、PB 有何数量关系？3．你能说明此结论的正确性吗？练一练： 利用网络画图中线段的垂直平分线【新知归纳】线段垂直平分线的性质：即：如图，∵直线l 是线段AB 的垂直平分线, 点P 在直线l 上∴ .【活动探究】例1.如图，己知AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AC 、AB 于D 、E 两点，若AB=12cm ，BC=10cm,求△BCE 的周长。
例2.如图，点A 、B 在直线m 的同侧，点B '是点B 关于m 的对称点，A B '交m 于点P ． ⑴A B '与AP+PB 相等吗？为什么？⑵在m 上再取一点Q ，并连接AQ 与QB ，比较AQ+QB 与AP+PB 的大小，并说明理由．河流外婆家小孩家 【课堂检测】1．如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，如果∠ECD=55°，那么下 列说法错误的是（ ）A ．EC=EDB ．EF ⊥CDC ．∠D=55°D ．EC=CD3．如图，有一条河，河岸的同一侧住着一个小孩和他的外婆。
小孩每天上学前要到河边提一桶水送给外婆。
问题（1）若他想到河边某一点去取水，使得所走的两段路程相等。
请你画出取水点P 的位置。
问题（2）若他想到河边某一点去取水，使得所走的路程最短。
请你画出取水点Q 的位置。
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6
随
练习
随堂练习
1、如图，在Rt△ABC 中， BD是∠B 的平分线 A E DE⊥AB，垂足为E， DE与DC 相等吗？ D 为什么？
B
C
思考 做完本题后，你对角平分线（垂直 平分线）又增加了什么认识? 角平分线与垂直平分线的性质，为我 们证明两线段相等 又提供了新的方法与 途径。
7
拓展练习 拓展 练习
4
做一做
（（ 1）在一张纸上任意画一个角∠ AOB沿角的 (3) 过点 折OA( 边的垂线， CD， 2） C 在折痕 即角平分线得到新的折痕 ) 两边剪下 ,将这个角对折，使角的两边重合。 上任意取一点 C; 其中点D 是折痕与 OA的交点， 即垂足。 B (4) 将纸打开，新的 E 折痕与OB 的交 C C 点为 E 。
1
线段的垂直平分线
线段 的对称轴 是这条线段的中垂线。
中垂线也叫 垂直平分线 。
O
A B
2
拓展练习
观察领悟作法，探索思考证明方法： C
A
B
D
3
【垂直平分线的性质 】
线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离相等。 到线段两个端点的距离相等的 点在线段垂直平分线上。 线段垂直平分线是到线段两个 端点的距离相等的所以的点的集合 。
14
角平分线与线段的 垂直平分线的性质，为 我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径。
拓展练习
B
P N
M C
10
拓展练习
你能在角平分线外找一点， 使它到角的两边的距离相等吗？
到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 角平分线是到角的两边距离相等 的所有的点的集合
11
拓展练习
任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、 OB，使OA=OB，过点B画OB的垂线，设 2条垂线相交于点P，点O在∠APB的平分 线上吗？你能说出理由？ P B O
尺规作角的平分线
A E G
观察领悟作法，探索思考证明方法：
C
F
B C
8
拓展练习 拓展练习
如图，在△ABC中，∠C等于900，AB 的中垂线DE交BC于D，交AB于E，连接 AD，若AD平分∠BAC，找出图中相等的 A 线段，并说说你的理由。
E C
B
D
9
某一个星期六，某中学初 一年级的同学参加义务劳动 ，其中有四个班的同学分别 在M、N两处参加劳动，另外 四个班的同学分别在道路AB 、AC两处劳动，现要在道路 AB、AC的交叉区域内设一个A 荼水供应点P ，使P到两条道 路的距离相等，且使 PM= PN，请你找出25,练习 1 、2 2.习题 1.4
13
感悟与反思
线段与角是轴对称图形； 线段的对称轴是 线段的垂直平分线； 角的对称轴是 角的平分线所在的直线；
线段的垂直平分线的性质—— 线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离相等。 角的平分线的性质—— 角的平分线上的点 到这个角的两边的距离 相等。
O
D B
A B
A A
5
想一想
角平分线的性质
B
D
CE=CD
角是轴对称图形， 角的对称轴是 角的平 分线所在的直线。
角的平分线 上的点到这个角的 两边的距离相等。
B
（1）角是轴对称图形吗？ 如果是，请找出它的 对称轴； （2）在上述的操作过 程中，你发现了哪些 线段相等？ O 说说你的理由。
E
C C A B A A A