1.4线段、角的轴对称性(1)
线段、角的轴对称性课件1
因为点P是线段AB的垂直平分线上的 点，所以PA＝PB ．
l P
1 A
2 O
B
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？ 为什么？请你画出图形，试着说明.
解：不相等.
l Q 1 2 B P
如图，在线段AB的垂直平分线l外任 取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q， 连接QB． 根据“线段的垂直平分线上的点到 线段两端点的距离相等”，因为点Q在 AB的垂直平分线上，所以QA＝QB． 于是PA＝PQ＋和大于第三边，
所以PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．
2.4 线段、角的对称性（1）
做一做
1．利用网格线画线段PQ的垂直平分线．
P
Q
2.4 线段、角的对称性（1）
做一做
2．如图，要在公路旁设一个公交车的
停车站，停车站应设在什么地方，才 能使A、B两村到车站的距离相等？ B村 A村
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
1．如图，在线段AB的垂直平分线l上 任意找一点P，连接PA、PB，PA与
l P
PB相等吗？证明你的结论．
2．像这样的点P还有吗？为什么？
1 A 2 O B
定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
2.4 线段、角的对称性（1）
定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
初中数学 八年级(上册)
2.4
线段、角的对称性（1）
2.4 线段、角的对称性（1）
做一做
在一张薄纸上画一条线段AB，操作并思考： 线段是轴对称图形吗？
A
B
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么?
1.4(2)角的轴对称性
角的轴对称性
角平分线上的点到角的两边距离相等． 角平分线上的点到角的两边距离相等．
几何语言： 几何语言：
平分∠ 平分 ， ∵OP平分∠MON， 点C在OP上，且CA⊥OM于A， 在 上 ⊥ 于 ， CB⊥ON于B， ⊥ 于 ， ＝ ． ∴CA＝CB．
M A C B P N
O
我们已经知道： 我们已经知道：
如果点P 如果点P在∠AOB的平分线上，那么点P到 AOB的平分线上，那么点P 的平分线上 边OA、OB的距离相等． OA、OB的距离相等． 的距离相等
反过来： 反过来：
如果点P在∠AOB的内部，且点P到边OA、 如果点P AOB的内部，且点P到边OA、 的内部 OA OB的距离相等，那么点P的位置如何呢？ OB的距离相等，那么点P的位置如何呢？ 的距离相等
4.到三角形的三个顶点距离相等的点是 到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A.三条角平分线的交点 三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 三条中线的交点 C.三条高的交点 三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 三条边的垂直平分线的交点
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D， 、如图， 平分∠ 中 平分 ， 于 ， DE⊥AB，DF⊥AC，且BD = DC，问EB = FC吗？ ⊥ ， ⊥ ， ， 吗 说明理由 A
在∠AOB的内部任取折痕上的一点P，分 AOB的内部任取折痕上的一点P 的内部任取折痕上的一点 别作P OA、OB的垂线段PC、PD， 别作P到OA、OB的垂线段PC、PD，再 的垂线段PC 沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ 沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ C O D A P B
PC与PD重合， PC＝PD． PC与PD重合，即PC＝PD． 重合
《线段、角的轴对称性》PPT课件 (同课异构)2022年苏科版 (12)
x 0, (16)x 4.
解:原不等式组无解. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
大大小小是无解
一般由两个一元一次不等式组成的不等式组的 解集，可以归结为下面四种情况：
上表可以找出规律，编为口诀：
①同大取大，同小取小；②大小小大取中间； ③大大小小是无解.
比一比：看谁反应快
运用规律求下列不等式组的解集：
A
M
N
B
E
F
C
例3.如图，已知一个锐角⊿ABC, （1）画出边AB、AC的垂直平分线m,n； （2）直线m,n交于点O，试说明点O到 ⊿ABC三个顶点的距离相等.
回顾与思考
线段是轴对称图形；
线段的对称轴是线段的垂直平分线和本身所在直线
∵ PO垂直平分AB.
l P
∴ PA = PB A
B O
线段垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等。
l P
A
B
O
∵ PO垂直平分AB.
∴ PA = PB
想一想
线段的垂直平分线外的点到线段两端
的距离相等吗？
l
P
Q
A
B
例1. 已知：如图，AB=AC=12 cm， BC＝7cm,AB的垂直平分线分别交 AC、AB于D、E，求△BCD 的周长.
A
E D
B
C
变式1. 已知：如图，AB=AC=12 cm，
x x
≥-2,
3
的负整数解是(
C
)
A. -2, 0, -1 , B. -2 , C. -2, -1,
D.不能确定.
(4)不等式组
x
x
≥-2, 的解集在数轴上表示为(
初中数学《线段、角的轴对称性》教案
初中数学《线段、角的轴对称性》教案教学课题：1.4线段、角的轴对称性(一)教学时间〔日期、课时〕：教材剖析：学情剖析：教学目的：1.阅历探求线段的轴对称性的进程，进一步体验轴对称的特征，开展空间观念；2 .探求并掌握线段的垂直平分线的性质；3.了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合；4 在〝操作---探求----归结----说理〞的进程中学会有条理地思索和表达，提高归结推理才干。
探求并掌握线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合教学预备«数学学与练»团体备课意见和主要参考资料页边批注加注名人名言苏州市第二十六中学备课纸第页教学进程一．新课导入效果1：线段是轴对称图形吗？为什么？探求活动：活动一对折线段效果1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？效果2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？二．新课讲授结论：1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴；2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(投影) 例题：例1P21(投影)这是一道文字描画的几何说理题，对大少数同窗来说容易了解，但不易表达，因此要做一定的剖析，如：你能读懂标题吗？题中哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？依据图形你能说明道理吗？活动二用圆规找点效果1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形〔保管作图痕迹〕，还能找出契合上述条件的点M吗？效果2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？契合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？结论：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线1.按课本上的方法在书上作出线段的垂直平分线；2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线加注名人名言苏州市第二十六中学备课纸第页一．稳固练习P23 习题1、2、3二．小结结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合这节课你学到了什么？页边批注加注名人名言板书设计作业设计书p17 3、4教学反思。
1.4 线段、角的轴对称性 练习(1)
学案1.4 线段、角的轴对称性知识与基础1、在下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A 、一条线段B 、两条相交直线C 、有公共端点的两条相等的线段D 、有公共端点的两条不相等的线段2、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。
其中轴对称图形共有（ ）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个3、如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，若∠1＝20º，则∠3＝______º；若PD ＝1cm ，则PE ＝_________cm. A AD C DPO E B B E C4、如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点E ，交AB 于点D ，△ACE 的周长为11cm ，AB ＝4cm ，则△ABC 的周长为__________cm.5、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°,BD 平分∠ABC CD ：AD ＝2：3，则点D 到AB 的距离为A D CPA B6、如图，直线交于点O ，点P 关于l 1、l 2的对称点分别为P 、P 。
（1）若l 1、l 2相交所成的锐角∠AOB ＝60°，则∠P 1OP 2＝_________；（2）若OP ＝3，P 1P 2＝5，则△P 1OP 2的周长为_________。
7、如图，在△ABC 中，AD 是边BC 的垂直平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
（1）AD 是∠BAC 的角平分线吗？为什么？（2）写出图中所有的相等线段，并说明理由。
应用与拓展8、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相垂直平分，交点为O ，写出图中所有相等的线段和相等的角，A O C并说明理由。
B9、“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l 1、l 2和两个城镇A 、B （如1 2 3图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置。
八年级数学《1.4线段、角的轴对称性》课件(第1课时)
A
0
BHale Waihona Puke L是AB的垂直平分线 AO BO AOP BOP 90 0 （理由：____________) 在AOP和BOP中 PO PO (____) _______(_____) _______(_____) ________(_____) ___ ___(_____)
性质2： 与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上.
P
A
0
B
∵ PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上
点P在线 段AB的垂 直平分线 MN上
P
PA=PB
M
A
性质1：线段的垂直平分线上的点到线段两端的 距离相等. 性质2：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点 的集合.
线段垂直平分线的性质
性质1：线段垂直平分线上的点到线段 两端的距离相等。 (书写格式)
P
∵点P是线段AB的垂直 平分线上的点
B
A
0
∴PA=PB(线段垂直平 分线上的点到线段两端 的距离相等
例1 如图，l是AB的垂直平分线，点P是l右
侧一点，你能判断PA、PB的大小吗？请说明 理由. l
P
Q
A 0 B
A D B E G F C
●本节课你还有哪些疑问?
与轴对称有关的问题
练习：
1. 如图，DE垂直平分BC，如果△ACD的 周长为17 cm，△ABC的周长为25 cm， 根据这些条件，你可以求出哪条线段的 长?
2. 已知：如图，AB=AC=12 cm， AB的垂直平分线分别交AC、AB 于D、E，△ABD的周长等于29 cm，求DC的长.
初中数学青年教师教学基本功比赛试题
初中数学青年教师教学基本功比赛试题基础知识测试题（南京下关）一、填空题（共6小题，每空0.5分，计10分）1．数学是研究________________________的科学，这一观点是由____________首先提出的．2．通过义务教育阶段的学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的____________、____________、____________、____________．3．维果斯基的“最近发展区理论”认为学生的发展有两种水平：一种是学生的___________发展水平；另一种是学生_________________发展水平，两者之间的差异就是最近发展区．4．从数学史上看，有理数的概念传入我国存在着翻译上的错误，其原意是_________数，包括______________小数和______________小数，______________的发现，引发了第一次数学危机．5．_________是概率论发展史上首先被人们研究的概率模型，它具有两个特征：一是_________、二是_______________．6．波利亚在其名著《怎样解题》中提出的解数学题的四个步骤是：_________________、_________________、_________________、_________________；他认为“怎样解题表”有两个特点，即普遍性和_____________性．二、简答题（共3小题，每小题5分，计15分）7．大约在公元前6世纪至4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三大尺规作图问题，这就是著名的古代几何学作图三大难题．请你简述这三大难题分别是什么？8．《义务教育数学课程标准》（2011年版）从知识与技能等四个方面对总目标进行了阐述．（1）请写出其他三个方面目标的名称；（2）请简述总目标的这四个方面之间的关系．9．“角平分线上的一点到角的两边距离相等”这一结论在苏教版义务教育数学教材八上的《1.4线段、角的轴对称性》以及九上的《1.2直角三角形全等的判定》中都有所出现．请你结合教学实际，简述课本上八上和九上分别是如何引导学生得到这一结论的，说说它们之间的区别、联系和这样安排的意义．参考答案：1．数量关系和空间形式．2．基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验．3．现有，可能的．4．成比例的数，有限，无限循环，无理数．5．古典概型，（试验结果的）有限性，（每个结果的）等可能性．6．弄清问题、拟定计划、实施计划、回顾反思；常识．7．三等分角问题：将任一个给定的角三等分．立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍．化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等．8．（1）数学思考、问题解决、情感态度；（2）四个方面是一个有机的整体；教学要兼顾这四个目标，这些目标的实现，是学生受到良好数学教育的标志；后三个目标的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现．9．八上《1.4线段、角的轴对称性》中是通过学生动手操作，采取折纸的方法折出角的平分线，再过角平分线上一点折出角的两边垂线段，然后度量这两条线段的长度得出结论的；九上《1.2直角三角形全等的判定》是通过严格的推理论证，采用自己画图、写已知、求证并证明得出结论的．它们的区别是，一个是通过动手操作，一个是通过严格证明．联系是，前面的学习为后面的学习作铺垫，在进行严格的证明之前，学生已经熟练地掌握了这一结论的运用．意义是，符合学生的认知发展规律，使学生的认知从感性上升到理性，既培养了学生的动手能力，又培养了学生的推理论证能力．符带说明：1．专业技能比赛包括基础知识测试和解题能力测试两部分．基础知识测试内容包括数学文化（数学史）常识和数学教育基础知识（教材、课程标准、教育学、心理学、教学论、教学法等）．解题能力测试内容包括基础题（教材中的基本定理、公式的证明，教材例题、习题、复习题）与综合题（与中考中档题难度相当）．2．第1、2、8题考查对《课标》学习和理解情况（称为课标板块）；第4、5、7题结合苏教版初中数学教科书的教学内容对数学史进行简单的考查（称为数学史板块）；第3、6、9题是对心理学、数学教育学、教材和教学法等相关知识的考查（称为综合板块）．2012年雨花台区小学数学青年教师教学基本功比赛教育教学知识常识比赛试卷（满分100分，时间60分钟）姓名成绩一、填空题：本大题共8个小题，共22个空，每空1分，共22分。
线段角的轴对称性
（二）新授
1、请同学们将事先准备的薄纸拿出来，在上面任意画一个角（∠AOB），折纸使两边OA、OB重合，你发现折痕与∠AOB有什么关系？
学生通过动手和讨论得到结论：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
2、在∠AOB的内部任意取折痕上的一点P，分别作点P到OA和OB的垂线段PC=PD，再沿原折痕折纸，会有什么结论？
完成练习P25、1
5、例题：任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B画OB的垂线，设2条垂线相交于点P，点O在∠APB的平分线上吗？为什么？
学生思考，回答，老师用课件给出证明过程：
点O在∠APB的平分线上。
因为OA⊥PA，OB⊥PB，且OA=OB，即点O到∠APB的两边的距离相等，
学生作图探究，可得到很多结论，如PC=PD，PC、PD关于折痕对称等等，点评学生的各种结论并强调重点：角平分线上的点到角的两边距离相等。
3、上节课我们已经学习了：若点P在线段AB的垂直平分线上，那么PA=PB，如果QA=QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上。今天我们又学了若点P在∠AOB的平分线上，那么点P到OA、OB的距离相等；反过来，你能提出什么猜想吗
所以点O在∠APB的平分线上。
理由是：到角的两边距离相等的点在这个角平分线上。
思考：点P也在AOB的平分线上吗?为什么？
完成练习P25、2
（三）小结：今天，我们学习了角的轴对称性，角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。角平分线上的点到角的两边距离相等。到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。角平分线是到角两边距离相等的点的集合。
课堂练习得分
1.如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，且CD = 5，则点D到AB的距离为.
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1．4线段、角的轴对称性(1)
【学习目标】：
1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；
2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质.
【重点难点】：线段中垂线的性质和判定
【预习指导】：
自学课本18页到19页，回答下列问题并写下疑惑摘要
问题1：线段是轴对称图形吗？为什么
问题2线段的对称轴是什么？
问题3已知线段MN=3cm ,直线l是MN的垂直平分线。
分别以M,N 为圆心，2cm的长为半径画弧，两弧相交于点G、H，并观察点G,H与直线l有什么关系?
课堂活动
活动一对折线段
问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？
问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
例题：P18 例1
这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？
活动二用圆规找点
问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？
问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？
结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线
1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线；
2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线
结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
【典题选讲】：
已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，.
求DC的长
【学习体会】：
【课堂练习】：
1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长？
E
2.在下图中分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连结C 、D 交OA 于M ，交OB 于N,若CD=5厘米，求ΔPMN 的周长.
3、滨海政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.
C B
A
（ 编写者：李晓红） · P B
O A。