高中数学含参线性规划题型知识点与解题规律技巧,含参线性规划典型例题讲解及答案解析
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，很多问题都可以归结为线性规划问题，例如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法1、图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解法来求解。
其步骤如下：（1）画出约束条件所对应的可行域。
（2）画出目标函数的等值线。
（3）根据目标函数的优化方向，平移等值线，找出最优解所在的顶点。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件所对应的可行域：对于$x ＋ 2y ＼leq 8$，当$x ＝ 0$时，＄y ＝ 4$；当$y ＝ 0$时，＄x ＝8$，连接这两点得到直线$x ＋2y ＝8$，并取直线下方的区域。
高三数学备考冲刺140分问题25线性规划中的参数问题含解析
问题25 线性规划中的参数问题一、考情分析线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值． 二、经验分享(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可． 3．目标函数中,x y 的系数均含参数【例3】设x ,y 满足约束条件221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,若目标函数的最小值为2,则ab 的最大值为 ． 【答案】41．【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形,最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”,缺一不可．【小试牛刀】设变量y x ,满足约束条件,且的最小值是20-,则实数=a ． 【答案】2±【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由图知,当经过点(2,2)A 时取得最小值20-,即,解得2a =±．4．目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是( )A ．[]52,22 B ．(]23,22 C ．(]52,23D ．【答案】D ．【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义,即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：,可看成可行域内的点(),P x y 与定点(),Q a b 两点连线的距离的平方,即；也可看成是以(),Q a b 为圆心为半径的圆,转换为圆与可行域有无公共点的问题．【点评】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是：一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错；三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. (三)目标函数及约束条件中均含参数【例6】设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y xy 下,目标函数my x z +=的最大值大于2,则m 的取值范围为（ ）．A ．()21,1+B ．()+∞+,21 C ．()3,1 D ．()+∞,3 【答案】B【小试牛刀】设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7,则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3 【答案】B五、迁移运用1．【陕西省西安市高新一中2019届高三一模】若满足，且的最小值为，则的值为（）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】由得，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小值为，即，则，当时，，即，同时也在直线上，代入可得，解得，故选D．6．【山东省聊城市第一中学2019届高三上学期期中】设，满足约束条件，若的最大值为，则的最小值为（）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】作出x，y满足约束条件所表示的平面区域，7．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知点(x，y)是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则（）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】B【解析】由目标函数的最大值为7，最小值为1，联立方程和，解得A(3，1)，B(1，－1)，由题意知A ，B 两点在直线上，所以解得a ＝－1，b ＝1.故选B.8.不等式组（1k >）所表示平面区域的面积为S ,则1kSk -的最小值等于（ ） A ．30 B ．32C ．34D ．36【答案】B【解析】,所以,当且仅当2k =时取等号,所以选B. 13.三个正数a,b,c 满足,,则ba的取值范围是（ ） A ．23[,]32 B ．2[,2]3 C ．3[1,]2D ．[1,2] 【答案】A14.已知x ,y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时,目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( ) （A ）[6,15] （B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]【答案】D ．【解析】当3s =时,对应的平面区域为阴影部分,由y x z 23+=得,平移直线由图象可知当直线经过点C 时,直线的截距最大,此时3,24x y y x +=⎧⎨+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩,即(1,2)C ,代入y x z 23+=得7z =．当5s =时,对应的平面区域为阴影部分ODE,由y x z 23+=得,平移直线由图象可知当直线经过点E 时,直线的截距最大,此时024x y x =⎧⎨+=⎩解得04x y =⎧⎨=⎩,即(0,4)E ,代入y x z 23+=得8z =．∴目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是78z ≤≤,即[7,8],选D ．15.已知y x ,满足约束条件,若恒成立,则实数k 的取值范围为 . 【答案】6≥k16．【北京市朝阳区2018年高三一模】已知实数,x y满足若取得最小值的最优解有无数多个,则m的值为__________．【答案】1【解析】z mx y=+可化为y mx z=-+,0m-<, z取得最小值,则直线l的截距最小,最优解有无数个,即l与边界AB重合,故1m=,故答案为1.22．若不等式组126axyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形,则实数a的取值范围是_______．【答案】()3,5．。
高考数学热点问题专题练习——线性规划作图与求解知识归纳及典型例题分析
线性规划——作图与求解一、基础知识（1）线性约束条件：关于变量,x y 的一次不等式（或方程）组（2）可行解：满足线性约束条件的解(),x y（3）可行域：所有可行解组成的集合（4）目标函数：关于,x y 的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：① 竖直线x a =或水平线y b =：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断 ② 一般直线()0y kx b kb =+≠：可代入()0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。
例如：不等式230x y -+≤，代入()0,0符合不等式，则230x y -+≤所表示区域为直线230x y -+=的右下方③ 过原点的直线()0y kx k =≠：无法代入()0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。
例如：y x ≤：直线y x =穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。
考虑第四象限的点0,0x y ><，所以必有y x ≤，所以第四象限所在区域含在y x ≤表示的区域之中。
（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件(),0F x y >（或(),0F x y <）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件(),0F x y ≥（或(),0F x y ≤）边界能取值时，在图像中边界用实线表示3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设,a b 为常数）① 线性表达式——与纵截距相关：例如z ax by =+，则有a z y x b b =-+，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意b 的符号，若0b >，则z 的最大值与纵截距最大值相关；若0b <，则z 的最大值与纵截距最小值相关。
含参数的线性规划问题
线性规划
由目标函数几何意义求参数
3x y 6 0
【例3】(2009·山东)设x，y满足约束条件
x
y
2
0
，
x 0, y 0
若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，则 2 3 的最
ab
小值为( )
(A) 25 (B) 8 (C)11 (D)4
含参数的线性规划问题 专题讲座
深圳市民办学校高中数学教师 欧阳文丰制作
平面区域与目标函数
复习回顾 目标函数的几何意义
1. z ax by 直线型，z表示纵截距的b倍 2. z ax by 点到直线距离型
3. z OA OB 转化为坐标形式或投影 4. z y b 斜率型
6
3
3
线性规划
x y 2
【 练 习2】 已 知x, y满 足 不等 式 组 y x 0,
x
0
目 标 函数z ax y只 在(1,1)处 取 最小 值 ，
则 有( )
A. a 1 B.a 1 C. a 1 D. a 1
线性规划
【练习3】(2010·安徽)设x,y满足约束条件
A. 5, 10 B.5，10 C. 0，5 D. 0，10
线性规划
【 练 习4】 已 知 函 数f ( x) 1 x3 1 ax2 bx 32
在 区 间 1,3上 单 调 递 减 ， 则a2 b2的 最 小 值 是__1__3____.
线性规划
【例5】已知函数y f ( x)在R上单调递增，函数 y f ( x 1)的图像关于点(1,0)对称，若对于任意 的x, y R,不 等 式f ( x2 6x 21) f ( y2 8 y) 0 恒 成 立 ， 则 x2 y2的 取 值 范 围 是________.
高考数学命题热点名师解密专题：线性规划求解技巧(理)含答案解析
专题35 线性规划求解技巧一．【学习目标】1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．2．掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合．二．【知识要点】1．二元一次不等式表示的平面区域(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)在平面直角坐标系中，设直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则①若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P(x0，y0)在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的上方的区域．②若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．③若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分．2．线性规划相关概念3.一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．解线性规划问题的一般步骤：审题、设元——列出约束条件(通常为不等式组)——建立目标函数作出可行域求最优解．三．解题方法总结1.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法 第一种：若用y ＝kx ＋b 表示的直线将平面分成上下两部分0(B ≠0)表示的直线将平面分成上下两部分不等式 B ＞0B ＜0Ax ＋By ＋C ＞0 表示直线上方的半平面区域 表示直线下方的半平面区域 Ax ＋By ＋C ＜0表示直线下方的半平面区域表示直线上方的半平面区域联系：将第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括.2.线性规划问题求解策略(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下： ①作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；②移：由z ＝ax ＋by 变形为y ＝－a b x ＋z b ，所求z 的最值可以看成是求直线y ＝－a b x ＋zb 在y 轴上的截距的最值(其中a ，b 是常数，z 随x ，y 的变化而变化)，将直线ax ＋by ＝0平移，在可行域中观察使zb 最大(或最小)时所经过的点；③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值； ④答：写出最后结论.(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解. 四．典例分析例1．设满足约束条件，则的最大值是A ．0B ．4C ．5D ．6 【答案】D由，解得，即，此时，故选D．【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.学-科网-练习1．已知实数x,y满足，若不等式ax-y>0恒成立，则实数a的取值范围为( )A．（－∞，）B．（4，＋∞）C．（，4）D．（，4）【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：若ax﹣y＞0恒成立即y＜ax恒成立，即平面区域在直线y＝ax的下方即可．即A（1，4）在y＝ax的下方或在直线上即可，即a＞4，故选：B．练习2．若满足则的最小值等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由，满足作出可行域如图，即为线段AB，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在轴上的截距最小，有最小值为，故选：B．（二）含绝对值的不等式=+的最大值是__________．例2. 设,x y满足约束条件，则z x y【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由图形得，当0,0x y ≥≥时，，且当直线经过点()0,2A 时z 有最大值2，故可得z x y =+的最大值为2． 答案：2练习1．已知实数x ， y 满足条件，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数可变形为z=2x+y,即2y x z =-+，求截距的最小值，过点C(2,1)时， min 5z =，选C.【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型： ，与直线的截距相关联，若0b >，当zb的最值情况和z 的一致；若0b <，当zb的最值情况和z 的相反；（2）斜率型：与(),x y 的斜率，常见的变形：，，.（3）点点距离型：表示(),x y 到(),m n 两点距离的平方；（4）点线距离型：表示(),x y 到直线的距离的.练习2．若实数,x y 满足，则21x y ++的取值范围是（ ）A ．[]0,4B ．[]1,3C ．[]2,6D ．[]0,3 【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域如图．令2z x y =+ ，则，则12z 表示直线2z x y =+在y 轴上的截距，截距越大， z 越大 由题意可得12A -（，） ，此时12C -（， ）又可行域过点B 时， z 最大，过点D 时z 最小，，，则故选A3．若实数满足不等式组，则的最大值是（ ）A ．15B ．14C ．11D ．10【答案】B【解析】由题可知，作出目标函数的可行域，如图所示，由知，当目标函数经过点取得最大值，即，故选B．（三）与圆有关的线性规划例3．设满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，取得最小值，此时直线方程为，由点到直线的距离公式得，（取负值），即的最小值为.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，表示的是圆心为，半径为的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数，由于，当直线截距最大时，取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.练习1．若点满足，点在圆上，则的最大值为A．B．C．D．【答案】A【解析】根据所给不等式组，画出可行域如下图所示因为在圆上，所以即求可行域内到点距离加半径即可由图可知，可行域内点（1，1）到点（-2，3）的距离最大，所以，所以PQ最大值为5+1=6所以选A练习2．设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为A．B．C．D．【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，圆：表示以为圆心，半径为的圆，由图可得，当半径满足或时，圆不经过区域上的点，，当或时，圆不经过区域上的点，故选练习3．若，则函数的最小值等于______．【答案】故答案为：（四）目标函数为平方和例4．已知满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】由已知得到可行域如图：目标函数的几何意义是区域内的点到原点距离，所以原点到图中OP的距离即为所求，d，所以目标函数的最小值为：；故选：B．练习1．若实数，满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,而表示正方形及其外部（如图），所以的最小值为点（1，0）到AB：y=-x+2的距离平方减去1，即,选D.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.（五）分式型目标函数例5.已知实数x,y满足，则的取值范围是__________.【答案】【解析】∵实数x，y满足x2﹣4x+3+y2＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，表示以C（2，0）为圆心，半径等于1的圆．则1，表示圆上的点M（x，y）与定点A（1，﹣3）连线的斜率k加上1，如图．当切线位于AB这个位置时，k最小，k+1最小．当切线位于AE这个位置时，k不存在，k+1不存在．设AB的方程为y+3＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣3＝0，由CB＝1，可得1，求得k．而AE的方程为x＝1，故k+1的范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．练习1．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，设，结合图形可得或，由题意得点A,B的坐标分别为，∴，∴或，∴的取值范围为．故选D．练习2．若变量满足约束条件则的最大值是（）A．B．0C．1D．2【答案】C【解析】由约束条件作出可行域如图：表示可行域内的点与定点连线的斜率，由图像易知，点与定点连线的斜率最大，由得，所以的最大值是.故答案为1练习3．若实数x，y满足不等式组，则目标函数的最大值是A．1B．C．D．【答案】B【解析】实数x，y满足不等式组的可行域如图：目标函数；的几何意义是可行域内的点与连线的斜率，目标函数的最大值转化为的最小值，由图形可知最优解为，所以目标函数的最大值是：．故选：B．练习4．已知满足不等式组，若，则的取值范围为___.【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图：由得：，所以表示点到点距离的平方。
含参的线性规划问题
x 0 （3）点M（a, b)在 y 0 区域内， x+y 2 求N(a+b,a-b)所形成区域的面积
x y0 （4）不等式组 2 x y 2 y 0 x ya
表示的平面区域是一个三角形，则 取值范围是 D
4 D.0 a 1或a 3
命题点3 区域图形与面积
x+y-1 0 例3、（1）若不等式组 x-1 0 ax-y+1 0 所表示的平面区域的面积等于2，求a
1 1
D
x 0 例3（2）已知a>0，b 0，且 y 0 , x y 1 恒有ax+by 1,求点（a,b)所成区域的面积
含参数的线性规划（一）
平面区域与目标函数
复习回顾
目标函数的几何意义
直线型， z表示纵截距的 b倍 1. z ax by 2. z ax by+c 点到直线距离型 转化为坐标形式或投影 3. z OA OP yb 斜率型 4. z xa 2 2 5. z x y Dx Ey F 两点间距离型 2 2 6. z x y Dx Ey F 圆型 (距离平方 )
线性规划
由区域求参数
【 例1】 ( 2013 新 课 标 II )已 知a 0, x , y满 足 约 束 条 件 x 1 1， 则a ( ) x y 3 , 若z 2 x y的 最 小 值 为 y a ( x 3) 1 A. 4 1 B. 2 C.1 D. 2
4 A.a 3 B.0 a 件中含有参数时，注意直线是定点直线系、 • 还是平行直线系，使直线初步稳定。 • 2、目标函数中含有参数时，注意分析目标函数的 • 几何意义。 • 3、在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合 • “可行域”将“恒成立”加以控制；或者转化为目标函 • 数的最值问题。
【备战高考_数学】高三数学复习提升专题：线性规划中的参数问题(解析版).doc
问题二线性规划中的参数问题简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型:(1)平面区域的确定问题；(2)区域面积问题;(3)最值问题；(4)逆向求参数问题.而逆向求参数问题，是类型一标函数中含参数线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值.若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点(即最优解)，将点的坐标代入目标函数求得参数的值.1.目标函数中兀的系数为参数x+y-2<0【例1】x , y满足约束条件兀—2y — 2S0，若z = y-ax取得最大值的最优解不唯一，2x-y+2>0则实数a的值为 ___________ .【答案】2或-1【解析】如虱画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线严做，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线y =的斜率，要与直线2x-p + 2 = 0或x+p-2 =0的斜率相等…•.° = 2或-1・【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系•通过本题应进一步明确两点:(1)线性规划问题可能没有最优解；(2)当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时,线性规划问题可以有无数个最优解.x-y>Q【牛刀小试】已知满足约束条件r+)V2，若z = ox+y的最大值为4 ,则y>0a = _________ .【答案】2【解析】将化为》作出可行域(如團所示力当心0时，当直线v = -ar+z向右下方平移时，直线v = -ar+z 在p轴上的截距z减少，当直线y = -^+z过原点时，=0 (舍力当。
> 0时，当直线》，=-妙+z向右上方平移时，直线y = -ax+z在v轴上的截距z増犬，若-1<-^<0, 即0<必1时，当直线公+z过点鸟(1」)时，z 适之+ 1=4,解得。
=3(舍力当一。
含有参数的线性规划问题及其解法
边界直线的交点, 并且取得该最值时的目标函数所表示的直
线也经过这个交点, 此时形成三线共点的态势. 若最优解不
唯一, 则取得该最值时的目标函数所表示的直线必与某一边 界直线重合. 以上两点经验直取核心在解决线性规划的最值
等有关问题时具有很好的指导作用.
2. 目标函数含有参数
x + 2y − 3 0,
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中学数学研究
2019 年第 3 期 (上)
含有参数的线性规划问题及其解法
浙江省绍兴市柯桥区钱清中学 (312025) 王红娟 湖北省阳新县高级中学 (435200) 邹生书
线性规划问题通常是指在线性约束条件下求线性目标 函数的最值问题, 其求解方法就是图解法. 根据二元不等式 组的解与坐标平面内点的对应关系, 将约束条件转化为平面 区域, 然后利用目标函数的几何意义求最优解和最值. 线性 规划问题将函数、方程、不等式和最值融为一体, 将代数与解 析几何有机联合, 将函数方程、数形结合和化归转化等数学 思想深透到问题的解决过程之中, 因此线性规划问题成为考 查考生能力和综合素养的良好载体. 其中含有参数的线性规 划问题, 对考生能力方面的要求更高, 从而使得问题难度大 增. 笔者通过统计发现含有参数的线性规划问题在高中较为 少见, 但在高考模拟考和联考中却风起云涌屡见不鲜, 下面 主要以模拟考试的题目为例, 分类解析这类问题的解法.
方法二 若二元一次不等式可化为 y > kx + b, 则其表
示的平面区域为直线 y = kx + b 的上半平面, 反之为该直线
的下半平面. 若二元一次不等式可化为 x > my + n, 则其确 定的平面区域为直线 y = kx + b 的右侧半平面, 反之为该直