第七讲 弗赖登塔尔的数学教育理论.

第三级则是指出某个数学概念或是描述 了某个数学过程的特征，由此引进新的数学 概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供 的现实背景材料已经从通常的具体客观世界 中抽象出来。 (数学问题的模型化)
综上所述，弗赖登塔尔提的“数学现实” 原则，和我们通常所说的理论联系实际有原 则的区别，有其独特的含义和理论深度，值 得我们借鉴。
第七讲 弗赖登塔尔的数学教育理论
西华师范大学数学与信息学院 杨孝斌
1. 生平及贡献
Hans Freudenthal（1905-1990年）,荷兰数学家和数学教育家,
生于德国. 1930年获柏林大学数学博士学位； 1946年起任荷兰Utrecht 大学教授； 1951年起为荷兰皇家科学院院士； 1967年当选为国际数学教育委员会主席； 1971-1976年任数学教育研究所所长；
如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动 的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系， 割断了与外部现实的密切关系，那必然会给 数学教育带来极大的损害。“新数”运动的 失败就是个明证。
如何理解“现实”？ 不同的社会需要是否就是“现实”？
每个人的“数学现实”是一样的吗？
数学教育应为不同的人提供不同的数学修养， 从而为每个人培养适合于他所从事的不同专 业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有 关的各种数学问题。为此，弗赖登塔尔的一 个基本结论是：每个人都有自己生活、工作 和思考着的特定客观世界以及反映这个客观 世界的各种数学概念、它的运算方法、规律 和有关的数学知识结构。
《除草与播种———数学教育学的序言》；
《数学结构的教学法现象》；
《数学教育再探———在中国的三次讲学》
2. 弗赖登塔尔的数学教育观
——情境问题是教学的平台 ——数学化是数学教育的目标 ——学生通过自己努力得到的结论和创造是
教育内容的一部分 ——“互动”是主要的学习方式 ——学科交织是数学教育内容的呈现方式
主要工作：
1967年当选为国际数学教育委员会主席；
单独举行国际数学教育大会（ICME－1， 1969．法国．里昂）；
提倡数学教育的科学研究； 创办ICME的理论刊物——《Educational
Studies in Mathematics（数学教育研究）》
主要数学教育论著：
《作为教育任务的数学》；
过学生的实际感受而形成概念。
以学习平行四边形概念为例，教师可以出示一系列的平行 四边形的图形或是实际例子，告诉学生这些就是“平行 四边形”，让学生自己进行比较、分析、研究。 在经过反复的观察与思考后，他们就会发现“平行四边形” 的许多共同性质，如：对边平行、对角相等、邻角互补、
对角线互相平分等等，接着就会进而发现这些性质之间
现实数学教育的数学化有两种形式：
一是实际问题转化为数学问题的数学化，即
发现实际问题中的数学成分，并对这些成分 作符号化处理；
二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴
之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化 处理。
实际问题转化为数学问题的基本流程是：
确定一个具体问题中包含的数学成分； 建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联 系； 通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公 式化； 找出蕴Hale Waihona Puke Baidu其中的关系和规则； 考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现； 作出形式化表述。
形成数学教育是一种人类活动的看法。
小
结
弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教育学+数 学例子”式的论述，而是抓住数学教育的特 征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数 学现实”、“数学化”、“数学反思”、 “再创造”、“思辨数学”等诸多特有的概 念.
每一个概念以及他的每一个想法，都值得我们 去思考、去领悟、去实践……

(3) 什么是“再创造”？
弗赖登塔尔认为存在两种数学，一种是现成的或 已完成的数学，另一种是活动的或者创新的数学。
完成的数学在人们面前以形式演绎的面目出现， 它完全颠倒了数学的思维过程和实际创造过程， 给予人们的是思维的结果；活动的数学则是数 学家发现和创造数学的过程的真实体现，它表 明了数学是一种艰难曲折又生动有趣的活动过 程。
根据弗赖登塔尔提出的应该让每个人在学习数 学的过程中，根据自己的体验，用自己的思 维方式，重新创造有关的数学知识的观点。 那么数学课堂应以探究为主要任务，最终达 到自主发现。
(3)强调反思，提升学生思维能力
作为老师，最根本的任务是教会学生如何学习，也就
提倡按“再创造”原则来进行数学教育，就是基于以
上原理，弗赖登塔尔认为可以从教育学的角度来找 到这一做法的合理根据，至少可以提出以下三 点： (1)通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人
硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，
一般来说还可以保持较长久的记忆。 (2)发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学 习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。 (3)通过“再创造”方式，可以进一步促进人们
(2) 什么是“数学化”？
弗赖登塔尔的名言是：与其说是学习数学，还
不如说是学习“数学化”；与其说是学习公
理系统，还不如说是学习“公理化”；与其
说是学习形式体系，还不如说是学习“形式
化” 。
人们运用数学的方法观察现实世界，分析 研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过 程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世 界的过程就是数学化。
1987年12月应邀来上海华东师范大学讲学，并先后三次来中国。
弗赖登塔尔是著名数学家布劳威尔的学生，早年从事纯粹数学研 究，以代数拓扑学和李群研究方面的杰出工作进入国际著名 数学家的行列，曾任荷兰数学会的两届主席．
弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父”
“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶 Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。” ——加亨(Kahane)教授
数学教学要联系学生的实际，这个实际要立足于学生 现有的水平，并以超越学生现有水平为目的，使学 生感觉到数学的有用之处，这才是数学教学中运用 “数学现实”的关键点。
(2)注重学生的数学化过程，提倡探究教学
学生“数学化”的过程，就是将学生的数学现实进一
步提高、组织、抽象的过程。
它可以分为五个水平：直观阶段、分析阶段、抽象阶 段、演绎阶段和严谨阶段。这一思维水平是根据儿 童思维发展与学习过程提出的，故而不是要求每个 学生都要一次完成所有阶段。数学教学中不能过分 强调公理化的演绎和形式化的证明，而应符合学生 的年龄特征 。
学家的数学现实可能就要包含Hilbert空间的算，
子、拓扑学以及纤维丛等等。
数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观
世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段
必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际
拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富， 予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学 现实”的程度并扩充其范围。
的联系，可以由一个性质出发推出其它的性质，在教师 的引导与学生间相互讨论的基础上，学生就不仅掌握了 平行四边形的概念，同时也理解了形式定义的含义以及 各种相关性与等价定义的概念.
也就是说，学生通过自己的实践活动学会了怎 样定义一个数学的概念，对于定义的必要性 与作用都会有更深的体会，通过这样的“再 创造”方式进行的概念教学，显然比将一个 现成的定义强加给学生要有效得多.
这就是说，每个人都有自己的一套“数学现 实”。
从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的
事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是 “现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有 自己所接触到的特定的“数学现实”。 大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几 何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉 某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数
由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同阶段又有 特定的数学现实，弗赖登塔尔认为，在现实背景材 料的使用上有下述三种不同的水平：
第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学 运算，只要通过简单的变换或过渡，就可以从实际 问题求得相应的数学问题。在这里，具体的现实问 题起着核心作用。 (数学知识的简单应用) 第二级是提出了某个现实问题，希望学生能够 找出与之有关的数学，加以组织，建立结构，从而 解决问题。这里需要运用数学作为工具来组织现实 问题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质 性的作用。 (生活数学的数学化)
伟大的教育家夸美纽斯有一句名言：“教一个活动的 最好方法是演示。”他主张要打开学生的各种感觉 器官，那就不仅是被动地通过语言依赖听觉来吸收 知识，也包括眼睛看甚至手的触摸及动作。
弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为“学一个活动 的最好方法是实践”，这样提法的目的是将强调的 重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动， 并且从感觉的效应转为运动的效应。就象游泳本身 也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示范动作， 但更重要的是他必须下水去实地练习，老是站在陆 地上是永远也学不会游泳的。
三、数学化——数学地组织现实世界的过程
实际 析出 数学 符号化 具体 抽象化 问题 成分 模型
新概念 系统化 一般模型 新方法
形式 系统
„„
应 水平数学化
用 数学化
垂直数学化
数学化，是一个由浅入深，具有不同层次、不断发展 的过程。
数学化，是一个由浅入深，具有不同层次、不断发展的 过程。
数学化的对象：水平数学化——生活数学的数学化 垂直数学化——数学问题的进一步抽象 水平数学化，形成数学概念、运算法则、规律、定理， 以及为解决实际问题而构造的数学模型；垂直数学化， 形成数学概念、运算法则、规律、定理，以及不同层 次的公理体系和形式体系。
概括为：
现实、数学化、再创造
(1) 何谓数学教育中的“现实”？
数学教育中的现实——数学来源于现实，存
在于现实，应用于现实，而且每个学生有各
自不同的“数学现实”.
数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学
现实，并在此基础上发展他们的数学现实.
弗赖登塔尔坚持主张：数学教育体系的内容应 该是与现实密切联系的数学，能够在实际中 得到应用的数学，即“现实的数学”。

从符号到概念的数学化的基本流程是：
用数学公式表示关系； 对有关规则作出证明； 尝试建立和使用不同的数学模型； 对得出的数学模型进行调整和加工； 综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型； 用已知数学公式和语言尽量准确地描述得到的新概 念和新方法； 作一般化的处理、推广。
数学教学的本质就是培养学生从已有的“数学现实” 发展到更高层次的“数学现实”
一些具体的例子如下：通过公共汽车上下车人数的变化引 入整数的加减法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽 车、骑自行车或步行等多种交通工具以及途中出现的各 种情况，介绍各种类型的图象表示、解析表示，进一步 可介绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商 店出售各种不同牌子、不同规格的商品所获得的利润计 算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以及根 据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规 律的正弦函数及其性质；或者从物质的生长率引进指数 函数概念，从而导出对数函数等。
弗赖登塔尔所说的“再创造”，其核心
是数学过程再现。
学生“再创造”学习数学的过程实际上
就是一个“做数学”的过程。
教师的任务是引导和帮助学生去进行这
种再创造的工作。
日常生活中，象“狗”、“椅子”等概念，都
不需要事先给以严格的定义，儿童通过实际
接触，自然地形成了概念。
数学中的一些东西，同样来自现实，也可以通
3.弗赖登塔尔数学教育思想对中学数学教育的启示
(1)数学教学要立足于数学现实，着眼于超越现实
按照数学源于现实，也必须寓于现实，并且用 于现实的弗赖登塔尔“数学现实”思想，数
学教学必须紧密联系实际。
数学教学必须联系实际，而且要应用于实际。为了达 到这个目的，教师可以从几个方面努力：破除思维 定势，主动树立联系实际的意识，并且要落到实处； 作为老师，要加强数学史的学习，数学史是数学和 现实结合的历史，从这出发能更好的把握数学的逻 辑；引入生活中的新鲜例子，这就要求老师要关心 周围的事物，了解他学科知识背景，并能从中抽象 数学问题。