第七讲 弗赖登塔尔的数学教育理论.
伟大的教育家夸美纽斯有一句名言：“教一个活动的 最好方法是演示。”他主张要打开学生的各种感觉 器官，那就不仅是被动地通过语言依赖听觉来吸收 知识，也包括眼睛看甚至手的触摸及动作。
弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为“学一个活动 的最好方法是实践”，这样提法的目的是将强调的 重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动， 并且从感觉的效应转为运动的效应。就象游泳本身 也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示范动作， 但更重要的是他必须下水去实地练习，老是站在陆 地上是永远也学不会游泳的。
主要工作：
1967年当选为国际数学教育委员会主席；
单独举行国际数学教育大会（ICME－1， 1969．法国．里昂）；
提倡数学教育的科学研究； 创办ICME的理论刊物——《Educational
Studies in Mathematics（数学教育研究）》
主要数学教育论著：
《作为教育任务的数学》；
根据弗赖登塔尔提出的应该让每个人在学习数 学的过程中，根据自己的体验，用自己的思 维方式，重新创造有关的数学知识的观点。 那么数学课堂应以探究为主要任务，最终达 到自主发现。
(3)强调反思，提升学生思维能力
作为老师，最根本的任务是教会学生如何学习，也就
(3) 什么是“再创造”？
弗赖登塔尔认为存在两种数学，一种是现成的或 已完成的数学，另一种是活动的或者创新的数学。
完成的数学在人们面前以形式演绎的面目出现， 它完全颠倒了数学的思维过程和实际创造过程， 给予人们的是思维的结果；活动的数学则是数 学家发现和创造数学的过程的真实体现，它表 明了数学是一种艰难曲折又生动有趣的活动过 程。
这就是说，每个人都有自己的一套“数学现 实”。
从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的
事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是 “现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有 自己所接触到的特定的“数学现实”。 大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几 何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉 某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数
形成数学教育是一种人类活动的看法。
小
结
弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教育学+数 学例子”式的论述，而是抓住数学教育的特 征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数 学现实”、“数学化”、“数学反思”、 “再创造”、“思辨数学”等诸多特有的概 念.
每一个概念以及他的每一个想法，都值得我们 去思考、去领悟、去实践……
的联系，可以由一个性质出发推出其它的性质，在教师 的引导与学生间相互讨论的基础上，学生就不仅掌握了 平行四边形的概念，同时也理解了形式定义的含义以及 各种相关性与等价定义的概念.
也就是说，学生通过自己的实践活动学会了怎 样定义一个数学的概念，对于定义的必要性 与作用都会有更深的体会，通过这样的“再 创造”方式进行的概念教学，显然比将一个 现成的定义强加给学生要有效得多.
过学生的实际感受而形成概念。
以学习平行四边形概念为例，教师可以出示一系列的平行 四边形的图形或是实际例子，告诉学生这些就是“平行 四边形”，让学生自己进行比较、分析、研究。 在经过反复的观察与思考后，他们就会发现“平行四边形” 的许多共同性质，如：对边平行、对角相等、邻角互补、
对角线互相平分等等，接着就会进而发现这些性质之间
三、数学化——数学地组织现实世界的过程
实际 析出 数学 符号化 具体 抽象化 问题 成分 模型
新概念 系统化 一般模型 新方法
形式 系统
„„
应 水平数学化
用 数学化
垂直数学化
数学化，是一个由浅入深，具有不同层次、不断发展 的过程。
数学化，是一个由浅入深，具有不同层次、不断发展的 过程。
数学化的对象：水平数学化——生活数学的数学化 垂直数学化——数学问题的进一步抽象 水平数学化，形成数学概念、运算法则、规律、定理， 以及为解决实际问题而构造的数学模型；垂直数学化， 形成数学概念、运算法则、规律、定理，以及不同层 次的公理体系和形式体系。
3.弗赖登塔尔数学教育思想对中学数学教育的启示
(1)数学教学要立足于数学现实，着眼于超越现实
按照数学源于现实，也必须寓于现实，并且用 于现实的弗赖登塔尔“数学现实”思想，数
学教学必须紧密联系实际。
数学教学必须联系实际，而且要应用于实际。为了达 到这个目的，教师可以从几个方面努力：破除思维 定势，主动树立联系实际的意识，并且要落到实处； 作为老师，要加强数学史的学习，数学史是数学和 现实结合的历史，从这出发能更好的把握数学的逻 辑；引入生活中的新鲜例子，这就要求老师要关心 周围的事物，了解他学科知识背景，并能从中抽象 数学问题。
1987年12月应邀来上海华东师范大学讲学，并先后三次来中国。
弗赖登塔尔是著名数学家布劳威尔的学生，早年从事纯粹数学研 究，以代数拓扑学和李群研究方面的杰出工作进入国际著名 数学家的行列，曾任荷兰数学会的两届主席．
弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父”
“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶 Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。” ——加亨(Kahane)教授
如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动 的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系， 割断了与外部现实的密切关系，那必然会给 数学教育带来极大的损害。“新数”运动的 失败就是个明证。
如何理解“现实”？ 不同的社会需要是否就是“现实”？
每个人的“数学现实”是一样的吗？
数学教育应为不同的人提供不同的数学修养， 从而为每个人培养适合于他所从事的不同专 业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有 关的各种数学问题。为此，弗赖登塔尔的一 个基本结论是：每个人都有自己生活、工作 和思考着的特定客观世界以及反映这个客观 世界的各种数学概念、它的运算方法、规律 和有关的数学知识结构。
提倡按“再创造”原则来进行数学教育，就是基于以
上原理，弗赖登塔尔认为可以从教育学的角度来找 到这一做法的合理根据，至少可以提出以下三 点： (1)通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人
硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，
一般来说还可以保持较长久的记忆。 (2)发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学 习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。 (3)通过“再创造”方式，可以进一步促进人们
第三级则是指出某个数学概念或是描述 了某个数学过程的特征，由此引进新的数学 概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供 的现实背景材料已经从通常的具体客观世界 中抽象出来。 (数学问题的模型化)
综上所述，弗赖登塔尔提的“数学现实” 原则，和我们通常所说的理论联系实际有原 则的区别，有其独特的含义和理论深度，值 得我们借鉴。
由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同阶段又有 特定的数学现实，弗赖登塔尔认为，在现实背景材 料的使用上有下述三种不同的水平：
第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学 运算，只要通过简单的变换或过渡，就可以从实际 问题求得相应的数学问题。在这里，具体的现实问 题起着核心作用。 (数学知识的简单应用) 第二级是提出了某个现实问题，希望学生能够 找出与之有关的数学，加以组织，建立结构，从而 解决问题。这里需要运用数学作为工具来组织现实 问题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质 性的作用。 (生活数学的数学化)
数学教学的本质就是培养学生从已有的“数学现实” 发展到更高层次的“数学现实”
一些具体的例子如下：通过公共汽车上下车人数的变化引 入整数的加减法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽 车、骑自行车或步行等多种交通工具以及途中出现的各 种情况，介绍各种类型的图象表示、解析表示，进一步 可介绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商 店出售各种不同牌子、不同规格的商品所获得的利润计 算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以及根 据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规 律的正弦函数及其性质；或者从物质的生长率引进指数 函数概念，从而导出对数函数等。
第七讲 弗赖登塔尔的数学教育理论
西华师范大学数学与信息学院 杨孝斌
1. 生平及贡献
Hans Freudenthal（1905-1990年）,荷兰数学家和数学教育家,
生于德国. 1930年获柏林大学数学博士学位； 1946年起任荷兰Utrecht 大学教授； 1951年起为荷兰皇家科学院院士； 1967年当选为国际数学教育委员会主席； 1971-1976年任数学教育研究所所长；
学家的数学现实可能就要包含Hilbert空间的算，
子、拓扑学以及纤维丛等等。
数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观
世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段
必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际
拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富， 予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学 现实”的程度并扩充其范围。
弗赖登塔尔所说的“再创造”，其核心
是数学过程再现。
学生“再创造”学习数学的过程实际上
就是一个“做数学”的过程。
教师的任务是引导和帮助学生去进行这
种再创造的工作。
日常生活中，象“狗”、“椅子”等概念，都
不需要事先给以严格的定义，儿童通过实际
接触，自然地形成了概念。
数学中的一些东西，同样来自现实，也可以通
概括为：
现实、数学化、再创造
(1) 何谓数学教育中的“现实”？
数学教育中的现实——数学来源于现实，存
在于现实，应用于现实，而且每个学生有各
自不同的“数学现实”.
数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学
现实，并在此基础上发展他们的数学现实.
弗赖登塔尔坚持主张：数学教育体系的内容应 该是与现实密切联系的数学，能够在实际中 得到应用的数学，即“现实的数学”。
现实数学教育的数学化有两种形式：
一是实际问题转化为数学问题的数学化，即
几种数学教育理论
几种数学教育理论一、弗赖登塔尔的数学教育理论（一）“数学现实”原则弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。
数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。
因此，在教学过程中，教师应该充分利用学生的认知规律，已有的生活经验和数学的实际。
在运用“现实的数学”进行教学时，必须明确认识以下几点：第一，数学教学内容来自于现实世界．把那些最能反映现代生产、现代社会生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容．第二，数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系。
这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综复杂的“现实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系．另一方面，学生也有可能把学到的数学知识应用于现实世界中去．第三，数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的不同层次的人对数学的不同水平的需求。
（二）“数学化”原则弗赖登塔尔认为，数学教学必须通过数学化来进行。
现实数学教育所说的数学化有两种形式：一是实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理；二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理。
对于前者，基本流程是：1、确定一个具体问题中包含的数学成分；2、建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系；3、通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化；4、找出蕴含其中的关系和规则；5、考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现；6、作出形式化的表述。
对于后者，基本流程是：1、用数学公式表示关系；2、对有关规则作出证明；3、尝试建立和使用不同的数学模型；4、对得出的数学模型进行调整和加工；5、综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型；6、用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法；7、作一般化的处理、推广。
第七讲_弗赖登塔尔的数学教育理论
伟大的教育家夸美纽斯有一句名言：“教一 个活动的最好方法是演示。”他主张要打开学生 的各种感觉器官，那就不仅是被动地通过语言依 赖听觉来吸收知识，也包括眼睛看甚至手的触摸 及动作。 弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为“学 一个活动的最好方法是实践”，这样提法的目的 是将强调的重点从教转向学，从教师的行为转到 学生的活动，并且从感觉的效应转为运动的效应。 就象游泳本身也有理论，学游泳的人也需要观摩 教练的示范动作，但更重要的是他必须下水去实 地练习，老是站在陆地上是永远也学不会游泳 的。
提倡按“再创造”原则来进行数学教育，就是
基于以上原理，弗赖登塔尔认为可以从教育学的角 度来找到这一做法的合理根据，至少可以提出以下 三点： (1)通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人
硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，
一般来说还可以保持较长久的记忆。 (2)发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学 习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。 (3)通过“再创造”方式，可以进一步促进人们
数学教育的任务就在于，随着学生们所接触
的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不
同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生 所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予 以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有 的“数学现实”的程度并扩充其范围。 数学教学的本质就是培养学生从已有的“数 学现实”发展到更高层次的“数学现实” 。
这对教师提出了更高的要求，不仅对有 关题材事先尽可能作周密的设计与安排，更 重要的是教师必须掌握丰富知识，具备高度 的应变能力，随机应变，及时处理学生可能 提出的各种问题，以保证将学生引上“再创 造”的道路上去，让学生的数学活动更为主 动、有效。
弗赖登塔尔的数学教育理论
弗赖登塔尔教育思想
1.弗赖登塔尔教育思想综述。
弗赖登塔尔的数学教育思想是基于他对数学的认识而产生的．在他看来“数学是系统化了的常识．这些常识是可靠的，不像某些物理现象会把人引入歧途”[2]而常识并不等于数学，“常识要成为数学，它必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则，这些法则在高一层里又成为常识，再一次被提炼、组织⋯⋯如此不断地螺旋上升，以至于无穷。
”[2]这就是我们今天所说的抽象与逐级抽象，亦即数学的发展过程具有层次性。
在此认识的基础上，他结合自己对以往教育家的研究“教一个活动的最好方法是演示”的教学论原理．进一步发展为：“学一个活动的最好方法是做” 尽管他很谦虚地说：“这个提法与夸美纽斯的追求也许没有太多区别，只是重点从教转向学，从教师转向学生活动。
”而这些转变正是教育应该做而没有做到的，是对教学活动最本质的认识的改变，是对传统的教学方法、教学模式的批评．他反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生．他说“将数学作为一个现成的产品来教，留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用，其实就是做问题” 他指出：“这不可能包含真正的数学，强有力作问题的只是一种模仿的数学” 他指出，不仅在数学教学中很少将数学作为一种活动，在教育研究中将数学作为一种活动分析的也很少。
以至于不能深刻揭示学习数学的本质特性．那么，什么是学习数学的最本质的特性呢?弗赖登塔尔指出：学一个活动最好的方法是做，学数学的最好的方法是做数学。
数学学习不是一个被动接受的过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，他指出：“教数学活动不是教数学活动的结果，而是教数学学活动的过程，而且从某种程度上讲，教过程比教结果更重要．”他反对教现成的数学，提倡教做出来的数学，因为通过数学再创造获得的能力，要比被动获得的知识理解的更好、更容易保持。
弗赖登塔尔的主要数学教育思想
弗赖登塔尔的主要数学教育思想弗赖登塔尔的数学教育思想主要有：（1）情景问题是教学的平台；（2）数学化是数学教育的目的；（3）学生通过自己的努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；（4）“互动”是主要的学习方式；（5）学科交织是数学教育内容的呈现方式。
强调数学教育面向社会现实，必须联系生活实际，注重培养和发展学生从客观现象发现数学问题的能力；用再创造的方法去进行教学，反对灌输式和死记硬背；提倡讨论式、指导式的教学形式，反对传统的讲演式的教学形式．1987年，已经80多高龄的弗赖登塔尔到我国访问，他在华东师范大学数学系演讲，走上讲台的第一句话就说：“在荷兰，中学教室里的桌椅摆法都是围成一圈，教师在学生中间活动．如果有一个学校的教室象今天这样摆桌椅：前面一张讲台，下面是一排排桌椅，那么这所中学的校长大概要被撤职了!”这时教室发出一阵笑声，同时也引起人们的思索．他的演讲为我国数学教育改革提供了新的思路，他的思想对我国数学教育研究产生了积极而深远的影响。
弗赖登塔尔把自己的一生献给了数学与数学教育事业。
作为20世纪最伟大、最具有影响的数学教育家，他的许多观点将会影响着世界数学教育的改革与发展。
弗赖登塔尔谈数学学习方法作为著名的数学家和数学教育家，弗赖登塔尔在谈到数学学习方法时，反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。
他认为这是一种最自然的、最有效的学习方法。
说它最自然，是因为生物学上“个体发展过程是群体发展过程的重现”这条原理在数学学习上也是成立的，即；数学发展的历程也应在个人身上重现，这才符合人的认识规律。
数学在其发展中，走过漫长而曲折的道路，它不断地修正过自己的进程，避开过弯路，绕过死胡同，重新明确前进的方向。
像这样的历程是不必让它在学生身上重现的。
弗赖登塔尔说，他所说的“再创造”是指应该使学生体验到：如果当时的人有幸具备了我们现在有了的知识，他们是怎样把那些知识创造出来的。
基于弗赖登塔尔数学教育理论的中位数教学设计-精选作文
基于弗赖登塔尔数学教育理论的中位数教学设计1、弗赖登塔尔的数学教育理论弗赖登塔尔（Hans Freudenthal，1905—1990）是世界著名的数学家和数学教育家，一生致力于数学与数学教育的研究工作。
他提倡将数学研究的精神应用于数学教育的研究上，而不再只停留于教学经验之谈的层面，使数学教育真正成为一门有理论支撑和文献支持的专门学科。
不仅如此，弗赖登塔尔的数学教学理论也有着深远的影响，它启发我们去思考数学究竟是什么，该怎么教，或者说教师在教学过程中应当扮演何种角色。
总体来说，我们可将弗赖登塔尔所认为的数学教育用以下四个词来概括：现实、数学化、再创造、反思。
现实是数学的根本来源，数学的发展与应用也终将回归于现实。
正是由于现实世界的需要，才有了数学学科发展的必要。
基于这一点考虑，弗赖登塔尔认为处于现实世界中的每个学生都有着各自不同的“数学现实”。
所谓数学现实，是学生从客观现实中抽象整理出来的数学知识以及现实背景的总和。
在这一阶段，教师的任务便是帮助学生建构适合的数学现实，使之能够与所要学的新知识吻合，学生能够从这样的数学现实顺利地过渡到新知识的环境中去。
即情境问题必须是合适的数学现实问题，“数学教育是现实的数学教育”。
在数学现实的基础上，教师需要引导学生数学地组织现实世界，即运用数学的思维和方法将数学现实加以科学的整理和组织，以便解决数学现实问题。
这一过程就叫做数学化，数学化是将数学现实与数学问题联系起来的必经之路。
再创造是教师引导学生再发现的过程，即数学发现过程的再现。
设想学生在已掌握现有知识的情况下，如何去发现那些成果。
教师需要合理地引导和帮助学生，提供适量的提醒与点拨使学生完成再发现的学习过程。
反思是学习的总结和回顾。
教师应帮助学生回忆整个学习过程，强调学习方法与思路，整合学习经验与教训，使学习过程不是简单的几个步骤的机械相加，而是将每一环节有机结合，使新知识整合到旧的知识结构中，并且积极积累学习中有价值的东西，使学习真正成为有意义的学习。
数学教育的基本理论PPT教学课件
适用在工业用水量占总水量比例大，水质要求不高的地区。
（3）分压给水系统
« 因用户对水压要求不同而分成两个或两个以上系 统，分别供给各类用户。
« 符合用户水质要求的水，由同一泵站内的不同扬程 的水泵分别通过高压、低压输水管和管网送往不同用户。 « 采用此种系统，可减少高压管道和设备用量，节省 供水能量费用。但需要增加低压管道和设备，管理较为 复杂。 « 适用在地形高差较大或对水压要求较大的地区。
污水、工业废水和雨水的排水方式。 根据污水汇集后的处置方式不同，又可把合
流制分为下列三种情况：
（１）直排式合流制： 管道系统的布置就近坡
向水体，分若干排出口，混合 的污水未经处理直接排入水体， 我国许多老城市的旧城区大多 采用的是这种排水体制。
特点：对水体污染严重，系统简单。 这种直排式合流制系统目前不宜采用。
➢ 分流制排水系统的管线多，但卫生条件好，有利于环境保护，虽然初降 雨水对水体有污染，但它比较灵活，比较容易适应社会发展的需要，一 般又能符合城镇卫生的要求，所以在国内外得到推荐应用，而且也是城 镇排水系统体制发展的方向；
➢ 不完全分流制排水系区可考虑采用这种体制；半分流制卫生情况比较好，但管 渠数量多，建造费用高，一般仅在地面污染较严重的区域（如某些工厂 区等）采用。
（3）从投资方面看：
分流制比合流制高。合流制只敷设一条管渠，其管渠断面尺寸与分流制的雨水 管渠相差不大，管道总投资较分流制低20%～40%，但合流制的泵站和污水 厂却比分流制的造价要高。由于管道工程的投资占给排水工程总投资的 70%～80%，所以总的投资分流制比合流制高。
如果是初建的城镇和小区，初期投资受到限制时，可以考虑采用不完全分流 制，先建污水管道而后建雨水管道系统，以节省初期投资，有利于城镇发展， 且工期短，见效快，随着工程建设的发展，逐步建设雨水排水系统。
弗赖登塔尔的数学教育理论及波利亚的解题理论
一名好的数学教师具备两方面的知识 一是数学内容的知识。
二是数学教学法的知识。
波利亚给数学教师提出了“十条建议” 波利亚给数学教师提出了“十条建议”
1. 要对所讲的课题有兴趣 2. 要懂得所讲的课题 要懂得所讲的课题; 3. 要懂得学习的途径 发现 要懂得学习的途径—发现 发现; 4. 要观察学生的脸色 弄清他们的期望和困难 置身于他们之中 要观察学生的脸色,弄清他们的期望和困难 置身于他们之中; 弄清他们的期望和困难, 5. 不仅要传授知识,而且要教给学生才智 思维的方式和工作习惯; 不仅要传授知识 而且要教给学生才智,思维的方式和工作习惯 而且要教给学生才智 思维的方式和工作习惯 6. 要让他们学习猜测 要让他们学习猜测; 7. 要让他们学习证明 要让他们学习证明; 8. 要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征 要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征; 9. 不要立即吐露你的全部秘密 让学生在你说出来之前先去猜 不要立即吐露你的全部秘密—让学生在你说出来之前先去猜 让学生在你说出来之前先去猜, 尽量让他们自己找出来; 尽量让他们自己找出来 10. 要建议 不要强迫别人去接受 要建议,不要强迫别人去接受 不要强迫别人去接受.
精华是启发你去联想。联想 什么？怎样联想？ 这可以通过一连串建议性或启 发性问题加以回答。
再见
谢谢
范希尔几何思维水平的划分
直观( 直观 V i s u a l i z a t i o n ) 分析 ( A n a l y s i s ) 推理 ( I n f e r e n c e ) 演绎 ( De d u c t i o n ) 严谨( 严谨 R i g o r )
范希尔理论的应用
评价方面：编制范希尔几何思维水平测试卷，测量我 国学生的几何思维水平并进行差异性分析； 课程方面：按照学生实际的几何思维水平，确定教学 目标、内容和顺序； 教学方面：根据学生所在的几何思维水平的特征进行 针对性的教学，帮助学生从较低层次过渡到 较高层次。 研究方面：确定其他数学教学内容的思维层次， 如代 数，概率、统计等。
弗赖登塔尔的数学教育思想
弗赖登塔尔的数学教育思想荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者。
在他担任国际数学教育委员会(1CMl)主席期间，召开了第一届国际数学教育大会(ICME—1)，并创办了《Educa —tional Studies in Mathematics》杂志，现任ICMI主席(巴黎十一大学校长)加亨(Kahane)教授曾评价说“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freu denthal做出了巨大的贡献。
”作为一位数学家，弗赖登塔尔30年代就享有盛誉，从50年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点。
他的数学教育理论与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切，可以说已经摆脱了“教育学”，(或“心理学”)加数学例子这种“传统的”数学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献，也正是我们特别需要借鉴之处。
第一节关于现代数学特性的论述数学教育的研究不能离开它的对象——数学的特有规律，进入20世纪以来，数学发展的突飞猛进，迫使当代社会的数学教育必须充分考虑到现代数学的特点。
为此，弗赖登塔尔从数学发展的历史出发，深入研究了数学的悠久传统，以及现代数学形成的背景，提出了现代数学的转折点，是否应该以现代实数理论的诞生和约当(Jordan)的置换群的产生作为标志；或者是另一种看法，那是以著名的布尔巴基(Bourbaki)理论的出现，作为一个新时期的开端。
基于这一分析，弗赖登塔尔认为现代数学的特性，可以归结为以下几个方面：1．数学表示的再创造与形式化活动。
如果认真分析一下近几十年来数学的变化，就会发现变的主要是它的外表形式，而不是它的内容实质。
这是一个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐斩渗透与发展了各种新知识与新词汇，最终汇成一个新潮流——形式化，这是组织现代数学的重要方法之一，也是现代数学的标志之一。
[小学教育]弗赖登塔尔的数学教育思想——“数学现实”原则
参考资料弗赖登塔尔的数学教育思想——“数学现实”原则荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者．在他担任国际数学教育委员会( ICMI ) 主席期间，召开了第一届国际数学教育大会(ICME —1) ，并创办了《Educa — tional Studies in Mathematics 》杂志，现任ICMI 主席( 巴黎十一大学校长) 加亨(Kahane) 教授曾评价说“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein 做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal 做出了巨大的贡献．”作为一位数学家，弗赖登塔尔30 年代就享有盛誉，从50 年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点．他的数学教育理论与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切，可以说已经摆脱了“教育学”( 或“心理学”) 加数学例子这种“传统的”数学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献，也正是我们特别需要借鉴之处．弗赖登塔尔回顾了数学发展的历史，研究了数学的特性，特别是数学的严密演绎理论对经验的指导作用，理性与观察的结合关系，为了使人们更透彻、更合乎逻辑地分析自然，从而促使在极端理论与极端实际的数学现象之间，实现一个连续的过渡，他努力探索着数学教育的途径、内容与方法．弗赖登塔尔认为，人类历史必然是一个前进的历史，只有突破了、对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；科学是一种活动，科学不是教出来的，也不是学出来的，科学是靠研究出来的；因而学校的教学必须由被动地学转为主动地获得，学生应该成为教师的合作者，通过自身的实践活动来主动获取知识．这样，教育的任务，首先就应当为青年创造机会，让他们充满信心，在自身活动的过程中，继承传统，学习科学，获得知识；另一方面，由于社会在不断前进，人们就必须不断学习．因此，教育中更重要的一个问题，并不是教的内容；而是如何掌握与操纵这些内容，换句话说，要让学生学会掌握方法，那是更根本的东西．根据这些考虑，弗氏从数学教育的特点出发，提出了“数学现实”原则．数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实；这是弗赖登塔尔的基本出发点，也是我们历来提倡的基本思想；确实，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结．根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成的．数学教育如果脱离了那些丰富多采而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本之木”．另一方面，弗氏也认为数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系．因此，数学教育又应该给予学生数学的整个体系——充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结构．弗氏的另一个基本主张是：数学应该是属于所有人的，我们必须将数学教给所有人．这是很重要的，在我国这一想法还未能被普遍接受，实际上，对于少数数学家来说，抽象的形式体系，严密的逻辑结构，以及涉及内在联系的规律，也许是最为本质、最为完美也是最感兴趣的东西．可是对于大多数人而言，掌握数学与外部世界的密切关系，从而获得适应于当前社会的生存与生活，并进而能够改革社会促使其进一步发展的能力，将是更为重要的．为此，弗赖登塔尔坚持主张：数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即“现实的数学”．如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断了与外部现实的密切关系，那必然会给数学教育带来极大的损害．70 年代“新数学”运动的失败就是个明证．如何理解“现实”？不同的社会需要是否就是“现实”？将“现实”等同于实际的社会生产活动，这是一种片面的理解．根据英国的Cockcmft 报告，他们在进行了比较广泛的调查、分析了一些比较实际的资料之后提出，人们所需要的数学可以分为三种水平．第一种是日常生活的需要，从个人消费、家庭开支到国家建设，处处都要涉及各种数字、图表、测量等问题，这些大多是比较简单的数学知识，但却是每个人都必须知道的．第二种是不同的技术或者说是各种职业的需要，从工程技术人员、农业技师到各行业的服务人员，在相当广泛的不同领域内，从事各种不同性质工作的人，从各个不同方向，对数学知识提出了种种要求，当然其中也含有某些共同部分．第三种是为进一步学习并从事高水平研究工作的需要，包括范围很大，差别也很大，未来的科学家、企业家、管理学家等，都需要与各个领域相关的不同分支的数学知识，他们需要共同的基础及类似的数学思想方法，但却涉及到千变万化的具体内容．数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的人对数学的不同水平的需求．数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，从而为每个人培养适合于他所从事的不同专业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有关的各种数学问题．为此，弗赖登塔尔的一个基本结论是：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构．这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”．从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”．大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含Hilbert 空间的算，子、拓扑学以及纤维丛等等．数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围．通过这样的过程，数学教育将随着不断地扩展的现实发展，同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正象数学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律．一些具体的例子如下：通过公共汽车上下车人数的变化引入整数的加减法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽车、骑自行车或步行等多种交通工具以及途中出现的各种情况，介绍各种类型的图象表示、解析表示，进一步可介绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商店出售各种不同牌子、不同规格的商品所获得的利润计算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以及根据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规律的正弦函数及其性质；或者从物质的生长率引进指数函数概念，从而导出对数函数等．由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同阶段又有特定的数学现实，弗赖登塔尔认为，在现实背景材料的使用上有下述三种不同的水平：第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学运算，只要通过简单的变换或过渡，就可以从实际问题求得相应的数学问题．在这里，具体的现实问题起着核心作用．第二级是提出了某个现实问题，希望学生能够找出与之有关的数学，加以组织，建立结构，从而解决问题．这里需要运用数学作为工具来组织现实问题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质性的作用．第三级则是指出某个数学概念或是描述了某个数学过程的特征，由此引进新的数学概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供的现实背景材料已经从通常的具体客观世界中抽象出来．综上所述，弗赖登塔尔提的“数学现实”原则，和我们通常所说的理论联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴．首先，弗氏所说的“数学现实”，是客观现实与人的数学认识的统一体，并非先有了一个”理论”，然后去联系一下“实际”，也不是从具体例子引入，然后做几个应用题就算完事．所谓“数学现实”乃是人们用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体，其中既含有客观世界的现实情况，也包括学生个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识．我们习惯于把课本上的知识笼统称为“理论”，而把“实际”狭隘地理解为“生产实际”，其实是不妥当的．其次，弗氏认为“每个人都有自己的数学现实”，这十分重要，这也许和我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学现实”来进行．学生的“实际”知识有多少? 学生的“数学水平”有多高? 学生的“日常生活常识”有多广? 这些都是教师面对的“现实”，如果我们简单地将“课本上定理”和“应用题”联系起来，那样的教学未免太狭隘．例如，在荷兰教材中，讲函数概念并不从映射出发，用双射、单射把学生弄得晕头转向，而是化许多时间用于制作图表、画函数图象，用距离(s) 与时间(t) 的关系图表示一个学生走路、等车、乘车、半路回家等等日常生活实际，每个学生都可根据自己上学的情形来画草图，定函数．再次，弗氏主张客观现实材料和数学知识的现实彼此溶为一体，你中有我，我中有你，密切不可分；我们的传统观念是以理论知识的逻辑展开为唯一线索，有些地方“联系”一下“实际”，这种联系往往是“节外生枝”式的，不被重视，顶多搞成一条“美丽的尾巴”，核心还是“理论”第一，这当然和考试制度有关，但也不能不说和教育思想的陈旧有关．弗氏的“数学现实”原则，主张把客观现实和知识体系溶为一体，教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程，着眼于能力．【返回参考资料列表】。
1、弗赖登塔尔的数学教育理论-PPT课件
1987年，已经80多高龄的弗赖登塔尔到我国 访问，他在华东师范大学数学系演讲，走上 讲台的第一句话就说：“在荷兰，中学教室 里的桌椅摆法都是围成一圈，教师在学生中 间活动．如果有一个学校的教室象今天这样 摆桌椅：前面一张讲台，下面是一排排桌椅Leabharlann 那么这所中学的校长大概要被撤职了!”
这个“再创造”原则应该贯穿于数学教育整个体 系之中，要把数学教育作为一个活动的过程来分析， 要使学生在学习过程的不同层次中，始终处于积极、 创造的状态。
学生学习数学的过程实际上是一个“做数学”的 过程
3.“数学化”原则
简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。 每个人有不同的“数学现实”世界，不一定限于客观世界的 具体事物，也可以包括各种层次抽象的数学概念及规律。因 而相应地有不同层次的数学化。“毫无疑问，学生应当学习 数学化；自然先在最低层次，对非数学事物进行数学化﹝使 之合乎数学精确性要求﹞以保证数学的应用。接着还应进到 下一层次，至少能对数学事物进行局部组织。‧‧‧应当懂得 ，没有数学化就没有数学，没有公理化就没有公理系。没有 形式化也就没有形式体系。‧‧‧因此数学教学必须通过数学 化来进行”。
2.“再创造”原则
学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也 就是由学生本人把要学的东西自己发现或创造出 来．只有通过自己的再创造而获得的知识才能真被掌 握和可以灵活应用，而且能保持较长久的记忆。强调 学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，认为 “做数学”是学生理解数学的重要条件，其核心是数 学过程再现。
水平数学化与垂直数学化
水平数学化。学生能利用数学工具帮助他们去
组织和解决真实生活的问题。例如：将数学概念 用在一般的情境脉络中或将真实世界的问题转化 成数学问题来讨论。 垂直数学化。在数学系统本身，知识重新组织 的过程。例如：利用公式去描述关系、证明规则 、调整模式使其精致化、利用公式表示一个数学 模式，并使其一般化等等。 任何数学都是数学化的结果，不存在没有 数学化的数学，不存在没有公理化的公理，也不 存在没有形式化的形式。