专题：平面向量常见题型与解题指导

平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。

二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。

二、常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 .思路分析：与a 平行的单位向量e =±||a方法一：设向量a 的终点坐标是(x ,y ),则a =(x -3,y +1)，则题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++-55185512101334229y x 1y x 13)()(或　解得）＋（）－（y x y x ，故填 (512,-51)或(518,-59) 方法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±51(-3,4)，故可得a ＝±(-53,54)，从而向量a 的终点坐标是(x ,y )= a －(3,－1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1，a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ，y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是多少思路分析：要计算x 与y 的夹角θ，需求出|x |,|y |,x ·y 的值.计算时要注意计算的准确性. 解：由已知|a |=|b |=1，a 与b 的夹角α为60°,得a ·b =|a ||b |cosα=21. 要计算x 与y 的夹角θ，需求出|x |，|y |，x ·y 的值. ∵|x |2=x 2=(2a －b )2=4a 2－4a ·b +b 2=4－4×21+1=3， |y |2=y 2=(3b －a )2=9b 2－6b ·a +a 2=9－6×21+1=7. x ·y =(2a －b )·(3b －a )=6a ·b －2a 2－3b 2+a ·b=7a ·b －2a 2－3b 2=7×21－2－3=－23， 又∵x ·y =|x ||y |cosθ，即－23=3×7cosθ， ∴cosθ=－1421点评：①本题利用模的性质|a |2=a 2，②在计算x ,y 的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设AB =b , AC =a , AD =2a ,∠BAC =60°.由向量减法的几何意义，得BD =AD －AB =2a －b .由余弦定理易得|BD |=3，即|x |=3，同理可得|y |=7.题型二：向量共线与垂直条件的考查例1．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C 满足OC OA OB =α+β，其中α，β∈R 且α+β=1，求点C 的轨迹方程。

.解：（法一）设C (x ,y )，则=(x ,y )，由=(x ,y )= α(3,1)+ β(-1,3)=(3α-β, α+3β)∴⎩⎨⎧+=-=βαβα33y x , （可从中解出α、β）又∵α+β＝1 消去α、β得x +2y -5=0（法二） 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A ，B ，C 三点共线，故点C 的轨迹方程即为直线AB 的方程x ＋2y －5=0，例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21,23).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间.思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k 与t 之间的等量关系，k 与t 之间的等量关系怎么得到②求函数单调区间有哪些方法（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法解：（1）法一：由题意知x ＝(23322--t ,223232--t ),y ＝(21t －3k ，23t ＋k)，又x ⊥y故x · y ＝23322--t ×（21t －3k ）＋223232--t ×(23t ＋k)＝0.整理得：t 3－3t －4k ＝0，即k ＝41t 3－43t. 法二：∵a ＝(3，－1)，b ＝(21, 23), ∴. a ＝2，b ＝1且a ⊥b∵x ⊥y ，∴x · y ＝0，即－k a 2＋t(t 2－3)b 2＝0，∴t 3－3t －4k ＝0,即k ＝41t 3－43t (2) 由(1)知：k ＝f(t) ＝41t 3－43t ∴k ˊ＝f ˊ(t) ＝43t 3－43, 令k ˊ＜0得－1＜t ＜1；令k ˊ＞0得t ＜－1或t ＞1.故k ＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.例3： 已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(21，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ＝a ＋(sin α－3)b , d＝－k a＋(sin α)b,且c⊥d，试求实数k 的取值范围.解：由条件可得：k ＝41( sin α－23)2－169,而－1≤sin α≤1, ∴当sin α＝－1时，k 取最大值1； sin α＝1时，k 取最小值－21. 又∵k ≠0 ∴k 的取值范围为 1[,0)(0,1]2-.点拨与提示：将例题中的t 略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.例4：已知向量)1,2(),2,1(-==，若正数k 和t 使得向量tk t 1)1(2+-=++=与垂直，求k 的最小值.解：0)1(])1([02=+-•++=⋅⇔⊥tk t 即0)1(112222=⋅+-⋅+++-⇔b a t k b a tb t t a k∵)1,2(),2,1(-==，∴||=3，||=3⋅＝－2＋2 ， 代入上式 －3k ＋32112≥+=+tt t t 当且仅当t=t1，即t=1时，取“＝”号，即k 的最小值是2. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ；（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m , n) (m ﹤2π)平移后得到函数y ＝f(x )的图象，求实数m 、n 的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解： (1)依题设，f(x )＝（2cos x ，1）·(cos x ,3sin2x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋2sin(2x ＋6π) 由1＋2sin(2x ＋6π)=1－3，得sin(2x ＋6π)＝－23.∵－3π≤x ≤3π , ∴－2π≤2x ＋6π≤65π, ∴2x ＋6π=－3π, 即x ＝－4π.（2）函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝（m , n ）平移后得到函数y ＝2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y ＝f(x )的图象.由(1)得f (x )＝1)12(2sin 2++πx ∵m ＜2π， ∴m ＝－12π，n ＝1.点评： ①把函数的图像按向量平移，可以看成是C 上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y＝f (x)的图象按向量a＝(h , k)平移后的函数解析式为y－k＝f（x－h）、例8：已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求证：a+b与a-b互相垂直；（2）若k a+b与a-k b的模大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α解：（1）证法一：∵a=（cosα，sinα）,b=（c osβ,sinβ）∴a+b＝（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）, a-b＝（cosα-cosβ，sinα- sinβ）∴(a+b)·(a-b)=（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）·（cosα-cosβ，sinα- sinβ）=cos2α-cos2β+sin2α- sin2β=0∴(a+b)⊥(a-b)证法二：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0 ∴(a+b)⊥(a-b)证法三：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1,记＝a，＝b，则||＝||=1,又α≠β，∴O、A、B三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中＝a+b，＝a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)⊥(a-b)（2）解：由已知得|k a+b|与|a-k b|,又∵|k a+b|2＝(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β－α),|k a+b|2＝(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β－α),∴2kcos(β－α)= -2kcos(β－α)又∵k≠0 ∴cos(β－α)＝0π∵0<α<β<π∴0<β－α<π, ∴β－α=2注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明.题型四：向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。