-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案

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2012—2013学年第一学期

《高等数学(2-1)》期中试卷

（工科）

专业班级

姓名

学号

开课系室基础数学系

考试日期 2012年11月25日

页号一二三四五六

总分

本页满分32 18 10 16 16 8

本页得分

阅卷人

注意事项：

1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；

4．试卷本请勿撕开，否则作废； 5．本试卷正文共6页。

一、 填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

1．设函数1(1sin ),

0(),

x

x x f x a x ⎧

⎪-≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =

1e - .

2．设()f x 在2x =处连续，且2

()

lim

32

x f x x →=-，则(2)f '= 3 . 3

．

设

22ln arctan

a y x a x

=+，

则

dy

=

22

x a

dx x a

-+ . 4. 函数ln(12)y x =+，则()(0)n y = 1(1)(1)!2n n n --- . 5. 曲线2

1x y e -=-的下凸区间是____[22

_____________________.

二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分） 1．设函数1

1

()tan ()()

x

x

e e x

f x x e e +=

-，则0x =是()f x 的（ C ）．

A ．连续点；

B ．可去间断点；C. 跳跃间断点；D ．无穷间断点.

2. 设()f x 有二阶连续导数且(0)0f '=，

()

lim 1||

x f x x →''=，则下列说法正确的是（ B ）． A ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线()y f x =的拐点；

本页满分32分 本页得

分

B ．(0)f 是()f x 的极小值；

C ．(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点；

D ．(0)f 是()f x 的极大值. 3. 当x →∞时，若

2

1ax bx c

++与1

1x +为等价无穷小，则,,a b c 之值为（ B ）． A ．0,1,1a b c ===； B ．0,1a b ==,c 为任意常数； C ．0a =，,b c 为任意常数； D. ,,a b c 均为任意常数.

4. 设22

0()(),

x x f x x

x g x x ⎧>⎪

=⎨⎪≤⎩，其中()g x 是有界函数，则()f x 在

0x =处（ D ）.

A ．极限不存在；B.极限存在但不连续；C.连续但不可导；D.可导.

5. 设()f x 在0x 可导且01

()2

f x '=，则0x ∆→时，0|x x dy =是x ∆的

（ C ）.

A ．等价无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶但非等价无穷小；D 低阶无穷小.

三、计算题（共4小题，每小题5分，共20分） 1. 求极限0

1sin 1

x x x →+-解：（方法一）200sin 1sin 1

2lim lim 11cos 2x x x x

x x x x

→→+==-； （方法二）20

01sin 1lim

11cos 1sin 1

x x x x x x x x →→+==-++； （方法三）洛比达法则

本页满分18分 本页得分

01sin 11cos cos sin lim 1sin 2cos 21sin x x x x x x x x x

x x

x x →→→+-+-===+. 2. 设函数()y y x =由方程sin()(0,)xy y xe x x y ππ=>-<<确定，求其在1x =处的切线方程.

解：两边取对数得：sin()(1)ln xy y x =-，两边对x 求导，有

1

cos()()ln y xy y xy y x x

-''+=+

， 又由于1x =时，sin 0y =，y ππ-<<，可得0y =，代入得(1)1y '=-，故在1x =处的切线方程为(1)y x =--，即10x y +-=.

3. 设3

arctan 6x t t y t t

=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，求221d y t dx =. 解：222

363(1)1

11dy

dy t dt t dx dx dt t +===+++；

22

222

()66(1)()1211d dy d y d dy t t t dt dx dx dx dx dx t dt t +====++

+，故 22

41d y

t dx ==.

本页满分10分 本页得分

4. 求极限2

1

)(cos lim x x x →.

解：（方法一）2

2

11cos 1

cos 10

lim(cos )lim(1cos 1)x x x x x x x x --→→=

+-

2

0cos 11lim

2

x x x

e e

→--

==；

（方法二）22

2

22

11

1sin 1222sin 22

lim(cos )lim (cos )lim(1sin )x x x x x x x x x x x e

--

-→→∞

→=

=

-=；

（方法三）洛比达法则sin 2cos 2

2

11

1ln(cos )lim 2

lim(cos )lim x

x x

x x x x x x x e e e

-→-

→→=

==.

四、应用题（共3小题，每小题8分，共24分）

1. 已知()sin 2ln(1)

,0()1,0ax a b x x x x f x e x ++-⎧>⎪

=⎨⎪-≤⎩在0x =处可导，

试求出a 与b .

解：由于()f x 在0x =处可导，必连续，故

(0)(0)(0)0f f f -+===，又

00()sin 2ln(1)()sin 2ln(1)

(0)lim lim lim 2x x x a b x x a b x x f a b x x x

+

+++→→→++-+-==+=+-，

可得20a b +-=，即2a b +=；又由于()f x 在0x =处可导，则(0)(0)f f -

+''=，又 01

(0)lim ax x e f a x

-

-→-'==， 本页满分16分 本页得分