子流形几何(吴传喜,李光汉著)思维导图
2020秋新人教版高中数学必修二第八章立体几何初步复习课题型课知识框架思维导图
第八章立体几何初步复习课要点训练一空间几何体的结构特征1.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.2.通过举反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.1.设有四个命题:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长都相等的直四棱柱是正方体;③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:底面是矩形的直平行六面体是长方体,①错误;棱长都相等的直四棱柱是正方体,②正确;侧棱垂直于底面两条相邻边的平行六面体是直平行六面体,③错误;任意侧面上两条对角线相等的平行六面体是直平行六面体,④错误.故命题正确的个数是1.答案:A2.在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,取四棱锥A1-ABCD,则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.答案:D要点训练二空间几何体的表面积与体积1.空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题注意衔接部分的处理.(3)旋转体的表面积问题,应注意其侧面展开图的应用.2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体问题是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,再根据条件求解.1.已知一个六棱锥的体积为2√3 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为12.解析:由题意可知,该六棱锥是正六棱锥.设该六棱锥的高为h ,则13×6×√34×22×h =2√3,解得h =1.由题意,得底面正六边形的中心到其边的距离为√3,所以侧面等腰三角形底边上的高为√(√3)2+1=2,所以该六棱锥的侧面积为6×12×2×2=12. 2.如图所示,三棱锥O -ABC 为长方体的一角,其中OA ,OB ,OC 两两垂直,三个侧面OAB ,OAC ,OBC 的面积分别为1.5 cm 2,1 cm 2,3 cm 2,求三棱锥O -ABC 的体积.解:设OA ,OB ,OC 的长依次为x cm,y cm,z cm,由已知可得12xy =1.5,12xz =1,12yz =3,解得x =1,y =3,z =2. 将三棱锥O -ABC 看成以C 为顶点,以OAB 为底面,易知OC 为三棱锥C -OAB 的高.故V 三棱锥O -ABC =V C -OAB =13S △OAB ·OC =13×1.5×2=1(cm 3). 3.如图所示,已知三棱柱ABC -A'B'C',侧面B'BCC'的面积是S ,点A'到侧面B'BCC'的距离是a ,求三棱柱ABC -A'B'C'的体积.解:连接A'B ,A'C ,如图所示,这样就把三棱柱ABC -A'B'C'分割成了两个棱锥,即三棱锥A'-ABC 和四棱锥A'-BCC'B'.设所求体积为V ,显然三棱锥A'-ABC 的体积是13V. 而四棱锥A'-BCC'B'的体积为13Sa , 故有13V +13Sa =V ,所以V =12Sa. 要点训练三 与球有关的切、接问题与球相关问题的解题策略(1)作适当的截面(如轴截面等)时,对于球内接长方体、正方体,则截面一要过球心, 二要过长方体或正方体的两条体对角线,才有利于解题.(2)对于“内切”和“外接”等问题,首先要弄清几何体之间的相互关系,主要是指特殊的点、线、面之间的关系,然后把相关的元素放到这些关系中来解决.1.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为( )A.443πB.4849πC.814πD.16π 解析:如图所示,设PE 为正四棱锥P -ABCD 的高,则正四棱锥P -ABCD 的外接球的球心O 必在其高PE 所在的直线上,延长PE 交球面于一点F ,连接AE ,AF.由球的性质可知△PAF 为直角三角形,且AE ⊥PF.因为该棱锥的高为6,底面边长为4,所以AE =2√2,PE =6,所以侧棱长PA =√PE 2+AE 2=√62+(2√2)2=√44=2√. 设球的半径为R ,则PF =2R. 由△PAE ∽△PFA ,得PA 2=PF ·PE ,即44=2R ×6,解得R =113,所以S =4πR 2=4π×(113)2=484π9.答案:B2.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,如果这个球的体积是323π,那么这个正三棱柱的体积是( ) A.96√3 B.16√3 C.24√3 D.48√3解析:由球的体积公式可求得球的半径R =2. 设球的外切正三棱柱的底面边长为a ,高即侧棱长,为h ,则h =2R =4. 在底面正三角形中,由正三棱柱的内切球特征,得a 2×√33=R =2,解得a =4√3. 故这个正三棱柱的体积V =12×√32×(4√3)2×4=48√3.答案:D要点训练四 空间中的平行关系1.平行问题的转化关系2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a ⊥α,a ⊥β⇒α∥β.1.如图所示,三棱柱ABC -A'B'C'中,M ,N 分别为BB',A'C'的中点.求证:MN ∥平面ABC'.证明:取B'C'的中点P ,连接MP ,NP (图略),则MP ∥BC',NP ∥A'B'. 因为A'B'∥AB ,所以NP ∥AB.因为AB ⊂平面ABC',NP ⊄平面ABC',所以NP ∥平面ABC'.同理MP∥平面ABC'.因为NP∩MP=P,所以平面MNP∥平面ABC'.因为MN⊂平面MNP,所以MN∥平面ABC'.2.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB, M∈AC,N∈FB,且AM=FN,过点M作MH⊥AB于点H.求证:平面MNH∥平面BCE.证明:因为正方形ABCD中,MH⊥AB,BC⊥AB,所以MH∥BC.因为BF=AC,AM=FN,所以FNBF =AM AC.因为MH∥BC,所以AMAC =AH AB,所以FNBF =AH AB,所以NH∥AF∥BE.因为MH⊂平面MNH,NH⊂平面MNH,MH∩NH=H, BC⊂平面BCE,BE⊂平面BCE,BC∩BE=B,所以平面MNH∥平面BCE.要点训练五空间中的垂直关系1.空间中垂直关系的相互转化2.判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法.(2)线面垂直的性质:a⊥α,b⊂α⇒a⊥b;a⊥α,b∥α⇒a⊥b.3.判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性质.4.判定面面垂直的方法(1)利用定义:两个垂直平面相交,所成的二面角是直二面角.(2)判定定理:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.1.如图所示,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直角边AO所在直线为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB上任意一点.求证:平面COD⊥平面AOB.证明:由题意,得CO⊥AO,BO⊥AO,所以∠BOC是二面角B-AO-C 的平面角.因为二面角B-AO-C是直二面角,所以∠BOC=90°,所以CO⊥BO.因为AO∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.因为CO⊂平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2, AD=CD=√7,PA=√3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点,O为AC,BD交点.(1)证明:BD⊥平面APC;(2)若G满足PC⊥平面BGD,求PG的值.GC(1)证明:由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.所以O为AC的中点,BD⊥AC.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为AC∩PA=A,AC⊂平面APC,PA⊂平面APC,所以BD⊥平面APC.(2)解:连接OG,如图所示.因为PC⊥平面BGD,OG⊂平面BGD,所以PC⊥OG.在△ABC中,由余弦定理,得AC=√22+22-2×2×2×cos120°=2√3.在Rt△PAC中,得PC=√AC2+PA2=√12+3=√所以由△GOC∽△APC可得GC=AC·OCPC =2√155.从而PG=3√155,所以PGGC=32.要点训练六空间角的求解方法1.找异面直线所成角的三种方法(1)利用图中已有的平行线平移.(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.(3)补形平移.2.线面角求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.3.求二面角的两种常用方法(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°, AB≠AC,D,E分别是BC,AB的中点,AC>AD,设PC与DE所成的角为α,PD与平面ABC所成的角为β,二面角P-BC-A的平面角为γ,则α,β,γ的大小关系是α<β<γ.解析:因为D,E分别是BC,AB的中点,所以DE∥AC,所以PC与DE所成的角为∠PCA,即α.因为PA⊥平面ABC,所以PD与平面ABC所成的角为∠PDA,即β.如图所示,过点A作AH⊥BC,垂足为H,连接PH,易证BC⊥平面PAH,所以∠PHA是二面角P-BC-A的平面角,即γ.因为AB≠AC,所以AD>AH.因为AC >AD,所以AC >AD >AH,所以PAAC <PAAD<PAAH,所以tan α<tan β<tan γ,所以α<β<γ.2.如图所示,AB是☉O的一条直径,PA垂直于☉O所在的平面,C 是圆周上不同于A, B的一动点.(1)证明:△P BC是直角三角形;(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为√2时,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(1)证明:因为AB是☉O的一条直径, C是圆周上不同于A,B的一动点,所以BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC,所以BC⊥PA.因为PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以△BPC是直角三角形.(2)解:如图所示,过点A作AH⊥PC于点H,连接BH.因为BC⊥平面PAC,所以BC⊥AH.因为PC∩BC=C,PC⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AH⊥平面PBC,所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角.因为PA⊥平面ABC,所以∠PCA即是PC与平面ABC所成的角.因为tan∠PCA=PAAC=√2,PA=2, 所以AC=√2.在Rt△PAC中,AH=√PA2+AC2=23√3,在Rt△ABH中,sin∠ABH=23√32=√33,即AB与平面PBC所成角的正弦值为√33.要点训练七转化思想转化思想是指在解决数学问题时,一个数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想.它包括从未知到已知的转化,从一般到特殊的转化等,折叠问题中体现了转化思想.解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况,看看哪些元素的位置变了,哪些元素的位置没有变,基本思路是利用“不变求变”,一般步骤如下:(1)平面→空间:根据平面图形折出满足条件的空间图形,想象出空间图形,完成平面图形与空间图形在认识上的转化.(2)空间→平面:为解决空间图形问题,要回到平面上来,重点分析元素的变与不变.1.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.若将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析:因为在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°, ∠BAD=90°,所以BD⊥CD.因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB.因为AD⊥AB,AD∩CD=D,AD⊂平面ADC,CD⊂平面ADC,故AB⊥平面ADC.因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.答案:D2.如图所示,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,垂足为K.设AK=t,则t的取值范围是(1,1).2→解析:如图所示,过点K作KM⊥AF于M点,连接DM,易得DM⊥AF,与折前的图形对比,可知在折前的图形中D,M,K三点共线,且DK⊥AF, 于是△DAK∽△FDA,所以AKAD =ADDF.所以t1=1DF.所以t=1DF.因为DF∈(1,2),所以t∈( 12,1).3.如图①所示,在等腰梯形CDEF中,DE=CD=√2,EF=2+√2,将它沿着两条高AD,CB折叠成四棱锥E-ABCD(E,F两点重合),如图②所示.①②(1)求证:BE⊥DE;(2)设M为线段AB的中点,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.(1)证明:因为AD⊥EF,所以AD⊥AE,AD⊥AB.因为AB∩AE=A,AB⊂平面ABE,AE⊂平面ABE,所以AD⊥平面ABE,所以AD⊥BE.由题图①和题中所给条件知,AE=BE=1,AB=CD=√2,所以AE2+BE2=AB2,即AE⊥BE.因为AE∩AD=A,AE⊂平面ADE,AD⊂平面ADE,所以BE⊥平面ADE,所以BE⊥DE.(2)解:如图所示,取EC的中点G,BE的中点P,连接PM,PG,MG, 则MP∥AE,GP∥CB∥DA,所以MP∥平面DAE,GP∥平面DAE.因为MP∩GP=P,所以平面MPG∥平面DAE.因为MG⊂平面MPG,所以MG∥平面DAE,即存在点N与G重合满足条件,使得MN∥平面DAE.。
理数思维导图
十十五、平面面向量量
不不等式的基本概念
具有大大小小和方方向的量量叫做向量量
空间向量量
七、不不等式
同向不不等式与异向不不等式 同解不不等式与不不等式的同解变形
共线向量要不不等式 几几个著名不不等式 不不等式的解法
整式不不等式分式不不等式;指数不不等式;对数不不等式;含绝对值不不等式
平面面
集合的性质
两条平行行行线在同一一平面面内的射影图形是一一条直线或两条平行行行线或两点 异面面直线判定定理理：过平面面外一一点与平面面内一一点的直线和平面面内不不经过该点的直线是 异面面直线.（不不在任何一一个平面面内的两条直线） 平行行行公理理：平行行行于同一一条直线的两条直线互相平行行行 等⻆角定理理：若果一一个⻆角的两边和另一一个⻆角的两边分别平行行行并且方方向相同，那么这两个⻆角相等 相交、平行行行、在平面面内. 空间直线与平面面位置
直线与平面面平行行行、直线与平面面垂直
八八、立立体几几何
一一、集合与常 用用逻辑语言言
“或”、“且”、“非非”这些词叫做逻辑联结词；不不含有逻辑 联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结 词“或”、“且”、“非非”构成的命题是复合命题。
平面面平行行行判定定理理：如果一一个平面面内有两条相交直线都平行行行于另一一个平面面，那么这两个平面面平行行行.（“线面面平行行行，面面面面平行行行”） 从n个不不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一一 定顺序排成一一列列，叫做从n个不不同元素中取出m个 元素的一一个排列列. 如果，两个排列列相同，不不仅这两个排列列的元素必须完全相同，而而 且排列列的顺序也必须完全相同. 定义 相同排列列. 排列列数. 排列列公式 含有可重元素的排列列问题. 排列列 对排列列定义的理理解. ①棱柱的各个侧面面都是平行行行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱 的各个侧面面都是矩形；正棱柱的各个侧面面都是全等的矩形. ②棱柱的两个底面面与平行行行于底面面的截面面是对应边互相平行行行的全等多边形. ③过棱柱不不相邻的两条侧棱的截面面都是平行行行四边形. 棱柱具有的性质 平行行行六面面体 两个平面面平行行行的性质定理理：如果两个平面面平行行行同时和第三个平面面相交，那么它们交线平行行行.（“面面面面平行行行，线线平行行行”） 一一、两个平面面所成二二面面⻆角是直二二面面⻆角，则两个平面面垂直 二二、如果一一个平面面与一一条直线垂直，那么经过这条直线的平面面垂直于这个平面面.（“线面面垂直，面面面面垂直”） 1. 乘法原理理、加法原理理. 2. 可以有重复元素的排列列. 两个平面面垂直，那么在一一个平面面内垂直于它们交线的直线垂直于另一一个平面面。 两个原理理 两个平面面垂直的判定 两个平面面垂直性质定理理 直棱柱侧面面积 斜棱柱侧面面积
看完这10张初中数学思维导图,孩子成绩轻松提高20分!
数学，作为一门对于逻辑思维和思维严密性要求较强的学科，无论是在哪一个阶段的学习中都是拉分挺大的一个学科，尤其是对于初中阶段的学生来说。
数学这一门学科在学习的过程中抽象性增强、概括性提高，部分知识枯燥、较难理解。
所以很多孩子在初中的时候数学成绩还不错，后面高中，就逐渐出现知识的落后。
数学也是一门非常注重学习方法的学科，好的学习方法是提升孩子学习效率和兴趣的关键。
对于零零散散的知识点要善于总结归类，在归纳的同时进一步加深对知识点的记忆，还方面后面的复习。
最近在微信上和我交流的孩子和家长，最为关心的问题就是，希望能从我这里学到提高成绩的方法。
鉴于孩子们在数学问题上烦恼，下面就分享给大家初中数学的思维导图。
都是考试汇总常考的内容，家长们可以收藏打印，有空拿给孩子们看看，相信经过孩子们的学习与整理多积累，一定会对后面的学习有很大的帮助。
一、初中数学知识树
二、代数式
三、一次函数与反比例函数
四、二次函数与一次二次方程
五、图形认识、相交线、平行线
六、三角形
七、四边形与圆
八、图形的全等变换
九、全等三角形与相似三角形
十、统计与概率。
几何图形初步(1)
锐角之间的大小关系
能度量两点间的距离
角相等的性质
6.理解角的概念，能比较 角的大小
本章课标要求
4~6学段
4.能用量角器量指定角的 度数，能画指定度数的角， 会用三角尺画30 °,45 °,60 °,90 °的角
5.能辨认从不同方向（前 面、侧面、上面）看到的 物体的形状图 6.通过观察、操作，认识 长方体、正方体、圆柱和 圆锥，认识长方体、正方 体和圆柱的展开图
这样的点有多少个？ 你能从运动的观点描述这些点吗？
教学建议
线:直线、射线、线段（关注抽象过程） 1、概念：注意与生活中概念之间的联系与差异 （直线、射线、上、距离） 2、数学语言与图形语言的互化---关注作图技能与语言表达 3、两个基本事实：两点确定一条直线（射线、线段）是确定 位置的---是作图的主要依据---直线的符号表达 两点之间线段最短是比较数量的大小---求最小值 4、补充延长线的概念(书后129页习题4.2第2题） 5、点与直线、射线、线段的位置关系 6、直线、射线、线段间的位置关系 7、尺规作图（补充等量代换）
。。。。。。。
平面上点的位置
平面直角坐标系---结合小学内容在方格纸上用数对表示位置 （限于正整数）
方位角---利用角度与距离
特殊位置 特殊性质
1、直线上点的位置---任意两个点表示直线
射线----起点的
线段----起点与终点位置特殊---对应表示
2、特殊性质
解线段的和、差，以及线 算，并会计算角
段中点的意义
的和、差
2.体会两点间所有连线中 线段最短，知道两点间的 距离
3.掌握基本事实：两点确 8.理解余角、补
定一条直线
角等概念探索并
4.掌握基本事实：两点之 掌握同角（等角）
初中数学图解思维导图(共9张PPT)
b x1= x2 =
2a
2a
无交
Δ＜0
点
关系 二次函数
无实 根
解法
一元二次方程
应用
传播问题 行程问题 效率问题
与y轴交点位置 c＞0.在正
开口上方a向＜. 0.向a＞下0.向对置称轴在左y同轴右的异位半 在轴 负半c=轴0.在原点
c＜0.
解析
二次函数 与 一元二
次方程
定义
面积问题
y=ax2+bx+c (a.b.c为常数a≠0)
对表应示与点画法到旋转中心的距离相等
利用腰中点 割补射线成--- 全等三直线角.射线形.线、段 平行四边形 三寻边找射关线方系法 锐角关系边角关系
点表到示与直画线法
的距离
线段
多姿多彩的图形
图形认识初 步 相交线
计算与比较
平行线
性质
立体图形
平面图形
对邻
垂
顶补
直
角角
画法
相交线
判定
条件
同位角相等 内错角相等
y axh2 k yaxx1xx2
(a 0)
a0
ax2+bx+c=0 (a≠0)
角平分线
余角.补角
性质
等角的余角相等 等角的补角相等
和 为1800
相
定义 性质
等
一“放”二“靠” 三“推”四“画”
叠合法
度量法
角的比较
对应点的坐标比为k或-k
角的比较与运算
在原点 c＜0.
翻折后与 另一图定义形.表重示 合
y轴的对称点
表
示
轴
对
解决几何中的
称
极值问题
立体几何基础知识结构网络图
。
立体几何基础知识结构网络图 Page 1 of 4
第
直线、平面平行的判定与性质
线//线 面//面 线//面 .1直线与平面平行的判定
.2平面与平面平行的判定
二
(2.2)
.3直线与平面平行的性质
.4平面与平面平行的性质
章
点
线
面
类比 猜想
之
间
的
位
置
合情 推理
关
系
1、线面平行的判定定理： a b
圆
①底面是全等的 ；②母线与 平行；
轴的边旋转而成的曲面。圆柱的母线：
柱 ③轴与底面圆的半径
；④侧面
l
2 r
于轴的边。
S圆柱表
展开图是一个
。⑤ 轴截面
O
是
。
以直角三角形的一条 边为旋转轴，其 旋 圆 余两边旋转形成的面所形成的旋转体。
圆锥的底面：
。顶 S圆锥侧面积
锥
①底面是一个
；②母线交于圆
转
锥的
台 ① 上下底面是相似的
；
相邻侧面的公共边。顶点：侧面与上、下
② 侧面是
；
底面的公共顶点。
③ 侧棱交于原棱锥的
。
结构特征
图形
相关概念
侧/表 面积公式
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余
三边旋转形成的
所围在的旋转体。 r O
圆柱的轴： 。圆柱的底面： 于轴
的边旋转而成的圆面。圆柱的侧面： 于 S圆柱侧
底面
，其相似比等
底面（底）：
面。侧面：有公共顶点
的
。侧棱：相邻侧面的
。顶
点：各侧面的
。
S正棱锥侧面积