基本函数的图象及其基本性质、分段函数、复合函数、抽象函数的图象与

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16
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数,实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数,实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
2024/1/28
相位变换
通过改变函数内的常数项,实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数,实现对函数图 像的上下平移。
17
三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时,函数单调递增 ;当 $k < 0$ 时,函数单调递
减。
8
二次函数表达式与图像
2024/1/28
二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$($a neq 0$)
图像特点
一条抛物线,开口方向由 $a$ 决定($a > 0$ 时向上开口 ,$a < 0$ 时向下开口),对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ,顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
13
指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
2024/1/28
14
04
三角函数及其性质
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2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程

函数及其图象函数的图像函数的图象

函数及其图象函数的图像函数的图象

2023函数及其图象•函数的基本概念•函数的图像•不同类型函数的图像目录•函数图像的应用•函数图像的艺术01函数的基本概念设x和y是两个变量,D是一个给定的集合,在D上有唯一确定的y值与x对应,则称y是x的函数,记作y=f(x)。

集合D称为函数的定义域,x称为自变量,y称为因变量。

函数的定义函数的表示方法图象法用图象表示函数,如f(x)=x^2的图象为开口向上的抛物线。

表象法用表格表示函数,如t=sin(x)。

解析法用等式表示函数,如y=2x+1。

函数的分类•常数函数:f(x)=c(c为常数)•一次函数:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0)•二次函数:f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)•反比例函数:f(x)=k/x(k为常数,k≠0)•幂函数:f(x)=x^a(a为常数)•指数函数:f(x)=a^x(a为常数,a>0且a≠1)•对数函数:f(x)=log_a x(a为常数,a>0且a≠1)•复合函数:f(x)=u(x)+g(x),其中u和g都是简单函数。

02函数的图像1函数图像的概念23将函数表达式中自变量与因变量之间的关系用图形表示出来。

函数图像在平面直角坐标系中,以横轴表示自变量,纵轴表示因变量。

坐标系根据函数表达式的性质,图像呈现不同形状,如直线、曲线、折线等。

函数图像的形状描点法根据函数表达式,求出一些自变量对应的因变量值,然后在坐标系上描出对应的点,最后用平滑的曲线或直线将这些点连接起来。

图示法利用计算器或编程语言,直接在计算机上绘制出函数图像。

绘制函数图像的方法函数图像的变换伸缩将函数图像按比例进行缩放,可以是横向或纵向。

平移将函数图像沿横轴或纵轴方向移动一定距离。

翻折将函数图像以某一条直线或点为对称中心进行翻折。

复合变换以上变换可以同时进行,也可以多次进行。

旋转将函数图像按一定角度顺时针或逆时针旋转一定角度。

03不同类型函数的图像线性函数一次函数的图像是直线,表达式为$y=kx+b$,其中$k$是斜率,$b$是截距。

函数与图像的基本概念与性质

函数与图像的基本概念与性质

函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义:函数是两个非空数集A、B之间的对应关系,记作f:A→B。

2.函数的性质:(1)一一对应:对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一的元素与之对应。

(2)自变量与因变量:在函数f中,集合A称为函数的定义域,集合B称为函数的值域。

对于定义域中的任意一个元素x,在值域中都有唯一的元素y与之对应,称为函数值。

(3)函数的单调性:若对于定义域中的任意两个元素x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f在定义域上为增函数;若对于定义域中的任意两个元素x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称函数f在定义域上为减函数。

3.函数的分类:(1)线性函数:形如f(x)=ax+b(a、b为常数,a≠0)的函数。

(2)二次函数:形如f(x)=ax²+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数。

(3)分段函数:形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数,其中D1、D2为定义域的子集,且D1∩D2=∅。

二、图像的概念与性质1.函数图像的定义:函数图像是指在平面直角坐标系中,根据函数的定义,将函数的定义域内的每一个点(x, f(x))连接起来形成的图形。

2.函数图像的性质:(1)单调性:增函数的图像呈上升趋势,减函数的图像呈下降趋势。

(2)奇偶性:若函数f(-x)=-f(x),则称函数f为奇函数;若函数f(-x)=f(x),则称函数f为偶函数。

奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。

(3)周期性:若函数f(x+T)=f(x),则称函数f为周期函数,T为函数的周期。

周期函数的图像具有周期性。

(4)拐点:函数图像在拐点处,曲线的斜率发生改变。

三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化:通过函数的解析式,可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像;同时,根据函数图像的形状,可以反推出函数的解析式。

六大基本初等函数图像及其性质(总12页)

六大基本初等函数图像及其性质(总12页)

六大基本初等函数图像及其性质(总12页)抛物线函数 y = x^2- 图像为开口朝上的抛物线,顶点在原点(0,0)- 奇函数,即f(-x) = -f(x)- 定义域为全体实数,值域为[0, +∞)- 极值点为顶点(0,0),不存在最大值和最小值- 函数单调递增且无拐点反比例函数 y = 1/x-tu.grid正比例函数 y = x- 图像为平面直线,通过原点(0,0)- 定义域为全体实数,值域为全体实数- 函数单调递增,无拐点- 斜率代表变化率,斜率越大表示变化速度越快,斜率为正则表示函数单调增加,斜率为负则表示函数单调减少指数函数 y = a^x (a>0且a≠1)- 图像为上凸曲线,通过点(0,1)- 定义域为全体实数,值域为(0,+∞)- 当a>1时,函数单调递增;当0<a<1时,函数单调递减- 随着自变量x的增大,函数值加速增大或减小对数函数y = logₐ(x) (a>0且a≠1)- 反指数函数,图像和指数函数的图像呈镜像关系- 定义域为(0,+∞),值域为全体实数- 当a>1时,函数单调递增;当0<a<1时,函数单调递减- 随着自变量x的增大,函数值增长速度逐渐变慢三角函数 y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x)- 正弦函数图像为周期性上下波动的连续曲线,取值范围[-1, 1] - 余弦函数图像为周期性波动的连续曲线,取值范围[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数的定义域为全体实数,值域为[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数是周期性函数,周期为2π- 正切函数图像为周期性波动的连续曲线,定义域为实数集合-{(2n + 1)π/2 | n∈Z},值域为全体实数这些基本初等函数的图像和性质对数学的学习和应用有着重要的作用,掌握这些函数的图像及其性质,有助于理解数学问题的规律,并能够在实际问题中进行分析和求解。

常见函数的图像和性质

常见函数的图像和性质

常见函数的图像和性质在数学的世界里,函数就像是一座桥梁,连接着不同的数量关系。

而函数的图像和性质,则是我们理解和把握这些关系的关键。

今天,咱们就来一起聊聊常见函数的图像和性质。

首先,咱们来看看一次函数。

一次函数的表达式一般写作 y = kx+ b (k、b 为常数,k ≠ 0)。

它的图像是一条直线。

当 k > 0 时,直线是上升的,意味着函数值 y 随着 x 的增大而增大;当 k < 0 时,直线是下降的,函数值 y 随着 x 的增大而减小。

b 呢,则决定了直线与 y轴的交点,当 b > 0 时,交点在 y 轴的正半轴;当 b < 0 时,交点在 y 轴的负半轴;当 b = 0 时,直线过原点。

再来说说反比例函数,它的表达式通常是 y = k / x (k 为常数,k ≠ 0)。

反比例函数的图像是两条曲线,叫做双曲线。

当 k > 0 时,双曲线在一、三象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小;当 k < 0 时,双曲线在二、四象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大。

二次函数也是常见函数中的重要一员,其表达式一般为 y = ax²+bx + c (a、b、c 为常数,a ≠ 0)。

二次函数的图像是一条抛物线。

当a > 0 时,抛物线开口向上,有最小值;当 a < 0 时,抛物线开口向下,有最大值。

抛物线的对称轴是直线 x = b / 2a 。

而且,判别式Δ = b²4ac 能帮助我们判断抛物线与 x 轴的交点情况。

当Δ > 0 时,抛物线与x 轴有两个交点;当Δ = 0 时,抛物线与 x 轴有一个交点;当Δ < 0 时,抛物线与 x 轴没有交点。

接下来看看指数函数,它的表达式是 y = a^x (a > 0 且a ≠ 1)。

当 a > 1 时,函数单调递增,图像从左到右逐渐上升;当 0 < a < 1 时,函数单调递减,图像从左到右逐渐下降。

指数函数的图像恒过点(0, 1)。

常见函数的图像和性质

常见函数的图像和性质

常见函数的图像和性质函数是高中数学学习中不可避免的部分,常见函数有一些图像和性质。

本文将介绍常见函数的图像和性质,包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数。

线性函数是最基本的函数之一,也是最容易理解的函数之一。

线性函数的一般式是y = kx + b,其中k和b是常数,x和y表示函数的自变量和因变量。

线性函数的图像是一条直线,斜率k和截距b决定了直线的位置和倾斜程度。

当k>0时,函数是单调递增的,当k<0时,函数是单调递减的。

斜率越大,直线越陡峭,斜率越小,直线越平缓。

截距决定直线和y轴的交点。

当b>0时,直线在y轴上方,当b<0时,直线在y轴下方,当b=0时,直线经过原点。

线性函数的性质是简单的,任何两个不同的点都能确定一条直线,而且任何一条直线都可以写成y = kx + b的形式。

二次函数是另一个基本函数,一般式是y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c是常数。

二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线,抛物线的开口方向由系数a的正负决定。

当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。

二次函数图像的性质和线性函数有所不同,首先,二次函数不是单调函数,也就是说,它有一个最值点,最值点的坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。

第二,二次函数图像的对称轴是一个垂直于x轴的线,它的坐标是x = -b/2a。

第三,二次函数图像上任何一条水平线和抛物线只有一个交点,因此,二次函数也称为单峰函数。

指数函数是一种以底数为e的指数型函数,一般式是y = a^x,其中a是正常数。

指数函数的图像呈现出一种快速增长或快速衰减的趋势,指数函数的性质是独特的。

当a>1时,指数函数单调递增,当0<a<1时,指数函数单调递减,当a=1时,指数函数恒等于1。

指数函数图像的特点是固定的x值下y值呈指数型增长或衰减,在坐标系中的图像表现出“指数型曲线”。

高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1

高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1

高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种,它们是:1.正比例函数;2.反比例函数;3.根式函数;4一次函数;5.二次函数;6双勾函数.;7. .双抛函数;8.指数函数;9对数函数;10. 三角函数;11分段函数.;12. 绝对值函数;13. 超越函数;14.抽象函数。

而函数的性质常见的有:1.定义域;2.值域;3.单调性;4.奇偶性;5.周期性;6.对称性;7.有界性;8.反函数;9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像,再利用函数图像研究其性质,下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。

1.正比例函数4一次函数5二次函数8.指数函数11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数。

其图像的画法是按定义域的划分分别作图。

其性质主要是考察求值域和属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式。

考单调性。

求值域时一定要首先看x察单调性主要是整个定义域为增函数还是减函数,相当于是恒成立问题。

(1)设函数⎩⎨⎧≥--<+=)1(14)1)(1)(x x x x x f (,则使得1)(≥x f 的自变量x 取值范围是(2)已知⎩⎨⎧<-≥=)0(1)0(1)(x x x f 则不等式5)2()2(≤+++x f x x 的解集是__(3)已知⎩⎨⎧≥<+-=)1()1(12)(x a x x a x f x)(是R 上的增函数,则a 的取值范围是__ 13.绝对值函数 一般有)()()(x g x f y x f y +==和两种类型,只需按绝对值的定义转化为分段函数即可画出图像;其主要考察值域和单调性。

如设的解集求5)(54)(2≥--=x f x x x f 。

14.超越函数 超越函数主要是由1-11种基本初等函数中的两种组合在一起的,例如xxx f sin )(=、12ln )(++=x x x f ;其常见的题型是利用11种函数性质解题,特别是利用可导性、对称性、单调性、奇偶性来判断图像。

常见函数的图像及其性质

常见函数的图像及其性质

常见函数的图像及其性质数学中的函数就像我们日常生活中的“机器”,通过给出一个输入,便能得到一个输出。

而函数所表示的“规律”,可以通过数学的方法加以描述和解释。

在数学中,常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

本文将介绍这些函数的图像及其性质。

一、线性函数线性函数是最基本、最简单的函数之一。

线性函数的一般形式为:y = kx + b其中,k和b是常数,x是自变量,y是因变量。

这里k表示直线斜率,b表示直线截距。

线性函数的图像是一条直线,其特点是斜率恒定。

当直线斜率为正时,函数是增长函数;当直线斜率为负时,函数是减少函数;斜率为0时,函数是常量函数。

二、二次函数二次函数是一种二次多项式函数,其一般形式为:y = ax² + bx + c其中,a、b、c是常数,x是自变量,y是因变量。

二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线,因为其自变量是平方项的形式。

二次函数的性质包括:1. 当a > 0时,函数开口向上,有最小值;当a < 0时,函数开口向下,有最大值。

2. 当二次函数的判别式b²-4ac > 0时,函数图像与x轴有两个交点;当b²-4ac = 0时,函数图像与x轴有一个交点;当b²-4ac < 0时,函数图像与x轴没有交点。

三、指数函数指数函数是一种以常数e(自然对数常数)为底,自变量是指数的函数。

其一般形式为:y = a^x其中,a是一个大于0且不等于1的常数,x是自变量,y是因变量。

指数函数的图像有如下特点:1. 当a > 1时,函数在x轴右侧增长;当0 < a < 1时,函数在x 轴左侧增长。

2. 当a > 1时,函数的y值无上限,但x轴是渐近线;当0 < a < 1时,函数的y值趋于0,但x轴是渐近线。

四、对数函数对数函数是指既然函数,其一般形式为:y = logₐx其中,a是底数,a > 0且a ≠ 1,x是自变量,y是因变量。

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高考数学讲座——函数
主讲:奉贤中学 宋林荣
函数是中学数学最重要的内容之一(三大板块内容之一),是高中数学教材的一条主线,是历年高考命题的重点。

函数的概念是以集合为基础,也是学习高等数学的基础。

函数的主要..内容:函数的概念(三个要素:定义域、值域和对应法则)、基本初等函数的性质和图像。

其中包括了三角函数和反三角函数,数列实质上也是函数,只是定义域为正整数集或正整数集的子集。

学习中,要求掌握的函数具体内容有:函数的定义域、值域、图像、奇偶性、单调性、周期性、最值、反函数、和(积)函数,以及相关的具体函数的图像及性质。

研究函数,主要从定义、图像、性质三方面加以研究。

高考相关内容点击: 一、函数与反函数
【例题1】 已知xy 0<,而且2
2
4x 9y 36-=。

由此能否确定一个函数关系y f (x)=?如果能,
求出其解析式、定义域和值域;如果不能,请说明理由。

【例题2】下列各对函数中,相同的是( ) (A )2
f (x)l
g x =和g(x)2lg x = (B )x 1
f (x)lg
x 1
+=-和g(x)lg(x 1)lg(x 1)=+--
(C )f (s)=
g(t)= (D )f (x)x =和g(x)=【例题3】求下列函数的反函数:(1)2
y x 2x(x 1)=-≥;(2)x x
21
y (x 0)21
+=<-。

【例题4】下列函数中,反函数为其自身的函数是( ) (A )2
f (x)x ,x [0,)=∈+∞ (B )3
f (x)x ,x (,)=∈-∞+∞
(C )x
f (x)e ,x (,)=∈-∞+∞ (D )1
f (x),x (0,)x
=∈+∞ 【例题5】函数x 3f (x)2x 1
+=
-,函数g(x)是函数1
y f (x 1)-=+的反函数,求g(3)的值。

二、函数的定义域与值域(最值) 【例题6】(1)已知函数x
x f -=
11)(的定义域为M ,)1ln()(x x g +=的定义域为N ,求
M N 。

(2
)函数2()f x =的定义域为 。

【例题7
】求函数f (x)=
【变式题】求函数f (x)=定义域和值域。

【例题8】设1x
f (x)tx (t 0)t
-=+>,g(t)是f (x)在x [0,1]∈上的最小值,求g(t)的最大值。

三、和函数与积函数
【例题9】设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( )
(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数
(C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数
四、函数的奇偶性与单调性
【例题10】(1)判断下列函数的奇偶性: ①x 2f (x)121=+-
;②g(x)|x 2|2
=+-。

(2)已知a 常数,函数x
2
f (x)a (x R)21
=-∈+为奇函数,求实数a 的值;
(3)已知(31)4,1()log ,1
-+<⎧=⎨
≥⎩a a x a x f x x x 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是( ) (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11[,)73
(D )1[,1)7
【例题11】已知函数2
a
f (x)x (x 0,a R)x
=+
≠∈。

(1)当a 为何值时,函数f (x)为偶函数; (2)若函数f (x)在区间[2,)+∞上是增函数,求实数a 的取值范围。

【例题12】求下列函数的单调区间:(1)f (x)|x 1||2x 4|=-+-;(2)22x 1
f (x)x 1
+=-。

五、函数的对称性与周期性
【例题13】函数x 1
y x
+=的图像关于直线y x 1=-对称的图像为C ,求C 对应的函数的解析式。

【例题14】已知函数f (x)对任意的x R ∈,都有1
f (x)1f (x 2)
=-
+,且f (0)m(m 0)=>。

(1)
求f (2)、f (4)、f (6)的值;(2)求函数f (x)的一个周期并证明;(3)若f (1)1=,求8
f (27)
+的值。

六、函数图像变换与图像应用
【例题15】(1)把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题:若函数x
f (x)23=+的图像与函数g(x)的图像关于 对称,则函数g(x)= 。

(答案不唯一) (2)若函数f (x)a |x b |2=-+在区间[0,)+∞上是增函数,求实数a 、b 的取值范围。

【例题16】 方程x 2
+2x -1=0的解可视为函数y =x +2的图像与函数y =1x
的图像交点的横坐
标,若x 4
+ax -4=0的各个实根x 1,x 2,…,x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4
x i
)(i =1,2,…,k )均在直线y =x
的同侧,则实数a 的取值范围是 。

七、二次函数与分式函数
【例题17】已知函数2
f (x)x mx 2=++,x [1,2]∈-,求函数f (x)的最小值。

【例题18】已知函数2f (x)x ax a =--。

(1)若存在实数x ,使得f (x)0<,求实数a 的取值范围;(2)设g(x)|f (x)|=,g(x)在区间[0,1]上递增,求实数a 的取值范围。

【例题19】已知函数a 2
f (x)x x
-=+ (常数a R ∈)求f (x)在区间(0,3]上的最值。

八、含绝对值函数与分段函数 【例题20】画出函数2|log x|
1
f (x)2|x |x
=--
的大致图像。

【例题21】(1)设函数2x 1x 0f (x)2x
x 0⎧+≥=⎨<⎩,则1
f (10)-= 。

(2)设函数x 123x 0
f (x)lo
g x x 0
+⎧≤=⎨>⎩,若0f (x )3>,则0x 的取值范围是 。

【例题22】 对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩
⎨⎧≥b a b b
a a <,,,函数f (x )=max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是( )
(A)0 (B)
12 (C) 3
2
(D)3 九、复合函数与抽象函数
【例题23】求函数212
()log (2)=-g x x x 的单调递增区间。

【例题24】已知f x ()的定义域为R +
,且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ,y 都成立,
若f ()84=,则f (2)= 。

【例题25】已知)(x f y =定义域为+R ,且对任意的x 、+∈R y ,恒有)()()(y f x f xy f +=,1>x 时,0)(<x f 。

(1)求)1(f 的值,并证明)()1
(x f x
f -=;(2)求证:在)(1x f y -=的定义域内恒
有)()()(2111211x f x f x x f ---⋅=+。

十、函数的应用性问题与综合性问题
【例题26】已知函数)(x f 的图象与函数21
)(++=x
x x h 的图象关于点A (0,1)对称.(1)求函数)(x f 的解析式(2)若)(x g =)(x f +x
a
,且)(x g 在区间(0,]2上的值不小于6,求实数a 的取值范围。

【例题27】 某工厂生产一种机器的固定成本为5000元,且每生产100部,需要增加投入2500元,对销售市场进行调查后得知,市场对此产品的需求量为每年500部,已知销售收入的函数为()2
2
1500x x x H -
=,其中x 是产品销售的数量(0≤x ≤500)。

(1)若x 为年产量,y 表示利润,求y=f(x)的表达式。

(2)当年产量为何值时,工厂的利润最大,其最大值是多少?(3)当年产量为何值时,工厂有盈利?
十一、函数存在性问题与恒成立问题
【例题28】已知函数2ax 1
f (x)(a,b,c R,a 0,b 0)bx c
+=
∈>>+是奇函数,当x >0时,f (x )有最小值2,其中b ∈N 且f (1)2
5
<
.(1)试求函数f (x )的解析式;(2)问函数f (x )图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。

【例题29】设22)(2
+-=ax x x f ,)(R a ∈。

(1)当R x ∈时,a x f ≥)(恒成立,求a 的取
值范围;(2)当),1[+∞-∈x 时,a x f ≥)(恒成立,求a 的取值范围。

【例题30】已知函数)(t f 对任意实数y x ,都有3)2(3)()()(+++++=+y x xy y f x f y x f ,1)1(=f (1)若t 为自然数,试求)(t f 的表达式;
(2)若t 为自然数,且4≥t 时,m t m mt t f 3)14()(2+++≥恒成立,求m 的最大值。

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