中考数学锐角三角函数(大题培优)及详细答案
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中考数学锐角三角函数(大题培优)及详细答案
一、锐角三角函数
1.如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m).备用数据:,
【答案】(1)∠BPQ=30°;
(2)该电线杆PQ的高度约为9m.
【解析】
试题分析:(1)延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可;
(2)设PE=x米,在直角△APE和直角△BPE中,根据三角函数利用x表示出AE和BE,根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值,再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长,则PQ的长度即可求解.
试题解析:延长PQ交直线AB于点E,
(1)∠BPQ=90°-60°=30°;
(2)设PE=x米.
在直角△APE中,∠A=45°,
则AE=PE=x米;
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中,33
米,
∵AB=AE-BE=6米,
则3
,
解得:3
则BE=(33+3)米.
在直角△BEQ中,QE=
3
3
BE=
3
3
(33+3)=(3+3)米.
∴PQ=PE-QE=9+33-(3+3)=6+23≈9(米).
答:电线杆PQ的高度约9米.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
2.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7).
【答案】32.4米.
【解析】
试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.
试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E,
根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.
∵AB⊥AC,CD⊥AC,
∴四边形ABEC为矩形,
∴CE=AB=12m,
在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE
,
∴33
在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,得3
∴CD=CE+DE=123)≈32.4.答:楼房CD的高度约为32.4m.
考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.
3.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC.
(1)求证:∠AEC=90°;
(2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由;
(3)若DC=2,求DH的长.
【答案】(1)证明见解析;
(2)四边形AOCD为菱形;
(3)DH=2.
【解析】
试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得
,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出
∠AEC=90°;
(2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);
(3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由
DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长.
试题解析:(1)连接OC,
∵EC与⊙O切点C,
∴OC⊥EC,
∴∠OCE=90°,
∵点CD是半圆O的三等分点,
∴,
∴∠DAC=∠CAB,
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AE∥OC(内错角相等,两直线平行)
∴∠AEC+∠OCE=180°,
∴∠AEC=90°;
(2)四边形AOCD为菱形.理由是:
∵,
∴∠DCA=∠CAB,
∴CD∥OA,
又∵AE∥OC,
∴四边形AOCD是平行四边形,
∵OA=OC,
∴平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD.
∵四边形AOCD为菱形,
∴OA=AD=DC=2,
∵OA=OD,
∴OA=OD=AD=2,
∴△OAD是等边三角形,
∴∠AOD=60°,
∵DH⊥AB于点F,AB为直径,
∴DH=2DF,
在Rt△OFD中,sin∠AOD=,
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=,
∴DH=2DF=2.
考点:1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形.4.如图,在⊙O的内接三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O
于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.
(1)求证:△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5,,求PD的长;
(3)在点P运动过程中,设=x,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可证明结论.
(2)由AC=2BC,设,应用勾股定理即可求得BC,AC的长,则由AC=2BC得
,由△ACE∽△ABC可求得AE,CE的长,由可知△APB是等腰直角三角形,从而可求得PA的长,由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长,
由(1)△PAC∽△PDF得,即可求得PD的长.
(3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得,由角的转换可得
,由△AGP∽△DGB可得,由△AGD∽△PGB可得,两