三角形三边关系的巧用
直角三角形三边的关系
解：如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90゜
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：
12
AB AC2BC2
5
122 52
13
答：要用13米长的直角钢三角丝形三边绳的关才系 能把电线杆固定.
例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上， ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直 距离ＡＢ．（精确到0.01米）
（2）等腰直角三角形的三边关系：AC2 + BC2 =AB2
说明:在等腰直角三角形ＡＢＣ中， 两直角边的平方和等于斜小
方
格 表 示
A
R c bQ
Sp 9
SQ 16
1 平 方
B aC
SR 25
Sp SQSR
厘
P
BC2 + AC2 =AB2
米
a2 b2 c2
直角三角形三边的关系
勾股定理： 对于任意的直角三角形，如果 它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c， 那么一定有a2＋b2＝c2。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
b
c
a
勾股定理揭示了直角三
角形三边之间的关系
直角三角形三边的关系
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
cb
┏
a
a2+b2=c2
直角三角形三边的关系
24m
9m
?
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
初中数学三角形有关的线段讲解及习题
(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．
【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.
所以∠DAC＝∠EBC.
10．三角形中线应用拓展
三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：
(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.
9．三角形高的应用
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．
【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？
(1)6 cm,8 cm,10 cm；
(2)三条线段长之比为4∶5∶6；
(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．
分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．
方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.
江苏省淮安市三树镇第一初级中学七年级数学下册 第七章 小结与思考(2) 课件 苏科版
∴ ∠ACD＝∠A＋∠B
B
C D（2）三角形的一个外角大于任何一个
与它不相邻的内角。
∵∠ACD是△ABC的外角 ∴ ∠ACD＞∠A
∠ACD＞∠B
6.多边形的内角和
An
A5 （1）n边形内角和等于（ n－2）·180 0
A1 A2
A4（2）n边形从一个顶点出发的对角线条数
巧
慧
；
我们，还在路上……
A3
为n－3
An A1
A2
A5 （3）n边形对角线总条数为 n（n－3） 2
A4 7.多边形的外角和 A3 任意多边形的外角和都为3600
例1 如图，AE∥BD，∠CBD＝56 ，0 ∠AEF ＝128 ，0
求x的值。
例2
如图，六边形ABCDEF的内角都相等， ∠1＝∠2＝60 ，0 AB与DE有总样的位置 关系？AD与EF有怎样的位置关系？为 什么？
1
2
图2
（3）如图3，点P是△ABC中内角∠ABC平分线与 外角∠ACD平分线的交点。试探索∠BPC与∠A的数 量关系。
1
2
图3
阅
读
使
You made my day!
数 学 使 人 精 细 ； 博 物 使 人 深 沉 ； 伦 理 使 人 庄 重 ； 逻 辑 与 修 辞 使 人 善 辩 。
人 充 实 ； 会 谈 使 人 敏 捷 ； 写 作 与 笔 记 使 人 精 确 ； 史 鉴 使 人 明 智 ； 诗 歌 使 人
3.三角形的三线
(3) 三 角 形 的 中 线
4.三角形的内角和 A （1）三角形的内角和等于180 ；0
在△ABC中，
B
C
有15度的直角三角形的三边关系
有15度的直角三角形的三边关系示例文章篇一：《探索有15度角的直角三角形三边关系》嗨，大家好！今天咱们来一起研究一个特别有趣的东西——有15度角的直角三角形三边关系。
这可不是那种干巴巴的数学题哦，这里面可藏着好多好玩的秘密呢。
咱们先画一个直角三角形，其中一个角是90度，另一个角是15度，那剩下的那个角就是75度啦。
这个15度的角看起来小小的，可它对三角形的三边影响可大了呢。
我记得有一次，我和我的好朋友小明在做数学作业的时候就碰到这个问题。
我当时就有点懵，心想这可咋整啊？这15度的角好奇怪哦。
小明就跟我说：“咱们可以把这个15度的角变得更熟悉一点呀。
”我就问他：“咋变呢？”他说：“你看啊，45度减去30度不就是15度嘛。
”哇，我当时就觉得他好聪明啊，就像突然点亮了一盏灯一样。
那咱们就按照小明说的这个思路来看看。
我们都知道在有30度角的直角三角形里，三边关系是1：√3：2。
在45度角的直角三角形里，三边关系是1：1：√2。
那现在我们就把这个15度的直角三角形和我们熟悉的这两个三角形联系起来。
我们可以构造一个大的三角形来帮忙理解。
比如说，我们先画一个45度角的直角三角形，然后在这个45度角里，再分出一个30度角的直角三角形。
咱们假设那个45度角的直角三角形的直角边是1，那斜边就是√2啦。
然后在这个45度角里面的30度角的直角三角形，30度所对的直角边是1/2，那另一条直角边就是√3/2。
现在我们来看看这个15度角的直角三角形的三边。
咱们就把这个构造出来的图形当成是一个大拼图，从里面找出我们想要的那部分。
这个15度角的直角三角形的一条直角边呢，我们可以看成是45度角的直角三角形的直角边减去30度角的直角三角形的直角边，也就是1 - 1/2 = 1/2。
那另一条直角边呢？这就有点复杂啦。
我们要通过计算来得到。
我们可以利用勾股定理，先算出大三角形里面一部分的边长，然后再进行相减之类的计算。
算出来之后发现它是（√6 - √2）/4。
含十五度角的直角三角形三边关系
含十五度角的直角三角形三边关系示例文章篇一：哎呀，同学们，你们知道吗？今天老师给我们讲了一个超级有趣的知识，那就是含十五度角的直角三角形三边关系！一提到三角形，大家可能会想到那些常见的等边三角形、等腰三角形，可这含十五度角的直角三角形可不一样哟！咱们先来说说直角三角形，就是那个有一个角是90 度的三角形。
那含十五度角的直角三角形又是啥样呢？就好像我们在一个大花园里找一朵特别的花，它就是那个与众不同的存在。
我们来假设一下这个三角形的三条边分别是a、b、c，其中c 是斜边。
老师说，要找到它们之间的关系，就得用一些神奇的数学方法。
我一开始可迷糊啦，这三边能有啥关系呀？不就是三条线嘛！可老师一讲，我才发现这里面大有文章。
就像我们搭积木，每一块积木都有它特定的位置和作用，这三角形的三条边也是这样。
老师给我们画了图，还一步一步地推导。
我瞪大眼睛，竖起耳朵，生怕错过一点点。
“同学们，你们想想，如果我们知道一个角是15 度，一个角是90 度，那另一个角不就出来了嘛？”老师笑着问我们。
“是75 度！”大家齐声回答。
然后老师就带着我们用三角函数来计算。
哎呀，这三角函数就像是一把神奇的钥匙，能打开这个三边关系的秘密大门。
你们说，这数学是不是很神奇？就这么一个小小的三角形，里面藏着这么多的奥秘。
我就在想啊，这数学世界就像一个巨大的宝藏库，我们每学一个新知识，就像是找到了一颗闪闪发光的宝石。
经过老师的讲解和我们的计算，最后我们终于得出了含十五度角的直角三角形三边的关系。
这可太有意思啦！我觉得数学不再是那些枯燥的数字和公式，而是充满了惊喜和乐趣的探险之旅。
同学们，你们是不是也这么觉得呢？反正我是爱上数学啦！示例文章篇二：嘿，同学们！今天咱们来聊聊一个超级有趣的数学话题——含十五度角的直角三角形三边关系！你们想想啊，直角三角形咱们都熟悉，那这个有十五度角的直角三角形是不是有点特别呢？咱们先来说说一般的直角三角形，比如一个角是30 度，另一个角是60 度的那种。
直角三角形的边角关系
A
C
13.在梯形ABCD中 ,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18.
┌ BE
┌ FD
求:sinB,cosB,tanB,cotB.
小结 拓展
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
1 根据下列条件求∠θ的大小: (1)tanθ=2.988 8;(2)sinθ=0.395 7; (3)cosθ=0.785 0;(4)tanθ=0.897 2.
怎 么解?
老师提示:上表的显示结果是以度为 单位的,再按 dms 键即可显示以 “度,分,秒”为单位的结果.
例题欣赏P159
洞察力与内秀
按键的顺序
SinA=0.9816 2ndf Sin 0 . 9 8 1 6 =
CosA=0.8607 2ndf cos 0 . 8 6 0 7 =
tanA=0.1890 2ndf tan 0 . 1 8 9 0 =
tanA=56.78 2ndf tan 5 6 . 7 8 =
tan 键的第二
显示结果
小结 拓展
1.锐角三角函数定义:
tanA=
A的对边 A的邻边
sinA=
A的对边 斜边
cosA=
A的邻边 斜边
B
斜边 ∠A的对边
┌ A ∠A的邻边 C
请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系?
30°、45°、60°角的三角函数值
例1 计算：（1）sin30°+ cos45°；
（21） 3 cos 30
人教版四年级数学下册教案 第5单元 三角形的三边关系
第课时三角形的三边关系1.通过创设问题情境、观察比较,初步感知三角形边的关系,体验学数学的乐趣。
2.运用“三角形任意两边的和大于第三边”的性质,解决生活中的实际问题。
3.通过实践操作、猜想验证、合作探究,经历发现“三角形任意两边的和大于第三边”这一性质的活动过程,发展空间观念,培养逻辑思维能力,体验“做数学”的成功。
4.发现生活中的数学美,会从美观和实用的角度解决生活中的数学问题。
【重点】理解、掌握“三角形任意两边的和大于第三边”的性质。
【难点】引导探索三角形的边的关系,并发现“三角形任意两边的和大于第三边”的性质。
【教师准备】PPT课件。
【学生准备】直尺,小棒,统计表。
方法一师:请看,我这里有两根小棒,猜一猜,这是干什么用的?预设生:不知道。
师:今天我想用这两根小棒围成一个三角形,能围成吗?预设生:不能。
师:为什么?围成一个三角形最少需要几根小棒?预设生:至少需要3根小棒。
师:那谁能说一说什么叫做三角形?预设生:三角形是由三条线段首尾相接围成的平面图形。
师:那我们就再加一根,围一个三角形,好吗?这个盒子里面有很多根长度不同的小棒,是不是随便取出一根就能和这两根小棒围成三角形呢?揭示课题:今天这节课我们就一起学习“三角形的三边关系”。
(板书课题)创设有趣的、具有生活实践意义和挑战性的问题情境,可以激发学生强烈的求知欲和探索兴趣,使学生积极主动地参与操作活动,进行探索,感受数学学习的价值,体现了“数学知识来源于生活”。
方法二师:谁来说说什么是三角形?预设生:由三条线段围成的图形叫做三角形。
师:3根小棒或3条线段能不能围成一个三角形,与什么有关? 这节课我们就一起来研究“三角形的三边关系”。
(板书课题)首先回忆什么是三角形,然后老师点明这节课要学习的内容,3条线段能否围成一个三角形与所给定的3条线段的长度有关,为学生进一步学习“三角形的三边关系”指明探索方向。
一、教学例3,两点间所有连线中线段最短以及两点间的距离的概念。
四 巧手小工匠：《三角形三边关系》(教案)四年级上册数学青岛版(五四学制)
巧手小工匠：《三角形三边关系》（教案）四年级上册数学青岛版（五四学制）一、教学目标1. 知识与技能：理解并掌握三角形三边关系，能够运用三角形的特性解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、推理和交流，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们合作交流、积极探究的学习态度。
二、教学内容1. 三角形的特性：稳定性、内角和为180°。
2. 三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3. 三角形的分类：按边分、按角分。
三、教学重点与难点1. 教学重点：三角形的三边关系及其应用。
2. 教学难点：如何运用三边关系解决实际问题，理解三角形的稳定性。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、三角板、直尺、圆规。
2. 学具：三角板、直尺、圆规、彩纸、剪刀。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生关注三角形的稳定性，激发学生的学习兴趣。
2. 新课：引导学生观察、操作，发现三角形的三边关系，并运用三角形的特性解决实际问题。
3. 练习：设计不同层次的练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
4. 小结：总结本节课所学内容，强调三角形的三边关系及其应用。
六、板书设计1. 三角形的特性：稳定性、内角和为180°。
2. 三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3. 三角形的分类：按边分、按角分。
七、作业设计1. 基础题：运用三角形的三边关系判断一些图形是否为三角形。
2. 提高题：运用三角形的特性解决实际问题。
3. 拓展题：研究三角形的稳定性在生活中的应用。
八、课后反思本节课通过引导学生观察、操作、推理和交流，使学生掌握了三角形的三边关系，并能运用三角形的特性解决实际问题。
在教学过程中，注重培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，激发他们对数学的兴趣。
同时，通过设计不同层次的练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
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专项训练一：三角形三边关系的巧用
名师点金：三角形的三边关系应用广泛，利用三边关系可以判定三条线段能否组成三角形、已知两边求第三边的取值范围、证明线段不等关系、化简绝对值、求解等腰三角形的边长及周长等问题．
判断三条线段能否组成三角形
1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾顺次连结后，不能摆成三角形的一组是()
A．4，4，8 B．5，5，1
C．3，7，9 D．2，5，4
2．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？
求三角形第三边的长或周长的取值范围
3．一个三角形的两边长分别为5和3，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是()
A．2或4 B．4或6
C．4 D．2或6
4．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是()
A．6＜l＜15 B．6＜l＜16
C．11＜l＜13 D．10＜l＜16
5．若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有________个．
三角形的三边关系在等腰三角形中的应用
6．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为() A．25 B．25或32 C．32 D．19
7．已知，等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，|AC－BC|＝2 cm，则AC＝________．
8．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是____________．
三角形的三边关系在代数中的应用
9．已知三角形三边长分别为a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值．
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a 为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．
利用三角形的三边关系证明边的不等关系
11．如图，已知D，E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.。