常微分方程与差分方程知识点
常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
第6章 常微分方程与差分方程
二阶:
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
3
2.变量可分离的微分方程
形如
y x 1 ay
x
f ( x)
( x 0 ,1, 2 , )
称为一阶常系数线性差分方程.其中 f ( x ) 为已知函 数, a 是非零常数. y x 1 ay x 0 ( x 0 ,1, 2 , ) 称为一阶常系数齐 次线性差分方程.
18
9.一阶常系数线性差分方程
两互不相同的实根 r1 r2 二重根 r1 r2
特征根为:
通解的表达式
y C 1e
r1 x
CБайду номын сангаас2e
r2 x
y (C 1 C 2 x ) e y e
x
r1 x
两个共轭复根 r1, 2 i
( C 1 cos x C 2 sin x )
13
•二阶常系数非齐次线性微分方程
22
2 例3 求微分方程 y d x ( x
4 x )d y 0
的通解.
解
若 y ( x 4 x ) 0 ,方程可以表示成
2
4
dy y
(
1 x
1 x4
)d x ,
x x4 ln | C | ln Cx x4
等式两边积分得, 即
又y
y ( x 4) C x ,
yx
n
3
温故知新-微分方程与差分方程356308756
∑ P
⎛ ⎜⎝
d dt
⎞ ⎟⎠
⎡⎣t
k
eλt
⎤⎦
=
j
k =0
⎛ ⎜ ⎝
k λ
⎞ ⎟ ⎠
P
(
j
)
(λ
)t
k
−
j
eλt
=0
即 eλt , teλt ,…, t e m−1 λt 都是微分方程的解，并且明显它们是线性无关的。
由常微分方程的基本定理，上述微分方程的解由初始条件
x(0), x′(0),…, x(n−1) (0)
Cλ, jt jeλt
λ是特征根 j=0
其中 x∗ (t) 是这个微分方程的一个特解。
求解非齐次方程的常用方法是常数变易法：即把齐次方程通解中的常数 C 变成函数 C(t) ：
λ的重数−1
∑ ∑ x(t) =
Cλ, j (t)t jeλt
λ是特征根 j=0
对它求导得到
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) x′(t) =
( ) 称为上述差分方程的特征根），则 λ m ∞ 是上述差分方程的解。 m=0
( ) ( ) 如果 λ1,
, λk 是两两不同的特征根，则
λ1m
∞ ,…,
m=0
λkm
∞
是上述微分方程的线性无关解：
m=0
若 C1λ1m + + Ck λkm = 0 ，则
不难知道
⎛1 1
⎜ ⎜
λ1
λ2
⎜
⎜ ⎝
λ1k
−1
1 5
cos(t )e 2t
+
1 5
∫ C1(t) = C1(0) −
t 0
se2s
sin(s)ds
第6章 常微分方程与差分方程
第六章 常微分方程与差分方程 一、基本盖帘 1.常微分方程含有自变量、自变量未知函数及未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程，当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程 2．微分方程的阶在微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶 3.微分方程的解若把某函数及其导数代入微分方程能使该方程称为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解。
通常要求微分方程的解具有和该微分方程的阶数同样阶数的连续导数 4.微分方程的通解和特解含有与微分方程的阶数同样个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解，不含任意常数的解，称为微分方程的特解 5.微分方程的初始条件给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件，称为微分方程的初始条件，初始条件的个数应与微分方程的阶数相同二、一阶微分方程一阶微分方程的基本类型是变量可分离的方程和一阶线性微分方程，而齐次微分方程可通过变量代换为变量可分离的方程 （一）变量可分离的方程 1.变量可分离方程的概念称为变量可分离的方程或dy y N x Q dx y M x P y g x f y )()()()()()('==2.变量可分离方程的特解⎰⎰⎰⎰+=+=≠≠方程的通解就是分别上述两个微分分，然后求积分，所得积端，把变量分离分别同除微分方程的两或时，用或用变量分离法：当,)()()()()()()()()(0)()(,0)(C dx x Q y P dy y M y N C dx x f y g dyy N x Q y g y N x Q y g（二）齐次微分方程1.齐次微分方程的标准形式)('xy f y =2.齐次微分方程的求解丢掉解，在求解过程中不要常数的解也是原微分方程的或注意：即可得到原方程的通解换回最后把可得通解于是有则首先作变量代换，令)()(0)(,0)(;0)(ln )()(','',u u f y M x Q y g xyu Cx C x dxu u f du u u f xu xu u y xyu -===+=+=--=+==⎰⎰(三)一阶线性微分方程1.一阶线性微分方程的标准形式性微分方程否则称为一阶非齐次线方程，称为一阶齐次线性微分即方程，当其中的自由项0)(',0)()()('=+≡=+y x p y x q x q y x p y 2.一阶线性微分方程的求解[]，即得通解公式两端积分后再同乘乘积的导数公式同乘方程的两端，根据，积分因子法，用方法：性微分方程的通解公式代入即得一阶非齐次线积分可求出满足微分方程，把它代入原来的非齐次解即设非齐次微分方程的该为函数把其中的常数的通解，性微分方程先求对应的一阶齐次线：常数变易法方法公式：公式法直接利用通解方法⎰⎰=+⎰=⎰+⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰+==⎰⎰=⎰==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰⎰-----dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p e e x q y x p y e e x yp e y ye e e x q C e y e x q C x C x q e x C x C e x C y x C C Ce y y x p y e x q C e y )(-)()()()()()()()()()()()()()()()(')(''3)()()(),()(')()(),(0)('2)(1三、线性微分厂房解的性质与结构二阶线性方程的一般形式均为连续函数，其中)(),(),()()(')(''x f x q x p x f y x q y x p y =++ 否则称为非齐次方程称二阶线性齐次方程，当右端项0)(≡x f的特解是则的两个特解与分别是方程与，设解的性质（叠加原理）)()()(')('')()()()(')('')()(')('')()(.121212121x f x f y x q y x p y x y x y x f y x q y x p y x f y x q y x p y x y x y +=+++=++=++是非齐次方程的解则其的任意特解一阶、二阶为齐次方程的一个特解，一阶、二阶为非齐次方程若的特解一阶、二阶是对应齐次方程则其差的两个特解一阶、二阶为非齐次方程，若的解一阶、二阶仍为齐次方程则其线性组合的两个特解一阶、二阶为齐次方程，若)()()()()()()3()()(-)()()()()2()()()()()()()1(2121221121x y x y x y x y x y x y x y x y x y C x y C x y x y ++**为任意常数其中的通解为解，则二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的特由二阶齐次方程的通解为个线性无关的特解，则为二阶非齐次方程的两，若为任意常数解，其中是一阶非齐次方程的通则个特解是一阶非齐次方程的一又的通解为特解，则一阶齐次方程是一阶齐次方程的非零设通解的结构212211*********,)()()()()()()()()2()()()(),()()1(.2C C x y x y C x y C y x y x y C x y C y x y x y C x y x Cy y x y x Cy y x y ****++=+=+==四、二阶常系数齐次线性微分方程（一）二阶常系数齐次线性微分方程的形式,0)(')(''2=++=++q p q p y x q y x p y λλ为常数，其特征方程为，其中分方程二阶常系数齐次线性微（二）二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式 依据特征方程判别式的符号，其通解有三种形式为两个任意实数，其中，通解，特种方程有共轭复根，通解，特种方程有重根，通解，的实根，特种方程有两个相异212121*********),sin cos ()(04.3)()(04.2)(04.11121C C x C x C e x y i q p e x C C x y q p e C e C x y q p x xx x βββαλλλλλλλλ+=±-=∆+===-=∆+=-=∆五、二次常系数非齐次线性微分方程（一）二阶常系数非齐次微分方程的一般形式自由项已知函数，称为方程的的为一个不恒等于为常数，，其中微分方程二阶常系数非齐次线性0)(,)()(')(''x f q p x f y x q y x p y =++（二）二阶常系数非齐次微分方程的通解形式为待定系数次多项式，为系数待定的表中的B A n x R n ,)(六、含变限积分的方程对某些含变限积分的方程，可通过对方程求导的方法，转化为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解七、差分的概念及其性质 （一）差分的概念tt t t t t t t t t t t t t t t t t n t y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t t f y +-=--=∆-∆=∆∆=∆-=∆∆-=++++++++1211212112102)(-)()(,...,,...,,,)(二阶差分分，记为的差分，也称为一阶差称为函数差个数列，则其值可以排列成一记其函数值为取所有的非负整数，并中的自变量设函数（二）差分的性质tt t t t t t t t t t t t t z y y z z y y z z y b a z b y a bz ay ∆+∆=∆+∆=⋅∆∆+∆=+∆++11)()2(,,)()1(为常数其中八、一阶常系数线性差分方程（一）一阶常系数线性差分方程的概念及一般形式0),(11=+≠=+++t t t t ay y a t f ay y 对应的齐次方程为其中常数式为线性差分方程的一般形分方程，一阶常系数及其差分方程，称为差自变量，自变量未知数同微分方程类似，含有（二）一阶常系数线性差分方程的通解与特解tt t t t t t t t t t t a C y y y t f ay y a C y C y C a C y ay y )()()(,)(010001-+==+-==-==+**++通解之和，与对应齐次方程的一个特解其通解也是非齐次方程对于非齐次方程即为满足该条件的特解则定初始条件是一个任意常数，若给，其中的通解齐次方程为下表总结了几种常见情形下非齐次方程特解所应具有的形式形式两种情况来设定特解的他们可以分别归结为前，而当，或当是两个待定系数和次多项式，是待定系数的上表特解中t m M t N t M M t N t M B A m t Q )1(sin cos ,sin cos 20)(-=+∏==+∏==ωωωωωωω九、常考题型及其解题方法与技巧题型一、变量可分离的方程与齐次微分方程的解法 题型二、一阶线性微分方程的解法题型三、有关线性微分方程解的性质及解的机构问题题型四、二阶常系数线性微分方程的解法题型五、含变限积分方程的求解题型六、由自变量与因变量增量间的关系给出的一阶方程题型七、综合题与证明题题型八、一阶常系数线性差分方程的解法题型九、微分方程的应用问题。
微分方程差分方程
微分方程差分方程摘要：一、引言二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义2.常见微分方程类型三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义2.常见差分方程类型四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性2.微分方程与差分方程的转换五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用2.生物、经济领域的应用六、结论正文：一、引言微分方程和差分方程是数学领域中两个重要的概念，它们广泛应用于各个学科领域。
本文将首先介绍微分方程和差分方程的定义及基本概念，然后探讨它们之间的关系以及应用领域。
二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义微分方程是一种数学方程，其中包含未知函数及其导数。
它可以表示为：f(x, y") = 0，其中x 是自变量，y 是未知函数，y"表示y 关于x 的导数。
2.常见微分方程类型常见的微分方程类型包括：一阶微分方程、二阶微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义差分方程是一种数学方程，其中包含未知函数及其差分。
它可以表示为：f(x, y[n]) = 0，其中x 是自变量，y 是未知函数，y[n] 表示y 关于x 的n 阶差分。
2.常见差分方程类型常见的差分方程类型包括：一阶差分方程、二阶差分方程、线性差分方程、非线性差分方程等。
四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性微分方程和差分方程在形式上具有相似性，它们都包含未知函数及其导数（差分）。
这使得它们之间可以相互转换。
2.微分方程与差分方程的转换通过合适的差分方法，可以将微分方程转换为差分方程；反之，通过合适的积分方法，可以将差分方程转换为微分方程。
五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用微分方程和差分方程在物理、工程领域具有广泛应用，如电路理论、力学、热力学、波动理论等。
2.生物、经济领域的应用微分方程和差分方程在生物、经济领域也具有重要应用，如生物种群模型、经济波动模型等。
常微分方程与差分方程
yx1 yx zx1 yx zx1 zx
z x1Δ y x y xΔ z x
嘉兴学院
19 May 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第10页
又证明（3）
yx zx
解 yx yx1 yx
( x 1)! x!
x x!
2 yx yx x x! x 1 x 1! x x!
x 2 x 1 x!
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第十章 常微分方程与差分方程
第7页
例4 设y x(n) x( x 1)(x 2)( x n 1), x(0) 1，求Δ y x (即Δ( x(n) )).
nx(n1) （公式）
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第十章 常微分方程与差分方程
第8页
2.差分的四则运算法则
(1)(Cyx ) Cyx (C为常数) (2)( yx zx ) yx zx
3 yx zx yx1zx zxyx yxzx zx1yx
解 yx ( x 1)(n) x(n) ( x 1)x( x 1)( x 1 n 1) x( x 1) ( x n 2)( x n 1)
( x 1) ( x n 1)x( x 1)( x n 2)
第十章 常微分方程与差分方程
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10.6 差分方程
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第十章 常微分方程与差分方程
第2页
10.6.1 差分的概念及性质
常微分方程与差分方程知识点
不是特征方程的根，
是特征方程的单根，
是特征方程的重Hale Waihona Puke ，（2）特解形式： ，
不是特征方程的根，
是特征方程的单根，
个人总结：
自由项为多项式 ，
自由项为指数函数 ，
自由项为正弦函数 ，
特解设为
自由项为余弦函数 ，
特解设为
8、一阶常系数差分方程的概念及一般形式
含有自变量、自变量的未知函数及其差分的方程，称为差分方程。一阶常系数线性差分方程的一般形式为：
常微分方程与差分方程知识点
考试纲要
常微分方程的基本概念
变量可分离的微分方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
线性微分方程解的性质及解的结构定理
二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程
微分方程的简单应用
差分与差分方程的概念
差分方程的通解与特解
一阶常系数线性差分方程
考试要求
1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念
特解 的形式
其中 是 次多项式
其中常数
其中， 是常数，且
上表特解中 是待定系数的 次多项式， 是两个待定系数。
【注】 或 时， 可归结为前两种情况来设定特解形式。
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7、会用微分方程求解简单的经济应用问题
重要知识点
1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同
2、变量可分离微分方程解法
→ →
3、齐次微分方程解法
→设 → →再用 代替
附：可化为齐次的方程
4、一阶线性微分方程解法
个人总结：对于 ，首先计算 ，通解为
常微分方程与差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分① 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(y x f dx dy=中的二元函数),(y x f 可表示为)()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dxdy=为可分离变量的方程。
对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为dx x g y h dy)()(=的形式，再对此式两边积分得到C dx x g y h dy +=⎰⎰)()(从而解出)()(y h x g dxdy=的解，其中C 为任意常数。
具体例子可参考书本P10—P11的例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 可表示为y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dxdy=+为一阶线性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程0)(=+y x P dxdy，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到⎰=-dxx P Ce y )(，其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如⎰=-dx x P e x C y )()(的解。
将其代入)()(x Q y x P dxdy =+我们就可得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---这其实也就是⎰='dxx P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(，于是将其回代入⎰=-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy=+的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。
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常微分方程与差分方程知识点
考试纲要
常微分方程的基本概念
变量可分离的微分方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
线性微分方程解的性质及解的结构定理
二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程
微分方程的简单应用
差分与差分方程的概念
差分方程的通解与特解
一阶常系数线性差分方程
考试要求
1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念
2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法
3、会解二阶常系数齐次线性微分方程
4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程
5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念
6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法
7、会用微分方程求解简单的经济应用问题
重要知识点
1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同
2、变量可分离微分方程解法
g(y)dy f (x)dxg(y)dy f(x)dx G(y) F(x) C
3、齐次微分方程解法
dy(y)T殳u y- dU dx T再用y代替u
dx x x (u) u x x
附：可化为齐次的方程
c C| 0,可化为齐次微分方程
a b
. . a1 bi
dy ax by c
dx ax by c c或c o
a b
a b
x X h
0,设h,带入原方程解出h,k,可化为齐次微分方程y Y k
设印b,dy ax by c ,令ax
a b dx (ax by) c
则可化为史的变量可分离微分方程
dx
by v,
0,
7、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
齐次方程y t 1 ay t 0的通解为y t C a ，其中C 是一个任意常数。
若给定初始条件y 0 C o ，则y 0 C 0 a t 即为满足该初始条件的特解。
对于非齐次方程 y t 1 ay t f (t)，其通解也是非齐次方程的一个特解
y t*与对应齐次方程通解之和。
即:
†
t
y t y
t
C a。
上表特解中m是待定系数的次多项式，代是两个待定系数。
【注】或2时，M cos t Nsin t可归结为前两种情况来设定特解形式。