分类资料统计推断

α= 0.05
H1 :1 2
计算统计量χ2值：
2
54 20 8 44
62 6498
2126 28
6.13
确定P值，作结论：
查χ2界值表中，υ=
1
时，
χ2 0.05，1
=
3.84
,
χ2 0.01,1
=
6.63
,
因而
0.05 >P >0.01 , 即 P＜α, 因而拒绝 H0 , 接受 H1 , 可以认为两组溃疡
传统疗法 162
43
205
79.02
新疗法
121
13
134
90.30
合计
283
56
339
83.48
2 162 13 43 1212339 = 7.47
205 134 56 283
3、行×列表(R×C表)资料的χ2检验
行×列表资料即基本数据在四个以上，如多个率的比较，其基本数 据为R行×2列；两组构成比的比较，其基本数据为2行×C列；多组构 成比的比较，其基本数据为R行×C列。
计算统计量χ2值
2 n
A2 n R nC
1
2
808
120 190
2 438
2 70 190 370
98 169
2 438
2 71 169 370
96 170
2 438
2 74 170 370
124 279
2 438
2 155 279 370
1
= 18.17
确定P值，作结论：
查χ2界值表, 按υ=(R-1)(C-1)求得υ= 3，
四格表资料即基本数据只有四个，为两行两列，如 两个率的比较。
检验统计量专用计算公式为：
2
ad bc2 n
(a b)(c d)(a c)(b d)
1）]
，[υ=（R-1）（C-
式中a , b , c , d 分别代表四个实际频数，n 为总例数；υ 为自由度，R为行数，C为列数。
（1）四个表资料χ2检验实例 ：
（2）两个样本率比较
检验统计量计算公式如下：
u
p1 p2
p0 (1 p0 )(1/ n1 1/ n2 )
u p1 p 2 (1/ n1 1/ n2 ) / 2 p0 (1 p0 )(1/ n1 1/ n2 )
式中P0为合并阳性率，P0 =（X1 + X2）/(n 1 + n 2 )
例3 某中药研究所试用某种草药预防流感，观察用药 组和对照组(未用药组)的流感发病率，结果如下表，问两 组的流感发病率是否不同？
愈合率差别显著，呋喃硝胺的愈合率高于甲氰咪胍。
（2）四格表资料χ2检验应用注意：
①当n>40，且任意T≥5时，可 直接使用 四格表专用公式。
②当n>40，且任意1<T<5时，应计算校正χ2值
，其计算公式
为：
ad bc n 2 n
2
2
(a b)(c d )(a c)(b d )
例5. 某医生欲比较胞磷胆碱与脑益嗪治疗脑动脉硬化的疗效，观
表1 用药组和对照组的流感发病率
组别 观察人数 发病人数 发病率（%）
用药组
100
14
14.0
对照组
120
30
25.0
合计
220
44
20.0
此为两大样本率的比较，可用u检验。
假设检验过程：
设
α= 0.05
计算统计量u值：
u
p1 p2 p0 (1 p0 )(1/ n1 1/ n2 )
2.031
u
0.14 0.25
地区 表9弥不漫同型地区地结方节性型甲状腺混肿合的型型别分布合计
某市 14791
4815
1509 21115
甲县
486
2
4
492
乙县
133
260
51
444
合计 15410
5077
1564 22051
检验方法同例10 。
P (1 P)
SP
n
Sp
0.25 (1 0.25) 0.0153 1.53 % 800
阳性率的95 % 可信区间为：
0.25 1.96 0.0153 , 0.25 1.96 0.0153
（ 0.22 , 0.28 ） 或
25 % 1.96 1.53 % , 25 % 1.96 1.53 %
= 4.125 = u 2 ≈ (2.031)2
例7 某市对医院空气消毒监测，市级医院65个抽样点中52个 合格，合格率80 .00% ，乡镇医院53个抽样点中22个合格， 合格率41.51 % 。问城乡医院空气消毒合格率是否不同？
表5 城乡医院空气消毒合格率的比较
组 别 抽样点数 合格数 不合格数 合格率（%）
，
因而P <0.005 。按α=0.05水准，拒绝H0 ，可以认为不同人 群带菌率不同或不全相同。
例10 两个医院合作进行脑梗塞疗效试验中，各医院受试 病例的脑梗塞部位如表8所示，问两所医院病例的梗塞部位 的分布（构成比）是否不同？
表8 甲乙两医院病例的脑梗塞部位的分布
医院 皮层 基底节 混合型 合计
察结果如表3，问两种药物的疗效有无差别？
处理组
有表效3.
两种药物治疗脑动脉硬化的疗效
无效
合计
有效率（%）
胞磷胆碱
41（38.18） 3（5.82）
44
93.18
脑益嗪
18（20.82） 6（3.18）
24
75.00
合计
59
9
68
86.76
表3显示有一个理论频数T< 5，因此应用校正χ2检验。
（3）四格表资料χ2检验与 u 检验的关系
312 51 80
142 1980
1
=14.29
确定P值，作结论：
查χ2界值表, 按υ=（R-1)(C-1）求得υ=
2，
， 2 0.005, 2
10.60
因而P <0.005 。按α=0.05水准，拒绝H0 ，可以认为两所医院
病例的梗塞部位的分布（构成比）不同,因而可比性较差。
例11 某市和某两县进行地方性甲状腺肿普查，查出各 型患者如表9，问三地间地方性甲状腺肿的型别构成是否不 同？
例6 以例3资料作χ2检验，整理如表4：
表4 用药组和对照组的流感发病率的比较 组 别 观察人数 发病人数 未发病人数
用药组
100
14
86
对照组
120
30
90
合计
220
44
176
即两大样本率比较的χ2检验与 u 检验是等价的。
2 14 90 86 302 220
100 120 176 44
=
0.20 0.80 (1/100 1/120)
确定P值，作结论：
2可.5以7查5认8t为界, 因两值而组表发0中.病0，5率υ>=P不∞>同0时.，0，1用,u药则0.0组P5＜发=α1病,.9拒率6绝低, uH于00.,对01接照=受组H，1, 说明该草药有预防流感的作用
三、χ2 检验
χ2检验(Chi-square test)用途极广，这里 仅介绍它在分类变量资料中用于推断两 个或两个以上总体率（或构成比）之间 有无差别或有无关联的分析方法。
例2 以往经验脑梗塞患者治疗三周的生活能力改善率为30 % ，某 医院用新疗法治疗38例的三周生活能力改善率为50 % ，能否认为新疗 法的改善率与以往不同？
此为样本率与总体率比较：且n p和 n(1-p) 都大于5，故用u检验。
设 H0 : 0
α= 0.05
H1 : 0
计算统计量u值：
u
X
n 0
分类资料的统计推断
一、率的抽样误差与标准误
抽样研究所得的率同样存在抽样误差， 描述其大小的指标是率的标准误(standard error of proportion)，其计算公式如下：
当 已知时 p
(1)
n
当 未知时
SP
P (1 P) n
二、总体率的估计和率的u检验
1、总体率的估计：
总体率的估计有两种方法，一是正态分布法，二是 查表法。 ★正态分布法 适用于样本较大，且p和/或1-p都不太小， 如np和n(1-p)都大于5时。计算公式为：
1、χ2检验的基本思想
例4：某医生用国产呋喃硝胺治疗十二指肠球部溃疡，以甲氰咪胍 作对照组，结果如表5，问两种方法治疗效果有无差别？
表2. 两种药物治疗十二指肠球部溃疡的效果
处理组
愈合
未愈合
合计
愈合率（%）
呋喃硝胺组
54（48.2）
8 (13.8)
62
87.10
甲氰咪胍组
44 (49.8)
20 (14.2)
64
合计
98
28
126
68.75 77.78
设 H0 :1 2
H1 :1 2
α= 0.05 计算统计量χ2值： χ2值的基本公式为：
2
A T
T
2
式中A为实际频数，即所获资料中的基本数据；T为理论频数，是
根据检验假设H0推算得到的，TRC
nR nC n
，其中，n R为同行合计，n C
为同列合计，n为总例数。
χ2检验的基本思想体现在χ2值的基本公式中，即当H0成立时，实 际频数 A就与理论频数 T很接近，此时χ2值不会太大；反之，如若A与T
相差较大，就会计算得到一个较大的χ2值，当其超出一定范围时，就有
理由认为H0不成立。因此，实际上χ2值反映了实际频数与理论频数的 吻合程度。
2、四格表资料的χ2检验
当π或 1—π不太小，而n 足够大时，如nπ和n（1—π）大于 5 时，即可按正态近似法做假设检验。检验统计量为 u 值，计算公式如 下：
式中 n 为样本例数，X 为样本阳性数，样本率 p = X/n ；π0 为总体率； 0.5 为连续性校正数，当 n 较大时可以省去，而︱X— nπ︱≤ 0.5 时不 宜采用校正数。
甲 63
20
5
88
百度文库
乙 35
31
14
80
合计 98
51
19
168
采用R×C表资料χ2检验。
设 H0：两所医院病例的梗塞部位的总体分布（构成比）相同 H1：两所医院病例的梗塞部位的总体分布（构成比）不同 α= 0.05
计算统计量χ2值
2
168
632 9888
202 51 88
52 1988
352 9880
表7 某地流行性脑脊髓膜炎流行期不同人群带菌率
职 业 调查人数 阳性数 阴性数 阳性率（%）
工人
190
120
70
63.16
农民
169
98
71
57.99
服务员
170
96
74
56.47
中小学生
279
124
155
44.44
合计
808
438
370
54.21
采用R×C表资料χ2检验。
设 H0：四个人群带菌率相同，即 1 2 3 4 H1：四个人群带菌率不同或不全相同 α= 0.05
p u sp , p u sp
★查表法 适用于小样本。利用样本含量n和阳性数x查 “百分率的可信区间”表获得。
例1 检查居民800人粪便中蛔虫阳性200人，阳性率为25 %，试求 当地居民粪便蛔虫阳性率的95 % 可信区间和99 % 可信区间。
公式：
p u sp , p u sp
其中， 即：
0.5
p 0
1 2n
n 0 (1 0 )
0 (1 0 ) / n
本例︱X— nπ︱≤0.5 ，因此不宜用校正系数，故
19 380.30
0.50 0.30
u
38 0.30 0.70 0.30 0.70 / 38
= 2.69
确定P值，作结论：
查t界值表中，υ= ∞ 时，u 0.01 = 2.5758 , u 0.005 = 2.8070 , 因而 0.01 > P > 0.005 , 则 P＜α, 拒绝H0, 接受H1, 可以认为新疗法的改善率 与以往不同，新疗法的改善率高于以往。
市级医院
65
52
13
80.00
乡镇医院
53
22
31
41.51
合计
118
74
44
62.71
采用χ2检验
2 52 31 13 222 118
65 53 44 74
= 18.50
例8 某医生用两种疗法治疗某病，结果如表6 ，问可 否认为新疗法优于传统疗法？
表6 两种疗法治疗某病治愈率比较
疗 法 治愈数 未治愈数 合计 治愈率（%）
例4：某医生用国产呋喃硝胺治疗十二指肠球部溃疡，以甲氰咪 胍作对照组，结果如表5，问两种方法治疗效果有无差别？
表2. 两种药物治疗十二指肠球部溃疡的效果
处理组
愈合
未愈合
合计 愈合率（%）
呋喃硝胺组
54
8
62
87.10
甲氰咪胍组
44
20
64
68.75
合计
98
28
126
77.78
假设检验过程：
设 H0 :1 2
检验统计量计算公式为：
1）]
2 n
A2 nR nC
1
，[υ=（R-1）（C-
其应用条件是 T < 5 的格子数不超过 1/5 和没有任意格的 T<1 。 如果出现上述情况应作如下处理：
①根本办法是增加观察例数，使各格基本数据增大；②将T较小的 行或列与性质相近的行或列作合理的合并。
例9 某地在流行性脑脊髓膜炎流行期间进行了带菌 调查，结果如表7，问不同人群带菌率是否不同？
( 22 % , 28 % )
同理可得阳性率的99 % 可信区间。
2、 率的u检验
（1）样本率与总体率比较
样本率与总体率（一般为理论值、标准值或经大量观察所得的稳 定值等）比较的目的，是推断样本所代表的未知总体率π与已知总体 率π0是否相等。
可选方法有直接计算概率法（用于π偏离 0.5 较远，且阳性数 X 较小作单侧检验时）和正态近似法。这里着重介绍正态近似法。