动态规划方法求解线性规划问题(2020年九月整理).doc
什么是动态规划算法，常见的动态规划问题分析与求解
什么是动态规划算法，常见的动态规划问题分析与求解理解动态规划动态规划中递推式的求解⽅法不是动态规划的本质。
我曾经给学校参加NOIP的同学多次讲过动态规划，我试着讲⼀下我理解的动态规划，争取深⼊浅出。
希望你看了我的答案，能够喜欢上动态规划。
0. 动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移⽅程的定义。
引⾃维基百科dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的⽅式去解决。
本题下的其他答案，⼤多都是在说递推的求解⽅法，但如何拆分问题，才是动态规划的核⼼。
⽽拆分问题，靠的就是状态的定义和状态转移⽅程的定义。
1. 什么是状态的定义？⾸先想说⼤家千万不要被下⾯的数学式吓到，这⾥只涉及到了函数相关的知识。
我们先来看⼀个动态规划的教学必备题：给定⼀个数列，长度为N，求这个数列的最长上升（递增）⼦数列（LIS）的长度.以 1 7 2 8 3 4 为例。
这个数列的最长递增⼦数列是 1 2 3 4，长度为4；次长的长度为3，包括 1 7 8; 1 2 3 等.要解决这个问题，我们⾸先要定义这个问题和这个问题的⼦问题。
有⼈可能会问了，题⽬都已经在这了，我们还需定义这个问题吗？需要，原因就是这个问题在字⾯上看，找不出⼦问题，⽽没有⼦问题，这个题⽬就没办法解决。
所以我们来重新定义这个问题：给定⼀个数列，长度为N，设为：以数列中第k项结尾的最长递增⼦序列的长度.求中的最⼤值.显然，这个新问题与原问题等价。
⽽对于来讲，都是的⼦问题：因为以第k项结尾的最长递增⼦序列（下称LIS），包含着以第中某项结尾的LIS。
上述的新问题也可以叫做状态，定义中的“为数列中第k项结尾的LIS的长度”，就叫做对状态的定义。
线性规划问题求解
线性规划简介线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，称为线性规划（Linear programming），英文缩写LP。
线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力、物力等资源，使经济效果达到最好，为做出最优决策提供科学依据。
一般地，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。
线性规划的模型建立从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
所建立的数学模型具有以下特点：1、每个模型都有若干个决策变量（x1,x2,x3……，xn），其中n为决策变量个数。
决策变量的一组值表示一种方案。
2、目标函数是决策变量的线性函数。
根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。
3、约束条件也是决策变量的线性函数。
当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
线性规划的模型的求解1 在系统中安装“规划求解”Office20031.1 启动excel。
打开“工具”菜单，如果没有“规划求解”，单击“加载宏”。
弹出以下窗口：1.2 在复选框中选中“规划求解”，单击“确定”后返回excel。
这时在“工具”菜单中出现“规划求解”，关闭“工具”菜单。
Office20071.1 启动excel。
打开“数据”选项卡，如果没有“规划求解”，单击“菜单”——“Excel选项”。
弹出以下窗口：按钮。
弹出以下窗口：1.2 在复选框中选中“规划求解”，单击“确定”后返回excel。
这时，在“数据”选项卡中出现“规划求解”。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种常用的优化算法，可以用于求解线性规划问题。
在线性规划中，我们需要找到一组变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一系列线性约束条件。
动态规划方法可以帮助我们高效地解决这类问题。
首先，我们需要明确线性规划问题的数学模型。
假设我们有n个变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn) ≤ b1, g2(x1, x2, ..., xn) ≤ b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn) ≤ bm。
其中，f(x1, x2, ..., xn)是一个关于变量x1, x2, ..., xn的线性函数，g1(x1, x2, ..., xn), g2(x1, x2, ..., xn), ..., gm(x1, x2, ..., xn)是关于变量x1, x2, ..., xn的线性不等式，b1, b2, ..., bm是常数。
接下来，我们可以使用动态规划方法求解线性规划问题的最优解。
具体步骤如下：1. 定义状态：我们需要定义子问题的状态。
在这里，我们可以将线性规划问题的状态定义为子问题的目标函数值。
2. 确定状态转移方程：我们需要确定子问题之间的转移关系。
在这里，我们可以使用递推的方式来定义子问题之间的关系。
假设dp[i]表示目标函数值为i时的最优解，那么我们可以得到状态转移方程为：dp[i] = max(dp[i - c1] + v1, dp[i - c2] +v2, ..., dp[i - cn] + vn)，其中ci表示第i个约束条件的系数，vi表示第i个约束条件的常数。
3. 初始化边界条件：我们需要初始化子问题的边界条件。
在这里，我们可以将dp[0]初始化为0，表示目标函数值为0时的最优解。
4. 递推求解：我们可以使用动态规划的递推方式来求解子问题的最优解。
从dp[1]开始，依次计算dp[2], dp[3], ..., dp[k]，直到dp[m]，其中m为目标函数的最大值或最小值。
线性规划问题的求解
线性规划问题的求解在数学中，线性规划 (Linear Programming，简称LP) 问题是目标函数和约束条件都是线性的最优化问题。
线性规划是最优化问题中的重要领域之一。
很多运筹学中的实际问题都可以用线性规划来表述。
线性规划的某些特殊情况，例如网络流、多商品流量等问题，都被认为非常重要，并有大量对其算法的专门研究。
很多其他种类的最优化问题算法都可以分拆成线性规划子问题，然后求得解。
在历史上，由线性规划引申出的很多概念，启发了最优化理论的核心概念，诸如“对偶”、“分解”、“凸性”的重要性及其一般化等。
我们在以前的学习过程中曾经接触过最简单的线性规划——平面规划，但由于其是在平面上求解，形式较为简单，通过作图和平移目标函数即可得到最优解。
但是通过对平面规划的类比，我们可以得出求解线性规划问题的一般方法——单纯形法。
几何上，线性约束条件的集合相当于一个凸包或凸集，叫做可行域。
因为目标函数亦是线性的，所以其极值点会自动成为最值点。
线性目标函数亦暗示其最优解只会出现在其可行域的边界点中。
在两种情况下线性规划问题没有最优解。
其中一种是在约束条件相互矛盾的情况下（例如x≥ 2 和x≤ 1），其可行域将会变成空集，问题没有解，因此亦没有最优解。
在这种情况下，该线性规划问题会被称之为“不可行”。
另一种情况是，约束条件的多面体可以在目标函数的方向无界（例如： maxz=x+ 3 x2 s.t. x1≥ 0, x2≥ 0, x1 + x2≥ 10），目标函数可以取得任意大1的数值，所以没有最优解。
除了以上两种病态的情况以外（问题通常都会受到资源的限制，如上面的例子），最优解永远都能够在多面体的顶点中取得。
但最优解未必是唯一的：有可能出现一组最优解，覆盖多面体的一条边、一个面、甚至是整个多面体（最后一种情况会在目标函数只能等于0的情况下出现）。
在使用单纯形法求解线性规划问题之前，我们首先需要了解什么是标准型，这是线性规划问题中最常用也最直观的形式。
动态规划模型的建立与求解步骤
动态规划模型的建立与求解步骤动态规划（Dynamic Programming）是一种通过分解复杂问题为简单的子问题，并将其结果保存起来以便重复使用的方法。
其基本思想是从问题的边界条件开始，通过递推式逐步求解更大规模的子问题，直到最终解决整个问题。
动态规划常见的应用包括路径规划、背包问题、字符串匹配等。
下面将介绍动态规划模型的建立与求解步骤，以了解如何使用动态规划解决实际问题。
一、确定状态：在使用动态规划解决问题之前，首先需要确定问题的状态。
状态就是问题需要求解的子问题的集合，每个状态都对应一个解。
二、确定初始条件：初始条件是指在递推关系中最小的、无需依赖于其他状态的子问题的解。
它们可以给出问题的边界，为递推过程提供起点。
三、确定状态转移方程：状态转移方程是把大问题分解为小问题的规律。
通过观察和思考，可以找出问题的递推关系，即大问题如何由小问题组成。
四、确定计算顺序：确定计算顺序是指确定问题的求解顺序，通常是按照自底向上或自顶向下的顺序进行计算。
自底向上是从初始条件开始，逐步计算直到求解整个问题；自顶向下是从大问题开始逐步分解为小问题，直到达到初始条件。
五、实现状态转移方程：通过编程实现状态转移方程，并根据计算顺序逐步求解子问题。
可以使用递归或循环的方法进行实现。
六、求解最优解：根据问题的定义和要求，确定如何从求解的子问题中得到最优解。
通常最优解是基于一些目标函数或约束条件来定义的。
七、分析复杂度：分析算法的时间复杂度和空间复杂度，以确定算法的效率和可行性。
综上所述，建立和求解动态规划模型的步骤可以概括为以下几个阶段：确定状态、确定初始条件、确定状态转移方程、确定计算顺序、实现状态转移方程、求解最优解和分析复杂度。
根据具体问题的特点和要求，可以灵活选择和调整这些步骤，以得到最优的解决方案。
【精选】线性规划问题的求解步骤
必修五《考一本》第27课时
【例4】
某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要 在A、B两种设备上加工, 在每台A、B设备上加工 1件甲设备所需工时分别为1h, 2h, 加工1件乙设备 所需工时分别为2h, 1h, A、B两种设备每月有效使 用台时数分别为400h和500h, 如何安排生产可使 收入最大？
线性规划问题的求解步骤：
（1）画可行域：画出线性约束条件所确定 的平面区域；
（2）过原点作目标函数所表示的直线的平 行直线l0;
（3）平移直线l0，观察确定可行域内最优 解的位置；
（4）求最值：解有关方程组求出最优解， 将最优解代入目标函数求最值.
简记为“画、作、移、求”四步.
【例1】
营养学家指出, 成人良好的日常饮食应该至 少提供0.075kg的碳水化合物, 0.06kg的蛋白质, 0.06kg的脂肪. 1kg食物A含有0.105kg碳水化合物, 0.07kg蛋白质, 0.14kg脂肪, 花费28元; 而1kg食物B 含有0.105kg碳水化合物, 0.14kg蛋白质, 0.07kg脂 肪, 花费21元; 为了满足营养专家指出的日常饮食 要求,同时使花费最低, 需要同时食用食物A和食 物B多少kg ?
【例2】
要将两种大小不同的钢板截成A、B、C
三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的
小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
Байду номын сангаас
2
3
各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C 三种规格成品, 且使所用钢板张数最少?
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，用于解决一类具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
动态规划通常通过将问题划分为若干个子问题，并分别求解子问题的最优解，从而得到原问题的最优解。
以下是动态规划问题常见的解法：1. 斐波那契数列斐波那契数列是动态规划问题中的经典案例。
它的递推关系式为 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0，F(1) = 1。
可以使用动态规划的思想来解决斐波那契数列问题，通过保存已经计算过的子问题的结果，避免重复计算。
2. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
背包问题包括 0/1 背包问题和完全背包问题。
0/1 背包问题中每个物品要么被选中放入背包，要么不选。
完全背包问题中每个物品可以被选中多次放入背包。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解背包问题。
3. 最长递增子序列最长递增子序列是一个常见的子序列问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
最长递增子序列指的是在一个序列中，找到一个最长的子序列，使得子序列中的元素按照顺序递增。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以有效地求解最长递增子序列问题。
4. 最长公共子序列最长公共子序列是一个经典的字符串问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
给定两个字符串，找到它们之间最长的公共子序列。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解最长公共子序列问题。
5. 矩阵链乘法矩阵链乘法是一个求解最优括号化问题的经典案例，可以使用动态规划的方法进行求解。
给定多个矩阵的大小，需要找到一个最优的计算顺序，使得计算乘积的次数最少。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解矩阵链乘法问题。
以上是动态规划问题的常见解法，通过使用动态规划的思想和方法，可以解决这些问题，并求得最优解。
线性规划问题
线性规划问题线性规划是一种常见的优化问题求解方法，用于解决线性约束条件下的目标最大化或最小化问题。
其数学表达形式为：找到一组变量的取值，使得目标函数在满足一组线性约束条件下达到最大（最小）值。
线性规划问题的一般形式如下：目标函数：$Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_nx_n$约束条件：\[\begin{align*}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n &\leq b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n &\leq b_2 \\&\vdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n &\leq b_m \\x_1, x_2, \ldots, x_n &\geq 0\end{align*}\]其中，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是决策变量，$c_1, c_2, \ldots, c_n$ 是目标函数的系数，$a_{ij}$ 是约束条件中的系数，$b_1, b_2, \ldots,b_m$ 是约束条件的右侧常数。
为了解决线性规划问题，我们需要经历以下步骤：1. 确定决策变量：根据实际问题的需求，明确需要求解的决策变量。
例如，在生产计划问题中，决策变量可能是生产的数量或分配的资源。
2. 建立数学模型：基于实际问题，将目标函数和约束条件转化为数学表达式。
确定好目标函数和约束条件之后，可以得到线性规划问题的标准形式。
3. 确定最优解的性质：线性规划问题有三种可能的解：无解、有界解和无界解。
通过分析约束条件的线性关系，可以判断问题的解空间。
4. 求解最优解：常用的线性规划求解方法有单纯形法、内点法、二阶锥规划等。
通过计算机算法，可以找到目标函数在满足约束条件下的最大（最小）值，并得到相应的决策变量取值。