线性规划的Matlab求解
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5 c= 1.5 0 5 15 A= 6 2 , b= 24 , Aeq = , beq = 1 1 5 0 lb , ub 0
» c=[-5; -1.5]; A=[0 5; 6 2; 1 1]; b=[15; 24; 5]; Aeq=[]; beq=[]; lb=[0; 0]; ub=[]; % ub=[inf; inf] x=linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub)
lb ub
决策变量的上界和下界
则lb= [ ]; 或 ub=[ ]; 若某个变量i的上界或下界无限制， 则取lb(i) = -inf 或 ub(i) = inf
x0
迭代初始点
只适用于active-set算法，默认时大型算法将忽略初值。
options
用于指定优化的控制参数
options用于指定优化的控制参数
» lambda.ineqlin
max Z 40 x1 30 x2 3 x1 2 x2 54 2 x 2 x 40 2 s.t. 1 x1 2 x2 35 x1 0 x2 0
» 实验将土地资源增加一个单位后的最优值！
工具箱GUI界面
例3
max Z 4 x1 2 x2 x3 2 x1 x2 x3 12 8 x1 2 x 2 x 8 2 3 s.t. 2 x1 x3 3 x1 x2 7 x1 0 x2 0 x3 0
4 c= 2 1 2 A= 8 1 1 12 , b= , 2 2 8 0 1 1 3 , beq = 0 7
aeqh1x1 + aeqh2x2 + …. + aeqhnxn = beqh lx1 x1 ux1, lx2 x2 ux2, …., lxn xn uxn
线性规划的Matlab标准形式的矩阵表示
min Z C T X AX b s.t. Aeq X beq lb X ub
函数计算终止的误差限 大型规模算法：默认1e-8；单纯形算法：默认1e-6；
输出参数说明（1）
x 由优化函数求得的值 若exitflag>0，则x为解； 否则，x只是迭代终止时的值。
fval
解x处的目标函数值 1：目标函数收敛于解x处； 0：已经达到最大的迭代次数限制ptions.MaxIter;
.eqlin：等式约束的拉格朗日乘子； .upper：上界约束的拉格朗日乘子； .lower：下界约束的拉格朗日乘子；
例4：求最优生产计划，使公司获利最大
• 设某公司生产另种产品：食物（x1）， 服装（x2）
• 生产单位食品获利40元，单位服装获利30元 • 需要投入三种资源：土地（H）、劳动（L)、资本（K) • 生产一个单位食品投入：3H • 生产一个单位服装投入：2H • 公司拥有：54H 40L 35K 2L 2L 1K 2K
exitflag
描述退出条件
-2：没有找到可行解；
-3：问题无有限最优解；
-4：算法执行过程中遇到NaN值； -5：原问题和对偶问题均不可行；
例2’
» c=[-5; -1.5]; A=[0 5; 6 2; 1 1]; b=[15; 24; 5]; Aeq=[]; beq=[]; lb=[0; 0]; ub=[inf; inf]; x0=[]; options=optimset(‘LargeScale’, ‘off’, ‘Simplex’, ‘on’); [x, fval, exitflag, output] ... =linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options);
lx1 u x1 lx 2 u lb , ub x 2 lxn u xn
Matlab使用linprog函数求解线性规划
•
• • • •
>> help linprog
x = linprog(c, A, b)
,
beq =
» c=[-2; -3]; A=[2 2; 1 2; 4 0; 0 4]; b=[12; 8; 16; 12]; x=linprog(c, A, b) » fval=c’*x
,
ub
例2
max Z 5 x1 1.5 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 2 s.t. 1 x1 x2 5 x1 0 x2 0
– 表示给出每一步迭代结果，计算误差限位1e-8；
>> help linprog
options用于指定优化的控制参数
参数名称 参数设置 on 或off（默认值） 设置是否显示优化中的诊断信息，特别是计算终止的原因；
>> help optimset
Diagnostics
off（默认值）：不显示任何输出信息；
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn b2 (=或 )
......
am1x1 +am2x2 + ….+ amnxn bm (=或 ) x1, x2, …., xn 0
线性规划的Matlab标准形式
min Z = c1x1 + c2x2 + …. + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn b1 注意！！！ （1）最小化问题； （2）约束分成两组； （3）决策变量给出下界和上界；
线性规划求解
Matlab的优化工具箱：Optimization Toolbox
线性规划的一般形式
max Z = c1x1 + c2x2 + …. + cnxn （或min） s.t. a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn b1 (=或 )
max Z cT X AX b s.t. X 0
Display iter：显示每一步的迭代信息； final：仅显示最终的输出信息；
Simplex
该参数值为on时，采用单纯形算法；
on（默认值）：采用大型规模算法；
LargeScale
off：采用中性规模算法；
MaxIter TolFun 设置算法的最大迭代次数 大型规模算法：默认85；单纯形算法：默认10*决策变量数；
x = linprog(c, A, b, Aeq, beq) x = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub) x = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0) x = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)
输出参数说明（2）
.iterations：实际的迭代次数； .algorithm：所采用的算法； output 包含优化结果信息的结构 .cgiterations：0； （仅用于大型算法，为向后兼容而 设置的参数） .message：退出信息；
包含解x处的拉格朗日乘
子的结构 lambda
.ineqlin：线性不等式约束的拉格朗日乘子；
2 Aeq = 1
输入参数说明
c A b Aeq beq 目标函数中的系数向量 不等式约束 对应的矩阵和常数列 等式约束 对应的矩阵和常数列 行、列形式均可
若没有不等式约束，则 A = [ ]; b = [ ]
若没有等式约束，则 Aeq = [ ]; beq = [ ] 若所有变量上界或下界无限制，
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn b2
......Biblioteka Baidu
am1x1 + am2x2 + …. + amnxn bm aeq11x1 + aeq12x2 + …. + aeq1nxn = beq1 aeq21x1 + aeq22x2 + …. + aeq2nxn = beq2
......
• Start按钮 toolboxesoptimization optimization tool
max Z 40 x1 30 x2 3 x1 2 x2 54 2 x 2 x 40 2 s.t. 1 x1 2 x2 35 x1 0 x2 0
lambda给出影子价格
» f=[-40; -30]; A=[3 2; 2 2; 1 2]; b=[54; 40; 35]; lb=[0; 0]; [x, fval, exitflag, output, lambda] =linprog(f, A, b, [], [], lb, [])
• options = optimset(‘param1’, value1, ‘param2’, value2, …);
• 示例： • options = optimset(‘LargeScale’, ‘off’, ‘Simplex’, ‘on’);
– 表示不采用大规模算法，采用单纯形发求解；
• options = optimset(‘Display’,‘iter’,‘TolFun’,1e-8);
其中： c1 x1 c2 x2 , c= , X= cn xn a11 a A= 21 am1 a12 a22 am 2
eq a11 a1n b1 eq a2 n b2 a , b= , Aeq = 21 a eq amn bm h1 eq b1eq a12 a1eq n eq a eq a eq b 22 2n , beq = 2 eq eq b eq ah 2 ahn h
例1
max Z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12 x 2x 8 2 s.t. 1 4 x1 16 4 x2 12
2 c= 3 2 1 A= 4 0 lb 2 12 2 8 , b= , Aeq = 16 0 4 12
» c=[-4; 2; -1]; A=[2 -1 1; 8 -2 2]; b=[12; -8]; 0 Aeq=[-2 0 1; 1 1 0]; lb 0 , ub 0 beq=[3; 7]; lb=[0; 0; 0]; ub=[]; x=linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub)
• •
[x, fval] = linprog(。。。) [x, fval, exitflag] = linprog(。。。)
•
•
[x, fval, exitflag, output] = linprog(。。。)
[x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(。。。)
其中： c1 x1 c2 , X = x2 , c= cn xn a11 a A= 21 am1 a12 a22 am 2 a1n b1 a2 n b , b= 2 amn bm
» c=[-5; -1.5]; A=[0 5; 6 2; 1 1]; b=[15; 24; 5]; Aeq=[]; beq=[]; lb=[0; 0]; ub=[]; % ub=[inf; inf] x=linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub)
lb ub
决策变量的上界和下界
则lb= [ ]; 或 ub=[ ]; 若某个变量i的上界或下界无限制， 则取lb(i) = -inf 或 ub(i) = inf
x0
迭代初始点
只适用于active-set算法，默认时大型算法将忽略初值。
options
用于指定优化的控制参数
options用于指定优化的控制参数
» lambda.ineqlin
max Z 40 x1 30 x2 3 x1 2 x2 54 2 x 2 x 40 2 s.t. 1 x1 2 x2 35 x1 0 x2 0
» 实验将土地资源增加一个单位后的最优值！
工具箱GUI界面
例3
max Z 4 x1 2 x2 x3 2 x1 x2 x3 12 8 x1 2 x 2 x 8 2 3 s.t. 2 x1 x3 3 x1 x2 7 x1 0 x2 0 x3 0
4 c= 2 1 2 A= 8 1 1 12 , b= , 2 2 8 0 1 1 3 , beq = 0 7
aeqh1x1 + aeqh2x2 + …. + aeqhnxn = beqh lx1 x1 ux1, lx2 x2 ux2, …., lxn xn uxn
线性规划的Matlab标准形式的矩阵表示
min Z C T X AX b s.t. Aeq X beq lb X ub
函数计算终止的误差限 大型规模算法：默认1e-8；单纯形算法：默认1e-6；
输出参数说明（1）
x 由优化函数求得的值 若exitflag>0，则x为解； 否则，x只是迭代终止时的值。
fval
解x处的目标函数值 1：目标函数收敛于解x处； 0：已经达到最大的迭代次数限制ptions.MaxIter;
.eqlin：等式约束的拉格朗日乘子； .upper：上界约束的拉格朗日乘子； .lower：下界约束的拉格朗日乘子；
例4：求最优生产计划，使公司获利最大
• 设某公司生产另种产品：食物（x1）， 服装（x2）
• 生产单位食品获利40元，单位服装获利30元 • 需要投入三种资源：土地（H）、劳动（L)、资本（K) • 生产一个单位食品投入：3H • 生产一个单位服装投入：2H • 公司拥有：54H 40L 35K 2L 2L 1K 2K
exitflag
描述退出条件
-2：没有找到可行解；
-3：问题无有限最优解；
-4：算法执行过程中遇到NaN值； -5：原问题和对偶问题均不可行；
例2’
» c=[-5; -1.5]; A=[0 5; 6 2; 1 1]; b=[15; 24; 5]; Aeq=[]; beq=[]; lb=[0; 0]; ub=[inf; inf]; x0=[]; options=optimset(‘LargeScale’, ‘off’, ‘Simplex’, ‘on’); [x, fval, exitflag, output] ... =linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options);
lx1 u x1 lx 2 u lb , ub x 2 lxn u xn
Matlab使用linprog函数求解线性规划
•
• • • •
>> help linprog
x = linprog(c, A, b)
,
beq =
» c=[-2; -3]; A=[2 2; 1 2; 4 0; 0 4]; b=[12; 8; 16; 12]; x=linprog(c, A, b) » fval=c’*x
,
ub
例2
max Z 5 x1 1.5 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 2 s.t. 1 x1 x2 5 x1 0 x2 0
– 表示给出每一步迭代结果，计算误差限位1e-8；
>> help linprog
options用于指定优化的控制参数
参数名称 参数设置 on 或off（默认值） 设置是否显示优化中的诊断信息，特别是计算终止的原因；
>> help optimset
Diagnostics
off（默认值）：不显示任何输出信息；
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn b2 (=或 )
......
am1x1 +am2x2 + ….+ amnxn bm (=或 ) x1, x2, …., xn 0
线性规划的Matlab标准形式
min Z = c1x1 + c2x2 + …. + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn b1 注意！！！ （1）最小化问题； （2）约束分成两组； （3）决策变量给出下界和上界；
线性规划求解
Matlab的优化工具箱：Optimization Toolbox
线性规划的一般形式
max Z = c1x1 + c2x2 + …. + cnxn （或min） s.t. a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn b1 (=或 )
max Z cT X AX b s.t. X 0
Display iter：显示每一步的迭代信息； final：仅显示最终的输出信息；
Simplex
该参数值为on时，采用单纯形算法；
on（默认值）：采用大型规模算法；
LargeScale
off：采用中性规模算法；
MaxIter TolFun 设置算法的最大迭代次数 大型规模算法：默认85；单纯形算法：默认10*决策变量数；
x = linprog(c, A, b, Aeq, beq) x = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub) x = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0) x = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)
输出参数说明（2）
.iterations：实际的迭代次数； .algorithm：所采用的算法； output 包含优化结果信息的结构 .cgiterations：0； （仅用于大型算法，为向后兼容而 设置的参数） .message：退出信息；
包含解x处的拉格朗日乘
子的结构 lambda
.ineqlin：线性不等式约束的拉格朗日乘子；
2 Aeq = 1
输入参数说明
c A b Aeq beq 目标函数中的系数向量 不等式约束 对应的矩阵和常数列 等式约束 对应的矩阵和常数列 行、列形式均可
若没有不等式约束，则 A = [ ]; b = [ ]
若没有等式约束，则 Aeq = [ ]; beq = [ ] 若所有变量上界或下界无限制，
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn b2
......Biblioteka Baidu
am1x1 + am2x2 + …. + amnxn bm aeq11x1 + aeq12x2 + …. + aeq1nxn = beq1 aeq21x1 + aeq22x2 + …. + aeq2nxn = beq2
......
• Start按钮 toolboxesoptimization optimization tool
max Z 40 x1 30 x2 3 x1 2 x2 54 2 x 2 x 40 2 s.t. 1 x1 2 x2 35 x1 0 x2 0
lambda给出影子价格
» f=[-40; -30]; A=[3 2; 2 2; 1 2]; b=[54; 40; 35]; lb=[0; 0]; [x, fval, exitflag, output, lambda] =linprog(f, A, b, [], [], lb, [])
• options = optimset(‘param1’, value1, ‘param2’, value2, …);
• 示例： • options = optimset(‘LargeScale’, ‘off’, ‘Simplex’, ‘on’);
– 表示不采用大规模算法，采用单纯形发求解；
• options = optimset(‘Display’,‘iter’,‘TolFun’,1e-8);
其中： c1 x1 c2 x2 , c= , X= cn xn a11 a A= 21 am1 a12 a22 am 2
eq a11 a1n b1 eq a2 n b2 a , b= , Aeq = 21 a eq amn bm h1 eq b1eq a12 a1eq n eq a eq a eq b 22 2n , beq = 2 eq eq b eq ah 2 ahn h
例1
max Z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12 x 2x 8 2 s.t. 1 4 x1 16 4 x2 12
2 c= 3 2 1 A= 4 0 lb 2 12 2 8 , b= , Aeq = 16 0 4 12
» c=[-4; 2; -1]; A=[2 -1 1; 8 -2 2]; b=[12; -8]; 0 Aeq=[-2 0 1; 1 1 0]; lb 0 , ub 0 beq=[3; 7]; lb=[0; 0; 0]; ub=[]; x=linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub)
• •
[x, fval] = linprog(。。。) [x, fval, exitflag] = linprog(。。。)
•
•
[x, fval, exitflag, output] = linprog(。。。)
[x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(。。。)
其中： c1 x1 c2 , X = x2 , c= cn xn a11 a A= 21 am1 a12 a22 am 2 a1n b1 a2 n b , b= 2 amn bm