2009-2013年北京高考真题--导数大题汇编
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)理
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分,考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(2013北京,理1)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=().A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}答案:B解析:{-1,0,1}∩{x|-1≤x<1}={-1,0}.2.(2013北京,理2)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:∵(2-i)2=3-4i,∴该复数对应的点位于第四象限,故选D.3.(2013北京,理3)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:∵φ=π,∴y=sin(2x+π)=-sin2x,∴曲线过坐标原点,故充分性成立;∵y=sin(2x+φ)过原点,∴sinφ=0,∴φ=kπ,k∈Z.故必要性不成立.故选A.4.(2013北京,理4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为().A.1B.23C.1321D.610987答案:C解析:依次执行的循环为S=1,i=0;S=23,i=1;S=1321,i=2.故选C .5.(2013北京,理5)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f (x )=( ). A.e x+1 B.e x-1 C.e -x+1 D.e -x-1答案:D解析:依题意,f (x )向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e -x ,于是f (x )相当于y=e -x 向左平移1个单位的结果,∴f (x )=e -x-1,故选D . 6.(2013北京,理6)若双曲线x 22−y 2b 2=1的离心率为√3,则其渐近线方程为( ).A.y=±2xB.y=±√2xC.y=±12x D.y=±√22x答案:B解析:由离心率为√3,可知c=√3a ,∴b=√2a.∴渐近线方程为y=±b ax=±√2x ,故选B .7.(2013北京,理7)直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( ). A.43B.2C.83D.16√23答案:C解析:由题意可知,l 的方程为y=1.如图,B 点坐标为(2,1),∴所求面积S=4-2∫ 20x 24d x=4-2(x 312)|02=83,故选C .8.(2013北京,理8)设关于x ,y 的不等式组{2x -y +1>0,x +m <0,y -m >0表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是( ). A.(-∞,43) B.(-∞,13) C.(-∞,-23)D.(-∞,-53)答案:C解析:图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y=12x-1上的点,只需要可行域的边界点(-m ,m )在y=12x-1下方,也就是m<-12m-1,即m<-23.故选C .第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2013北京,理9)在极坐标系中,点(2,π6)到直线ρsin θ=2的距离等于 .答案:1解析:在极坐标系中,点(2,π6)对应直角坐标系中坐标为(√3,1),直线ρsin θ=2对应直角坐标系中的方程为y=2,所以点到直线的距离为1.10.(2013北京,理10)若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q= ;前n 项和S n = . 答案:2 2n+1-2解析:由题意知q=a 3+a 5a 2+a 4=4020=2.由a 2+a 4=a 2(1+q 2)=a 1q (1+q 2)=20, ∴a 1=2.∴S n =2(1-2n )1-2=2n+1-2. 11.(2013北京,理11)如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线,PB 与圆O 相交于D ,若PA=3,PD ∶DB=9∶16,则PD= ,AB= .答案:95 4解析:设PD=9k ,则DB=16k (k>0).由切割线定理可得,PA 2=PD ·PB , 即32=9k ·25k ,可得k=15.∴PD=95,PB=5.在Rt△APB中,AB=√PB2-PA2=4.12.(2013北京,理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案:96解析:连号有4种情况,从4人中挑一人得到连号参观券,其余可以全排列,则不同的分法有4×C41A33=96(种).13.(2013北京,理13)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=.答案:4解析:可设a=-i+j,i,j为单位向量且i⊥j,则b=6i+2j,c=-i-3j.由c=λa+μb=(6μ-λ)i+(λ+2μ)j,∴{6μ-λ=-1,λ+2μ=-3,解得{λ=-2,μ=-12.∴λμ=4.14.(2013北京,理14)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P 到直线CC1的距离的最小值为.答案:2√55解析:过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1,交B1C1于点E1,连接D1E1,过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1,交D1E1于点H,P点到直线CC1的距离就是C1H,故当C1H垂直于D1E1时,P点到直线CC1距离最小,此时,在Rt△D1C1E1中,C1H⊥D1E1,D1E1·C1H=C1D1·C1E1,∴C1H=2√5=2√55.三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤.15.(2013北京,理15)(本小题共13分)在△ABC中,a=3,b=2√6,∠B=2∠A,(1)求cos A的值;(2)求c的值.解:(1)因为a=3,b=2√6,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得3sinA =2√6sin2A.所以2sinAcosAsinA =2√63.故cos A=√63.(2)由(1)知,cos A=√63,所以sin A=√1-cos2A=√33.又因为∠B=2∠A,所以cos B=2cos2A-1=13.所以sin B=√1-cos2B=2√23.在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=5√39.所以c=asinCsinA=5.16.(2013北京,理16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)解:设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(A i)=113,且A i∩A j=⌀(i≠j).(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A 5∪A 8. 所以P (B )=P (A 5∪A 8)=P (A 5)+P (A 8)=213. (2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且P (X=1)=P (A 3∪A 6∪A 7∪A 11)=P (A 3)+P (A 6)+P (A 7)+P (A 11)=413, P (X=2)=P (A 1∪A 2∪A 12∪A 13)=P (A 1)+P (A 2)+P (A 12)+P (A 13)=413, P (X=0)=1-P (X=1)-P (X=2)=513. 所以X 的分布列为:故X 的期望EX=0×513+1×413+2×413=1213. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17.(2013北京,理17)(本小题共14分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB=3,BC=5, (1)求证:AA 1⊥平面ABC ; (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值;(3)证明:在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,并求BDBC 1的值.解:(1)因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ,所以AA 1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB ⊥AC.如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4).设平面A 1BC 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3y -4z =0,4x =0.令z=3,则x=0,y=4,所以n =(0,4,3).同理可得,平面B 1BC 1的法向量为m =(3,4,0). 所以cos <n ,m >=n ·m |n ||m |=1625. 由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角, 所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625. (3)设D (x ,y ,z )是直线BC 1上一点,且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以(x ,y-3,z )=λ(4,-3,4). 解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ. 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4λ,3-3λ,4λ).由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即9-25λ=0,解得λ=925.因为925∈[0,1],所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B. 此时,BD BC 1=λ=925.18.(2013北京,理18)(本小题共13分)设L 为曲线C :y=lnxx在点(1,0)处的切线. (1)求L 的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方. 解:(1)设f (x )=lnx x,则f'(x )=1-lnxx 2. 所以f'(1)=1.所以L 的方程为y=x-1.(2)令g (x )=x-1-f (x ),则除切点之外,曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x>0,x ≠1). g (x )满足g (1)=0,且g'(x )=1-f'(x )=x 2-1+lnxx 2.当0<x<1时,x 2-1<0,ln x<0,所以g'(x )<0,故g (x )单调递减; 当x>1时,x 2-1>0,ln x>0,所以g'(x )>0,故g (x )单调递增. 所以,g (x )>g (1)=0(∀x>0,x ≠1).所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方.19.(2013北京,理19)(本小题共14分)已知A ,B ,C 是椭圆W :x 24+y 2=1上的三个点,O 是坐标原点. (1)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解:(1)椭圆W :x 24+y 2=1的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分.所以可设A (1,m ),代入椭圆方程得14+m 2=1,即m=±√32. 所以菱形OABC 的面积是12|OB|·|AC|=12×2×2|m|=√3. (2)假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为y=kx+m (k ≠0,m ≠0). 由{x 2+4y 2=4,y =kx +m 消y 并整理得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0.设A (x 1,y 1),C (x 2,y 2), 则x 1+x 22=-4km 1+4k 2,y 1+y 22=k ·x 1+x 22+m=m1+4k 2. 所以AC 的中点为M (-4km 1+4k2,m 1+4k 2).因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为-14k. 因为k ·(-14k)≠-1,所以AC 与OB 不垂直.所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.20.(2013北京,理20)(本小题共13分)已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项a n+1,a n+2,…的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(1)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,a n+4=a n ),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值; (2)设d 是非负整数,证明:d n =-d (n=1,2,3,…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列; (3)证明:若a 1=2,d n =1(n=1,2,3,…),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1. 解:(1)d 1=d 2=1,d 3=d 4=3.(2)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列,且d ≥0, 所以a 1≤a 2≤…≤a n ≤….因此A n =a n ,B n =a n+1,d n =a n -a n+1=-d (n=1,2,3,…). (必要性)因为d n =-d ≤0(n=1,2,3,…), 所以A n =B n +d n ≤B n .又因为a n ≤A n ,a n+1≥B n ,所以a n ≤a n+1. 于是,A n =a n ,B n =a n+1, 因此a n+1-a n =B n -A n =-d n =d , 即{a n }是公差为d 的等差数列. (3)因为a 1=2,d 1=1, 所以A 1=a 1=2,B 1=A 1-d 1=1. 故对任意n ≥1,a n ≥B 1=1. 假设{a n }(n ≥2)中存在大于2的项. 设m 为满足a m >2的最小正整数, 则m ≥2,并且对任意1≤k<m ,a k ≤2.又因为a1=2,所以A m-1=2,且A m=a m>2.于是,B m=A m-d m>2-1=1,B m-1=min{a m,B m}≥2.故d m-1=A m-1-B m-1≤2-2=0,与d m-1=1矛盾.所以对于任意n≥1,有a n≤2,即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1,a n≤2=a1,所以A n=2.故B n=A n-d n=2-1=1.因此对于任意正整数n,存在m满足m>n,且a m=1,即数列{a n}有无穷多项为1.。
2009-2013年北京高考真题--导数大题汇编
（2013年北京高考真题数学(文)）
已知函数
（1）若曲线 在点 处与直线 相切，求 与 的值。
（2）若曲线 与直线 有两个不同的交点，求 的取值范围。
【答案解析】
解：（1）
因为曲线 在点 处的切线为
所以 ，即 ，解得
（2）因为
所以当 时 ， 单调递增
当 时 ， 单调递减
，且 ．
即 ，且 ．
解得 ， ．
（Ⅱ）记 ．当 ， 时，
，
．
令 ，得 ， ．
与 在 上的情况如下：
由此可知：
当 ≤ 时，函数 在区间 上的最大值为 ；
当 时，函数 在区间 上的最大值小于 ．
因此， 的取值范围是 ．
（2011年北京高考真题数学(文)）
已知函数 .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）求 在区间[0,1]上的最小值.
设函数 .
（Ⅰ）若曲线 在点 处与极值点.
【答案解析】
（Ⅰ） ,
∵曲线 在点 处与直线 相切，
∴
（Ⅱ）∵ ,
当 时， ，函数 在 上单调递增，此时函数 没有极值点.
当 时，由 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
【答案解析】
解：（Ⅰ）
令 ，得 ．
与 的情况如下：
x
（ ）
（
——
0
+
↗
↗
所以， 的单调递减区间是（ ）；单调递增区间是
（Ⅱ）当 ，即 时，函数 在[0，1]上单调递增，
所以 （x）在区间[0，1]上的最小值为
当 时，
由（Ⅰ）知 上单调递减，在 上单调递增，所以 在区间[0，1]上的最小值为 ；
2009年北京市高考数学试卷(理科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】
第1页 共20页 ◎ 第2页 共20页2009年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1. 在复平面内，复数z ＝i(1+2i)对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 已知向量a →=(1, 0)，b →=(0, 1)，c →=ka →+b →(k ∈R)，d →=a →−b →，如果c → // d →，那么（ ）A.k =1且c 与d 同向B.k =1且c 与d 反向C.k =−1且c 与d 同向D.k =−1且c 与d 反向3. 为了得到函数y =lgx+310的图象，只需把函数y =lg x 的图象上所有的点（ ）A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4. 若正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60∘角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为（ ） A.√33B.1C.√2D.√35. “a =π6+2kπ(k ∈Z)”是“cos 2a =12”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 若(1+√2)5=a +b √2（a ，b 为有理数），则a +b =( ) A.45B.55C.70D.807. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A.324B.328C.360D.6488. 点P 在直线l:y =x −1上，若存在过P 的直线交抛物线y =x 2于A ，B 两点，且|PA|=|AB|，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是( )A.直线l 上的所有点都是“点”B.直线l 上仅有有限个点是“点”C.直线l 上的所有点都不是“点”D.直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.lim x →1x √x−xx−1=________．10. 若实数x ，y 满足{x +y −2≥0x ≤4y ≤5则s =y −x 的最小值为________． 11. 设f(x)是偶函数，若曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线的斜率为1，则该曲线在（−1, f(−1)）处的切线的斜率为________． 12. 椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|=4，则|PF 2|=________，∠F 1PF 2的大小为________．13. 若函数f(x)={1x x <0(13)x x≥0则不等式|f(x)|≥13的解集为________． 14. {a n }满足：a 4n−3=1，a 4n−1=0，a 2n =a n ，n ∈N ∗则a 2009=________；a 2014=________．三、解答题（共6小题，满分80分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,B =π3，cos A =45，b =√3． （1）求sin C 的值； （2）求△ABC 的面积．。
2013年北京高考数学题及答案(全
2013北京高考理科数学试题及答案第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.1B.23 C.1321D.6109875.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --6.若双曲线22221x y a b-=A.y =±2xB.y =C.12y x =±D.2y x =± 7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43 B.2 C.83D.38.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是 A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .11.如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB=.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R ) ，则λμ=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .2013年北京高考理科数学试题由长春工业大学继续教育学院 第一时间整理发布，转载请注明。
2013年全国高考数学试题及答案-北京卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 2．设a ，b ，c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b > 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x =-+ D ．lg y x = 4．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sin B =（ ）A ．15 B ．59 C D ．16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．1321D ．6109877．双曲线221y x m-= A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个第二部分（选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 。
10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。
11．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = 。
12．设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 。
2009年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年北京市高考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题，每小题5分,满分40分)1．（5分)（2009•北京）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开,化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i,∴复数z所对应的点为（﹣2,1），故选B【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2．（5分)(2009•北京）已知向量=(1，0）,=(0,1),=k+（k∈R）,=﹣，如果∥,那么(）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向【考点】平面向量共线（平行)的坐标表示．【专题】计算题．【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件,再检验k=﹣1是否满足条件,从而选出应选的选项．【解答】解：∵=(1,0),=（0,1），若k=1，则=+=(1，1），=﹣=（1，﹣1)，显然，与不平行,排除A、B．若k=﹣1,则=﹣+=（﹣1,1）,=﹣=(1,﹣1)，即∥且与反向,排除C，故选D．【点评】本题考查平行向量的坐标表示,当两个向量平行时,一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．3．（5分)（2009•北京）为了得到函数的图象,只需把函数y=lgx的图象上所有的点(）A．向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】对数函数的图像与性质．【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】解:∵,∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度故选C．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．4．（5分）(2009•北京)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD 成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(）A． B．1 C． D．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】画出图象,利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．【解答】解:依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离,∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，故选：D．【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．5．(5分）（2009•北京)“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z)却不一定成立,根据充要条件的定义,即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时,cos2a=cos(4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+(k∈Z）,或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z）,故选A．【点评】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6．(5分）(2009•北京)若（1+)5=a+b（a,b为有理数)，则a+b=()A．45 B．55 C．70 D．80【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用二项式定理求出展开式,利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b,求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：(1+)5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（)4+C55•（)5=1+5+20+20+20+4=41+29,∴a=41,b=29,a+b=70．故选C【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．7．（5分)（2009•北京)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328 C．360 D．648【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解:由题意知本题要分类来解,当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种,十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样,把排列问题包含在数字问题中,解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8．（5分）（2009•北京)点P在直线l：y=x﹣1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且｜PA|=｜AB|,则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（)A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点"C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点"【考点】两点间距离公式的应用．【专题】计算题；压轴题;创新题型．【分析】根据题设方程分别设出A,P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A,B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解,进而可推断出直线l 上的所有点都符合．【解答】解：设A(m，n）,P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）∵A，B在y=x2上∴n=m2,2n﹣x+1=（2m﹣x）2消去n，整理得关于x的方程x2﹣（4m﹣1 )x+2m2﹣1=0∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，∴方程恒有实数解,∴故选A．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时,利用判别式来判断．二、填空题（共6小题，每小题5分,满分30分）9．(5分)（2009•北京）=．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】通过因式分解把原式转化为=,消除零因子后得到,由此能够得到的值．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．10．（5分）（2009•北京）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l:y﹣x=0平移l过点A(4，﹣2）时s有最小值﹣6,故答案为﹣6．【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法目标函数几何意义11．（5分）（2009•北京)设f（x)是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1,f(1）)处的切线的斜率为1,则该曲线在（﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为﹣1．【考点】偶函数；导数的几何意义．【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象,根据对称性即可解决本题．【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，易得该曲线在（﹣1，f(﹣1）)处的切线的斜率为﹣1．故应填﹣1．【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．12．（5分）（2009•北京)椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上,若｜PF1|=4,则｜PF2|=2，∠F1PF2的大小为120°．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】第一问用定义法,由｜PF1｜+｜PF2｜=6,且｜PF1｜=4，易得｜PF2｜；第二问如图所示:角所在三角形三边已求得,用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1｜+｜PF2|=2a=6，∴|PF2｜=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中,cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2;120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,这类题是常考类型，难度不大，考查灵活,特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．13．（5分)（2009•北京）若函数则不等式的解集为［﹣3，1]．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式,再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3,1］．【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算．14．(5分）(2009•北京)｛a n}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=1；a2014=0．【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】压轴题．【分析】由a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项,而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．【解答】解:∵2009=503×4﹣3,∴a2009=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1,∴a2014=0,故答案为:1,0．【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2009•北京）在△ABC中，角A，B,C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值;（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理;同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后,将sinA和cosA代入即可求出值;(Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和(Ⅰ）可知公式里边的a不知道,所以利用正弦定理求出a即可．【解答】解：（Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，∴A为锐角，则sinA==∴∴sinC=sin(﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ)由(Ⅰ）知sinA=,sinC=，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理,得∴a==，∴△ABC的面积S=absinC=×××=．【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．16．（14分)（2009•北京）如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC．（1)求证：BC⊥平面PAC;（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角?并说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【专题】计算题;证明题．【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC 内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC,而AC⊥BC，满足定理所需条件; (2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE 中,求出AD与平面PAC所成角即可;（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A﹣DE﹣P 的平面角,而PA⊥AC,则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A ﹣DE﹣P是直二面角．【解答】解:（1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC．又由（1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB．又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=AB．在Rt△ABC中,∠ABC=60°，∴BC=AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，即AD与平面PAC所成角的正弦值为．(3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时,∠AEP=90°,故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强．17．（13分）（2009•北京)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min．(Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．（2）由题意知变量的可能取值,根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2,4，6，8（单位:min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0，1，2,3，4），∴，∴即ξ的分布列是ξ0 2 4 6 8P∴ξ的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响,而对立事件是指同一次试验中,不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时,往往先求它的对立事件的概率．18．(13分）（2009•北京)设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f(0））处的切线方程;（Ⅱ)求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x)在区间（﹣1，1）内单调递增,求k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题;压轴题．【分析】(I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先求出f(x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；(III)由（Ⅱ)知，若k＞0,则当且仅当﹣≤﹣1时,函数f（x）(﹣1,1)内单调递增，若k＜0,则当且仅当﹣≥1时，函数f(x)(﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′(x）=（1+kx)e kx,f′（0)=1,f（0）=0，曲线y=f（x）在点（0，f(0））处的切线方程为y=x;（Ⅱ）由f′（x)=(1+kx）e kx=0，得x=﹣（k≠0）,若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x)＜0,函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞,）时，f′(x)＞0，函数f（x)单调递增，若k＜0，则当x∈(﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x)单调递增,当x∈（﹣，+∞,）时，f′(x)＜0，函数f(x）单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，即k≤1时,函数f（x）(﹣1，1）内单调递增,若k＜0，则当且仅当﹣≥1，即k≥﹣1时，函数f(x)（﹣1，1)内单调递增，综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时,k的取值范围是［﹣1,0）∪（0，1]．【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．19．（14分）(2009•北京）已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的离心率为,右准线方程为x= （I)求双曲线C的方程；（Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B,证明∠AOB的大小为定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题;综合题；压轴题；转化思想．【分析】( I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．（II)先求出圆的切线方程,再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．【解答】解：(Ⅰ）由题意，，解得a=1,c=，b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲C的方程．(Ⅱ)设P（m,n）（mn≠0)在x2+y2=2上,圆在点P（m，n)处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m)，化简得mx+ny=2．以及m2+n2=2得（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0,∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B,且0＜m2＜2,3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）(8﹣2m2）＞0，设A、B两点的坐标分别（x1,y1)，(x2，y2），x1+x2=，x1x2=．∵,且=x1x2+［4﹣2m（x1+x2)+m2x1x2］=+［4﹣+]=﹣=0．∴∠AOB的大小为900．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．20．（13分)(2009•北京）已知数集A=｛a1,a2，…，a n｝（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P;对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a i a j与两数中至少有一个属于A．（I)分别判断数集{1，3,4｝与{1，2,3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明:a1=1,且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1,a2,a3,a4，a5成等比数列．【考点】数列的应用．【专题】证明题；综合题;压轴题；新定义；分类讨论．【分析】(I）根据性质P;对任意的i,j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集｛1，3，4}与{1,2，3，6｝中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；(Ⅱ）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，,，…,，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；（Ⅲ)跟据(Ⅱ)，只要证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3,4,∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3,1×6,2×3，，，，,，都属于数集{1,2，3,6，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）∵A=｛a1，a2，…，a n｝具有性质P,∴a n a n与中至少有一个属于A,由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n(k=2,3，4，…，n）,故a k a n∉A（k=2，3，4，…,n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n)．又∵＜＜…＜＜,∴，,…,,从而++…++=a1+a2+…+a n,∴且；（Ⅲ）由(Ⅱ)知,当n=5时,有，,即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得∈A，且1＜，∴,∴，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1,公比为a2等比数列．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查,属于较难层次题．。
(北京卷)十年真题(-)高考数学真题分类汇编 专题04 导数及其应用 文(含解析)-人教版高三全册数
专题04导数及其应用历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 导数综合问题2019年文科20解答题2018 导数综合问题2018年文科19解答题2017 导数综合问题2017年文科20解答题2016 导数综合问题2016年文科20解答题2015 导数综合问题2015年文科19解答题2014 导数综合问题2014年文科20解答题2012 导数综合问题2012年文科18解答题2011 导数综合问题2011年文科18解答题2010 导数综合问题2010年文科18历年高考真题汇编1．【2019年文科20】已知函数f（x）x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x），由f′（x）＝1得x（x）＝0，得．又f（0）＝0，f（），∴y＝x和，即y＝x和y＝x；（Ⅱ）证明：欲证x﹣6≤f（x）≤x，只需证﹣6≤f（x）﹣x≤0，令g（x）＝f（x）﹣x，x∈[﹣2，4]，则g′（x），可知g′（x）在[﹣2，0]为正，在（0，）为负，在[]为正，∴g（x）在[﹣2，0]递增，在[0，]递减，在[]递增，又g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（）6，g（4）＝0，∴﹣6≤g（x）≤0，∴x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|＝|f（x）﹣x﹣a|＝|g（x）﹣a|∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，令t＝g（x），h（t）＝|t﹣a|，则问题转化为当t∈[﹣6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，①当a≤﹣3时，M（a）＝h（0）＝|a|＝﹣a，此时﹣a≥3，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值3；②当a≥﹣3时，M（a）＝h（﹣6）＝|﹣6﹣a|＝|6+a|，∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，也是a＝﹣3时，M（a）最小为3．综上，当M（a）取最小值时a的值为﹣3．2．【2018年文科19】设函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值X围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x．曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，可得（4a﹣2a﹣2+1）e2＝0，解得a；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x＝（x﹣1）（ax﹣1）e x，若a＝0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减．x＝1处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a＝1，则f′（x）＝（x﹣1）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x＝1处取得极小值；若0＜a＜1，则1，f（x）在（1，）递减；在（，+∞），（﹣∞，1）递增，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意；若a＜0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的X围是（1，+∞）．3．【2017年文科20】已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）cos．4．【2016年文科20】设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值X围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）＝3x2+2ax+b，可得y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝f′（0）＝b，切点为（0，c），可得切线的方程为y＝bx+c；（2）设a＝b＝4，即有f（x）＝x3+4x2+4x+c，由f（x）＝0，可得﹣c＝x3+4x2+4x，由g（x）＝x3+4x2+4x的导数g′（x）＝3x2+8x+4＝（x+2）（3x+2），当x或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x＝﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x处取得极小值，且为．由函数f（x）有三个不同零点，可得c＜0，解得0＜c，则c的取值X围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）＝0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c＝0，a＝b＝4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）＝x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．5．【2015年文科19】设函数f（x）klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【解答】解：（1）由f（x）f'（x）＝x由f'（x）＝0解得xf（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：X（0，）（）f'（x）﹣ 0 +f（x）↓↑所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x处的极小值为f（），无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k＝e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）＝0所以x是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．6．【2014年文科20】已知函数f（x）＝2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值X围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y＝f（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝2x3﹣3x得f′（x）＝6x2﹣3，令f′（x）＝0得，x或x，∵f（﹣2）＝﹣10，f（），f（），f（1）＝﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则y0＝23x0，且切线斜率为k＝63，∴切线方程为y﹣y0＝（63）（x﹣x0），∴t﹣y0＝（63）（1﹣x0），即46t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：x（﹣∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 ﹣ 0 +g（x）↗t+3 ↘t+1 ↗∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值X围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．7．【2012年文科18】已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx．（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a＝3，b＝﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值X围．【解答】解：（1）f（x）＝ax2+1（a＞0），则f′（x）＝2ax，k1＝2a，g（x）＝x3+bx，则g′（x）＝3x2+b，k2＝3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a＝3+b①又f（1）＝a+1，g（1）＝1+b，∴a+1＝1+b，即a＝b，代入①式，可得：a＝3，b＝3．（2）当a＝3，b＝﹣9时，设h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+3x2﹣9x+1则h′（x）＝3x2+6x﹣9，令h'（x）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）＝28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值X围是（﹣∞，﹣3]8．【2011年文科18】已知函数f（x）＝（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x﹣k+1）e x，令f′（x）＝0，得x＝k﹣1，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：x（﹣∞，k﹣1）k﹣1 （k﹣1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓﹣e k﹣1↑∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k ≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）＝﹣e k﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）＝（1﹣k）e；综上所述f（x）min．9．【2010年文科18】设定函数f（x）x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x＝0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值X围．【解答】解：由得f′（x）＝ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x＝ax2+2bx+c﹣9x＝0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a＝3时，又由（*）式得解得b＝﹣3，c＝12又因为曲线y＝f（x）过原点，所以d＝0，故f（x）＝x3﹣3x2+12x．（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）＝ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b ＝9﹣5a ，c ＝4a ． 又△＝（2b ）2﹣4ac ＝9（a ﹣1）（a ﹣9）解得a ∈[1，9]即a 的取值X 围[1，9] 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数，若有3个零点，则k 的取值X 围为( )A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e ) 【答案】C 【解析】由题意，函数，要使得函数在R 上有3个零点，当0x >时，令，可得2ln xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln xg x x=有两个交点，又由，令，可得x e =，当(0,)x e ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x e =时，，若直线y k =和()2ln x g x x=有两个交点，则1(0,)2k e ∈， 当0x <时，y k =和()1g x x=有一个交点，则0k >，综上可得，实数k 的取值X 围是1(0,)2e，故选C.2．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>【答案】C 【解析】由题意，，，设，，设，，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减，αβ∴<，故选C.3．已知函数（a 为大于1的整数），若()y f x =与的值域相同，则a 的最小值是（）（参考数据：，，） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A 【解析】，当x a >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当0x a <<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，故，又当，所以函数()f x 的值域为，令因此()t a 是单调递增函数，因此当2,a a Z ≥∈时， ，令由上可知：，，由上可知函数(n)f 在0x a <<时，单调递增，在x a >时，单调递减，要想的值域为，只需，即，设，2,a a Z ≥∈，，所以当3,a a Z ≥∈时，函数()g a 单调递增，，，所以a 的最小值是5，故本题选A.4．已知实数a ，b ，c ，d 满足，则的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2D 2【答案】D 【解析】，∴可以看成()ln f x x =和()1g x x =+之间的最小值'1()f x x= ∴当时，即点()1,0到直线()1g x x =+的距离最小∴5．若函数在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值X 围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 因为函数，所以令，因为，当(1,)x ∈+∞时，，所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点.当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，，因为，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D.6．已知函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有成立，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,2eC ．3,2e D ．2,e【答案】D 【解析】 令，则，因为对任意(0,)x ∈+∞，都有成立，所以在(0,)x ∈+∞上恒成立； 即在(0,)x ∈+∞上恒成立；即在(0,)x ∈+∞上恒成立；令，(0,)x ∈+∞，则，由()0h x '=得，解得1x =-（舍）或12x =，所以，当102x <<时，，单调递减；当12x >时，，单调递增；所以，因为在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以只需24a e -≤，解得2a e ≥-. 故选D7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有，则不等式的解集为( ) A ．B ．C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A 【解析】 设， 因为()f x 为R 上奇函数， 所以，即()g x 为R 上奇函数 对()g x 求导，得， 而当0x >时，有故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增， 所以()g x 在R 上单调递增 不等式，即所以，解得2016x <-故选A 项.8．已知函数，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ） A ．-3 B ．-2C ．-1D ．0【答案】D 【解析】根据题意，函数，其导数，0x ≠时，()f x '可以看成是1为首项，2x -为公比的等比数列，则有，函数()f x 在R 上为增函数， 又由， ，则函数()f x 在(2,1)--上存在唯一的零点，设其零点为t ，，又由21t -<<-，则，故不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为0；故选：D ．9．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____． 【答案】1 【解析】解：∵1ln y x =+，∴1y x'=设切点为(,1ln )m m +，得切线的斜率为1m， 所以曲线在点(),1ln m m +处的切线方程为：．即：它过原点，∴ln 0m -=，∴1m =， ∴11a m==． 故答案为：1． 10．函数与的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值X 围为_________． 【答案】1a 【解析】关于x 轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于x 轴的对称点， 所以与的图象有交点，方程有解，即1x ae x =+有解，0a =时符合题意， 0a ≠时转化为有解， 即的图象有交点，是过定点()1,0-的直线，其斜率为1a， 设相切时，切点的坐标为(),mm e，则111m m e m ae a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，切线斜率为11a =，由图可知，当11a≥，即1a ≤且0a ≠时，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于x 轴的对称点，综上可得，实数a 的取值X 围为1a ≤，故答案为1a ≤. 11．已知函数，若存在实数,()a b a b <使得，则2+a b 的最大值为________.【答案】32ln 27【解析】 作出函数图像如下：由题意，令,a b 为方程()f x m =的两个根，由图像易得01m <<； 由1xe m -=得1x e m =±，解得或，因为a b <，所以，，因此，令，01m <<， 则，因为01m <<，所以由()0g m '>得103m <<；由()0g m '<得113m <<，即函数()g m 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；所以，因此2+a b 的最大值为32ln 27. 故答案为32ln2712．已知实数a ，b ，c 满足（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．【答案】15【解析】 设，则，所以函数u(x)的增区间为（0，+∞），减区间为(-∞,0), 所以，即e 1x x ≥+；可知，当且仅当时取等； 因为 所以，．所以，解得，当且仅当15c =时，取等号．故答案为：1513．已知直线x t =与曲线分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________【答案】1. 【解析】 令，，显然为增函数，且'(0)0h =所以当(1,0)t ∈-时，单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，单调递增.所以.故答案为1.14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 【答案】【解析】解：曲线cos y a x =，可得，曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12， 可得，所以1a =-. 所以切点坐标为：3(,)62π-， 则切线l 的方程为：.即：．故答案为：．15．已知函数若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22- 【解析】作出()f x 的函数图象如图所示， 由，可得，即1a >，不妨设12x x <，则，令，则，，令，则，∴当18t <<时，()'0g t >，g t 在()1,8上递增；当8t 时，()'0g t <，g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，g t 取得最大值,故答案为3ln 22-. 16．已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值X 围______.【答案】0a <或2a > 【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限，当0x >时，，所以，①若1a -时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解，所以()f x 在10,3a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,23a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 又所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得13a x +=， 若123a +<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为 ，令.若时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得13a x -=， 若，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为，令，所以1113a ≤<；若，()f x 在12,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为，显然，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >. 17．已知函数.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较与的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析 【解析】（Ⅰ）函数()f x 可化为，当0x a <<时，，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的，当x a ≥时，，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增；当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以.18．已知函数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：.【答案】（1）当2a <-时，()f x 在为增函数，减函数，为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，，对于函数，①当时，即22a -≤≤时，在0x >恒成立．在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数；②当∆>0，即2a <-或2a >时， 当2a <-时，由()0f x '>，得或，，()f x ∴在为增函数，减函数，为增函数，当2a >时，由在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数．综上，当2a <-时，()f x 在为增函数，减函数，为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数． （2）由（1）知2a <-，且，故故只需证明，令2a t =-，故1t >，原不等式等价于ln 1t t 对1t >成立， 令，所以单调递减，有得证. 19．已知函数.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()ef x e+对恒成立，某某数a 的取值X 围.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[1,e] 【解析】（Ⅰ）当1a =时，，定义域为(1,)-+∞..令()0f x '=，得0x =.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以.（Ⅱ），1x a >-.令()0f x '=，得1a x a-=. 当时，()0f x '>，()f x 单调递增；当时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以.依题意有，设，则，所以()g a 在[1,)a ∈+∞上单调递增.又，故1e a ⇒，即实数a 的取值X 围为[1,e].20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数（1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程；（2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值X 围．【答案】（1）；（2）【解析】 （1）当2a =时，∴当0x >时，，则：，又()f x ∴在()(),e f e 处的切线方程为：即：（2）列表如下：x(),0-∞0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭ 2a ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '-+-()f x极大值设函数()f x 存在“单调倍区间”是①当0m n <≤时，由()f x 在(),0-∞上单调递减，则有两式相减得：即，代入得：要使此关于,m n 的方程组在0m n <≤时有解，则使得2y a =与的图象有两个公共点当14x =时，min 38y =，当0x =时，12y =结合两函数图象，则31282a <≤，即：31164a <≤ 即此时满足()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值X 围是31,164⎛⎤⎥⎝⎦ ②当时，由()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则有即：1ln 41ln 4m a mn a n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设()ln 4xg x x=，则当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数要使方程1ln 4x a x =有两解，则1y a =与()ln 4x g x x =的图象在0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦有两个交点 结合两函数图象，则，即：2ln 122114ae a a a a e ⎧>⎪⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪<⎪⎪⎩解得：即此时满足()f x 存在“在单调倍区间”的a 的取值X 围是(24,2e e ⎤⎦③当2a m n <<时，由()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则有两式相减得：，此式不成立，即此时()f x 不存在“单调倍区间”综上，函数()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值X 围是21．已知函数.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当[0,1)b ∈时，设函数有最小值()h b ，求()h b 的值域.【答案】(1)见解析；(2)【解析】解：（1）()f x 定义域为，.令，①，1︒当04a ≤≤时，0∆≤，，即'()0f x ≥且不恒为零，故()f x 单调递增区间为(,4)-∞-，(4,)-+∞，2︒当4a >时，∆>0，方程①两根为，，由于，.故124x x <-<，因此当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，1(,4)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(4,)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增，综上，当04a ≤≤时，()f x 在(,4)-∞-单调递增，(4,)-+∞单调递增， 当4a >时，()f x 在单调递增，，单调递减；在单调递增.（2），设，由（1）知，0a =时，在(2,)-+∞单调递增， 由于(0)0k b =≥，，故在(2,0]-存在唯一0x ，使0()0k x =，，又当0(2,)x x ∈-，()0k x <，即'()0g x <，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞，()0k x >，即'()0g x >，()g x 单调递增，故时，0204x e x +=+，0(2,0]x ∈-. 又设，(2,0]x ∈-，，故()m x 单调递增，故，即，即.22．已知函数（无理数 2.718e =…）．（1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，某某数a 的取值X 围：（2）当0a =时，设，证明：当0x >时，．【答案】（1）2]-∞（，； （2）见解析.【解析】（1）解：由题意可得在1（，）+∞上恒成立． ∴， 令，则，∴函数在1（，）+∞上单调递增． ∴12a h ≤=（）． ∴实数a 的取值X 围是2]-∞（，． （2）证明：当0a =时，． ，令， 则，可得2x ln =时，函数u x （）取得极小值，． ∵00g '=（），又． ∴存在，使得． 由单调性可得：0x x =时，函数()g x 取得极小值，即最小值， ∴． 由，可得函数0y g x =（）单调递减，故． ∴当0x >时，．。
2009年高考北京数学(理科)试题及参考答案
2009年高考数学北京理科试卷含详细解答一. 选择题（本大题共8小题，共0分）1. （2009北京理1）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部2. （2009北京理2）已知向量a、b不共线，c a b R),d a b,如果c d，那么（）A．且c与d同向B．且c与d反向C．且c与d同向D．且c与d反向答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部3. （2009北京理3）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部4. （2009北京理4）若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则到底面的距离为（）A.B.1C. D.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部5. （2009北京理5）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部6. （2009北京理6）若为有理数），则（）A．45 B．55 C．70 D．80答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部7. （2009北京理7）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．648答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部8. （2009北京理8）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（）A.直线上的所有点都是“点”B.直线上仅有有限个点是“点”C.直线上的所有点都不是“点”D.直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部二. 填空题（本大题共12小题，共0分）9. （2009北京理9）._________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部10. （2009北京理10）.若实数满足则的最小值为__________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部11. （2009北京理11）设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部12. （2009北京理12）椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为__________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部13. （2009北京理13）若函数则不等式的解集为____________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部14. （2009北京理14）已知数列满足：则________；=_________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部15. （2009北京理15）.在中，角的对边分别为，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部16. （2009北京理16）如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部17. （2009北京理17）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.18.设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部19. （2009北京理19）.已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部20. （2009北京理20）已知数集。
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_________高考题库，荣誉出品__________●-
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------------------------●2009-2013年北京高考真题--导数大题汇编
5年高考真题分类汇编-教师卷题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009至2013年北京市高考真题，并经过精心校对。
2.本系列文档包含全部试题分类汇编，命名规律为：2009-2013年北京高考真题--******试题汇编。
3.本系列试题涵盖北京高考所有学科，均有相关实体书出售。
i.、解答题（本大题共5小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。
（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。
【答案解析】解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x 因为曲线()y f x 在点(,())a f a 处的切线为y b 所以'()0()f a f a b ，即22cos 0sin cos a a a a a a a b ，解得01a b （2）因为2cos 0x 所以当0x 时'()0f x ，()f x 单调递增当0x 时'()0f x ，()f x 单调递减所以当0x 时，()f x 取得最小值(0)1f ，所以b 的取值范围是(1,)2.（2012年北京高考真题数学(文)）。