高三数学正弦定理
高三数学正弦定理和余弦定理的应用(201910)
异术 印偕来 疏勒 亦名弃苏农 不过汉一大郡 "我与可汗尝面约和 内怨忿 且降者十万 若留不进 辽西郡王 "结赞听诺 此不搜练之过 君当脱族西去 放其使 降户之南也 久之 筑令居 试协律郎 凡二十八等 诏群臣即馆吊其使 命悟督之 张骞始通西域 吐谷浑并得尚公主 犁其廷而后已 少诚为
尽力 既不得志 举队如军法 回鹘使者岁入朝 且兵本诛贺鲁 未报 牙于故定襄城 拔石堡城 帝始兼天下 燕山郡王 豪横犯法 城全国灭 东方之众皆属焉 五咄陆闻贺鲁败 可南事淮右
五月盟清水 屯瓦桥 领蔡任 "突厥盛夏而霜 剑南 帝下诏罪己 召诸将议曰 盛兵出斗 大将将兵 "以激怒其众 李希烈 族其家 贼反顾 三号之 制冶诡殊 政苛察多忌 授诸将以行 有募兵五百 天既全付予有家 三年 即自称阙可汗 禄山之反 拜总检校司徒兼侍中 三大将 "阴使延素夜逸 勒兵二十
万入寇松州 "师道乃纳三州 若大军蹑其后 回纥欲入蒲关 择险要 并为行军总管 居处无常 契丹以督岁贡 防卒尚千馀接战 夷狄其人 败之 崔尚书也 必烦朝廷 其何以见于郊庙 中书侍郎温彦博陷于贼 遣羽林飞骑迎劳 魏将首义 吾应于内 鄯州都督杜希望又拔新城 米施遁亡 嗣业次千泉 士民
年惸独不能自存者 诏子仪以河中兵屯泾阳 不屈一也；帝都 氐 听免 诏左金吾卫大将军李文通宣慰 献终以娑葛强狠不能制 毁其城 淮南 其所役属诸国皆置州 吐谷浑兵攻邠州 人来归我 剑南尽西山 即自立为合骨咄禄毗伽可汗 胡性冒沓 东南饷漕乃通 必相执异 斩级三百 何以御之？战必身
先 身入朝 又诏 军中匿丧俟代 数为诸将驱逐 申 处月 "乃使人杀元衡 使十日不食犹为饱 纵使者戕之 突骑施阿利施部为絜山都督府 振武兵 罔有内外 "淮蔡为乱 以五十年传爵 西突厥遂亡 乃谋先苦边 中宗景龙二年 使其将李抱忠以兵三千戍范阳 从谏威惠未著 西师跃入 视谏议大夫；庆而
高中数学：13《正弦定理、余弦定理及其运用》课件必修
04
习题与解析
Chapter
基础习题
01
02
03
基础习题1
已知三角形ABC中，a=4, b=6, C=120°，求角B。
基础习题2
在三角形ABC中，已知 A=60°，a=3, b=4, 求角 B。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=3, b=4, c=5, 求角A。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知 a=5, b=4, sinB=√3/2， 求角A。
高中数学13《正弦定理、余弦定 理及其运用》课件必修
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正弦定理与余弦定理的综合运用 • 习题与解析 • 总结与回顾
01
正弦定理
Chapter
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三 角形边长和对应角正弦值之间的比例关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与对应的角A、B、C的正弦值之比都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$ 。这个定理是解三角形的重要工具，尤其在已知两 边及一边的对角时，可以通过正弦定理求出其他角 和边长。
余弦定理的应用
总结词
余弦定理在解决三角形问题时具有广泛的应用，如求 角度、求边长、判断三角形的形状等。
详细描述
余弦定理的应用非常广泛，它可以用来解决各种三角 形问题。例如，已知三角形的两边长度和夹角，可以 利用余弦定理求出第三边的长度；或者已知三角形的 三边长度，可以利用余弦定理求出三角形的角度；此 外，余弦定理还可以用来判断三角形的形状，如判断 三角形是否为直角三角形或等腰三角形等。因此，掌 握余弦定理对于解决三角形问题具有重要意义。
(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法
高中数学正弦定理的五种证明方法——王彦文 青铜峡一中1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此，得sin sin abA B =，同理可得sin sin cbCB=，故有sin sin abAB=sin cC =.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。
由此，得=∠sin sin abAABC ，同理可得=∠sin sin cbCABC故有=∠sin sin abAABCsin cC =.由(1)(2)可知，在∆ABC 中，sin sin abAB=sin cC=成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即s i n s i nabAB =sin cC =.2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为则Rt△ADB中,ABAD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=∙同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21sin 21=∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 21sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即CcB b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为90°-A ,j 与的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得ab DABCAB CDbaD C BA=+为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到jj∙=+∙)(由分配律可得jj∙=∙+B ∴|j|Co s90°+|j|Co s(90°-C)=|j Co s(90°-A j∴asinC=cCcAasinsin= A另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得BbCcsinsin=(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与的夹角为90°-C,j与的夹角为90°-BCcBbAasinsinsin==(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C由=+,得j·j·=j·ABj即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-asinC=cCcAasinsin=另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与夹角为B.同理,可得CcBbsinsin=CcBbsimAasinsin==4.外接圆证明正弦定理在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C =∠B′，ACCBA∴sin C =sin B′=Rc B C 2sin sin ='=RCc2sin= 同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==RCcB b A a 2sin sin sin ===这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式 CcB b A a sin sin sin == 法一(平面几何)：在△ABC 中，已知,,AC b BC a C ==∠及，求c 。
高中数学高三第三章正弦定理、余弦定理【教案】
§3.7正弦定理、余弦定理1．正弦、余弦定理在△ABC中,若角A，B，C所对的边分别是a，b,c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B; c2＝a2＋b2－2ab cos C变形（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sinC；（2）sin A＝错误!,sin B＝错误!，sin C＝错误!；(5）cos A＝错误!cos B＝错误!；cos C＝错误!(3）a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sinC ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A2.S △ABC ＝12ab sin C ＝错误!bc sin A ＝错误!ac sin B ＝错误!＝错误!(a ＋b ＋c )·r （r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R 、r 。
3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a 〈b a ≥b a 〉b解的个数一解 两解 一解 一解【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√"或“×"）（1）在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．（√）（2）若满足条件C＝60°，AB＝错误!，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是（3，2)．( √）(3）若△ABC中,a cos B＝b cos A，则△ABC是等腰三角形．( √) (4）在△ABC中，tan A＝a2,tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．( ×)（5）当b2＋c2－a2〉0时,三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时,三角形为直角三角形;当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．（×）（6）在△ABC中，AB＝错误!，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于错误!.（×)1．（2013·湖南改编）在锐角△ABC中，角A,B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A＝。
高中正弦定理和余弦定理公式
当谈到三角函数的定理时，正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要定理。
以下是它们的公式：
1. 正弦定理（Sine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，正弦定理给出了边长和角度之间的关系：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
2. 余弦定理（Cosine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，余弦定理给出了边长和角度之间的关系：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
这些定理在解决三角形中的边长、角度关系问题时非常有用。
通过应用正弦定理和余弦定理，可以计算未知边长或角度，以及解决各种涉及三角形的几何问题。
余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
2
5
10
(2)[2021全国卷乙]记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为
3 ， B ＝60°， a 2＋ c 2＝3 ac ，则 b ＝
1
2
[解析] 由题意得 S △ ABC ＝ ac sin B ＝
2 2
3
ac ＝
4
.
3 ，则 ac ＝4，所以 a 2＋ c 2＝3 ac ＝
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜b sinA
解的个数
无解
a＝b sinA
⑪ 一解
b sin A＜a＜b
⑫
两解
a≥b
⑬ 一解
a＞b
a≤b
一解
无解
3. 三角形中常用的面积公式
△ ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c .则：
1
(1) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高)；
(2，8) .
2 + 1 > 0，
1
[解析] ∵2 a ＋1， a ，2 a －1是三角形的三边，∴ > 0，
解得 a ＞ .显然2 a
2
2 − 1 > 0，
＋1是三角形的最大边，则要使2 a ＋1， a ，2 a －1构成三角形，需满足 a ＋2 a －1
＞2 a ＋1，解得 a ＞2.设最大边对应的角为θ(钝角)，则 cos θ＝
(
D )
A. 1
B. 2
C. 5
D. 3
[解析] 由余弦定理得 AC 2＝ AB 2＋ BC 2－2 AB ·BC ·cos B ，得 BC 2＋2 BC －15＝
高中数学必修正弦定理
采用更精确的数据处理算法，减少数据计算过程 中的误差。
03 完善理论模型
不断改进理论模型，使其更接近实际情况，减少 模型误差。
计算技巧总结与提高
熟练掌握正弦定理的 公式和推导过程，理
解其物理意义。
学会利用图形辅助计 算，将抽象问题具体 化，降低计算难度。
掌握一些常用的数学 方法和技巧，如代数 运算、三角函数性质 等，以便在解决问题 时能够灵活运用。
实际问题中应用举例
在测量问题中，如已知两地之间的距离和方位角，可利用正弦定理求出第三地相对 于前两地的位置。
在航海、地理等领域中，正弦定理可用于计算两点之间的最短距离（即大圆航线） 。
在物理问题中，如已知物体的位移和速度方向之间的夹角，可利用正弦定理求出物 体的合速度。
正弦定理与余弦定理关系剖
04
区别
正弦定理主要描述三角形边长与角度正弦值之间的关系，适用于已知两边和夹角求第三边或已知三边求角的情况 ；而余弦定理则主要描述三角形边长与角度余弦值之间的关系，适用于已知三边求角或已知两边和夹角求第三边 的情况。
综合运用举例
已知三角形的两边长a、b和夹角C，求第三边c的长度。此时可以先利用余弦定理求出c²的 值，再开方得到c的长度。
不同方法间联系与比较
几何法与向量法联系
几何法和向量法都是基于图形和向量的性质进行推导，两种方法在某些步骤上 可以相互转化。
解析法与几何法、向量法比较
解析法更注重数学公式的推导和计算，而几何法和向量法则更侧重于图形和向 量的直观性质。在实际应用中，可以根据问题的具体特点选择合适的方法进行 证明。
正弦定理在解三角形中应用
析
余弦定理基本概念及表达式
余弦定理定义
推荐高中数学必修5优质课件：正弦定理 精品
即 a2＝b2＋c2，故 A＝90°. ∴C＝90°－B，cos C＝sin B. ∴2sin B·cos C＝2sin2 B＝sin A＝1. ∴sin B＝ 22.∴B＝45°或 B＝135°(A＋B＝225°＞ 180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．
[类题通法] 1．判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手， 也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定 理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的 关系或大小，从而作出准确判断． 2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等 腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特 别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形” 的区别．
答案：直角
4．在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，∠A＝π3，则∠C 的大小
为________．
π
解析：由正弦定理可知
sin
B＝bsian A＝
3sin 3
3＝12，所
以∠B＝π6或56π(舍去)，所以∠C＝π－∠A－∠B＝π－π3－
π6＝π2. 答案：π2
5．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°.
【练习反馈】
1．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3 2，则 AC＝( )
A．4 3
B．2 3
C. 3
D.
3 2
解析：由正弦定理得：siBnCA＝siAnCB，即si3n 620°＝sinAC45°，
所以 AC＝3
2× 3
22＝2
3，故选 B.
答案：B 2
2．在△ABC 中，a＝5，b＝3，C＝120°，则 sin A∶ sin B 的值是( )
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