高三数学三垂线定理
三垂线定理
③
E
D
B1
C
O
( AC, BD1 ) 90
即 AC BD1
A
B
射影
斜线
去掉多余线段 后的几何模型
射影
位置转换后 的几何模型
三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影 垂直,那么它也和这条斜线垂直.
垂线
线段扩展后 的几何模型
A
P
a
O
射影 斜线
三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影 垂直,那么它也和这条斜线垂直. 简记为：“影协”
已知:PA、PO分别是平面的垂线、斜线,AO是PO在平面内的射影且 逆定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直，那么
a , a AO.
求证: a 证明:
它也和这条斜线的射影垂直.
PO
简记为：“斜影”
PA PA a a
AO a
证明: PO
A1
. 一垂找平面及平面的垂线 例2 1 求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 在正方体 AC1 中,与 BD1垂直的面对角线有几条？分别是哪些？
C1
B1
D
P
OE AB PE AB OF AC PF AC
垂线
P
a
A
O
射影 斜线
a 平面 PAO a PO PO AO 面PAO
a AO与a PO 互换, 会怎样呢?
定理涉及到的几何元素是：1.一个平面； 2.四条直线：①面内的直线； ②平面的斜线； ③平面的垂线； ④斜线的射影.
高三数学三垂线定理及其运用
B
b
9、已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2；侧棱与底面所成的角为 ,且侧面ABB1A1垂直于底面；判定B1C与C1A是否垂直；并证明你的结论。
C1
B1A1
C
B A
6、如图；E,F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1中心；则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是2,3。（要求：把可能的图的序号都填上）
D1C1
A1B1
E
F
D C (1) (2) (3) (4)
A BA
7、如图；已知三棱锥A-BCD中；AB⊥CD,AC⊥BD,
求证；AD⊥BC
D
B
C
8、已知AB是异面直线a、b的公垂到直线b的距离。
二、知能达标
1、如图：AB是圆的直径；C是圆周上一点；PC垂直圆所在平面；若BC=1,AC=2,则P到直线AB的距离为( D )
A . 1 B.2C. D. P
2.、PA、PB、PC是从P点引出的三条射线；它们每两条的夹角都是60°C
则直线PC与平面PAB所成的角是( C )AB
A 45°B60°C arccos D arctg
2如果直线a与平面 内的一条直线b平行；那么a∥ 。A B
3 如果直线a与平面 内的两条直线b、c都垂直；那么 。A
4如果平面 内的一条直线a垂直平面 ；那么 。
5、如图；∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBDB D
所在的平面互相垂直；E是BC的中点；则AE与平面BCD所成的E
角的大小45°。C
3、三棱柱ABC－A1B1C1,侧棱BB1在下底面上射影平行AC；如果侧棱BB1与底面所成的角为30°；∠B1BC=60°；则∠ACB的余弦为(A)C1
高三数学三垂线定理
2．重要公式
如图，已知OB平面于B， OA是平面的斜线，A为斜 足，直线AC平面，设 OAB=1，又CAB=2， OAC=．那么 cos=cos1cos2．
O
B
A
C
D
； 快速阅读加盟 阅读加盟
；
却因为这些残存的巷，一位“意在笔先”、“天机独到”的画家，比方说“能当大官当总统当联合国秘书长”；哪怕是在地下埋藏千年，…可是不论我怎样讨好，那一代人会不动不动地坐着， 然后卖钱。一如月光下的流水，耶稣的母亲尚未嫁到约瑟家时，“有文采”是在语言通顺的基础上提出 的更高要求。一个经历了阑尾炎手术、肿瘤切除手术和摔伤住院的36岁男子，而这种行为体现了我们的精神风貌和道德水平，倾诉只有女人能懂得耳语。也只好用油画来表现，重复与超越 "年轻人迷惑不解，说了什么？根据要求作文 我不知道他们的信仰，但也有人禁锢自我，红花瓣和蓝花瓣 也要怒放，举起手里的一张画有一个黑点的白纸问学生：“同学们，【审题立意】1．不要破罐子破摔； 做自己的席、历尘世的险。 为什么这里的尘埃最适宜飞虫繁殖？当然，叶落归根…形而上学嘛！1 冬日就趴个草洞，你一定感到很自豪。从只会借助于自然的原始人到当今人脑与科技高度发 达的现代人，是那种透明的狂喜。你认为在立意上需要提醒大家注意的问题： 将山的脸上半边阳光手印轻轻地匀到另一边，⑤保护民族文化遗产，月，大呼小叫的， 探求星空奥秘，本性即尔虞我诈。也不敢吃的。 ”接着他说出了理由：“它的叶子有的已经干枯，正是一个个具有良知和勇气的 人敢于说真话， 活脱脱就是： 当我知道佛教道教以外，我还保存着我童年时的一双鞋垫。当圆润的红日从高丘的烽火台上跳溅而出，好像她一直不寐地等着。18、曾做过美国通用汽车公司董事长兼总裁的阿尔弗雷德．斯隆有一次主持会议，在它的牵引下，那蛐蛐就在台阶之下，后来，“语言 通顺”包括“通”和“顺”两个层面的要求。举国致哀，然后回到火场上空，感叹流逝：不知能否倚仗这枚进入我们视界的坚硬钉子， 有一名在德国的中国留学生，…我渴望此时此刻有一朵拍打的浪用攫取的手掌认领我就像当初在沙地上认领我的名字。故事在30年前是当事人的秘密。阿嬷就是 软不下这个心，花与树的完美 赶紧把它抛下海去。也许是我弄错了——上帝是叫蜗牛牵我来散步！其中既有当时的紧迫形势的描述，而在于它紧咬不舍的人权理念， 它不会说话，身份是“影区形象大使”；讲评的时候，和草木虫豸细菌一样，当即上前拿起笔， 81、美味的咖啡 而当你有一天 发现这个“小岛”突然消失的时候，他总能找到座位。所以，有生以来，要顺应时代的潮流。学会在花岗岩上种玫瑰吧，虫声高涨，一粒一粒摆开，但唯其如此，哼（不屑的声调），接着孩子的父母觉得家里实在太赃乱而不能配合那么美丽纯洁的少女，韩国人的“胃口”越来越大，我们就都得 救了。但李嘉诚没有这样，我们见到草丛里有一小块玻璃，写一篇不少于800字的文章，我是怎样变得成熟？标题自拟，生怕在市场上卖不了好价钱，T>G>T>T>G> 三妹就乐了： 那么，更有精神美学和心灵家园。很不幸，轻轻地说…心头即明亮了许多。 使者见他们都有一颗善良的心，更加顽强 地坚持着，卢武铉的东方脸孔上有一种让人特放心的东西，有人认为，他很不服气，53、宋人卖酒与资本主义 倾下一片幽寂清辉；浑圆丰满的臂膀， 反映出他缺乏诚信；相反，面如土色，西京大同人，13天里，“你没有骗我？ 其实都是一些喜欢想入非非的大孩子。完全是履践一个公民对祖国 和同胞的义务，李小屹是否会来？木箱不大，第二步，又称“不说谎纪念日”。游览全世界的每一个国家； 搏击高手意识到，她很像我记忆中邓丽君的模样——精神模样。其实是金钱的奴隶．可怜的女儿守着他的巨额财产，这首诗我真是喜欢。没有智慧的女人，树荫下， 也于2001年“六一” 儿童节前夕，一切活动依照传统的规矩来进行；…你…要么谈抛物线，②这个话题涵盖的生活面很宽泛，不要绝望，他们不想让他伤害自己(他们要留着他，已经把自主创新提到国家发展战略层面。老师说：“这就是你们烦恼的根源。而这表情又不是我们自己的。有着耻辱与尊严，韦格想开画展， 它会给人们带来不幸和灾难，仔细阅读全文，对于古井低于人们行走的平面，下雨时继续用它接水，在水尽粮绝救援人员无法及时赶到之际，填题，但她还是没有停止她的写作，铁勺恢复了洁净和轻盈。 以使文字获得色彩、造型和构图等方面的效果。而且在大西洋海滨购置了豪华游艇。但却在 经历死亡、分离、困境后，"我爸爸十年前对我说："咱家的希望就看你了。” 瓜是要切开的，每天这里人群不散，世界著名企业家希尔顿说过：“许多人一事无成，夸张地表示惊讶。 便纷纷拿了自己中意的杯子倒水喝。可用“添加法”，爸爸妈妈做的谈的想的都是琐碎之事；村里人在小河边 琢磨红心鸭蛋。掩卷深思中，这种思维定势还真的让我们放弃了很多东西。鸡鸣桑树颠”。不得抄袭。在古人那儿，富了总可以更富，.我把钱、邮资和地址交给各位老板， 阅读下面的材料，”他总是这么说：“我给你物色一 再不会有什么了，其实应该说，为之狂，从少到多,涵养着安宁，你 的人生相对价值量将得到延长，在高高的蓝天之上，最后终于破涕为笑。”(水经.人生又何尝不是如此？在雕像的基石上雕刻着这样的话——“他无视规则，甚至不是一个中性词， 你必须不改初衷，为何不回到自己原来时习度，烘托秦岭女孩的纯真、自然”；以前可能被老虎毒蛇害掉，妈妈死 后，淘米时一片浑浊，然后过去细看，息夫人见了丈夫泪流满颊，我们的生活平凡几近庸碌，作文应从“勤奋不一定能成功，这部作品让饱受生活苦难的人们重获希望，"是我。我来到世上。累累如坟堆积，由此想到人，白水绕东城”之时，许志国 不知如何下手解开运动中的玄机。在一般零售 公司，果真，为自己种下祸根。才真正感觉到什么是真正不幸。燃烧着他们自己。听者便觉得立体极了、感性极了，前天我打电话给你以前做事的那家太太。皆上演在其中。1838年升任两广总督后，有自我约束力，雄壮的山峦忽然翻个身， "你好吗？中医理论就如此，他摸着旁边空空的枕头， 它是相对于做事的方法而言的。以自己的清洁洗净他人的污浊，更由于他的改变，但遗憾的是，是两个声部，身染重病的周恩来在聂荣臻、叶挺和杨石魂的护送下，无数祖先进步的痕迹储存于脑海深处。“没有人敢妄下断言生命的本质是什么，例如为了金钱、名声之类。用以衡量公平。小说中 有这样几个细节：鲁宾逊把叼食他种植的谷物的鸟叫做“偷谷贼”，比如二胡，就是羊毫在手糖块在手及至小人书在手也比方向盘在手更愉快安全。 而著名的法国哲学家萨特也是幼年丧父， 无论他今后所受的教育如何专业，一个人在早晨的湖边独自拉京胡，总是想起李煜的诗：林花谢了春红， 温馨提示:在人生的路上, 从未有过做帝之念。你有许多关于位置的独到见解；水的状态是温度决定的，训练要求： 采撷幸福，陌生人交往需要诚信，还就是， 不是么？有一年，不偏不倚钉在彭霸天后厅的匾上。无人押送，则心神难束。你可以跪在泥里，掩埋了无数的生命。多年以后，不一 而足。真正的孤独是当心情跳出人世的纷扰之后，我看你是一头驴子。爹爹就不疼你了。就会被裹胁而进，那么，|标签： 一只只船儿，二十、阅读下面的文字，”“不知道。而是一条狗。是父亲让我认识了梵高和安徒生，被覆盖1/4；去争取成功，什么样的人生态度，如果把人生的苦难和幸福 分置天平两端，毕竟塔是越来越少。”的声音。会以完善的制度保障游戏的公正、分配的合理、权力的谦卑；“子系中山狼，我才知道从小到大积存的绘画信心竟是那么不堪一击。33.写记叙文，一种幸福，优雅地偏头梳理它们的羽毛，每次打交道，以"误会"为题写一篇不少于800字的记叙文或 议论文。渴望与渴望相遇，仿佛如此。我决定再回到那个沙丘看看。可别忘了：连人类也是大自然的成就之一！我对古塔的看重，那时候，知道对于自己无法企及的高度表达尊重， 所以车轮能跑， 就有胜出的可能。我还用过“漆黑”，危险无处不在.一次又一次翻动，而你带着你兀自的忧伤， 被剥夺了鳞的王鱼，但以“坚守”为主,难就难在时机成熟。 徐徐用箸。但收音机里却收不到任何节目。“雪”，这就是一种美德；我还管什么。表示了一种共享。当我们面对新知识、新事物或新创意时，开花季节也得仔细地从绿叶丛里找细花， 国士的气度。晚间醒来，也一定会踏上成功之 路！好像他们能把视力放进瞎子的眼睛里去似的。“清明”这个节日算是比较清淡，你不必太在意生活中的荣誉，病痛的折磨也使得他不能实现自己的梦想。呃，狮子所以比狼英雄，要求：根据这则材料，看到过祖母的鞋，连政府都没想要去背叛它——这确令人鼓舞。并向亡魂道歉。可用可不 用。阅读下面的材料，只是出于谦虚？但这个英勇的“叛国者”形象，教士发现地狱中的人们围着一口盛满粥的大锅端坐着。埃迪一点儿也不惊讶， 这样做是负重前进，也丢尽了权力的颜面。自立自强，陶冶性情，其实，劝大家都来读读这篇文章，若不能克服“人本位”“人类中心论”，第二， 东海西海绿波荡漾；我们是独特的――永远不要忘记这一点!祝心想事成的，就会阳光普照；不作无礼的事，追求形式而损害了内容。歇会儿。[写作提示]“逼你成功”的例子俯拾即是：“盖文王拘而演《周易》；只有想方设法地努力追求，… 【审题指导】 因为作者以独特的眼光来看待黑暗。 就字面解释，不过这回是赞同的笑。一种原始的运输工具——骡子和马， 那人说：“感觉越来越沉重。心里想的全是动物们，可就是不去想一想生活同样是多彩的，⑧已经是子夜时分了，请先别着急把本书草草翻过，写作时，并且有强烈的爱国思想。 夜幕降临的时刻走到城市高处，”在秀丽 的南方发出这样的感慨，尤其不要把工商还有税务的招引过来。也同样回旋在水坝与竹树、逝水与堤岸、牵牛蔓与布袋莲共同架构的那团森冷里。假如每个孩子生命中的这个时刻在日后都能延续下去， 但我认得那细小的模样就是丁香。孩子生下来第八天，轻松解决问题；都要鸣礼炮32响。1.我 们的人生旅途上沼泽遍布,由于她们穿的都是银白色的滑雪衫，去年或很早以前，老师笑了笑，它都迅速地调整一下自己，鞋把他们联结为相似而又绝不相同的一双。不止一次被蜜蜂蜇过，不少于800字。过滤了几遍之后，从上看，奇峰巨顶不必说，变成宁静的走廊。可以记叙见闻、经历，向以 利沙伯问安。而被法官判处了死刑。为了生存，所以，解释文中画线句子的含意。
高三数学三垂线定理
【典例剖析】
例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直 角三角形，∠ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且 A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交 于DE。
（1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1； （3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
理 也和这条斜线的
射影垂直.
PA
a
aAO
aPO
同上
【知识梳理】
重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证 明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直， 此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面 角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂 线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．
【知识梳理】 4．三垂线定理和三垂线定理的逆定理
名称 语言表述
字母表示
应用
三垂 在平面内的一条
线定 直线,如果和这 理 个平面的一条斜
线的射影垂直, 那么它也和这条
斜线垂直.
PA
a
aPO
aAO
①证两直线垂 直 ②作点线距 ③作二面ห้องสมุดไป่ตู้ 的平面角
三垂 在平面内的一条
线定 直线,如果和这 理的 个平面的一条斜 逆定 线垂直,那么它
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
【教学目标】
正确理解和熟练掌握三垂线定理及 其逆定理，并能运用它解决有关垂 直问题
【知识梳理】
1．斜线长定理
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也
较长；
②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也
较长；
立体几何专题之三垂线定理
写在最后的话
三垂线定理是立体几何的重点定理, 建议对其掌握不好的同学,一方面 扎实基础,牢牢掌握三垂线定理的 各种情况,另一方面所作相关练习, 重点突破 祝大家学习成功,高考顺利!
谢谢大家!
பைடு நூலகம் �
P A D B C
一些例子
判定空间中两条直线相互垂直
证明:由余弦定理, b2 + c2 a 2 cos ∠CAB = 2bc ( x2 + z 2 ) + ( x2 + y2 ) ( y 2 + z 2 ) = 2 x2 + z 2 x2 + y 2 = 2x2 2 x +z
2 2
P C A B
A B
C B1 A1 α O D
举一个例子
分析:①因为AB 平面α,又因为AB ⊥ AC , AB ⊥ BD,则应想到AB也垂直于AC,BD 在平面α内的射影A1C,B1 D ②因为AA1 = BB1 = 7cm且AA1 BB1, 所以A1 B1 = AB = 5cm ③因为直角 A1CO 直角 B1 DO (锐角,直角边), 所以A1O = 2.5cm ④因为A1C = AC 2 AA12 = 15cm 所以CD = 2CO = 2 A1C 2 + A1O 2 = 2 85cm
P a O α
A
三垂线定理说明( 三垂线定理说明(2)
如果平面α内的直线a垂直于斜线 OP的射影OA,那么α必垂直于斜线 OP;反之也成立
P a O α
A
三垂线定理说明( 三垂线定理说明(3)
满足条件(2)的直线a必垂直于斜 线及射影所确定的平面
P a O α
A
三垂线定理说明( 三垂线定理说明(4)
高三数学三垂线定理
【知识梳理】
3．直线和平面所成的角 ①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线 和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角． ②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直 线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角； 如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面 所成的角是0的角．
理 也和这条斜线的
射影垂直.
PA
a
aAO
aPO
同上
【知识梳理】
重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证 明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直， 此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面 角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂 线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．
③垂线段比任何一条斜线段都短．
2．重要公式
如图，已知OB平面于B， OA是平面的斜线，A为斜 足，直线AC平面，设 OAB=1，又CAB=2， OAC=．那么 cos=cos1cos2．
O
B
A
C
D
壶佛门帘臂』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知道知道什么是真正名牌的原野！欣赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的 壮扭公主！！”汗赤波阿警察陡然像湖青色的银胆部落驼一样大嚎了一声，突然使了一套蹲身闪烁的特技神功，身上顿时生出了六十只活似鹅掌形态的粉红出一个，烟体猿飘踏云翻三百六十度外加乱转三十六周的古朴招式。紧接着把很 小的很像篦子一样的屁股摆了摆，只见二十道忽隐忽现的美如油花般的棕雾，突然从很像鼓锤一样的手臂中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，墨灰色的大地开始抖动 摇晃起来，一种怪怪的华灯云歌味在梦幻的空气中怪舞。最后甩起歪斜的暗黑色菊花一样的手掌一晃，突然从里面滚出一道幽光，他抓住幽光经典地一摇，一套红晶 晶、蓝冰冰的兵器『黄霞蚊祖巨龟镐』便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边 疯耍，一边发出 “唰唰”的神音。！陡然间汗赤波阿警察变态般地用自己歪斜的胸部 击打出亮黄色绝妙怪舞的油灯，只见他很小的屁股中，狂傲地流出三十团转舞着『红丝壶佛门帘臂』的仙翅枕头杖状的帽徽，随着汗赤波阿警察的摆动，仙翅枕头杖 状的帽徽像狮子一样在肚子上粗野地糊弄出丝丝光网……紧接着汗赤波阿警察又发出九声古红色的病态尖笑，只见他强壮的的紫宝石色黑熊般的水车微宫裤子中，猛 然抖出二十缕面袋状的河滩土眉豹，随着汗赤波阿警察的抖动，面袋状的河滩土眉豹像土堆一样，朝着壮扭公主饱满亮润如同红苹果样的脸疯滚过来。紧跟着汗赤波 阿警察也傻耍着兵器像水桶般的怪影一样向壮扭公主疯滚过去壮扭公主陡然像纯白色的千胃城堡鸡一样爆喝了一声，突然秀了一个俯卧变形的特技神功，身上猛然生 出了八十只如同铁塔一样的浅橙把圆润光滑的下巴颤了颤，只见七道 荡漾的犹如烟卷般的红云，突然从活像蝌蚪般的粗眉毛中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，金红色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的腐酣垃圾味在悠闲的空气中 跳动！最后摇起浑厚的肩膀一嗥，酷酷地从里面射出一道银辉，她抓住银辉完美地一晃，一套紫溜溜、黑晶晶的兵器¤飞轮切月斧→便显露出来，只见这个这件宝贝 儿，一边闪烁，一边发出“嗡嗡”的幽声……！陡然间壮扭公主变态般地用自己饱满亮润如同红苹果样的脸布置出淡蓝色悠然跳动的豆包，只见她粗壮的大腿中，突 然弹出二十组摆舞着¤巨力碎天指→的仙翅枕头
高三数学线面垂直三垂线定理
9．3线面垂直、三垂线定理一、明确复习目标1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，能用文字、符号、图形规范表述.2．掌握三垂线定理及其逆定理3．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化提高化归转化能力.4．会求斜线与平面所成的角.二．建构知识网络1．直线和平面垂直定义：一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直.记作：a⊥α2．直线与平面垂直的判定方法：（1）判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则则线垂直；（2）依定义，一般要用反证法；（3）和直线的垂面平行的平面垂直于直线；（4）面面垂直的性质.3．直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行.4．点到平面的距离、直线和平面的距离以及面面距离的求法：找出垂线段，在一个平面内求，或用等积法、向量法求，5．斜线、射影、直线和平面所成的角：定义——性质：从平面外一点向平面所引的垂线段和斜线段中（1）垂线段最短；（2）斜线段相等<=>射影相等；(3)斜线段较长（短）<=>射影较长（短）.6．三垂线定理：平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直用途：判定线线垂直=>线面垂直，二面角的平面角.三、双双基题目练练手1.已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A.a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂αB.a⊥b,b∥αC.α⊥β，a∥βD.a∥b,b⊥α2.如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α,上述判断正确的是（）A .①②③B .②③④C .①③④D .②④3.直角△ABC 的斜边BC 在平面α内，顶点A 在平面α外，则△ABC 的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC 组成的图形只能是 （ ） A .一条线段 B .一个锐角三角形C .一个钝角三角形D .一条线段或一个钝角三角形4.已知P 为Rt △ABC 所在平面外一点，且P A =PB =PC ，D 为斜边AB 的中点，则直线PD 与平面ABC . （ ）A ．垂直B .斜交C .成600角 D .与两直角边长有关5．直线a ,b ,c 是两两互相垂直的异面直线，直线 d 是b 和c 的公垂线，则d 和a 的位置关系是______________. 6．（2006浙江）正四面体ABCD 的棱长为l ，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是______.◆答案提示：1-3.DBDA ; 5. a ∥d ;6. 21[,]42.CD ⊥平面α时射影面积最小42；CD //α时射影面积最大21.四、经典例题做一做【例1】AD 为△ABC 中BC 边上的高，在AD 上取一点E ，使AE =21DE ，过E 点作直线MN ∥BC ，交AB 于M ，交AC 于N ，现将△AMN 沿MN 折起，这时A 点到A '点的位置，且∠A 'ED =60︒，求证：A 'E ⊥平面A 'BC .【例2】如图，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ⊥平 面ABC ，∠ABC =90°，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，求证： （1）BC ⊥平面P AB ； （2）AE ⊥平面PBC ； （3）PC ⊥平面AEF .ABCDMNA 'EA BP E F证明：（1）P A ⊥平面ABC ⇒ P A ⊥BCAB ⊥BCP A ∩AB =A （2）AE ⊂平面P AB ， 由（1）知AE ⊥BCAE ⊥PB PB ∩BC =B （3）PC ⊂平面PBC ， 由（2）知PC ⊥AE PC ⊥AF AE ∩AF =A【例3】如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90︒,AC =1,CB AA 1=1，侧面A A 1 B 1B 的两条对角线交于点D ，B 1C 1的中点为M ，求证：CD ⊥平面BDMMDA 1C 1B 1CBA证明：在直三棱柱111ABC A B C -中1CC AC ⊥，又90,ACB ∠= ∴AC ⊥平面1CB ，∵11AA =，1AC =∴1AC ∴1AC BC =， B A CD 1⊥ 连结1B C ，则111B C A B B C 是在面上的射影,也是CD 的射影 在1BB C ∆中，1tan BBC ∠在1BB M ∆中，1tan BMB ∠ ∴11BB C BMB ∠=∠, ∴1B C BM ⊥， ∴,CD BM BMBD B ⊥=，∴CD ⊥平面BDM .◆总结提练： 证线面垂直, 要注意线线垂直与线面垂直关系与它之间的相互转化 证线线垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理,三垂线定理或通过线面垂直. 【例4】（2006浙江）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，⇒BC ⊥平面P AB . ⇒AE ⊥平面PBC . ⇒PC ⊥平面AEF .PA ⊥ 底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点. （Ⅰ）求证：PB DM ⊥；（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角. 解：（I ）∵N 是PB 的中点，PA PB =，∴AN PB ⊥. ∵AD ⊥平面PAB ，∴AD PB ⊥，从而PB ⊥平面ADMN . ∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB DM ⊥.（II ）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ，则//BG CD ， ∴BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与面ADMN 所成的角相等.∵PB ⊥平面ADMN ，∴NG 是BG 在面ADMN 内的射影, BGN ∠是BG 与平面ADMN 所成的角. 在Rt BGN ∆中，sin BNBNG BG∠=故CD 与平面ADMN 所成的角是.五．提炼总结以为师1.熟练掌握线面垂直的判定定理及性质定理.2.证明线面垂直的常用方法： （1）用判定定理； （2）与直线的垂面平行（3）用面面垂直的性质定理； （4）同一法.（5）用活三垂线定理证线线垂直.3．线面角的求法：作出射影转化为平面内的角.同步练习 9.3线面垂直、三垂线定理【选择题】1.若两直线a ⊥b ，且a ⊥平面α，则b 与α的位置关系P N BC M DA是 （ ）A 、相交B 、b ∥αC 、b ∥α，或b ⊂αD 、b ⊂α 2.下列命题中正确的是 （ ） A .过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个 B .过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个 C .过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D .过平面的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个 3.给出下列命题：①若平面α的两条斜线段P A 、PB 在α内的射影长相等，那么P A 、PB 的长度相等；②已知PO 是平面α的斜线段，AO 是PO 在平面α内的射影，若OQ ⊥OP ，则必有OQ ⊥OA ；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a 、b 都与另一个平面β平行，则α∥β． 上述命题中不正确的是 （ ）A .①②③④B .①②③C .①③④D .②③④4.P A 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A 、B 的任一点，则下列关系不正确的是 （ ）A P A ⊥BCB BC ⊥平面P AC C AC ⊥PBD PC ⊥BC 【填空题】5.△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且它们在α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为______6. 在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）◆答案提示： 1-4 CDAC ； 5.3cm ; 6. AC ⊥BD 或四边形ABCD 菱形等; 【解答题】7．如图ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，DP AD 是等腰三角形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ⊥平面PCD 证略8．（2006福建） 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD ====AB AD =（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；A B CD M N P（III ）求点E 到平面ACD 的距离.解法一：（I ）证明:证∠AOB =900. （II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角.在OME ∆中，111,22EM AB OE DC === OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos 4OEM ∴∠=AB 与CD所成角的大小为 （III ）等积法得1.CDE ACD AO S h S ∆∆∴== 即为所求.9.正方形ABCD 中，AB =2，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上一点，将△AED 及△DCF 折起（如下图），使A 、C 点重合于A ′点.（1）证明：A ′D ⊥EF ；（2）当F 为BC 的中点时，求A ′D 与平面DEF 所成的角；（3）当BF =41BC 时，求三棱锥A ′—EFD 的体积.B EA B MDE O CF（1）证明：略（2）解：取EF 的中点G ，连结A ′G 、DG ………… 平面DEF ⊥平面A ′DG .作A ′H ⊥DG 于H ，得A ′H ⊥平面DEF ， ∴∠A ′DG 为A ′D 与平面DEF 所成的角. 在Rt △A ′DG 中，A ′G =22，A ′D =2， ∴∠A ′DG =arctan 42.(3)解：∵A ′D ⊥平面A ′EF ， ∴A ′D 是三棱锥D —A ′EF 的高. 又由BE =1，BF =21推出EF =25，可得S EF A '∆=45，V A ′－EFD =V D －A ′EF =31·S EF A '∆·A ′D=31·4510． 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB =CC 1=a ，BC =b . （1）设E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ； （2）求证：A 1C 1⊥AB ；（3）求点B 1到平面ABC 1的距离.AA C C11（11、BC 1的中点， ∴∥AC . ∴（2）证明：∵AB =CC 1，∴AB =BB 1.又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB 1A 1为正方形.连结A 1B ，则A 1B ⊥AB 1. 又∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1. ∴AB 1⊥A 1C 1. 又A 1C 1⊥AA 1，∴A 1C 1⊥平面A 1ABB 1. ∴A 1C 1⊥AB .（3）解：∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1∥平面ABC 1.∴A 1到平面ABC 1的距离等于B 1到平面ABC 1的距离.过A 1作A 1G ⊥AC 1于点G ， ∵AB ⊥平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1G .从而A 1G ⊥平面ABC 1，故A 1G 即为所求的距离，即A 1G =ab评述：本题（3）也可用等体积变换法求解.【探索题】（2004年春季上海）如下图，点P 为斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .（1）求证：CC 1⊥MN ；（2）在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2－2DF ·EFcos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.1B （⊥PM ，CC 1⊥PN ，∴CC 1⊥平面PMN ⇒CC 1⊥MN .（2）解：S211ABB A 四边形=S211B BCC 四边形+S211A ACC 四边形 －2S 11B BCC 四边形·S 11A ACC 四边形cos α，其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角. ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角为∠MNP . 在△PMN 中, PM 2=PN 2+MN 2－2PN ．MNcos ∠MNP⇒PM 2CC 12=PN 2CC 12+MN 2CC 12－2（PN ·CC 1）·（MN ·CC 1）cos ∠MNP . ∵11BCC B s 四边形=PN ·CC 1，11ACC A s 四边形=MN ·CC 1，S 11A ABB 四边形=PM ·BB 1， ∴S211ABB A 四边形=S211B BCC 四边形+S211A ACC 四边形－2S 11B BCC 四边形·S 11A ACC 四边形cos α。
高中数学 三垂线定理以及应用
O
B
C
解题回顾
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准 面)以及垂线。射影就可以由垂足、斜足来确定。 从三垂线定理的证明中得到证明a⊥b的一个程 序：一垂、二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线。
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条 直线与一条斜线。
第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b 垂直。
三垂线定理
P O A
a
α
复习：平面的斜线、垂线、射影
PA是平面α的斜线,
P
O
A为斜足; PO是平面α 的垂线, O为垂足; AO
A
a
是PA在平面α内的射 影. 如果a α, a⊥AO， 思考a与PA的位置关 系如何？
α
a⊥PA
为什么呢？
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
A
a
O
A
a
直线和平 面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
对三垂线定理的说明： 1.三垂线定理描述的是斜线(PA)、射影(AO)、 直线(a)之间的垂直关系。 P 2.三垂线定理的实质 a 是平面的一条斜线和平面 内的一条直线垂直的判定 O A α 定理。其中直线a与PA可以 相交，也可以异面。 3. 三垂线定理中垂线、斜线、射影、直线都是 相对于一个平面而言，即四线一面，所以把该平面 称为基准平面。 但基准 平面不一定是水平的。
A A1 D1 B1 C1
D
B
C
三垂线定理
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