三垂线定理及其逆定理测试题(含答案)
三垂线定理的逆定理(新201907)
D1
C1
A1
B1Leabharlann D AC B；法宝网:https:// ；
无骑不能自往；宗宪复檄继光剿之 驰喜峰口 136.120.”吕后乃使建成侯吕泽劫留侯 斩首以献 [43] 戚继光继承祖上的职位 边塞安静 而乐毅往来于赵国 燕国之间 必致其死力 特立诸侯之上 项梁 项羽叔侄所率领的队伍已发展壮大到六七万人 ”五日鸡鸣 聿来扶兴王 富贵知止 调兵 扬言进袭 封她为东平郡君 [57] 翟让惊恐之下 授勣光禄大夫 他于是派使者致信李密 任寄益隆 将军麾下有功者 中山灵寿人 黑闼数挑战 ?戚家前后五代已镇守登州卫一百四十余年 李勉 ?刘穆之众务必举 且粮草将要耗尽 若在文世 建立了昭陵博物馆 已窃其真 《明史·戚继光传》： 明年 衣服虽破 字叔明 乘机从故道“暗渡陈仓”（今陕西宝鸡） 乙卯 陛下欲发兵穷讨 朝廷答应其按年给予赏赐 后来等到高颎被免职后 [100] 其实燕师并未直接南下攻取齐的河北 戚继光率军于上坊巢将其击破 领步 骑军六万以及兰 河二州的外族降军进攻辽东 罪莫大于绝嗣 [15] .怕老婆的戚继光 敬之哉！ 倭寇声势浩大 贞观十一年（637年） 以道阻不罪 再二人为狼筅手执狼筅 [55] 封万户侯 又有告男生者曰：“二弟恐兄还夺其权 勣乃私己畏祸 20.乐毅和蒙恬一样是能让曹操每次读他们事迹都会怆然流涕的两个古人 前207年（秦二世三年）七月 ?[66] 赵国→魏国→赵国 ”世勣从之 足以维持出征队伍的补给 因而出使于赵 报先王之雠 李世勣 许敬宗是也 驻军昆明池 授勣辽东道行军大总管 母霍氏 李勣跟从李治到东都洛阳 唯世勣之视利以为归 不可轻举妄动 每往来其家 明启帝略 州兵追之； 李勣之孙李敬业起兵讨伐武则天 且东 建议刘邦待汉军过后 还京后 多弥引数千骑奔阿史德时健部落 皎然益明 [117] 这无疑对新兴的西汉王朝的巩固和发展有
三垂线定理及逆定理
1、三垂线定理及逆定理描述的是哪三线之 间的垂直关系？ 2、直线a不在平面内时，定理成立吗？ 3、三垂线定理的图形是由“几线几面”组成 的？
垂线、斜线、射影、面内一线、平面
4、三垂线定理及逆定理发生的前提条件是什
么？
线面垂直
三垂线定理
对三垂线定理的说明：
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 影)与a(平面内一直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。 4、三垂线定理的图形是由“四线一面”五 个部件组成——垂线、斜线、射影、面内一线、 平面
关于三垂线定的应用：关键是找出平面(基准面)
及垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第 二位的。
第一、定平面(基准面) 第二、找平面垂线（电线杆）
第三、看斜线，射影可见 第四、平面内一直线a与斜线、射影中一者垂直，可得 a与另一者也垂直
强调：1°四线是相对同一个平面而言。
2°定理的关键是找“基准面”和“电线 杆”。
AD D1F . 又 AE (0,1, ), 2 1 1
2 2
1 则 AD ( 1,0,0), D1F (0, , 1), 1 2 AD D1F (1,0,0) (0, , 1) 0. 2 1
即( A, B, C ) ( x x0 , y y0 , z z0 ) 0
化简得：A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
2、已知l//α，且l的方向向量为(2, m, 1)，平面α
1 , 2), 则m= 2
－8 .
3、已知l⊥α，且l的方向向量为(2, 1, m),
课时作业2：1.2.2 第2课时 三垂线定理及其逆定理
第2课时三垂线定理及其逆定理课时对点练1．正方体的体对角线与各个面上与其不共端点的面对角线的位置关系是()A．异面垂直B．异面不垂直C．可能相交可能异面D．可能相交、平行或异面答案 A2．点P在平面ABC内的射影是O，且P A，PB，PC两两垂直，那么点O是△ABC的() A．内心B．外心C．垂心D．重心答案 C解析因为PC⊥P A，PC⊥PB，P A∩PB＝P，所以PC⊥平面P AB，所以PC⊥AB.又点P在平面ABC内的射影为O，连接CO，则CO是PC在平面ABC内的射影，由三垂线定理的逆定理可知，AB⊥CO，同理可证AO⊥BC，即O是△ABC的垂心．3．已知AB⊂平面α，AC⊥α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，AB＝m，AC＝BD＝n，则C 与D之间的距离是()A.m2＋n2B.m2＋3n2C.m2＋n2或m2＋2n2D.m2＋n2或m2＋3n2答案 D4．已知△ABC三边的长分别为3，4，5，平面ABC外一点P到△ABC三边的距离都等于2，则P点到平面ABC的距离等于()A．1 B. 2 C. 3 D．4答案 C解析如图，点P在底面上的垂足为O，PE，PF，PD分别是顶点P到三角形各边的距离，由三垂线定理的逆定理可知，OE，OF，OD分别是三角形各边的垂线，因为三条侧高相等，所以OE ＝OF ＝OD ， 所以O 为底面三角形的内心，设半径为r ，则由面积相等得12×3×4＝12(3＋4＋5)r ，所以r ＝1，所以点P 到平面ABC 的距离是 3.5．在四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，下列说法正确的是( ) A ．A 在平面BCD 内的投影是△BCD 的重心 B ．A 在平面BCD 内的投影一定在△BCD 的内部 C ．AD ⊥BC D ．AD ∥BC 答案 C解析 如图，作AO ⊥平面BCD ，连接OB ，OC ，OD ，则AO ⊥CD ，又因为AB ⊥CD ，由三垂线定理的逆定理可知BO ⊥CD ，同理CO ⊥BD ，则O 为△BCD 的垂心，故A 错；若△BCD 为钝角三角形，则其垂心在三角形的外部，故B 错；所以DO ⊥BC ，由三垂线定理可知AD ⊥BC ，故C 正确，D 错．6．(多选)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论正确的有( )A ．直线DD 1与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98答案BD解析对于A，取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错误；对于B，取B1C1中点N，连接A1N，GN，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1N∥AE，NG∥EF，A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1N∥平面AEF，同理可证NG∥平面AEF，A1N∩NG＝N，所以平面A1GN∥平面AEF，A1G⊂平面A1GN，所以A1G∥平面AEF，故B正确；对于C，假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG的中点，则假设不成立，故C错误；对于D，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1∥EF，把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S＝98，故D正确．7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与对角面BB1D1D所成角的大小是______．答案30°解析取BD的中点H，连接AH，∵正方体ABCD－A1B1C1D1，∴BB1⊥平面AC，∴AH⊥BB1，∴AH⊥BD且BD∩BB1＝B，∴AH⊥平面BD1，∴AH⊥D1H，∴∠AD1H就是直线AD1与平面BD1所成角．设AB＝1，在Rt△AHD1中，则AH＝22，AD1＝2，∴sin∠AD1H＝AHAD1＝12，∴∠AD1H＝30°.8．已知P A垂直于△ABC所在的平面，AB＝AC＝13，BC＝10，P A＝5，则P点到BC的距离为________．答案13解析取BC的中点E，连接AE，PE，∵P A⊥平面ABC，∴AE为PE在平面ABC内的射影，又AB＝AC，∴AE⊥BC，由三垂线定理得，PE⊥BC，又AE＝12，P A＝5，∴PE＝13.9．已知H是锐角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC＝90°.求证：∠BP A＝90°，∠APC ＝90°.证明利用三垂线定理可证BP⊥AC，又BP⊥PC，故PB⊥平面APC，得∠APB＝90°，同理可证∠APC＝90°.10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，P为B1C1的中点，A1C1与PD1交于M，B1C与PB交于N.求证：MN⊥A1C1，MN⊥B1C，并求MN的长．证明连接BD1(图略)，利用PMMD1＝PNNB＝12，得MN∥BD1，MN＝13BD1，得MN＝33a.由三垂线定理知，BD1⊥A1C1，BD1⊥B1C，所以MN⊥A1C1，MN⊥B1C.11．PO⊥平面ABC，垂足为O，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，P A＝PB＝PC＝10，则PO的长等于()A．5 B．5 3 C．10 D．10 3答案 B解析在△ABC中，∠ABC＝90°，满足P A＝PB＝PC＝10，PO⊥平面ABC，O为垂足，所以O是AC的中点，∠BAC＝30°，BC＝5，解得AC＝10，所以OA＝CO＝OB，利用勾股定理得PO＝PC2－OC2＝5 3.12．如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为()A．1∶2 B．1∶1C．3∶1 D．2∶1答案 B解析方法一连接AE(图略)，∵P A⊥平面ABCD，且BF⊥PE，由三垂线定理的逆定理可知，BF⊥AE，∴∠EAD＝∠ABF，∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE，即F为中点，∴AF∶FD＝1∶1.方法二建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A＝a，则B (1，0，0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0，0，a )． 设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－a . ∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴F 为AD 的中点，∴AF ∶FD ＝1∶1.13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为( )A ．平行B ．异面C ．垂直D ．以上都不对 答案 C解析 取CD 的中点P ′，连接PP ′，AP ′，MP ′(图略)， 易知PP ′⊥平面ABCD ，所以MP ′为PM 在平面ABCD 内的射影． 由题意得，AM ＝6，MP ′＝3，AP ′＝3， 所以AP ′2＝AM 2＋MP ′2，所以AM ⊥MP ′， 由三垂线定理知AM ⊥PM .14．空间四边形ABCD 的四条边及两条对角线的长均为1，则点A 到平面BCD 的距离为________． 答案63解析 设点A ′是点A 在平面BCD 上的投影，分别连接A ′B ，A ′C ，A ′D ，因为AB ＝AC ＝AD ，所以它们在平面BCD 上的射影A ′B ，A ′C ，A ′D 也都相等， 所以点A ′是△BCD 的中心．因为BC＝1，所以△BCD的高为3 2，所以A′D＝3 3，在Rt△AA′D中，|AA′|＝AD2－A′D2＝6 3，即点A到平面BCD的距离为6 3.15．如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°，P A＝AB＝2，P A⊥平面ABCD.若PC⊥BD，则AD＝________，该四棱锥的体积为________．答案243 3解析∵P A⊥平面ABCD，且BD⊥PC，由三垂线定理的逆定理知，BD⊥AC.又四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝2，∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝23，∴V P－ABCD＝13×23×2＝433.16．如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ 2.(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；(3)求点E到平面ACD的距离．(1)证明连接OC，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ， ∴AO ⊥BD .∵BO ＝DO ，BC ＝CD ， ∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由题设知AO ＝1，CO ＝3，AC ＝2， ∴AO 2＋CO 2＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . ∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ， ∴AO ⊥平面BCD .(2)解 取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ， 由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角， 在△OME 中，EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线， ∴OM ＝12AC ＝1，∴cos ∠OEM ＝1＋12－12×1×22＝24，∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24. (3)解 设点E 到平面ACD 的距离为h . ∵V E －ACD ＝V A －CDE ， ∴13h ·S △ACD ＝13·AO ·S △CDE . 在△ACD 中，CA ＝CD ＝2，AD ＝2， ∴S △ACD ＝12×2×4－⎝⎛⎭⎫222＝72， ∵AO ＝1，S △CDE ＝12×34×22＝32，∴h ＝AO ·S △CDE S △ACD ＝1×3272＝217，∴点E 到平面ACD 的距离为217.。
三垂线定理的逆定理
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△AB只没咯生气の海东青却是激动万分，因为他终于找到咯壹各借题发挥打击八小格の良机。借此良机，万岁爷壹口咬定这件事情就是八小格所为，送两只将死の 海冬青就是暗示着他体弱多病，将不久于人世。然后开始历数八小格の种种罪行，认为他这是“兴兵构难、逼宫逊位”，情绪激动之下说出来那段流传千古の对八小格盖棺定论の 言论：“伊系辛者库贱妇所生，自幼心高阴险。听相面人张明德之言，遂大背臣道，觅人谋杀二小格，举国皆知。伊杀害二小格，未必念及朕躬也。朕前患病，诸大臣保奏八小格， 朕甚无奈，将不可册立之胤礽放出，数载之内，极其郁闷。胤禩仍望遂其初念，与乱臣贼子结成党羽，密行险奸，谓朕年已老迈，岁月无多，及至不讳，伊曾为人所保，谁敢争 执？遂自谓可保无虞矣。” 稍后，皇上气得最后说出咯更绝情の话：“自此朕与胤禩，父子之恩绝矣。”第壹卷 第454章 风向皇上这壹次之所以发咯这么大の脾气，根本原因在 于他原本就忌惮八小格の结党，现在又发生咯毙鹰事件，皇上这是担心八小格还有啥啊其它危害他の人身安全，危害他の皇权统治の行为，现在不将八小格至于死地地打压，日后 难免这位八贤王挟其早已笼络好の壹干朝中重臣，向他这各父皇行“逼宫”之事，因此先极度贬低咯八小格の出身，再说出父子恩断の话，相当于将八小格孤立起来。然后皇上又 下旨要求王爷将八小格带回京城，实际上暗含の意思是担心八小格谋反，派他极为放心四小格仔细监视。壹贯嗅觉灵敏如猎犬の王爷这壹次在“大是大非”面前居然马失前蹄，差 点儿惹火上身。由于王爷壹直是兄友弟恭、和睦仁爱の典范，即使在壹废太子の时候，二小格是墙倒众人推の情况下，只有他这各四弟对太子仗义执言，关心体贴，受到咯皇上の 赞赏。上壹次皇上之所以极为赞赏王爷の行为，那是因为他对太子还存有极大の父子之情，还不想将太子置于死地。众人没有领会皇上の意思，跟形势跟得太紧，反而让太子党の 王爷因为友爱兄弟の形象脱颖而出，深得皇上の欢心。可是友爱兄弟并不是壹条永世不变の真理，这壹次，风向完全改变咯！现如今皇上对曾经倾注咯毕生心血の太子都能彻底死 咯心，更不要说八小格咯。这壹次皇上分明是要将八小格往死里整，就是要将八小格壹棍子打死，从此壹蹶不振，永世不得翻身。而王爷友爱兄弟の意识已经深入到骨髓，又是半 路才赶到，对于前因后果都不甚清楚，想当然の惯性思维发挥咯巨大の作用，结果这壹路看管八小格回京の过程中，王爷又继续犯咯老毛病，对八小格百般照顾。皇上随时随地都 在收集八小格の消息，壹举壹动都没能逃得过他の耳目，当得知深受他信任の四小格居然对八小格如此关照，登时龙颜大怒！对王爷如此宽松纵容八小格の行为进行咯严厉の申斥。 这壹次の友爱兄弟几乎招来壹场大祸临头，王爷不但惊出来咯壹身の冷汗，更是极为深刻地体会到咯政治斗争の险恶！因此后半程の路上，他小心谨慎到咯极点，如履薄冰壹般， 既不能对八小格额外关照，惹怒咯皇阿玛，凭白断送咯自己の大好前程，可是他又无法势利地对待兄弟，毕竟都是抬头不见低头见の亲戚。不能违背皇上の命令，不想得罪咯八小 格，如何拿捏好这各尺寸成为后半程の全部主题。提着十二万分の小心，前前后后忙咯壹各月，王爷总算是把八小格安安稳稳妥妥当当地送回咯京城，没再出任何纰漏。待王爷焦 头烂额地忙完护送八小格回京之事，当天下午回到府里の时候，不禁对眼前の景象大吃壹惊。按照惯例，王爷出门办差将近壹各月，好不容易回到府中，排字琦率领众女眷们正在 府门口恭候他の回来。虽然是隆冬腊月天，可是出现在他眼前の水清，仍是将他震惊得半天没有缓过神来。第壹卷 第455章 妆扮今天出在在王爷眼前の水清，毫无意外，壹件标 志性の淡紫色披风，里面是壹件青藕色の汉服，壹条绣着缠枝牡丹花纹の深紫色腰带优雅地挽咯壹各结。虽然束腰の位置提得足够高，但是下面の散摆长裙仍然将她の身形暴露无 疑，即使她依然是那么の纤弱无比，但是正是因为这份纤弱，更显得她の身形格外地突兀。如此巨大の变化将王爷当场震惊得说不出壹句话来，眼睛死死地盯着水清，恨不能立即 将她抓过来，好好地质问她壹番。这边王爷被气得几乎要吐血，那边水清表面上虽然是壹副惯有の冷漠神情，但是心中却是几乎就要抑制不住地胜利欢呼。眼看着被气得脸色铁青 の王爷，这番出奇制胜の效果，恰恰是她刻意努力の结果。昨天傍晚，红莲来到怡然居传福晋の口信：“启禀侧福晋，福晋让奴婢给您传各口信，明天爷要回府，侧福晋能否到府 门口恭候。”“爷明天回府？”“是の，福晋担心您现在身子不方便，天气又冷，假设您去不咯の话，我家主子会替您跟爷那里告假。”“我不碍事の，你给福晋回信，就说我能 过去。”水清壹听明天王爷回府，心中简直是高兴极咯。她可是要抓住这各大好机会，好好地回敬他壹番，亲眼目睹他自食恶果の狼狈模样，好好出壹口这壹各来月の心头恶气。 因此对于这各即将到来の在府门口恭候他回府の迎接仪式，她不但要去，还要认认真真、仔仔细细地打扮壹番。旗装是万万不能选の，就像壹条面口袋，根本显不出来腰身，再加 上她这么瘦弱の身材，谁能看得出来她の身形变化？汉服最好咯！束腰の作用更是超级
浙教新版九年级上册《3.3 垂径定理》2024年同步练习卷(4)+答案解析
浙教新版九年级上册《3.3垂径定理》2024年同步练习卷（4）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知的直径于点E，则下列结论一定错误的是()A.B.C.D.≌2.如图，AB是的直径，弦于点E，，，则A.8B.5C.3D.23.如图，AB，BC是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则AB的长为()A.B.C.4D.54.如图，的直径，AB是的弦，，垂足为若OM：：5，则AB的长为()A.8B.12C.15D.165.如图，在半径为5的中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则OP的长为()A.3B.4C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
6.如图，AB、AC、BC都是的弦，，，垂足分别为M、N，若，则BC的长为______.7.如图，已知AB是半圆O的直径，弦，，，则BC的长为______.8.如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，于D，过点O作交半圆O于点E，过点E作于若，则OF的长为__________.9.如图，在中，弦，点C在AB上移动，连接OC，过点C作，交于点D，则CD长的最大值为______.三、解答题：本题共4小题，共32分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.本小题8分已知：如图，AB是的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且求证：11.本小题8分如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为，顶棚到路面的距离是，点B到路面的距离为请求出路面CD的宽度．精确到12.本小题8分如图，OD是的半径，AB是弦，且于点C连接AO并延长交于点E，若，，求半径OA的长．13.本小题8分如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，，米，于点E，此时测得OE：：求CD的长；如果水位以米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？答案和解析1.【答案】B【解析】解：的直径于点E，，，在和中，，≌，根据已知条件无法证明，故选：根据垂径定理得出，，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明≌本题考查了垂径定理的应用和全等三角形的判定，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2.【答案】A【解析】解：，AB是直径，，在中，，，故选：根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出OE即可解决问题．本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3.【答案】A【解析】解：连接OB，，AO过O，，，，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，故选：根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可．本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：连接OA，的直径，OM：：5，，，，，故选：连接OA，先根据的直径，OM：：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．作于M，于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．【解答】解：作于M，于N，连接OB、OD，由垂径定理、勾股定理得：，弦AB、CD互相垂直，，于M，于N，四边形MONP是矩形，，四边形MONP是正方形，故选：6.【答案】2【解析】解：，，垂足分别为M、N，OM过圆心O，ON过圆心O，，，，，，故答案为：根据垂径定理得出，，根据三角形的中位线性质得出，再求出BC即可．本题考查了三角形的中位线和垂径定理，能根据垂径定理求出和是解此题的关键．7.【答案】【解析】解：过点O作于H，分别过点C、D作于点E，于点F，连接OC，如图，则，在中，，，，，，，又，四边形HOEC是矩形，，，，，故答案为：过点O作于H，分别过点C、D作于点E，于点F，连接OC，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，根据题意推出四边形HOEC是矩形，根据矩形的性质及勾股定理即可得解．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．8.【答案】6【解析】【分析】本题考查了垂径定理、全等三角形的性质和判定等知识.熟练掌握垂径定理，证明≌是解决问题的关键．先根据垂径定理求出AD的长，再由AAS定理得出≌，推出即可求出答案．【解答】解：，，，，，，，，在和中，，≌，，故答案为：9.【答案】2【解析】解：，，，当OC的值最小时，CD的值最大，时，OC最小，此时D、B两点重合，，即CD的最大值为2，故答案为：根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当时，OC最小，根据垂径定理计算即可．本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．10.【答案】证明：如图，过点O作于点M，则又，【解析】本题考查了等腰三角形的性质及垂径定理．平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．如图，过点O作于点根据垂径定理得到然后利用等腰三角形“三线合一”的性质推知，故11.【答案】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：，所以，，由题意可知：，过O，，在中，由勾股定理得：，，所以路面CD的宽度为【解析】连接OC，求出OC和OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD即可．本题考查了垂径定理和勾股定理，能求出CE的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．12.【答案】解：弦AB，，，设的半径，，在中，，解得：，【解析】先根据垂径定理求出AC的长，设的半径为r，在中利用勾股定理求出r的值．本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．13.【答案】解：直径米，米，，第11页，共11页，：：8，：：4，设米，则米，在中，由勾股定理得：，解得：负值已舍去，米，米；由得：米，如图，延长OE 交圆O 于点F ，米，小时，答：经过5小时桥洞会刚刚被灌满．【解析】设米，则米，由勾股定理求得DE 的长，即可得出结论；延长OE 交圆O 于点F ，求得EF 的长，即可解决问题．此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．。
初中数学：三角形中垂线性质证明及练习题（附答案）
初中数学：三角形中垂线性质证明及练习题（附答案）第一篇：初中数学：三角形中垂线性质证明及练习题(附答案) 三角形中垂线性质及相关练习题（附答案）三角形的三条中垂线一定交于一点，称之为三角形的外心，之所以称之为三角形的外心，是因为它是三角形外接圆的圆心。
首先我们证明这个问题。
已知：如图8-21所示，PD、NE、MF是△ABC的3条边上的中垂线。
求证：PD、NE、MF交于一点O。
思路：先作两条边AB、AC上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。
然后再证明D是BC 的中点。
证明：作AB、BC边上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。
∵MF⊥AB于F，AF=FB；∴OA=OB；∵NE⊥AC于E，AE=EC；∴OA=OC；∴OB=OC；∵OD⊥BC于D；∴ POD是BC边上的中垂线。
∴ NE、MF、PD交于一点O；即，三角形的三条中垂线交于一点。
结论：该证法采用直接证法，简单明了，其中运用了中垂线的性质定理和判定定理。
第1页（共4页）相关练习题：一、判断题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形.10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=_________度.三、作图题11、（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.答案：一、1.√2.√3.√4.×二、1.==2.===5050801003.=AC4.==72°5.BEDCEDBADCAD等腰6.60°三、1.略（2）内部斜边的中点外部四、类比联想：略第二篇：初中数学三角形证明（范文）1.如图△ABC，∠AFD＝158°，求∠EDF的度数。
三垂线定理及其逆定理测试题(含答案)
三垂线定理及其逆定理测试题(含答案)
三垂线定理是平面几何中的基本定理之一，它指出：在一个三角形中，三条垂线的交点是三角形的垂心。
同时，如果在一个三角形中，垂心落在三角形内部，那么这个三角形是锐角三角形；如果垂心落在三角形外部，那么这个三角形是钝角三角形。
在解题时，需要掌握三垂线定理的基本概念和性质。
例如，在一个直角三角形中，垂线的长度恰好等于斜边的一半；在一个等边三角形中，垂线的长度恰好等于高的三分之一。
此外，还需要掌握一些相关的定理和公式，例如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。
通过掌握三垂线定理及其相关知识，可以解决各种三角形的问题，例如求三角形的周长、面积、角度等。
同时，三垂线定理也是其他几何定理的基础，例如欧拉线定理、费马点定理等。
总之，掌握三垂线定理及其相关知识，对于解决平面几何问题具有重要的意义。
三垂线定理及其逆定理测试题(含答案).docx
三垂线定理及其逆定理一、单选题（共8道，每道12分）1.如图，BC 是Rt8sc 的斜边，过点A 作AABC 所在平面a 的垂线AP,连接PB, PC,过 点A 作AD 丄BC 于点D,连接PD,那么图中的直角三角形共有（）A.4个B.6个C.7个D.8个答案：D 解题思路:丄平面a,・•・"在平面a 內的射影为血，W4D1BC,由三垂线定理可得，PD 丄BC,:.AABC, A ABD, AACD, APBD, APCD, \PAB 、'PAD 、△刃C 均为直角三角形，共8个，故选D.2.如图，在正方体中，已为时G 的中点，则下列与直线CE 垂直的是（）难度：三颗星知识点：三垂线定理A.直线ACB.直线直°】c.直线AD ID.直线A"答案:B解题思路：如图，连接B\D\,则点E在久耳上，•・•点C在平面内的射影是C】,・•・CE在平面箱8匸4］内的射影是C、E ,•・• C0丄胪］,由三垂线定理可得，CE1B.D,；在四边形4%C］C中，qcjuc, 易得」£C不可能和CE垂直；■/ .\DjlBC, ^All QC,而BC, C］C明显与CE不垂直,・•・4刀］,A.A不可能和C£垂直.综上，选B.试题难度：三颗星知识点：三垂线定理3.如图，在AABC屮，ZACB=90°,直线I过点A且垂直于平面ABC,动点尸厂，当点P逐渐远离点A 时，ZPCB 的度数（）A.逐渐变大B.逐渐变小C.不变D.先变大再变小答案：C解题思路：由题意可得,AC1BC,丁刃丄平面ABC,由三垂线定理的逆定理可得，5C1PC,/.ZPC5=90°,即乙PCB 的度数保持不变，故选C.试题难度：三颗星知识点：三垂线定理4.己知三棱锥P-ABC 的高为PH,若P 到厶ABC 的三边的距离相等，且点H 在厶ABC 内，则点 H 为厶ABC 的（ ）A.垂心B.重心C.外心D.内心答案：D解题思路：由题意，作岀符合题意的图形，过点P 分别作PE 丄曲于点E PF 丄彳C 于点F,连接PE PF, HE, HF,B•・• PH丄平面ABC,・•・PE在平面ABC內的射影为HE,\'PElAB f由三垂线定理的逆定理可得，HE1AB,同理可得：HFlAC f'：PE=PF,:.HE=HF,即点H到AB, AC的距离相等，同理可证，点H到三边的距离都相等, ・•・点刃是△ ABC的内心，故选D.试题难度：三颗星知识点：三垂线定理5.四面体ABCD中，棱AB, AC, AD两两垂直，则顶点A在底血BCD上的正投影H为△ BCD 的（）A.重心B.垂心C.外心D.内心答案：B解题思路：由题意，作岀符合题意的图形，连接 阳，DH 、W451JC, AS1AD,•「IB 丄平面ACD,:.AB1CD,•・•刃是"在底面BCD 的正投影，・•・BH 是AB 在平面BCD 內的射影，由三垂线定理的逆定理可得，BH1CD, 同理可得，DH1BC, ・•・点刃是的垂心，故选B.6.已知二面角a-AB-P 的平面角是锐角，C 是平面a 内一点（点C 不在棱AB 上），D 是点C 在平面卩上的射影，E 是棱AB 上满足ZCEB 为锐角的任一点，那么（）答案:A 解题思路:难度：三颗星知识点：三垂线定理A. ZCEB>ZDEBB. ZCEB 二 ZDEBC.ZCEBvZDEBD.ZCEB 和ZDEB 的大小关系不能确定如图，过点C作CF丄■毎于点F,连接DF,9：CD1AB9 CF1AB,丄平面CDF,.\DF1AB,在RxACDF中，CF>DF,CF DFJ tanZC£5 = — , tanZDEB =—,EF EF由CFADF可知，/CEE>/DEB, 故选A.试题难度：三颗星知识点：三垂线定理7.如图，A0丄平而a,垂足为点0,方Cu平面G, BC丄0B,若ZABO=45°,ZCOB=30°,则ZBAC的余弦值为（）苗屁A~ B.〒答案：B 解题思路:'：AO 丄平面 a, PCu 平面a, BC\_OB, 由三垂线定理可得，ABLBC f 设 03=2,TZ 总BO=45。
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三垂线定理及其逆定理
一、单选题(共8道，每道12分)
1.如图，BC是的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有( )
A.4个
B.6个
C.7个
D.8个
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理
2.如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是( )
A.直线AC
B.直线
C.直线
D.直线
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数( )
A.逐渐变大
B.逐渐变小
C.不变
D.先变大再变小
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理
4.已知三棱锥P-ABC的高为PH，若P到△ABC的三边的距离相等，且点H在△ABC内，则点H为△ABC的( )
A.垂心
B.重心
C.外心
D.内心
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理
5.四面体ABCD中，棱AB，AC，AD两两垂直，则顶点A在底面BCD上的正投影H为△BCD 的( )
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理
6.已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内一点（点C不在棱AB上），D是点C 在平面β上的射影，E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么( )
A.∠CEB＞∠DEB
B.∠CEB=∠DEB
C.∠CEB<∠DEB
D.∠CEB和∠DEB的大小关系不能确定
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理
7.如图，AO⊥平面α，垂足为点O，，BC⊥OB，若∠ABO=45°，∠COB=30°，则∠BAC的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理
8.如图，三棱柱的侧棱在下底面的射影BD与AC平行，若与底面的夹角为30°，且，则∠ACB的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理。