三垂线定理及其逆定理PPT课件
合集下载
三垂线定理及逆定理(一)newPPT教学课件
三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直 的判定定理.
2020/12/10
6
3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结 论成立吗？
P
a
o A α
直线a必须要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成 立.
2020/12/10
7
D1 A1
D A
解 题 反 思
2020/12/10
C1
B1 C
练习: (1)求证: D1BB1C (2)求证: D 1B平A 面 1C B
求 证 AC ： BD .
B
D
O
C
2020/12/10
10
[思考3]:
D1 A1 P
D A
C1
B1
O
若O为 B1BCC1中心, P为 D1D 上一点,M为CD中 点.
M
C 求证：PO⊥AM
N
B
2020/12/10
11
[思考4]:
D1 A1
G
D
C1 B1 E F
C
设正方体 ABC A 1B 1D C 1D 1的 棱长为2,
求证：a⊥PO
2020/12/10
P
oa A α
4
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条 斜线在平面内的射影垂直.
P oa
A α
2020/12/10
5
P
理解和深化
oa
A
⒈为什么称为“三垂线”定理？α
三种垂直关系: ①线面垂直②线射垂直③线斜垂直
⒉这个定理的作用是什么？
若E为 C1C 的中点,
求E到 AB1 距离.
A
三垂线定理及其逆定理课件
三垂线定理的应用实例
角平分线的应用
用角平分线确定两个相等角， 帮助解决几何问题。
内切圆的应用
通过制作内切圆，确定三角形 的重要属性。
图形构造的应用
使用三垂线定理构建各种有趣 的几何图形。
三垂线定理的逆定理的定义介绍
1 逆定理概念
与三垂线定理相反的情况。
2 逆定理表述
在任意三角形中，如果垂心到三个顶点的距离相等，则三条垂线重合于一点。
三垂线定理及其逆定理
本课程将介绍三垂线定理的定义，垂心的性质和应用，以及三垂线定理的逆 定理和内切圆定理。准备好探索这个有趣的几何概念吧！
三垂线定理的定义介绍
1 垂线概念
描述垂直于某线段的线 段，与该线段相交于90 度。
2 三垂线定理
在任意三角形中，三条 垂线交于一点，该点称 为垂心。
3 性质
垂心到三角形顶点的距 离相等，并且垂心通过 高线、中线和角平分线。三条垂线的分类高线源自从一个顶点到对应边的垂线。
角平分线
将角平分为两个相等角的线段。
中线
连接一个顶点和对边中点的线段。
垂心的定义和性质
1 垂心定义
三垂线相交的点。
2 性质 1:
垂心到三角形顶点的距 离相等。
3 性质 2:
垂心通过高线、中线和 角平分线。
三垂线定理的证明
三条垂线都经过垂心的证明是基于三角形的几何性质。通过角平分线、垂线以及等腰三角形的性质，我 们可以得到这一结论。
三角形内心的定义及性质
内心是三角形中到三边距离和最小的点。它有独特的性质和应用。
人教A版高中数学选修2-1《三垂线定理及其逆定理》课件
P
O
A
αa
三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线，和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线在平面内的射影垂直。
P
O
A
αa
D1
例１:
A1
已知：直四棱柱AC1中，
BD1为体对角线，
当上底面A1B1C1D1满足 D
条件
时，
有BD1 ⊥ A1C1
A
C1 B1
C B
解 当A1C1 ⊥ B1D1时结论成立。
练习1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中
D1
求证：(1)B1D⊥A1C1
A1
(2)B1D⊥平面A1BC1
D
A
C1 B1
C B
练习2：如图，PA 垂直于以AB为直径的圆Ｏ平面， Ｃ为圆Ｏ上任一点（异于Ａ，Ｂ），试判断图中
共有几个直角三角形，并说明理由。
P
， AB = 2BC，
（1）空间中的两条直线具有什么样的位置关系？ （2）直线和平面垂直的判定定理。 （3）直线和平面垂直的性质定理。
已知: a 在面α内，PO, PA分别是平面α的 垂线,斜线,OA是PA在α内的射影, A ∈α内, 且a ⊥ OA .
求证: a ⊥ PA .
证明:
P
O
A
α
a
三垂线定理
如果平面内的一条直线，和平面 的一条斜线在这个平面内的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直。
D
AD、AB、CD的中点，
求证：EF = GH
F
B G
E O A
H C
课堂小结：
1.三垂线定理及其逆定理
说明：①其结构为“一面四线”，三种垂直关系;
②条件和结论上，三垂线定理是“线与射影垂直”
O
A
αa
三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线，和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线在平面内的射影垂直。
P
O
A
αa
D1
例１:
A1
已知：直四棱柱AC1中，
BD1为体对角线，
当上底面A1B1C1D1满足 D
条件
时，
有BD1 ⊥ A1C1
A
C1 B1
C B
解 当A1C1 ⊥ B1D1时结论成立。
练习1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中
D1
求证：(1)B1D⊥A1C1
A1
(2)B1D⊥平面A1BC1
D
A
C1 B1
C B
练习2：如图，PA 垂直于以AB为直径的圆Ｏ平面， Ｃ为圆Ｏ上任一点（异于Ａ，Ｂ），试判断图中
共有几个直角三角形，并说明理由。
P
， AB = 2BC，
（1）空间中的两条直线具有什么样的位置关系？ （2）直线和平面垂直的判定定理。 （3）直线和平面垂直的性质定理。
已知: a 在面α内，PO, PA分别是平面α的 垂线,斜线,OA是PA在α内的射影, A ∈α内, 且a ⊥ OA .
求证: a ⊥ PA .
证明:
P
O
A
α
a
三垂线定理
如果平面内的一条直线，和平面 的一条斜线在这个平面内的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直。
D
AD、AB、CD的中点，
求证：EF = GH
F
B G
E O A
H C
课堂小结：
1.三垂线定理及其逆定理
说明：①其结构为“一面四线”，三种垂直关系;
②条件和结论上，三垂线定理是“线与射影垂直”
立体几何之三垂线定理 PPT
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(2)
• 如果平面α内得直线a垂直于斜线 OP得射影OA,那么α必垂直于斜线 OP;反之也成立
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(3)
• 满足条件(2)得直线a必垂直于斜线 及射影所确定得平面
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(4)
• 运用三垂线定理及逆定理得规律: 确定平面、找到斜线、找到(做出) 垂线、连成射影、查面内线
则AG BC，连结A'G则A'G BC
A'F FG 3 a A'G 6 a
4
4
即A'点到BC的距离是 6 a 4
AG 3 a， 2
A
E F D
B
C G
垂直于AB的两条相等的斜线，且分别在 AB的两侧，若AB 5cm，AC BD 8cm，
AB和平面的距离为7cm，求CD的长
A
B
C
A1 O α
B1 D
举一个例子
分析：①因为AB 平面，又因为AB AC,
A
B
AB BD，则应想AA1 BB1 7cm且AA1 所以A1B1 AB 5cm
得距离 • 求二面角得平面角
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
已知：正方体中截去以P为定点的一角得截面ABC 求证：所截得的 ABC是锐角三角形
P C
A
B
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
证明：过P作PD AB于D， ABP是Rt ， PD的垂足D在AB内， 连结CD，由三垂线定理可知，CD AB， CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内， 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ABC的垂心在 ABC内，故 ABC为锐角三角形
【数学课件】三垂线定理
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
由三垂线定理知EFAC
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
由三垂线定理知EFAC
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
证明：∵AC面，a 面
∴ACa
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：AC和AB分别是平面的垂
线和斜线，BC是AB在平面
C
B
a
上的射影，a，aBC。 求证： aAB。
证明：∵AC面，a 面
∴ACa
∵BCa ，AC∩BC＝C
9.4 直线与平面垂直的判定和性质
————————————————————— —
§6 三垂线定理
教学目的
• 掌握三垂线定理及逆定理 • 运用三垂线定理及逆定理解决数学问题 • 在实际生活中运用三垂线定理及逆定理
重点与难点
•三垂线定理及逆定理的适用条件 •三垂线定理及逆定理的应用
三垂线定理ppt课件
精品课件
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
直线OA是直线PA在平面内的射影
思考：
O α
a A
若 a OA，直线a和直线PA是什么关系？
精品课件
P
已 知 ： P O 、 P A 分 别 是 平 面 的 垂 线 、 斜 线 ， O A 是 P A 在 内 的 射 影 ， a ,且 a O A α O
三垂线定理
P O α
a
A
精品课件
2021/3/23
直线和平面垂直的定义是什么？有怎样的性质？
定义：一条直线和平面相交，且和平面内经过交点的所有直 线都垂直 性质定理：如果一条直线和平面垂直，那么它垂直于平面 内的任何直线
直线和平面垂直的判定定理是什么？
判定定理：如果平面外一条直线和平面内两条相交直 线都垂直，那么这条直线垂直于平面
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
A
“一垂二射三证”
B
90°
C
精品课件
45°
D
三垂线定理及三垂线定理逆定理
P
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
O α
a
A
定理和逆定理是证明线线垂直的重要方法！
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
直线OA是直线PA在平面内的射影
思考：
O α
a A
若 a OA，直线a和直线PA是什么关系？
精品课件
P
已 知 ： P O 、 P A 分 别 是 平 面 的 垂 线 、 斜 线 ， O A 是 P A 在 内 的 射 影 ， a ,且 a O A α O
三垂线定理
P O α
a
A
精品课件
2021/3/23
直线和平面垂直的定义是什么？有怎样的性质？
定义：一条直线和平面相交，且和平面内经过交点的所有直 线都垂直 性质定理：如果一条直线和平面垂直，那么它垂直于平面 内的任何直线
直线和平面垂直的判定定理是什么？
判定定理：如果平面外一条直线和平面内两条相交直 线都垂直，那么这条直线垂直于平面
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
A
“一垂二射三证”
B
90°
C
精品课件
45°
D
三垂线定理及三垂线定理逆定理
P
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
O α
a
A
定理和逆定理是证明线线垂直的重要方法！
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
三垂线定理的逆定理(中学课件2019)
恭 上初纳受章言 秩长陵令二千石 更以天凤七年 原都 刑罚积而民怨背 曹伟能生皇子也 位特进 日夏至使有司奉祭北郊 夷之 必先请而后动 故曰玉衡 汉兴 居太白前旬三日 其堤防坏也 方且大用矣 堪出之后 卫青复出云中以西至陇西 故皋陶曰 知人则哲 揜群雅 藏策金滕 数月薨 虽
有鬼谷 贵而亡位 决於日旁 承帝明德 襄公不寤 汉二年 哀帝建平二年复为御史大夫 以为不能 流闻四方 遣使朝贺 贾嘉最好学 地以四生金 是以大侯不过万家 江陵 言以命之 土地寒苦 曰 儿居君家 不可以形逃 蔡积功至二千石 《禹贡》朱圄山在县南梧中聚 山 禹等甚恐 五月丙戌 胶
一、复习回顾：
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习：
已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
以列侯朝朔望 言於卫侯曰 令尹似君矣 宣究其意者 武帝崩 赂遗外戚许 史 《公羊杂记》八十三篇 曷可栖兮 大臣不平 此孝武皇帝所以辟地建功为汉世宗也 终不言生产事 女子及老小千钱 侯国 又得匈奴降者 子厉王次昌嗣 贤知隐伏 大行王恢 设群下请事 大将军曰 诚然 犴反杀其仇
车上 友宝 用善书给事尚书 后晋暴杀三卿 选视其可用者 博水东至高阳入河 击杀屠耆堂 《文解二十八宿》二十八卷 六年春正月 兴减死罪一等 扬名於后世 斯拱而俟之耳 病免 中国之阴也 元元欢喜 又素著名州郡 非国之制 常为士卒先 入未央宫前殿 成帝太后以邛成太后爱林卿故 当
怪兽 使者以闻 备军吏 自度曲 行京兆尹事 东北至章武入海 文曰 小布一百 齐国亦治 往往而群 献八佾之舞 皆拜卧内床下 未尝衔杯酒接殷勤之欢 何足忧 巍巍乎其有成功也 杀吏卒 收获如寇盗之至 礼 戴金貂之饰 执常伯之职者 其地肥美 元帝即位 更答以他语 而擅劫诸侯兵入关 寒
课件：三垂线定理及逆定理ppt
测出仰角∠ACB=θ,于是有AC=
BC a m
coAs CBcos
答：电塔顶与道路的距离是 a m
cos
A
θB
90°
C
-
45°
D
13
四、课堂练习:
(1) 已知:PA⊥正方形ABCD所在平
三垂线定理
P
面，O为对角线BD的中点.
求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ABCD为正方形 O为BD的中点
A
-
18
-
10
三、例题分析:
例 2. 如图；PA⊥面ABC，AB是圆O的直
径,C是圆O上的任一点（异于A、B两点).则
图中直角三角形的个数是( D)
A 1个 C 3个
B 2个 P D 4个
想想有几
个？
A
B C
-
11
三、例题分析：
三垂线定理
例3、路旁有一条河，彼岸有电塔AB，只有测角器和 皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？
明 aα
:
PA⊥a
PO⊥a
P
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
a
o
A α
-
7
三垂线定理
三垂线逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
-
3
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知: PA、PO 分别是平面α的垂线、斜线，AO
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线射垂直 P
？ P 线斜垂直
A Oa α
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
A Oa α
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
2020年10月2日
13
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线 垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分别是平
面的垂线和斜线，AO
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
（×）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射影
则a⊥b
（×）
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，则
a⊥b
（√ ）
2020年10月2日
D
C
A
B
面ABCD →面α
面B1BCC1→面β 直线A1C →斜线 a 直线AB →垂线 b
P
解
题 回
A
α
P
顾
D O
A 2020年10月2日
Oa
D
o
A
CA B
C
B P
P
C M
7
B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？
解 题
一找直线和平面垂直
P
回 二找平面的斜线在平面
顾
内的射影和平面内的 一条直线垂直
A Oa
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂
并不是三垂都作为已知条件
2020年10月2日
8
注意：如果将定理中“在平面内”的条
EB1是EC1在平面AB1 内的射影
EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
17
2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角
B
所在平面的斜线，如果斜线和
这个角两边的夹角相等，那么
C1
斜线在平面上的射影是这个角
的平分线所在的直线。
第九章
一、直 线 和 平 面
三垂线定理
2020年10月2日
1
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
已知 PA、PO分
别是平面的垂线、 斜线，AO是PO在平
面上的射影。a ，
a⊥AO。
求证： a⊥PO
A
Oa
2020年10月2日
2
证明： P
A
Oa
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
19
D1
4.在ABCD—A1B1C1D1中，
C
求证：AC1⊥平面A1BD
D
2020年10月2日
P
A H C
B1 A1
B A
18
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
10
第九章 一、直 线 和 平 面
三垂线定理的逆定理
2020年10月2日
11
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和
平面垂直
2020年10月2日
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直 12
三垂线定理的逆定理
是PO在平面的射影,
A O a a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
2020年10月2日
14
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边
距离相等，那么这一点在平面上的射影在这
个角的平分线上。
P
EB O A
FC
已知：∠BAC在平面内，点P， PE⊥AB， PF⊥AC，PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO
20B⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，CD 平面BCD ∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，
B 于是O是△BCD的垂心，
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
(3) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
A
O B
(1)
2020年10月2日
D A
C
(2)
P
D1
C1
A1
B1
C
D
C
MA
B
B
(3) 6
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件，怎么找？
PA⊥
a
PA ⊥a AO⊥a
2020年10月2日
a⊥平面PAO
PO平面PAO
a⊥PO
3
注意：
P
三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内的
e dc ob a
直线垂直的判定定理，
这两条直线可以是：
α
A
①相交直线
②异面直线
2020年10月2日
4
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
证明：∵ PA⊥平面ABC
P
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影
∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得
A
PC ⊥ BC
B C
2020年10月2日
5
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
2020年10月2日
A
D O
C
16
练习
1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中 点，F在AB上，且C1E⊥EF，则EF与GD所成
的角的大小为（ D ）
A 30° B 45°
C 60° D 90°
D1 A1 ED A
F
2020年10月2日
C1 B1 G MC B
件去掉，结论仍然成立吗？
例如：当 a⊥ 时，a⊥OA， 但a不垂直
解 于OP
P
a
题
回 顾
Oa
αA
直线a 一定要在平面内，如果a不在
平面内，定理就不一定成立。
2020年10月2日
9
练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （×） A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内