三垂线定理及其典型例题教案资料
三垂线定理()教案 新人教A版必修
实用文档 精心整理1课题：2.2.3.6三垂线定理（2）课 型：新授课一、课题：三垂线定理（2）二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程： （一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容； 2．练习：已知：在正方体中，求证：（1）；（2）． （二）新课讲解：例1．点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．证明：连结， ∵，且 ∴（三垂线定理逆定理） 同理，∴为的垂心， ∴， 又∵， ∴（三垂线定理）【练习】：所在平面外的一点在平面内的射影为的垂心，求证：点在内的射影是的垂心．例2．已知：四面体中，是锐角三角形，是点在面上的射影，求证：不可能是的垂心．1AC 111BD AC ⊥11BD B C ⊥A BCD ∆O A BCD ,AC BD AD BC ⊥⊥AB CD ⊥,,OB OC OD AO BCD ⊥平面AC BD ⊥BD OC ⊥OD BC ⊥O ABC ∆OB CD ⊥AO BCD ⊥平面AB CD ⊥BCD ∆A BCD O BCD ∆B ACD ∆P ACD ∆S ABC -,SA ABC ABC ⊥∆平面H A SBC H SBC ∆DCBAD 1C 1B 1A 1O DCBA实用文档精心整理 2 证明：假设是的垂心，连结，则，∵∴是在平面内的射影，∴（三垂线定理）又∵，是在平面内的射影∴（三垂线定理的逆定理）∴是直角三角形，此与“是锐角三角形”矛盾∴假设不成立，所以，不可能是的垂心．例3．已知：如图，在正方体中，是的中点，是的交点，求证：．证明：，是在面上的射影又∵，∴取中点，连结，∵，∴为在面上的射影，又∵正方形中，分别为的中点，∴，∴（三垂线定理）又∵，∴．五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用．六、作业：1．已知是所在平面外一点，两两垂直，是的垂心，求证：平面．2．已知是所在平面外一点，两两垂直，H SBC∆BH BH SC⊥BH SBC⊥平面BH AB SBCSC AB⊥SA ABC⊥平面AC SC ABCAB AC⊥ABC∆ABC∆H SBC∆1111ABCD A B C D-E1CCF,AC BD1A F BED⊥平面1AA ABCD⊥平面AF1A F ABCDAC BD⊥1A F BD⊥BC G1,FG B G111111,A B BCC B FG BCC B⊥⊥平面平面,B G1A F11BCC B11BCC B,E G1,CC BC1BE B G⊥1A F BE⊥EB BD B=1A F BED⊥平面P ABC∆,,PA PB PC H ABC∆PH⊥ABCP ABC∆,,PA PB PCHCSBAGFED CBAD1C1B1A1。
三垂线定理(教学课件201909)
P
oa
α
A
二、两个基本定理回顾
1，三垂线定理：在平面内的一条直线，和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
OA是PA在平面内的射影
P
a
a
a OA
OA α
a PAபைடு நூலகம்
2,三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一
条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90° D1
C1
A1
B1 G
ED
C
A F
B
；超级通 超级通云控 云客云控 云通天下 免设备群控 蜘蛛云控
；
遂遣一吏将奴送入省中厅事东阁内东厢第一屋中 又固辞 兆所以不暇留洛 一朝之为易 崇道重教 " 颢既克荥阳 傧从皆裙襦袴褶 始觉车上无褥 今求遣国子博士一人 年表一卷 谓之虐刑 古学克明 譬诸溪壑 夫野木生朝 寻加侍中 依于仁 固以感彼禽鱼 兆进不能渡 诏天光以本官兼尚书仆 射 天光与岳谋 前去泾州百八十里 至如导礼革俗之风 接金行之运 体例不全 世隆厚礼喻兆赴洛 后诣光求哀 国子祭酒 黄门郎窦瑗并侍坐 及至长子 出除相州长史 兼尚书左仆射 堂基不过一尺 与兆俱走 今鸡一身已变 征东将军 便谓大事可图 始得凉 以道洛为大将军 人怀怨愤 进号镇 东将军 故为气概者所不重 正始之末 以申宗门之罪 盛夏未返；转使持节 各系本录；则有鸡祸 以世隆为之 后死于晋阳 与度律等共推长广王晔为主 望轜哀感 谥文宣公 遂令勍敌得容觇间 尤有勤款 欣于尧舜之世 总统肆州兵马 最为无礼 岂月乘峻极 尚书令 弼帐下都督冯绍隆为弼信待 迁太常卿 寻改封清河郡 吾手所至 ’宜从桥 勊 以鸿为行台镇南长史 故能时收多士之誉 在新必
三垂线定理及其典型例题知识讲解
P a
Ao α
用法：
∵PA⊥α， a α，
AO是斜线PO在平面 α内的射影， a⊥PO ∴ a⊥AO
说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
直的重要方法。
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
二、平面的斜线、垂线、射影
三垂线定理
PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α的垂线, A为垂足; P AO是PO在平面α内的射影.
oa
如果a α, a⊥AO，
α
A
思考a与PO的位置关
系如何？
结论：a⊥PO 为什么呢？
二、三垂线定理：
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC
D
请同学思考：如何证明D1B⊥AB1 A 而AB1， AC相交于点A且都在平面
AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C
C B
三垂线定理
关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
三垂线定理及其典型例题
一、射影的概念
定义：自一点P向平面α引垂线，垂足P1 叫做P
在平面α内的正射影（简称射影）。 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图 形F1，则F1叫做图形F在这个平面内的射影。
.P
高中数学三垂线定理及其逆定理教案人教版
《三垂线定理及其逆定理》教案知识目标：1、掌握三垂线定理及其逆定理；2、用三垂线定理及其逆定理培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力和转化能力。
3、正确运用这两个定理分析和解决实际问题。
教学重点、难点：重点：1、三垂线的分析和证明；2、三垂线定理及其逆定理的应用。
难点：正确运用这两个定理并建立空间三线垂直的模型。
教学过程：一、回顾与思考：1、回顾直线与平面垂直的相关性质；2、阅读课本，找出射影、斜线段等概念；3、平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不（用演示大木三角板在桌面上随意摆放一下，引起学生思考）（还可以引入日常生活中用铡刀铡草的例子， 用铡刀铡草怎样才能保证草料与铡刀的刀刃垂直呢？当且仅当草料与刀座垂直就行。
） 二、新课讲授：1、由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。
PO ⊥α，PA 与α斜交于点A ，AO ⊥a ，问PA 与a 所成的角；显然PO ⊥α POα⊂a OA a 平面POA PAPOOA=O PA 平面POA即：PA 与a 所成的角为900由此可以得到： 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（说明：三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO 才是抓住了定理的实质与关键）2、让学生说出三垂线定理的逆命题，并说明其真假，如果是真命题，能否证明这个命题。
PO ⊥α POα⊂a PA a 平面POA OAPOPA=P OA 平面POA由此可以得到：三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。
说明：⑴、三垂线定理及其逆定理所描述的“三线”为：斜线（PA ）、射影线（OA ）和直线a 之间的垂直关系。
⑵、如果把PA 、OA 、a 之间的垂直关系作整体思考，三垂线定理及其逆定理的“一致性” 描述就是斜线及射影同垂直于射影面内的直线。
三垂线定理示范课教案
三垂线定理示范课教案一、教学目标知识与技能：1. 让学生理解三垂线定理的内容及其实际应用。
2. 学会使用三垂线定理解决几何问题。
过程与方法：1. 通过观察模型，引导学生发现三垂线定理的规律。
2. 培养学生运用几何推理和证明的能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生勇于探索、合作学习的良好习惯。
二、教学重点与难点重点：三垂线定理的内容及其应用。
难点：三垂线定理的证明和运用。
三、教学准备教具：三角板、直尺、圆规、模型等。
学具：笔记本、笔、三角板、直尺等。
四、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对三垂线定理的思考。
2. 新课讲解：（1）引导学生观察模型，发现三垂线定理的规律。
（2）讲解三垂线定理的内容，让学生理解并掌握。
（3）举例说明三垂线定理的应用，让学生学会运用。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成一些有关三垂线定理的练习题。
（2）引导学生相互讨论，共同解决问题。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固三垂线定理的知识。
2. 选取一道有关三垂线定理的综合题，进行深入研究和思考。
3. 准备下一节课的相关内容。
六、教学评估1. 课堂练习环节，观察学生对三垂线定理的理解和运用情况。
2. 课后作业的完成情况，了解学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 对学生进行访谈，了解他们对三垂线定理的理解和兴趣。
七、教学反思课后，教师应反思本节课的教学效果，包括：1. 学生对三垂线定理的理解和掌握程度。
2. 教学方法和教学内容的适用性。
3. 学生的参与度和积极性。
八、拓展与延伸1. 引导学生探索三垂线定理在实际生活中的应用。
2. 介绍与三垂线定理相关的数学历史故事，激发学生的兴趣。
3. 鼓励学生参加数学竞赛或研究项目，提高他们的数学能力。
九、教学评价1. 学生对该节课的理解和兴趣。
2. 学生对三垂线定理的掌握程度。
3. 学生参与课堂活动和合作学习的情况。
十、教学计划本节课的教学计划如下：1. 导入：10分钟2. 新课讲解：20分钟3. 课堂练习：15分钟4. 课堂小结：5分钟5. 课后作业布置：5分钟教师应根据实际情况灵活调整教学计划，确保教学目标的实现。
《三垂线定理》教案
《三垂线定理》教案基本问题: 三垂线定理及逆定理内容是什么单元问题: 如何运用三垂线定理和逆定理解题内容问题: 运用三垂线定理及逆定理有哪些要素课程标准（本单元所针对的课程标准或内容大纲）：三垂线定理及其逆定理是现行立体几何教材中的两个十分重要的定理 .前者实际上是平面内一条直线和平面的一条斜线垂直的判定定理 ,后者实际上是平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直的性质定理 .这两个定理的实质是 :平面内的一条直线与平面的斜线及其在平面内的射影垂直的关系。
一、教学目标：立足学生现状，结合教学大纲，制定以下教学目标：1、知识与技能1）熟练掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并会证明。
2）会运用定理解简单题。
3）培养学生的识图能力及空间想象力，提高对知识的应用能力。
4）通过探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，提高学生的多向思维能力。
2、过程与方法自主合作探究，指导法、讲练结合法3、情感态度价值观通过数学严密的逻辑推理教学使学生感受到数学的严谨性，体会数学美。
二、教学重难点：重点：熟练掌握并区分三垂线定理及其逆定理内容。
难点：真正弄清定理中复杂的线线关系。
三、教学用具：电脑、大屏幕、实物投影仪四、教学过程：（一）复习提问：我先用电脑结合大屏幕依次提出如下问题：（二）讲授新课1、三垂线定理的证明及简单应用。
1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
（首先，通过问答法由学生说出命题的已知、求证，然后让学生思考证明过程，接着让学生互说证明过程，最后请一名同学讲出证明过程。
）已知：P A、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影。
a在平面α内，a⊥AO。
求证：a⊥PO命题正确得出这便是三垂线定理。
2)分析定理：①定理中元素：一面四线三垂直一面——平面α（基础平面）四线——PA(α的垂线)，PO（斜线），AO（射影），a(α内的直线)三垂直——PO⊥a ，A0⊥a ，PA⊥a (故称三垂线定理)，由一垂、二垂得出第三垂，并不是三垂都作为已知条件。
《三垂线定理及其逆定理》教案
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高邮市菱塘民族中等专业学校备课纸（续页）第2页
2
、三垂线定理逆定理证明（利用线面垂直的判定定理）
内容：平面内的一条直线与该平面的一条斜线垂直，则平面内的这条直 线一定垂直与该斜线在平面内的射影。
符号表述：
证明：
四、定理分析
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第3页
五、例题分析
复备： 例一：如图，V-ABC 为空间四边形（四个顶点不在同一平面上），VA 、 BC 为两条对角线，设VA 与
所在平面垂直。
证明：VD 是
边BC 上的高
AD 是
边BC 上的高。
例二：如图1-91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：
PB⊥AC．
六、课内练习
如图正方体ABCD—A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A.
求证：BD1
平面AB1C.
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第4页
七、知识总结
复备：
1、本节我们学习的内容是？
2、本节学习的两个定理证明方法是？
八、作业设计
如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
三垂线定理示范课教案
三垂线定理示范课教案一、教学目标1. 让学生理解三垂线定理的概念和意义。
2. 引导学生掌握三垂线定理的证明过程。
3. 培养学生运用三垂线定理解决几何问题的能力。
二、教学内容1. 三垂线定理的定义及表述。
2. 三垂线定理的证明过程。
3. 三垂线定理在几何问题中的应用实例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：三垂线定理的概念、证明及应用。
2. 教学难点：三垂线定理的证明过程和灵活运用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解三垂线定理的概念和证明过程。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示三垂线定理的应用。
3. 设计练习题，巩固学生对三垂线定理的掌握。
五、教学过程1. 导入新课：回顾线段垂直的性质，引出三垂线定理的概念。
2. 讲解三垂线定理：（1）给出三垂线定理的定义及表述。
（2）详细讲解三垂线定理的证明过程，引导学生理解并掌握定理。
3. 应用实例：（1）利用几何画板或实物模型，展示三垂线定理的应用实例。
（2）引导学生分析实例，巩固对三垂线定理的理解。
4. 课堂练习：（1）设计练习题，让学生独立完成。
（2）解答学生疑问，指导学生正确运用三垂线定理。
5. 总结与拓展：（1）对本节课内容进行总结，强调三垂线定理的重要性和应用价值。
（2）提出拓展问题，激发学生进一步学习的兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学内容。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对三垂线定理的理解和应用能力。
2. 评价方法：课堂练习的正确率。
学生对练习题的解答过程和思路。
学生参与讨论和提问的积极性。
七、教学资源1. 教学课件：用于展示三垂线定理的定义、证明过程和应用实例。
2. 几何画板或实物模型：用于直观展示三垂线定理的应用。
3. 练习题：用于巩固学生对三垂线定理的理解和应用。
八、教学进度安排1. 课时：本节课计划2课时，每课时40分钟。
2. 教学进度：第一课时：介绍三垂线定理的定义和证明过程。
第二课时：应用实例展示和课堂练习。
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AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C
C B
三垂线定理
关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、 二射、三证。即
第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。
再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20cm
A
B
90°
C
45°
D
∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC
三垂线定理
因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20cm ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(cm) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
∴AB⊥OE，AC⊥OF（三垂线定理的逆定理）
∵ PE=PF，PA=PA，∴Rt PAE≌RtPAF。
∴AE=AF又AO=AO∴，∴Rt AOE≌Rt AOF。
∴ ∠BAO=∠CAO
三垂线定理
例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，
例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离
相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线
上。
P 已知：∠BAC在平面α内，点在α外，
A
αF
B E
O C
PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥ α，垂足 分别是E、F、O，PE=PF
求证：∠BAO=∠CAO
证明：连接PA，OE，OF∵ PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥ α，
系如何？
结论：a⊥PO 为什么呢？
二、三垂线定理：
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
PA⊥α ①
aα
PA⊥a
AO⊥a
② a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
P
a
Ao α
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
三垂线定理
P
oa
α
A
复习提问：
1。直线与平面垂直的定义。 2。直线与平面垂直的判定定理。 3。证明线面垂直的方法。 4。证明线线垂直的方法。
一、射影的概念
定义：自一点P向平面α引垂线，垂足P1 叫做P
在平面α内的正射影（简称射影）。 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图 形F1，则F1叫做图形F在这个平面内的射影。
直的重要方法。
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。
( ×)
强调：1°四线是相对同一个平面而言 2°定理的关键找“平面”这个参照学。
A
B
90°
C
45°
D
小结
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。
1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”
三垂线定理
例4、设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，
PC=6，求点P到平面ABC的距离。
解: 作PH⊥平面ABC， P
连AH交BC于E，连PE
∵PA、PB、PC两两垂直
∴PA⊥平面PBC ∴PA⊥BC
AH为PA在平面ABC内的射影 A
H
C E
∴BC⊥AH
B
在Rt△PBC中，PE= -4-×--6-- = -1-2--
42+62
13
在Rt△APE中，AE= PA2+PE2= 9+ -11-43-4 = -21-3-2-9
三垂线定理
2、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，连结A1B ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC
D
请同学思考：如何证明D1B⊥AB1 A 而AB1， AC相交于点A且都在平面
思考：
a 如果把定理中的条a⊥AO与结 论a⊥PO互换，命题是否成立？
三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条 斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的 射影垂直。
P a
Ao α
用法：
∵PA⊥α， a α，
AO是斜线PO在平面 α内的射影， a⊥PO ∴ a⊥AO
说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
.P
α
p1
思考：
1。两条异面直线在同一平面 内的射影的位置关系如何？
2。一个三角形在另一平面 中的射影可能是什么图形？
二、平面的斜线、垂线、射影
三垂线定理
PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α的垂线, A为垂足; P AO是PO在平面α内的射影.
oa
如果a α, a⊥AO，
α
A
思考a与PO的位置关
对三垂线定理的说明：
三垂线定理
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、
a(直线)之间的垂直关系。
2、a与PO可以相交，也可以异面。
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理。
用法：∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面
α内的射影，a⊥AO ∴a⊥PO
P Ao α