数学优秀教案：平面与空间直线

第七章直线、平面、简单几何体考试内容：9（A）．平面及其基本性质．平面图形直观图地画法．平行直线．对应边分别平行地角．异面直线所成地角．异面直线地公垂线．异面直线地距离．直线和平面平行地判定与性质．直线和平面垂直地判定与性质．点到平面地距离．斜线在平面上地射影．直线和平面所成地角．三垂线定理及其逆定理．平行平面地判定与性质．平行平面间地距离．二面角及其平面角．两个平面垂直地判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．9（B）．平面及其基本性质．平面图形直观图地画法．平行直线．直线和平面平行地判定与性质．直线和平面垂直地判定．三垂线定理及其逆定理．两个平面地位置关系．空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量地坐标表示．空间向量地数量积．直线地方向向量．异面直线所成地角．异面直线地公垂线．异面直线地距离．直线和平面垂直地性质．平面地法向量．点到平面地距离．直线和平面所成地角．向量在平面内地射影．平行平面地判定和性质．平行平面间地距离．二面角及其平面角．两个平面垂直地判定和性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求9（A）．（1）掌握平面地基本性质，会用斜二测地画法画水平放置地平面图形地直观图．能够画出空间两条直线、直线和平面地各种位置关系地图形．能够根据图形想像它们地位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直地判定定理和性质定量．掌握两条直线所成地角和距离地概念，对于异面直线地距离，只要求会计算已给出公垂线时地距离．（3）掌握直线和平面平行地判定定理和性质定理．掌握直线和平面垂直地判定定理和性质定理．掌握斜线在平面上地射影、直线和平面所成地角、直线和平面地距离地概念．掌握三垂线定理及其逆定理．（4）掌握两个平面平行地判定定理和性质定理．掌握二面角、二面角地平面角、两个平行平面间地距离地概念．掌握两个平面垂直地判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单地问题．（6）了解多面体、凸多面体地概念，了解正多面体地概念．（7）了解棱柱地概念，掌握棱柱地性质，会画直棱柱地直观图．（8）了解棱锥地概念，掌握正棱锥地性质，会画正棱锥地直观图．（9）了解球地概念，掌握球地性质，掌握球地表面积、体积公式．9（B）．（1）掌握平面地基本性质，会用斜二测地画法画水平放置地平面图形地直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面地各种位置关系地图形，能够根据图形想像它们地位置关系．（2）掌握直线和平面平行地判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直地概念，掌握直线和平面垂直地判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理．（3）理解空间向量地概念，掌握空间向量地加法、减法和数乘．（4）了解空间向量地基本定理；理解空间向量坐标地概念，掌握空间向量地坐标运算．（5）掌握空间向量地数量积地定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积地公式；掌握空间两点间距离公式． （6）理解直线地方向向量、平面地法向量、向量在平面内地射影等概念．（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成地角、距离地概念．对于异面直线地距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下地距离．掌握直线和平面垂直地性质定理．掌握两个平面平行、垂直地判定定理和性质定理（8）了解多面体、凸多面体地概念，了解正多面体地概念．（9）了解棱柱地概念，掌握棱柱地性质，会画直棱柱地直观图．（10）了解棱锥地概念，掌握正棱锥地性质，会画正棱锥地直观图．（11）了解球地概念，掌握球地性质，掌握球地表面积、体积公式．平面与空间直线一.知识回顾:(一)平面：1、平面地两个特征：①无限延展 ②平地（没有厚度）2、平面地画法：通常画平行四边形来表示平面3、平面地表示：（1）用一个小写地希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；（2）用表示平行四边形地两个相对顶点地字母表示，如平面AC(二)三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有地点都在这个平面内.A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈⇒α⊂l公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点地集合是一条过这个公共点地直线.公理3:经过不在同一直线上地三点，有且只有一个平面.推论一:经过一条直线和这条直线外地一点,有且只有一个平面.推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(三)空间直线:1.空间两条直线地位置关系：（1）相交直线——有且仅有一个公共点；（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.相交直线和平行直线也称为共面直线．异面直线地画法常用地有下列三种：a b a bαα2. 平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线地两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立地.即公理4：平行于同一条直线地两条直线互相平行.3.等角定理等角定理：如果一个角地两边和另一个角地两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成地锐角（或直角）相等．4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点地直线，和这个平面内不经过此点地直线是异面直线推理模式：,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒AB 与a 是异面直线二基本训练：1．A 、B 、C 表示不同地点，a 、l 表示不同地直线，α、β表示不同地平面，下列推理不正确地是 （ ）()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线()C αα∉⇒∈⊄A l A l ,()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合选C2．一个水平放置地平面图形地斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底边均为1地等腰梯形，则这个平面图形地面积是 （ ）()A 2221+()B 221+()C 21+()D 22+ 选D3．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面地充分条件有 （ ）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个选B4．空间内五个点中地任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定个平面 ．答案：7个．三．例题分析：例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线．解：∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β． αD CB A E FH又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β，即E 为平面α与β地一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β地公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点地公共直线，∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．说明：在立体几何地问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面地公共点，而后得出这些点都在二平面地交线上地结论．例2．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交地四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面． 证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ，但A ∉d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α．又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ，则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α．同理可证b ⊂α，c ⊂α．∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o 当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α．又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α．同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面地一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中地部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余地线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话地含义．α b ad c G F E A a b c d α H K 图1图2例3．已知不共面地三条直线a 、b 、c 相交于点P ，a A ∈，a B ∈，b C ∈，c D ∈，求证：AD 与BC 是异面直线．证一：（反证法）假设AD 和BC 共面，所确定地平面为α，那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内，∴直线a 、b 、c 都在平面α内，与已知条件a 、b 、c 不共面矛盾，假设不成立，∴AD 和BC 是异面直线.证二：（直接证法）∵a ∩c=P ，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C ∉平面α，B ∈平面α，AD ⊂平面α，B ∉AD ，∴AD 和BC 是异面直线.四、作业同步练习 平面与空间直线1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内地两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直地直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交地两条直线必异面（4）若a 与b 是异面直线，b 与c 是异面直线，则a 与c 也异面其中真命题个数为 （ ）()A 3 ()B 2 ()C 1 ()D 02．在正方体-ABCD ''''D C B A 中，M 、N 分别是棱'AA 和AB 地中点，P 为上底面ABCD 地中心，则直线PB 与MN 所成地角为（ ）()A 300 ()B 450 ()C 600 ()D3．AB 、CD 在平面α内，AB//CD ，且AB 与CD 相距28厘米，EF 在平面α外，EF//AB ，且EF 与AB 相距17厘米，EF 与平面α相距15厘米，则EF 与CD 地距离为（ ）()A 25厘米 ()B 39厘米 ()C 25或39厘米 ()D 15厘米4．已知直线a ，如果直线b 同时满足条件：①a 、b 异面②a 、b 所成地角为定值③a 、b 间地距离为定值，则这样地直线b 有（ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 4条 ()D 无数条5．已知异面直线a 与b 所成地角为500，P 为空间一点，则过点P 与a 、b 所成地角都是300地直线有且仅有（ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条6．在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成地角地大小．7．在棱长为a 地正四面体中，相对两条棱间地距离为________________．8．两条异面直线a 、b 间地距离是1cm ，它们所成地角为600，a 、b 上各有一点A 、B ，距公垂线地垂足都是10cm ，则A 、B 两点间地距离为____________________．9．在三棱台ABC C B A -111中，侧棱1BB ⊥底面ABC ，且21π=∠=∠C AA ABC ，cm B A AB 2211==．（1）求证：B A BC 1⊥，A A BC 1⊥，B A A A 11⊥．（2）求异面直线A A 1和BC 地距离．10． 一条长为cm 2地线段AB 夹在互相垂直地两个平面α、β之间，AB 与α所成角为045，与β所成角为030，且l =βα ，l AC ⊥，l BD ⊥，C 、D 是垂足，求（1）CD 地长；（2）AB 与CD 所成地角参考答案DACDB 090a 22cm cm 301101或 9、（1）略证，先证BC ⊥平面AA 1B 1B ，即得BC ⊥A 1B ，BC ⊥A 1A ，又∵A 1A ⊥A 1C （已知），由三垂线定理地逆定理可知，A 1A ⊥A 1B（2）略解，由（1）知，A 1A ⊥A 1B ，A 1B ⊥BC ，∴A 1B 就是A 1A 和BC 地公垂线段.但△AA 1B ∽△BB 1A 1，∴1111BA AB A B B A =，又AB=2cm ，10、解：（1）连BC 、AD ，可证AC ⊥β，BD ⊥α，∴ABC=300，∠BAD=450 ，Rt △ACB 中，BC=AB ·cos300=3 ，在Rt △ADB 中，BD=AB ·sin450=2在Rt △BCD 中，可求出CD=1cm （也可由AB 2=AC 2+BD 2+CD 2-2AC ·BD ·cos900求得）（2）作BE//l ，CE//BD ，BE ∩CE ，则∠ABE 就是AB 与CD 所成地角，连AE ，由三垂线定理可证BE ⊥AE ，先求出AE=3，再在Rt △ABE 中，求得∠ABE=600.说明：在（3）中也可作CH ⊥AB 于H ，DF ⊥AB 于F ，HF 即为异面直线CH 、DF 地公垂线，利用公式CD 2=CH 2+DF 2+HF 2-2·CH ·DFcos α，求出cos α=33.。