5.2平行关系的性质

§
第
4
二
章
理解教材新知
考点一
第
把握 热点考向
考点二
一 课
考点三
时
应用创新演练
已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2 的法向量分别为n1，n2.
问题1：若直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，则它们的 方向向量和法向量有什么关系？
提示：u1∥u2∥n1. 问题2：若l1⊥l2，l1∥π2呢？ 提示：u1⊥u2，u1⊥n2. 问题3：若π1∥π2，则n1，n2有什么关系？ 提示：n1∥n2.
第一课时 空间向量与平行关系
[例1] (1)设a，b分别是两条不同直线l1，l2的方向向量， 根据下列条件判断l1与l2的位置关系：
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)； ③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)． (2)设n1，n2分别是两个不同平面π1，π2的法向量，根据下 列条件判断π1，π2的位置关系： ①n1＝(1，－1,2)，n2＝(3,2，－12)；
则 A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0,0， a)，D－a2，0，a2，
所以OuuDur＝－a2，0，a2. 设平面 PAB 的法向量为 n＝(x，y，z)．
1．空间中平行、垂直关系的向量表示
设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面π1、π2的法向 量分别为n1、n2，则
线线平行 l∥m⇔ a＝kb，(k∈R)
线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直
l∥π1⇔ a⊥n1 ⇔ a·n1＝0 π1∥π2⇔ n1∥n2⇔ n1＝kn2(k∈R) l⊥m⇔ a·b＝0 l⊥π1⇔ a∥n1⇔ a＝kn1，(k∈R) π1⊥π2⇔n1⊥n2 ⇔ n1·n2＝0
∴a⊥b，n1⊥n2，a⊥n2，
∴l1⊥l2，π1⊥π2，l1∥π2或l1 π2.
3.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、H、 G 分别是 AA1、AB、CC1、C1D1 的中点， 求证：EF∥HG.
证明：以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间
∴n1⊥n2，∴π1⊥π2.
②∵n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)， ∴n1＝－35n2，
∴n1∥n2.∴π1∥π2.
③∵n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)， ∴n1 与 n2 既不共线，也不垂直． ∴平面 π1 和 π2 相交(不垂直)． (3)①∵n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴n·a＝－6＋8－2＝0.
2．三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平 面上的 投影 ，则这两条直线垂直． 3．面面垂直的判定定理 若一个平面经过另一个平面的 一条垂线 ，则这两个
平面垂直．
一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由 一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平 面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关 系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．
∴n⊥a.
∴直线 l 和平面 π 的位置关系是 l π 或 l∥π.
②∵n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)， ∴n＝－14a.
∴n∥a.∴l⊥π.
③∵n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)， ∴n 和 a 既不共线，也不垂直． ∴l 与 π 斜交．
[一点通] 用向量法来判定线面位置关系时，只需 判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线 线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与 法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关 系不同，只是平行与垂直的互换．
[精解详析] (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－13b.∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0.∴a⊥b.∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)， ∴a 与 b 不共线，也不垂直． ∴l1 与 l2 的位置关系是相交或异面(不垂直)． (2)①∵n1＝(1，－1,2)，n2＝3，2，－12， ∴n1·n2＝3－2－1＝0.
直角坐标系，如图．设正方体的棱长为 2，
则 E，F，H，G 的坐标分别为 E(2,0,1)，
F(2,1,0)，H(0,2,1)，G(0,1，2)． uuur
∴ EF ＝(0,1，－1)， uuur GH ＝(0,1，－1)．
uuur uuur uuur uuur ∴ EF ＝GH .∴ EF ∥GH .
又∵G∉EF，∴EF∥GH.
[例2] 如图，在三棱锥P－ABC中，
AB⊥BC，AB＝BC，点O、D分别是AC、
PC的中点，且OA＝OP，OP⊥平面ABC.
求证：OD∥平面PAB. uuur
[思路点拨] 思路一证明OD与平面 PAB 的法向量垂 直．思路二证明 OD 与面 PAB 内某一直线平行．
[精解详析] 法一：因为 AB＝BC，O 为 AC 的中点，所以 OB⊥AC，OA＝OB＝OC， 如图，建立空间直角坐标系，设 OA＝a，
②n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)；
③n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)．
(3)设n是平面π的法向量，a是直线l的方向向量，根据 下列条件判断π和l的位置关系：
①n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)； ②n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)； ③n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)． [思路点拨] 本题可由直线的方向向量、平面的法向 量之间的关系，转化线线、线面及面面之间的关系．
1．设直线l的方向向量为a，平面π的法向量为b，若a·b＝0，
则
()
A．l∥π
B．l π
C．l⊥π
D．l π或l∥π
解析：当a·b＝0时，l π或l∥π.
答案：D
2．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面π1、π2的 法向量分别为n1，n2，若a＝n1＝(1，－2，－2)，b＝n2 ＝(－2，－3,2)，试判断l1与l2，π1与π2，l1与π2间的位置 关系． 解：∵a·b＝n1·n2＝a·n2 ＝1×(－2)＋(－2)×(－3)＋(－2)×2＝0，