20-21第1章§5平行关系的性质
20-21版：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质（创新设计）
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（1）证明 法一 如图，连接AC，CD1.因为ABCD是正方 形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点， 又P是AD1的中点，所以PQ∥CD1. 又PQ⊄平面DCC1D1， CD1⊂平面DCC1D1， 所以PQ∥平面DCC1D1.
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【迁移】 若例2改为：若点P在平面α，β之间（如图），其他条件 不变，试求BD的长. 解 由例 2 可得PPAC＝PPDB，代入 PA＝6， PC＝3，PD＝8，得63＝P8B，
解得：PB＝16， ∴BD＝PB＋PD＝24， ∴BD的长为24.
法二 取AD的中点G，连接PG，GQ， 则有PG∥DD1，GQ∥DC，且PG∩GQ＝G， 所以平面PGQ∥平面DCC1D1. 又PQ⊂平面PGQ， 所以PQ∥平面DCC1D1.
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（2）解
由（1）易知
PQ＝12D1C＝
2 2 a.
（3）证明 法一 取 B1D1 的中点 O1，
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∴MCMB1＝DNNB，∴CPBP＝DNNB， ∴NP∥CD∥AB， 又 NP，MP⊂平面 MNP，MP∩NP＝P， ∴平面 MNP∥平面 AA1B1B. 又 MN⊂平面 MNP，∴MN∥平面 AA1B1B.
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苏教版七年级下册数学知识点总结
第七章 平面图形的认识（二）一、知识点：1、“三线八角”① 如何由线找角：一看线，二看型。
同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型。
② 如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。
2、平行公理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
简述：平行于同一条直线的两条直线平行。
补充定理：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。
简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。
34、图形平移的性质：图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。
5、三角形三边之间的关系：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。
若三角形的三边分别为a 、b 、c ，则b a c b a +<<-6、三角形中的主要线段：三角形的高、角平分线、中线。
注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。
②高、角平分线、中线的应用。
7、三角形的内角和：三角形的3个内角的和等于180°；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
8、多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）•180°；任意多边形的外角和等于360°。
第八章幂的运算幂（power）指乘方运算的结果。
a n指将a自乘n次(n个a相乘）。
把a n看作乘方的结果，叫做a的n次幂。
对于任意底数a,b，当ｍ，ｎ为正整数时，有:aｍ•a n=a m+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)aｍ÷a n=a m-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)(aｍ)n=a mn (幂的乘方,底数不变,指数相乘)(ab)n=a n a n (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)a0=1(a≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)a-n=1/a n (a≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.复习知识点：1.乘方的概念:a中，a 叫做底数，求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
高等几何讲义第1章
Mox：
x/ y/
x
y
(1.4)
j
M
Oi
x
M/
➢§1 变换与变换群
➢ 例5．平行射影 二平面
、 / 交于直线 ，向量
M
与二平面都不平行．对于
上任意点M，过M作平行
DB
于 的直线，交 /于M/，
则将 M 映成 M/ 的点对应
CE
称为平面 到平面 / 的
平行射影，
向量 为投射方向．
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学 审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高观 点，加深理解，举一反三。
➢主 要 内 容
欧氏几何 仿射几何 射影几何
第一章：欧氏平面及仿射平面上的变换，仿
射坐标及仿射坐标变换
本
重点讨论共点性与共线性
教 材 基
M T M/ T (M)，
并称 M/ 为 M 在 T 之下的象，
M 为 M/ 在 T 之下的原象．
§1 变换与变换群
➢ T(S)：集合 S 的全体元素在T之下的象的集合． ➢ 满射： T( S ) S /； ➢ 单射： S 的不同元素的象元素也不同； ➢ 双射：既是单射又是满射的映射． ➢ 术语约定：两个集合之间的双射称为对应；将集合
到自身的双射称为变换．
➢几种常见变换
➢ 例1．恒等变换 若变换T，将S上每一元素变到自身 ，即
M T T (M) M ， M S，
❖则称为恒等变换(或单位变换)，记为 I．
§1 变换与变换群
➢ 例2．平移变换 将平面上的点 M 按定向量方向 a 移
动到点
M/，使得
M
第一章1.2.2空间中的平行关系1教案教师版
1.2.2空间中的平行关系(一)【学习要求】1．掌握空间中两条直线的位置关系．2．理解并掌握基本性质4及等角公理．【学法指导】通过平行直线、基本性质4及等角定理的学习，进一步加深对空间两直线位置关系的理解及运用；通过在平面上画出直线的位置关系，培养空间想象能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．3．空间四边形：顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”，在空间中，结论是否仍然成立呢？探究点一平行直线问题1在初中平行直线是怎样定义的？答：我们把在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．问题2初中学过的平行公理的内容是什么？答：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．问题3空间中两条直线有几种位置关系？分别是哪几种？答：空间两条直线的位置关系有且只有三种：问题4在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．在空间中，是否有类似的规律？现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.答：教室里的地面和墙面相交的两条平行线与墙面和天花板相交的直线不在同一平面内，且三条直线两两平行．小结：基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．基本性质4通常又叫做空间平行线的传递性．问题5基本性质4有什么作用？如何用符号语言表示基本性质4?答：基本性质4作用：判断空间两条直线平行的依据．符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c，若a∥c，b∥c，则a∥b.例1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB, BC 的中点，求证：EF∥A1C1.证明：如图，连接AC，在△ABC中，E, F分别是AB, BC 的中点，所以EF∥AC.又因为AA1∥BB1且AA1＝BB1，BB1∥CC1且BB1＝CC1，所以AA1∥CC1且AA1＝CC1.即四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1，从而EF∥A1C1.小结：本题主要考查两条直线平行的判定，关键是寻找直线平行的条件，可由基本性质4证明．跟踪训练1已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分别为AA1、CC1的中点．求证：BF∥ED1.证明：如图，取BB1的中点G，连接GC1、GE.∵F为CC1的中点，∴BG=C1F. ∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF∥GC1.又∵EG∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴EG∥D1C1. ∴四边形EGC1D1为平行四边形．∴ED1∥GC1.∴BF∥ED1.探究点二等角定理问题1观察图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC 与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答：从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＝∠A′B′C′.小结：本题主要考查两条直线的平行的判定，关键是寻找直线平行的条件，可由平行线公理证明．问题2试一试，如何证明等角定理呢？已知：如图所示，∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，且射线AB与A′B′同向，射线AC与A′C′同向．求证：∠BAC＝∠B′A′C′.证明：对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，用初中所学的知识容易证明．下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在∠BAC的两边和∠B′A′C′的两边上截取线段AD，AE和A′D′，A′E′，使AD＝A′D′，AE＝A′E′.因为AD綊A′D′，所以AA′D′D是平行四边形．可得AA′綊DD′.同理可得AA′綊EE′. 于是DD′綊EE′，因此DD′E′E 是平行四边形．可得DE ＝D′E′. 于是△ADE ≌△A′D′E′，因此∠BAC ＝B′A′C′.问题3 空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且对应边的方向都相反，那么这两个角的大小关系如何？为什么？答：这两个角相等．如图，过∠2的一边作∠1的一边的平行线，则∠1与∠3的对应边分别平行且方向相同，所以∠1＝∠3，而∠2与∠3是内错角，所以∠2＝∠3，因此∠1＝∠2.问题4 空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，如果一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么这两个角的大小关系如何？为什么？答：这两个角互补．因为延长一个角的一边，则这个角的补角与另一个角的两条对应边分别平行，且方向相反，所以一个角的补角与另一个角相等，所以这两个角互补．问题5 想一想，由等角定理能推出什么结论？答：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等．例2 如图，已知E ，E 1分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD, A 1D 1的中点．求证：∠C 1E 1B 1 ＝ ∠CEB. 证明：由于E ，E1分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD, A 1D 1的中点，所以EE 1∥DD 1，且EE 1＝DD 1，又因DD 1∥CC 1且DD 1＝CC 1， 所以EE 1∥CC 1且EE 1＝CC 1，所以四边形EE 1C 1C 是平行四边形． 所以E 1C 1∥EC.同理可得E 1B 1∥EB ， 所以由等角定理知∠C 1E 1B 1＝∠CEB.小结：有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：①利用等角定理及其推论；②利用三角形相似；③利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．请同学们利用第三种途径给予证明．跟踪训练2 已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.证明：(1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点，∴MN 是三角形的中位线， ∴MN//AC ，MN ＝12AC. 由正方体的性质得：AC//A 1C 1，AC ＝A 1C 1.∴MN//A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN≠A 1C 1， ∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN//A 1C 1， 又∵ND//A 1D 1， ∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的一个锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.探究点三 空间四边形的有关概念问题1 阅读教材40页，你能说出什么是空间四边形？什么是空间四边形的顶点？什么是空间四边形的边？空间四边形的对角线？答：顺次连接不共面的四点A 、B 、C 、D 所构成的图形，叫做空间四边形；四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线问题2 你能画出一个空间四边形，并指出空间四边形的对角线吗？答：如图，是一个空间四边形， AC 、BD 是它的对角线.问题3 空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，你能画出吗？答： 如下图中的两种空间四边形ABCD 和ABOC.例3 如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接BD ， 因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ， 且FG ＝12BD. 因为EH ∥FG ， 且EH ＝ FG ,所以四边形EFGH 为平行四边形.跟踪训练3 在例3中，如果再加上条件AC ＝BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？解：四边形EFGH 是菱形．证明如下：由例3可知四边形EFGH 为平行四边形，连接AC ，由题意知HG 为△ADC 的中位线，所以HG ＝12AC ， 又因为EH 是△ABD 的中位线，EH ＝12BD ，由AC ＝BD 知，HG ＝EH.所以四边形EFGH 是菱形. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1．下列结论正确的是 ( )A ．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B ．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C ．空间四边形的两条对角线可以相交D ．空间四边形的两条对角线不相交解析： 空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.2．下面三个命题， 其中正确的个数是 ( )①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．A ．1个B ．2个C ．3个 D. 一个也不正确解析： 空间中三条平行线不一定共面，故①错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错，故选D.课堂小结：1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．3．注意：等角定理的逆命题不成立．。
浙教版 数学八年级上第1章 电子课本
第1章 平行线§1.1同位角、内错角、同旁内角问题：平面上两条直线有哪两种位置关系?（平行和相交） 两条直线和第三条直线相交的关系：像∠1与∠5，它们都在第三条直线 l 3 的同旁，并且分别位于直线l 1，l 2 的相同一侧，这样的一对角叫做同位角。
同位角：∠1和∠5 ∠4和∠8 ∠2和∠6 ∠3和∠7像∠3和∠5分别位于第三条直线l 3 的异侧，并且都在两条直线l 1 与l 2 之间，这样的一对角叫做内错角。
内错角：∠3和∠5 ∠4和∠6像∠3与∠6都在第三条直线l 3 的同旁，并且在直线l 1 与l 2 之间，这样的一对角叫做同旁内角。
同旁内角：∠4和∠5 ∠3和∠6例1 如图，直线DE 截直线AB ，AC ，构成8个角。
指出所有的同位角、内错角和同旁内角。
练一练：1.如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，请找出一对同位角，一对内错角和一对同旁内角。
2.（1）如果把图看成是直线AB ，EF 被直线CD 所截，那么∠1与∠2是一对什么角？∠3与∠4呢？∠ 2与∠4呢？ （2）如果把图看成是直线CD ，EF 被直线AB 所截，那么∠1与∠5是一对什么角？ （3）哪两条直线被哪一条直线所截，∠2与∠5是同位角？(直线AB 和CD 被直线EF 所截)合作学习：如图1-3：两只手的食子和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成是什么角?类似地，你还能用两只手的手指构成同位角和同旁内角吗?例2 如图，直线DE 交∠ABC 的边BA 于点F 。
如果内错角∠1与∠2相等，那么同位角∠1与∠4相等，同旁内角∠1与∠3互补。
请说明理由。
小结： 变式图形，图中的∠1与∠2都是同位角。
图形特征：在形如字母“F ”的图形中有同位角。
变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角。
图形特征：在形如“Z ”的图形中有内错角。
3l 1l 2l 1234567812345678A B C D E E FA B DCP Q 12345A BC DE F 1234A BC D E F变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角。
机械原理教案
《机械原理》教案课程名称：机械原理课程性质：技术基础课程授课班级：农机、机制授课教师：林金龙学时54（周4学时）教材：《机械原理》东南七版-----高等教育出版社机械原理是机械类各专业的一门主干技术基础课程。
它在培养学生的机械设计能力和创新能力所需的知识、能力和素质结构中，占有十分重要的地位。
本课程的任务是使学生掌握机构学和机器动力学的基础理论、基本知识和基本技能，学会常用机构的分析和综合方法，并具有进行机械系统运动方案设计的初步能力。
在培养高级机械工程技术人才的全局中，本课程为学生今后从事机械设计、研究和开发创新奠定必要的基础，并且有增强学生对机械技术工作适应能力的作用。
总学时54（周4学时）：其中理论课48学时，实验课6学时，实验课内容：1、机构认识实验（课外）2、机构简图测绘；3、齿轮范成实验；4、转子动平衡。
学习《机械原理》课程的要求及有关事项一．本课程为考试课。
?二、平时作业占总成绩的20%，期末考试占总成绩的80%。
?三、按时交作业，每周一上课前交作业，晚交扣分，欠作业1/3者不得参加考试。
?本课程有3个选作的大作业，需编程上机完成后，可在100分的基础上加分，但不得抄袭。
?四、严格考勤制度，病假事先托同学交上假条，否则按旷课处理。
五、各班选一名课代表（责任心强的同学），负责收发作业，及时反映同学意见与建议。
《机械原理》教案1《机械原理》教案2《机械原理》教案3《机械原理》教案4《机械原理》教案5《机械原理》教案6注：本章平面连杆机构运动分析的解析法及平面连杆机构的解析设计，在理论教学中只介绍方法，具体应用在课程设计中。
《机械原理》教案7《机械原理》教案8注：本章中凸轮廓线的解析设计，在理论教学中只介绍方法，具体应用在课程设计中。
《机械原理》教案9《机械原理》教案10《机械原理》教案11《机械原理》教案12《机械原理》教案13《机械原理》教案14《机械原理》教案15《机械原理》教案16《机械原理》教案17《机械原理》教案18《机械原理》教案19。
1.5.2 平行关系的性质 课件(北师大必修2)
PM PE QN BQ 又∵PM∥AB∥QN，∴ AB ＝AE，DC ＝BD， ∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形． ∴PQ∥MN. 又MN平面BCE，PQ ∴PQ∥平面BCE. 平面BCE，
法二：如图，连接AQ，并延长交BC于 K，连接EK. ∵AE＝BD，AP＝DQ， AP DQ ∴PE＝BQ，∴PE＝ BQ. DQ AQ 又∵AD∥BK，∴BQ＝QK. AP AQ 由①②得PE＝QK，∴PQ∥EK. 又PQ 平面BEC，EK平面BEC，∴PQ∥平面BEC. ① ②
写出已知和求证，利用直线和平面平行的性质定理来证 明．
[精解详析] 已知a∥α，a∥β，α∩β＝b.
求证：a∥b. 证明：过a作平面δ，δ∩β＝c， ∵a∥β，∴a∥c. 过a作平面γ，
γ∩α＝d，∵a∥α，∴a∥d.
由公理4得c∥d.
∵dα，c
α，∴c∥α.
又∵cβ，α∩β＝b， ∴c∥b，又c∥a，∴a∥b.
则得BC∥l.
②利用线面平行，面面平行得MN∥平面PAD.
[精解详析]
法一：(1)证明：因为
BC∥AD，
BC
平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD. 又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝
l，所以BC∥l.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以 证得NE∥AM且NE＝AM. 可知四边形AMNE为平行四边形． 所以MN∥AE，MN 平面APD，AE平面
4．若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过 点B的所有直线中 ( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析：利用面面平行的性质可知，a和B确定一个平面，
2020年新课标高中数学北师大版必修2课件1.5.2
求证：AP∥GH．
数
学
必 修
[思路分析] 欲证线线平行，往往先证线面平行，再由线面平行的性质定理
·
② 可证得线线平行．
北
师
大
版
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第一章 立体几何初步
[解析] 连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴O 是 AC 的中点．又 M 是 PC 的中点，∴AP∥OM．
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．
A．①②③④
B．①②③
C．②④
D．①②④
数
[解析] 由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②
学 必
正确．因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个
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·
第一章 立体几何初步
(2)符号表示 a__∥____α a______ β⇒a∥b． α∩β＝b
(3)图形表示
数 学 必
(4)简记为：线面平行⇒线线平行．
修
②
·
北 师 大 版
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第一章 立体几何初步
2．平面与平面平行的性质定理
(1)定理内容 如果两个__平__行____平面同时与第三个平面相交，那么它们的__交__线____平行．
大
版
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第一章 立体几何初步
(2)若 AB、CD 不共面，如图，过 A 作 AE∥CD 交 α 于 E，取 AE 中点 P，连
接 MP、PN、BE、ED．
∵AE∥CD，∴AE、CD 确定平面 AEDC．