2.2(小结)平行关系的判定与性质
从而达到证明a∥b的目的，这可以借助已知条件a∥α，
a∥β来实现.
【规范解答】经过a作两个平面γ和δ，与平面α和β分别 相交于直线c和d，∵a∥平面α，a∥平面β，
∴a∥c，a∥d，∴c∥d.
又∵d 平面β，c 平面β，
∴c∥平面β，
又c 平面α，平面α∩平面β=b，
∴c∥b. 又∵a∥c，∴a∥b.
【练习1】已知直线a、b,平面α ,且a∥b,a∥α ,a、b都在 平面α 外.
求证：b∥α .
【证明】过a作平面β,使它与平面α相 交，交线为c. ∵a∥α,a β,α∩β=c,
∴a∥c.又∵a∥b,
∴b∥c.又∵c α,b α.∴b∥α.
【练习2】
如图，在四棱锥O-ABCD中，底面
ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，
例2.在正方体AC1中，E为BC中点， 求证：BD1∥平面C1DE
证明： 连CD1交C1 D于F , 则EF / / BD1 ,
BD1 面C1 DE , EF 面C1 DE , BD1 / / 面C1 DE.
F
思考:能不能用面面平行推出线 面平行来解题?
例3.如图，在四棱锥P-ABCD中， 底面为正方形，PC与底面ABCD垂直（图1）
N为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCD.
四．小结： 1.平行关系的判定和性质定理
2.掌握证明线线平行，线面平行，面 面平行常用的方法。
五．作业
世纪金榜P23 变式训练 P24 即时训练
，图2为该四棱锥的主视图和左视图，
它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形.
（1）根据图2所给的主视图、左视图画出相应的俯视图， 并求出该俯视图的面积.
（2）图3中，E为棱PB上的点，F为底面对角线AC上的点
且
BE CF，求证：EF∥平面PDA. EP FA
【解析】（1）该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长
线面平行 面面平行
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一 个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。 符号语言： a b P, a , b
a b P, a , b / / a / / a, b / /b
4.面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交线平行。
/ / a a / / b 面面平行 线线平行 b
面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一 个平面内的直线平行于另一个平面
/ / a / / a
a / /, a , b a / /b
线面平行 线线平行
3.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
符号语言：
a b a b P / / a / / b / /
面面平行 线面平行
线线平行的证明方法:
1.定义法
2.平面几何知识
3.线面平行的性质定理 4.面面平行的性质定理
1.三角形，梯形中位 2.平行四边形性质 3.平行线分线段成比例 4.公理4.平行线的传递性 1.定义法
线面平行的证明方法
2.线面平行的判定定理
3.面面平行的性质 1.定义法 2.面面平行的判定定理
为6 cm的正方形,如图.其面积为36 cm2.
（2）连接BF并延长交AD于G， 连接PG， 则在正方形ABCD中， 又
CF BE FA EP BF CF . FG FA
，∴
BF BE FG EP
，∴在△BGP中，EF∥PG. 平面PDA，
又EF
平面PDA，PG
∴EF∥平面PDA.
G
三．练习
授课人:武永锋
一．知识点总结
1.线面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一 条直线平行，则该直线和此平面平行。 符号语言：
a , b , a / /b a / / 线线平行
线面平行
2.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么 过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。 符号语言：
面面平行的证明方法
3.面面平行的判定定理的推论 4.面 Nhomakorabea平行的传递性
5.对“线线平行”，“线面平行”，“面面平行” 之间的关系认识.三者之间的转化关系如图所示
要求：能够熟练运用判定和性质定理 处理练习！
二．典例分析
【例1】已知直线a∥平面α ，直线 a∥平面β ，平面α ∩平面β =b， 求证：a∥b. 【审题指导】利用公理4，寻求一条直线分别与a、b都平行，
必修2平行垂直的判定和性质
平行1．直线与平面平行的判定(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为：．注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．2．两个平面平行的判定(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．(2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号表示为：．注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．(3)平行于同一平面的两个平面互相平行．即．3．直线与平面平行的性质(1) 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号表示为：．注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”．(2)直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内．符号表示为：若，点，且，则．4．平面与平面平行的性质(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面．此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行．(2)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等．垂直1．直线与平面垂直的判定(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直，其中直线叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面．注意：①定义中的“任意一条直线”和“所有直线”是同义语，不能改成“无穷多条直线”．②如果或，那么直线l不可能与平面内的任意一条直线都垂直．由此可知，当时，直线l和一定相交，它们唯一的交点叫做垂足．(2)直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直与这个平面．(3)关于垂直的存在唯一性命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．2．平面与平面垂直的判定(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直．(2)两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 符号表示为：．3．直线与平面垂直的性质如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 符号表示：． 作用：可作线线平行的判定定理． 4．平面与平面垂直的性质(1)两个平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 符号表示为：．(2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． (3)三个两两垂直的平面的交线两两垂直．(4)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．空间几何定理公理总结：1.平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4 同平行于一条直线的两条直线互相平行。
高中数学必修二2.2-直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定●知识梳理1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a∥αa∥b●知能训练一．选择题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN∥面APC；（2）C1Q∥面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）A．12条B．18条C．21条D．24条6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）A．1/2B．1 C．2 D．310．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB 1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
高中数学高考总复习---直线、平面平行的判定和性质知识讲解及考点梳理
例 1、【高清课堂：直线、平面平行的判定与性质例 1】 如图所示，已知 P、Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心。 证明：PQ//平面 BCC1B1
【证明】方法一：如图，取 B1B 中点 E,BC 中点 F，连接 PE、QF、EF， 因为在三角形 A1B1B 中，P、E 分别是 A1B 和 B1B 的中点，
举一反三： 【变式】（2015 春 澄城县期末）如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形， ED⊥面 ABCD，连结 AC，AC∩BD=O， （Ⅰ）求证：面 BCF∥面 AED； （Ⅱ）求证：AO 是四棱锥 A﹣BDEF 的高．
【证明】（Ⅰ）在矩形 BDEF 中，FB∥ED， ∵FB 不包含于平面 AED，ED 平面 AED， ∴FB∥平面 AED， 同理，BC∥平面 AED， 又 FB∩BC=B， ∴平面 FBC∥平面 EDA． （Ⅱ）解：∵ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， ∵ED⊥面 ABCD，AC 面 ABCD，
2
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
2、 符号语言： 3、 面面平行的另一性质： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
符号语言：
．
要点诠释：
平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化
归的思想。三种平行关系如图：
性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行 化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。 【典型例题】
。
考点四、平面与平面平行的性质 4、 平行平面的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
平行的判定和性质专题及答案
平行的判定和性质专题平行的判断方法及性质汇总：一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面专题训练一．选择题：1．两直线a, b平行于平面α，那么a, b的位置关系是 D（A）平行（B）相交（C）异面（D）平行、相交或异面2．两条直线a//b，b在平面α内，则a与α的位置关系是C（A）a//α（B）a与α相交（C）a//α或a在α内（D）a在α内3．直线l与平面α平行，在平面α内，与l平行的直线有 C（A）1条（B）2条（C）无数条（D）n条(n是一正整数)4．若一直线和一平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在的直线的位置关系是 D（A）平行（B）相交（C）异面（D）平行、相交或异面5．若a, b是异面直线，a//平面α，那么b与α的位置关系是 D（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不确定6．若直线a//平面α，且点A∈α，则过点A且a与平行的直线 B（A）只有一条，但不一定在α内（B）只有一条，且在α内（C）有无数条，但都不在α内（D）有无数条，且都在α内7.能够保证直线a∥平面β的条件是…………………………………（C ）（A）β⊂b，a∥b （B）a∥b∥c，β⊂b，β⊂c（C）β⊄a，β⊂b，a∥b （D）β⊂b，BDACbDCaBA=∈∈,,,,8．如果l∥α，则l平行于α内的（ B ）（A）全部直线（B）过l的平面与α的交线（C）任一直线（D）唯一确定地直线9.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是 C(A)平行(B)相交(C)平行或相交(D)无法确定10．在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是（ D ）(A)α、β都垂直于平面γ(B)α内不共线的三个点到β的距离相等(C)l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β(D)l、m是两异面直线且l∥α，m∥α，且l∥β，m∥β11．若两条直线m, n分别在平面α、β内，且α//β，则m, n的关系一定是（D ）（A）平行（B）相交（C）异面（D）平行或异面12．已知直线l和平面α：（1）若直线l与平面α内无数条直线平行，则l//α；（2）若直线l与平面α内任意一直线都不平行，则直线l与平面α相交；（3）若l⊄α，则直线l与平面α内某些直线平行；（4）若直线l∩平面α=A，则存在α内的直线b，使b⊥l. 其中正确命题的个数是 C（A）0 （B）1 （C）2 （D）313．能保证直线a与平面α平行的条件是 A（A）a⊄α, b⊂α, a//b （B）b⊂α, a//b（C）b⊂α, c//α, a//b, a//c （D）b⊂α, A∈a, B∈a, C∈b, D∈b, 且AC=BD14．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是 B（A）α内的所有直线与m异面（B）α内不存在与m平行的直线（C）α内存在惟一的直线与m平行（D）α内的直线与m都相交15．如果两条直线a//b，且直线a//平面α，则b与α的位置关系是 D（A）相交（B）b//α （C）b⊂α （D）b//α或b⊂α16．设直线a与平面M平行，则必有 D（A）在平面M内不存在与a垂直的直线（B）在平面M内存在与a垂直的惟一直线（C）在平面M内有且只有一条直线与a平行（D）在平面M内有无数条直线与a平行17．已知∠ABC=90°，BC//平面M，AB与平面M斜交，那么∠ABC在平面M内的射影是B（A）锐角（B）直角（C）锐角或直角（D）锐角或直角或钝角18．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E, F分别是AA1与AB的中点，O1为正方形A1B1C1D1的中心，则EF与BO1所成的角为 A（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°19．已知A, B, C, D是空间不共面的四点，它们到平面α的距离之比依次为1 : 1 : 1 : 2，则满足条件的平面α的个数是 C（A）3 （B）4 （C）7 （D）820．下列命题中正确的是 C（A）经过两条异面直线中的一条且与另一条平行的平面至少有一个（B）若两条直线在同一平面内的射影平行，则这两条直线也平行（C）若a, b是异面直线，则一定存在平面α与a, b所成的角相等（D）与两条异面直线都平行的平面只有一个二．填空题：1．过直线外一点且与这条直线平行的平面有无数个。
2.2直线、平面平行地判定与性质
§2.2直线、平面平行的判定与性质高考会这样考1.考查空间平行关系及性质；2.大题中证明或探索空间的平行关系．备考要这样做1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；2.2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．1．直线与平面平行的判定与性质[状元的深入理解]1．证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行．但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内．2．在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用．3．辅助线(面)是解(证)线面平行的关键．为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)．1．已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α.上面命题中正确的是________(填序号)．2．已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的____________条件．3．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．4．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则 ( ) A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交5．下列命题正确的是( ) A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行方法与技巧1． 平行问题的转化关系2． 直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质． 3． 平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.【题型分类剖析】题型一 直线与平面平行的判定与性质例1 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP＝DQ .求证：PQ ∥平面BCE .思维启迪：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质．证明 方法一 如图所示． 作PM ∥AB 交BE 于M ， 作QN ∥AB 交BC 于N ， 连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ， 又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ＝QNDC，∴PM AB ＝QN DC，∴PM 綊QN ，即四边形PMNQ 为平行四边形， ∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .方法二 如图，连接AQ ，并延长交BC 延长线于K ，连接EK ， ∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ， ∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQBQ ，又AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQ QK， ∴AP PE ＝AQ QK，∴PQ ∥EK .又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .探究提高 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，AB ＝2，PA ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．求证：BE ∥平面PDF . 证明 取PD 中点为M ，连接ME ，MF ，∵E 是PC 的中点， ∴ME 是△PCD 的中位线， ∴ME 綊12CD .∵F 是AB 的中点且四边形ABCD 是菱形，AB 綊CD ， ∴ME 綊FB ，∴四边形MEBF 是平行四边形，∴BE ∥MF . ∵BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ，∴BE ∥平面PDF . 题型二 平面与平面平行的判定与性质例2 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .思维启迪：要证四点共面，只需证GH ∥BC ；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行． 证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.探究提高证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的交线．解已知：直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b.求证：a∥b.证明：如图所示，过直线a作平面γ，δ分别交平面α，β于直线m，n(m，n不同于交线b)，由直线与平面平行的性质定理，得a∥m，a∥n，由平行线的传递性，得m∥n，由于n⊄α，m⊂α，故n∥平面α.又n⊂β，α∩β＝b，故n∥b.又a∥n，故a∥b.题型三平行关系的综合应用例3如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值．解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，∴截面EFGH是平行四边形．设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α (α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)．又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋yb＝1，即y ＝ba(a －x )，∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x )． ∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4，此时x ＝a 2，y ＝b2. 即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大． 探究提高 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .证明如下： ∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点， ∴QB ∥PA .∵P 、O 分别为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又∵D 1B ⊄平面PAO ，PO ⊂平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，PA ⊂平面PAO ，∴D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， 又D 1B ∩QB ＝B ，D 1B 、QB ⊂平面D 1BQ ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO .【答题示范与提高】立体几何中的探索性问题典例：(12分)如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．规范解答解(1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.[2分]又在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 为BE 和平面ABB 1A 1所成的角．[4分]图(a)设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3.于是，在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23，[5分]即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.[6分](2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .事实上，如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接B 1F ，EG ，BG ，CD 1，FG .因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，图(b)所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 四点共面．所以BG ⊂平面A 1BE .[8分]因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点， 所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ， 因此四边形B 1BGF 是平行四边形， 所以B 1F ∥BG ，[10分]而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ， 故B 1F ∥平面A 1BE . 答题模板对于探索类问题，书写步骤的格式有两种：一种：第一步：探求出点的位置． 第二步：证明符合要求． 第三步：给出明确答案．第四步：反思回顾．查看关键点，易错点和答题规范．另一种：从结论出发，“要使什么成立”，“只需使什么成立”，寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法．温馨提醒 (1)本题属立体几何中的综合题，重点考查推理能力和计算能力．(2)第(1)问常见错误是无法作出平面ABB 1A 1的垂线，以致无法确定线面角．(3)第(2)问为探索性问题，找不到解决问题的切入口，入手较难．(4)书写格式混乱，不条理，思路不清晰．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 若直线m ⊂平面α，则条件甲：“直线l ∥α”是条件乙：“l ∥m ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 已知直线a ，b ，c 及平面α，β，下列条件中，能使a ∥b 成立的是( ) A ．a ∥α，b ⊂αB ．a ∥α，b ∥αC ．a ∥c ，b ∥cD ．a ∥α，α∩β＝b3． 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是( )A ．平行B ．平行和异面C ．平行和相交D ．异面和相交4． 设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αB ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥βC ．若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥βD ．若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n ⊄β，则n ∥β 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.7. 如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边 形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件______________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.三、解答题(共22分)8． (10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面，交平面BDM 于GH.求证：PA∥GH.9. (12分)如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)若CD＝2，DB＝42，求四棱锥F—ABCD的体积．.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 ( ) A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l22．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是 ( )A．①② B．①④C．②③D．③④3．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为( ) 二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________． 5. 一个正方体的展开图如图所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为________．6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.三、解答题7． (13分)如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．(1)求三棱锥A—PDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．。
平行线及其性质和判定
平行线及其性质和判定核心纲要1．平行线（1）定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行，记作a∥b．（2）平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．注：点必须在直线外，而不是在直线上．(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行"．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种:(1）相交；（2）平行．注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行;3．两直线平行的判定方法(1）平行线的定义．（2）平行公理的推论．(3)同位角相等，两直线平行．（4）内错角相等，两直线平行．（5)同旁内角互补，两直线平行．4．平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等．（2)两直线平行，内错角相等．（3)两直线平行，同旁内角互补．本节重点讲解：一个定义（平行线），一个位置，五个判定，三个性质．基础演练1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是( )A．平行或相交B．垂直或相交C．垂直或平行D．平行、垂直或相交2．下列说法正确的是( )A．经过一点有一条直线与已知直线平行B．经过一点有无数条直线与已知直线平行C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．3．如图所示,下列推理中错误的是（ )A．∵∠A＋∠ADC=180°，∴AB∥CD B．∵∠DCE=∠ABC，∴AB∥CDC．∵∠3=∠4,∴AD∥BC D．∵∠1=∠2,∴AD∥BC4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（）A．第一次右拐50°，第二次左拐130°B．第一次左拐50°，第二次右拐50°C．第一次左拐50°，第二次左拐130°D．第一次右拐50°,第二次右拐50°5．（1)如图1所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D’,C’的位置．若∠EFB=65°，则∠AED’等于__________．(2)如图2所示，AD∥EF,EF∥BC，且EG∥AC．那么图中与∠1相等的角（不包括∠1）的个数是__________．(3）如图3所示,AB∥CD，直线AB，CD与直线l相交于点E，F，EG平分∠AEF,FH平分∠EFD，则GE与FH的位置关系为__________．图1 图2 图36．解答题．(1)填写推理理由如图所示,D、F、E分别是BC、AC、AB上的点,DF∥AB，DE∥AC,试说明：∠EDF=∠A．解：∵DF∥AB( ）∴∠A＋__________=180°( ）∵DE∥AC(已知)∴∠AFD＋__________=180°（）∴∠EDF=∠A（ )(2)推理填空，如图所示,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的度数过程填写完整：解：∵EF∥AD（）∴∠2=__________（）又∵∠1=∠2( ）∴∠1=∠3( )∴AB∥__________( )∴∠BAC＋__________=180°( ）又∵∠BAC=70°（ )∴∠AGD=__________7．已知：如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G,∠E＝∠3．求证:AD平分∠BAC．能力提升8．若α和β是同位角，且a=30°，则β的度数是( )A．30°B．150°C．30°或150°D．不能确定9．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )A．30°和150°B．42°和138°C．都等于10°D．42°和138°或都等于10°10．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．从图中可知,小敏画平行线的依据可能有（ )①两直线平行,同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行;④内错角相等,两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④11．如图所示，点E在CA延长线上，DE、AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点,Q为PC上一点,且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．则下列结论：①AB∥CD,②FQ平分∠AFP，③∠B＋∠E=140°，④∠QEM的角度为定值．其中正确的结论有（ )个数A．1 B．2 C．3 D．412．如图所示,AB∥EF，EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，∠B－∠D=24°,则∠GEF=__________．13．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…,a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3,a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．14．如图所示,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4，试说明：AD∥BE．15．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB∥DC．16．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E,∠BDA＋∠ECA=180°,求证：DA⊥EF17．已知,如图所示，∠1＋∠2=180°,∠1＋∠EFD=180°,∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系,并证明你的结论．18．已知,如图所示，AC∥DE,DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．19．阅读材料：材料1:如图(a）所示，科学实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等．即∠1=∠2．材料2：如图(b）,已知△ABC，过点A作AD∥BC则∠DAC=∠C．又∵AD∥BC，∴∠DAC＋∠BAC＋∠B=180°，∴∠BAC＋∠B＋∠C=180°．即三角形内角和为180°．根据上述结论，解决下列问题：（1)如图(c）所示，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b 反射出的光线n平行于m，且∠1=50°，则∠2=_________,∠3=__________;(2)在（1)中,若∠1=40°，则∠3=__________，若∠1=55°，则∠3=__________；(3)由（1)(2)请你猜想：当∠3=__________时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b 的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行，请说明理由．20．已知直线MN∥BC,点A在直线MN上，点D在线段BC上，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD（1)如图(a）所示，若DE⊥AC于E，求证：∠1=∠2．（2)若点F为线段AB上不与点A、B重合的一动点，点H在线段AC上,FQ平分∠AFD交AC于点Q，设∠HFQ=x,∠MAB=α,∠BDF=β，∠AFD=∠FBD＋∠FDB，点D在线段BC上（不与B、C两点重合)，问当α、β、x之间满足怎样的等量关系时，FH∥MN（如图(b)所示）?试写出α、β、x 之间满足的某种等量关系，并以此为条件证明FH∥MN．21．如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C=∠OAB=100°，点E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．(1）求∠EOB的度数．(2)若平行移动AB,那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变,求出这个比值．（3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数;若不存在,说明理由．中考连接22．如图所示，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°,则∠BED的度数是( ) A．17°B．34°C．56°D．68°23．如图所示，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°,那么∠2的度数是（ )A．30°B．25°C．20°D．15°巅峰突破24．如图所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件:①∠1=∠5；②∠1=∠7;③∠2＋∠3=180°;④∠4=∠7．其中能说明a∥b的条件序号为( )A．①②B．①③C．③④D．①②④25．如图所示，在△ABC中,CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是△ACB的角平分线．求证:∠EDF=∠BDF．平行线及其性质和判定26．平面上有5条直线,其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°，请说明理由．11 / 11。
必修2__空间平行关系
a
四、面面平行的性质
Biblioteka 如果两个平行平面分别和第三个平 面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：
// , a, b
a // b
b
a
小结——空间平行关系的相互转化
线 线 平 行
线 面 平 行
面 面 平 行
练习
过三棱柱ABC-A‘B’C‘任意两条棱的
b
练习
如图，正方体ABCD-A’B’C’D’中，E为 DD’的中点，试判断BD’与平面AEC的位 置关系并证明之
O
练习
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在 的平面相交，M是线段EF的中点， 求证：AM//平面BDE
O
练习
如图，已知P、Q是正方体ABCD-A1B1C1D1 的面ABCD和面A1B1C1D1的中心，求证： PQ//平面ADD1A1
小结——空间平行关系的判定
面内 面外 平行 面内 相交 平行
线 线 平 行
线 面 平 行
面 面 平 行
相交平行相交
三、空间线、面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过该直线 的任一个平面与此平面的交线与该直线 平行 符号表示：
// a, a , b a // b
中点做直线，其中与平面ABB’A‘平 行的直线有 6 条
练习
练习
如图，平面内两正方形ABCD与ABED，点M， 2）若AM：MC=2：3，在线段AB上是否存 N分别则对角线AC，FB上且AM：MC=FN： 在一点G，使平面MGN//平面CBE，若存在 NB，沿AB折叠图形使CB⊥BE 请确定点G的位置 1）证明：折叠后MN//面CBE
2.2直线、平面平行的判定及其性质
A
A
思考3 思考 1.一般地 如果平面α 一般地， 1.一般地，如果平面α内有一条直线平行 于平面β 那么平面α与平面β一定平行吗？ 于平面β，那么平面α与平面β一定平行吗？ 如果平面α内有两条直线平行于平面β 2. 如果平面α内有两条直线平行于平面β， 那么平面α与平面β一定平行吗？ 那么平面α与平面β一定平行吗？ α β
F C H
小结
直线与平面平行的判定定理可简述为 “线线平行，则线面平行” 思想方法 通过直线间的平行，推证直线与平面平 行，即将直线与平面的平行关系（空间问题） 转化为直线间的平行关系（平面问题）.
作业
P55-56练习1，2 P62 习题2.2 A组 3，4
2.2.2
平面与平面平行的判定
思考1 思考1: 我们知道，两个平面的位置关系是平行或 相交.
小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用 2. 思想方法
面面平行 线面平行或线线平行
作业
P61 练习 P63习题2.2 B组2，3，4
a // b ，
b
α
未完
判定定理的证明
下面用反证法证明a与α没有公共点：
假设a与α有公共点P∈α，而α∩β=b，得P∈b， 所以 点P是a、b的公共点，这与a//b矛盾. 所以a//α
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的 求证： 连线，平行于经过另外两边的平面． 连线，平行于经过另外两边的平面．
D′ A′ D A B P B′ C′
C
例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平 行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面. 如图，已知直线a，b和 平面α ，a∥b，a∥α , a， b都在平面α外 . 求证：b∥α .
b a c
高二数学 平行关系的判定及其性质
基础梳理
1. 平行直线 (1)定义：__________不相交的两条直线叫做平行线． (2)公理4：平行于________的两条直线互相平行． (3)线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行， ____________的平面和这个平面相交，那么这条直线就和 ______平行． (4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个 平面相交，那么它们的______平行． (5)线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于________， 那么这两条直线平行．
4. 有一木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平 行于平面A′C′及棱B′C′，要经过P和棱BC将木料锯开， 锯开的面必须平整，有N种锯法，N为( ) B
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数
解析：由题意知，点P与直线BC确定一平面a，设a 与面A′C′交于直线l，由BC平行平面A′C′及棱B′C′知， l∥BC∥B′C′，故只有1种锯法．
模型中容易观察出②中a，c还可以平行或异面；③中a，b还可
以相交或异面；④是真命题，故C正确．
4. B 解析：由题意知，点P与直线BC确定一平面a，设a与面 A′C′交于直线l，由BC平行平面A′C′及棱B′C′知，l∥BC∥B′C′，
故只有1种锯法．
5. 2 39 3
解析：如图，由题意知MN / / 2 BC, 3
证明：EF∥平面PAD；
知识准备：知道空间几何体的线面平行定理；
解：在△PBC中，E，F分别是PB，PC 的中点，∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴EF∥AD. 又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD. ∴EF∥平面PAD.
由题意易知，
FG∥1/2CD， FG=CD， 又BE∥CD，BE=1/2CD， 所以FG∥BE，FG=BE， 故四边形BEGF为平行四边形． 所以BF∥EG， 又EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE， 所以BF∥平面A′DE.
高一数学必修二——2.2直线、平面平行的判定及其性质
A1 E D1 B1
C1
而EO 平面AEC, BD1 平面AEC ∴BD1 ∥平面AEC
A
D
O
C B
3、如图，在三棱柱ABC——A1B1C1中，D 是AC的中点。
求证：AB1//平面DBC1
B1
A1
C1
P
D
A
C
B
(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)如图,直
三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分 别是AB,BB1的中点. ①证明:BC1∥平面A1CD; ②设AA1=AC=CB=2,AB= 2 2, 求 三棱锥C-A1DE的体积.
(2)因为PD⊥平面ABCD,GC⊂平面
ABCD,所以GC⊥PD.因为ABCD为正 方形,所以GC⊥CD. 因为PD∩CD=D,所以GC⊥平面PCD. 因为PF=PD=1,EF=CD=1, 所以S△PEF= EF×PF=. 因为GC=BC=1, 所以. V =V
P-EFG G-PEF
=
3.(2015·杭州模拟)一个多面体的直观图及三视图 如图所示(其中M,N分别是AF,BC的中点). (1)求证:MN∥平面CDEF. (2)求多面体A-CDEF的体积.
(1)证明线线平行常用的方法：
一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平 行； 二是利用平行四边形进行平行转换；
三是利用三角形的中位线定理证线线平行；
四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转 换．
中位线定理
例题讲解：
例.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的 中点，证明:直线EF与平面BCD平行
１．直线a在平面 内还是在平面 外？
直线a在平面外 即直线a与平面可能相交或平行