圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程及其应用
分析 对于任意 Ｘ≥０，都有 ｆ（ｘ）≤０恒成立 兮 对于任
意 ｚ≥０，都有 ｌｎ（１＋ｚ）一
点开 口向左 的抛物线 、极点在左焦点 的双 曲线：
则 ｋ＝（ ）
（３）Ｐ： ＿ ！， 一 表示极点在下 焦点 的椭圆 、极点为焦
Ａ ． １
Ｂ ．
Ｃ．
Ｄ． ２
定 理 ４ 若 Ｆ （ｚ）、Ｆ （ ）、Ｆ （ ）在 【０，＋。。）都 有 意 恒成立，求 实数 的最小值 ．
义，Ｆ（ｏ）＝ ０，Ｆ ｘ）≤ ０，则 对 于 任 意 ≥ ０，都 有
≤０恒成立 兮 对于任
意 ≥０，都有 （１＋ｚ）Ｉｎ（１＋ ）一ｚ≤Ａｘ。恒成立 ．设 Ｆ（ｘ）＝
（１＋ ）ｌｎ（１＋ ）一ｘ（ｘ≥０），则 Ｆ（Ｏ）＝０，Ｆ ｘ）＝ ｌｎ（ｘ＋１），
（ ）
， ）
＜ ０， （０）＝ １，
Ｆ （０）＝ ，意识到先证 明：（１＋ ｚ）ｌｎ（１＋ｚ）一 ≤ ， 自然想 到构造 函数 Ｃ（ｘ）＝ （１＋ ）ｌｎ（１＋ ）一ｚ一 。．
表 示 极 点 在 上 焦 点 的 椭 圆 、极 点 为 焦
常常是设 出直 线方程，然后 与 圆锥 曲线方 程联立，或解 方程 点开 口向下 的抛物线 、极点在下焦点的双曲线．
组 ，或用 韦达定理或用 弦长公式 ，都会 带来 繁琐 的运算，致使
注 ｅ为圆锥曲线离心率，ｐ为焦点到相应准线 的距 离，ｐ
点开 口向右 的抛物线 、极点在右焦点的双 曲线；
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线是几何学中的重要曲线，它以同一个圆锥的多边形的几何图形表示某一曲线，由极坐标方程来定义。
一般来说，极坐标方程对于二次曲线是有效的，而对于圆锥曲线，它们也可以描述出圆锥曲线的准确形状。
圆锥曲线的极坐标方程定义如下：r=a/cos(Θ)，其中，r代表曲线的半径，a代表圆心到焦点的距离，Θ代表弧度。
简单来说，圆锥曲线的极坐标方程表示出曲线的圆心到焦点之间的距离，以及曲线经过某一点时，该曲线所弯曲角度的大小。
可以定义曲线形状：当a相同时，随着Θ的变化，距离圆心到焦点之间的关系呈现出一个固定形状，即曲线形状。
圆锥曲线是一种简洁的几何形状，同时它也是一种关联图形式。
一般地，它通常用于绘制球面和椭圆状的几何形状，它们的极坐标方程也十分的相同。
比如，绘制球面时，采用极坐标方程r=a/cos(Θ)，即可表示出曲线的形状，从而在平面图上描绘出球面。
同时，极坐标方程也可以用于绘制椭圆状的几何形状，采用极坐标方程r=a/sin(Θ)，从而在平面图上描绘出具有椭圆形状的几何图形。
另外，圆锥曲线的极坐标方程也可以用于表示正弦、余弦和正切函数，即它们的极坐标方程分别为：r=a sin(Θ)、r=a cos(Θ)和
r=a tan(Θ)。
此外，圆锥曲线的极坐标方程也可以应用于水动力学，用于描述
河流、湖泊等水体的变化。
和其他圆锥曲线应用类似，水体变化也可以表示为r=a/sin(Θ)或r=a/cos(Θ)，即以圆锥曲线的极坐标方程来描述河流、湖泊等水体的变化。
总的来说，圆锥曲线的极坐标方程是几何学中非常重要的概念，它可以用于描述球面、椭圆状几何图形，也可以用于正弦、余弦和正切函数及水动力学等领域。
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。
今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而θρρcos +==p DPOP e ，即θρcos 1e ep -=椭圆（双曲线）的焦参数cb p 2=（极和极线的距离）椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（如右图）其中02>=cb p 是定点F 到定直线的距离， 当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。
引论:（1）若θρcos 1e ep+=当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。
（2）若θρsin 1e ep-=10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。
（3）1sin ep e ρθ=+当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。
整体对比：θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep +=θρsin 1e ep-=θρsin 1e ep +=例题：一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θρcos 3510-=表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
圆锥曲线极坐标方程
圆锥曲线极坐标方程一、知识总结：1、标准形式：1cos epe ρθ=-，其中p 为焦准距（焦点到准线的距离），对于椭圆和双曲线2b p c=，对于抛物线就是那个p ，其实抛物线中p 也表示焦准距。
2、过程：取圆锥曲线的一个焦点（椭圆取左焦点，双曲线取右焦点，抛物线右焦点）为极点,极轴垂直于相应的准线,但与其不相交,建立极坐标系。
注意，该极坐标方程，仅表示双曲线的右支，如果允许0ρ<，则表示两支。
3、关于ρ的正负问题：通常情况下规定0ρ≥，首先，ρ是极径，是长度，小于0没意义，其次，当0ρ>，02θπ≤<时，除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系。
二、推广形式： 1、推广1：1cos epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在右焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向左的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在左焦点的抛物线。
2、推广2：1sin epe ρθ=-：1）当01e <<时，方程表示极点在下焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向上的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在上焦点的双曲线。
3、推广3：1sin epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在上焦点的椭圆；2）当1e =时，方程表示开口向下的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在下焦点的双曲线。
三、几点性质：1、当原点与极点重合，极轴与x 轴正半轴重合，单位长度相同时，对于圆锥曲线标准极坐标方程：1cos epe ρθ=-，与之对应的直角坐标方程为：1）当01e <<时，()22221x c y a b-+= ； 2）当1e =时，222p y p x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；3）当1e >时，()22221x c y a b+-= 。
2、记圆锥曲线的标准形式：1cos epe ρθ=-时：1）公式1：()()20a ρρπ=+；公式2：()()20c ρρπ=-；公式3：b =2）过圆锥曲线的标准极坐标方程易求得过焦点且倾斜角为θ的弦长AB ： 2221cos epAB e θ=-，特别地，对于抛物线，22sin p AB θ=. 四、焦半径公式：1、椭圆：已知(),P x y 在椭圆上，则：12,PF a ex PF a ex =+=-；2、双曲线：1）已知(),P x y 在双曲线右支上，则12,PF ex a PF ex a =+=-； 2）已知(),P x y 在双曲线左支上，则()()12,PF ex a PF ex a =-+=--； 综上，12,PF ex a PF ex a =+=-。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good
圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
）若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=例1过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A 、B 两点，求AB ｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 所以 又由得 注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
(三)圆锥曲线的极坐标方程
直线方程的极坐标形式
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
1、当直线l过极点，即0＝0时，直线l的方程 是什么？
2、当直线l过点M(b, )且平行于极轴时，直线的极 2 坐标方程是什么？ sin b
3、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程。 ρcosθ=a
圆锥曲线的极坐标形式
则有 表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线)
y
F
x
再见
5 B 3、椭圆 的长轴长是____ 3 2 cos
A 3 B 6 C 9 D 12
另解：
O
x
极坐标小结
M ( , )
O
x
设M是平面内一点，极点O与点M的距离 OM 叫做点M的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的xOM叫做点 M的极角，记为。有序数对( , )叫做点 M的极坐标，记做M ( , )
三种圆锥曲线的统一定义为：
平面内，到一个定点（焦点F）和一条定直线 （准线L)的距离之比等于常数（离心率e）的点的轨迹。 若设定点F到定直线L的距离为p，则可求到定点F和定 直线L的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程: 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
的值，使|MN|等于短轴长．
解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系
椭圆的极坐标方程为 设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则
练习3
2 曲线 = 的一条准线方程是 cos 1, 3-2cos 其另一条准线方程是：
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三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系，设圆锥曲线 点，由定义知
A
上任一
K
整理得：
F
B
x
此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 eP 1 e cos
(允许
表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 表示整个双曲线)
y
F
x
练习 1、 已知抛物线的极坐标方程为 =
3 ,则 1- cos
一、复习
1.圆锥曲线： 椭圆、双曲线、抛物线 2.圆锥曲线的统一定义： 平面内，到一个定点（焦点F）和一条定 直线（准线l）的距离之比等于常数（离心率 e）的点的轨迹。
3.
F
L
x
当0<e<1时，方程表 示椭圆，F是左焦点， l是左准线。 当1<e时，方程表示 双曲线，F是右焦点， l是右准线。
F LLeabharlann xLFx
当e=1时，方程表示 抛物线，F是焦点，l 是准线，开口向右。
怎么求圆锥曲线的极坐标方程？
根据圆锥曲线的统一定义，只要求到定点F和 定直线l的距离之比e点的轨迹的极坐标方程. • 为了方便，我们设定点F到定直线l的距离 为p，F在直线l上的射影为K，以F为极点， 以向量KF的方向为极轴的正方向，建立极 坐标系。
抛物线的准线的极坐标方程为：
cos 3
2、书P32T6
2、有一个椭圆，它的极坐标方程是 D 5 5 A、＝ , B、 3－2 cos 3 3 cos 2 3 cos 5 C、 , D、＝ 5 2－ 3 cos