圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==-- 31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩52b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。

根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。

点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。

下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。

（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。

）若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=例1过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A 、B 两点，求AB ｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 所以 又由得 注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。

点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值, 所以弦长都是 ;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正值, 所以弦长也是 ;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值, 所以弦长是 -或 为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用 523cos ρθ=-12(,),(,)33A B ππρρπ+12||AB ρρ=+5580||723cos 23cos()33πππ=+=--+12ρρ+12ρρ+()12-ρρ+12ρρ+变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为6π的直线，交双曲线于A,B 两点，求AB 求AB ｜｜解：附录直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2px PF +=.利用弦长求面积高考题（08年海南卷）过椭圆22154x y +=的焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积． 简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式222||1cos epAB e θ=-求弦长，然后利用公式B 1|B |||sin 2AO S A OF AFO ∆=∠直接得出答案。

变式(2005年全国高考理科)已知点F 为椭圆2212x y +=的左焦点.过点ρ=12(,),(,)66A B ππρπρ+-12||AB ρρ=+11||11)66πππ=++-（）|=4=F 的直线1l 与椭圆交于P 、Q 两点，过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.解析以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：2ρ=设直线1l 的倾斜角θ，则直线2l 的倾斜角为090θ+，由极坐标系中焦点弦长公式知：2||11cos 2PQ θ=-，202||111cos (90)1sin 22MN θθ==-+-用他们来表示四边形的面积1||||2S PQ MN =22111sin cos 24θθ=+2111sin 2216θ=+ 即求2111sin 2216θ+的最大值与最小值由三角知识易知：当sin 21θ=±时，面积取得最小值169；当sin 20θ=时，面积取得最大值2利用弦长公式解决常量问题例一．过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F ，作倾斜角为60的直线l交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，求椭圆的离心率.简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。

设椭圆的极坐标方程为θρcos 1e pe -=则0240cos 1,60cos 1e pe FB e p e FA -=-=，∴21221ep e e p e +⋅=-，解得32=e ；变式求过椭圆23cos ρθ=-的左焦点，且倾斜角为4π的弦长AB 和左焦点到左准线的距离。

解：先将方程ρ=化为标准形式：2311cos 3ρθ=- 则离心率13e =，23ep =，2p ∴=所以左焦点到左准线的距为2。

设125(,),(,)44A B ππρρ，代入极坐标方程，则弦长1222245173cos 3cos44AB ρρππ=+=+=--（3）定值问题例1. 抛物线22(0)y px p =>的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证明：11a b+定值。

解：以焦点F 为极点，以FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为1cos pρθ=-，设(,),(,)A a B b θθπ+将A,B 两点代入极坐标方程，得,1cos 1cos()p pa b θθπ==--+ 则11ab+=1cos 1cos()p p θθπ--++=2p （定值） 点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。

推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有epNF MF 211=+ 例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB 和弦CD,求证11AB CD+为定值。

证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为θρcos 1e ep-=，又设()()112343A ,,B ,+,C ,+,D ,+22ππρθρπθρθρθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则代入可得 222||1cos ep AB e θ=-，222||1sin epAB e θ=-则 2112-e =AB CD 2ep+ 注释。

此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。

注意使用的范围。

推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。

需要以原点为极点建立极坐标方程。

推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。

例三(2007重庆理改编)中心在原点O 的椭圆2213627x y +=，点F 是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点123P ,P ,P 使122331120P FP P FP P FP ===∠∠∠．证明：213111FP FP FP ++为定值，并求此定值． 解析：以点F 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：92cos ρθ=-，设点1P 对应的极角为θ，则点2P 与3P 对应的极角分别为0120θ+、0120θ-，1P 、2P 与3P 的极径就分别是1||FP = 92cos θ-、2||FP =092cos(120)θ-+与3||FP =092cos(120)θ--，因此213111FP FP FP ++=002cos 2cos(120)2cos(120)999θθθ--+--++，而在三角函数的学习中，我们知道00cos cos(120)cos(120)0θθθ+++-=，因此21311123FP FP FP ++=为定值 点睛：极坐标分别表示1||FP 、2||FP 与3||FP ，这样一个角度对应一个极径．就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点． 推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？ 推广2 设123P P P P n 是椭圆上的n 个点，且123N FP ,FP ,FP FP 圆周角等分则n2i=1i1OP ∑也为定值作业（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的焦点1F 作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B 两点，11||2||AF BF =． （1）求椭圆的离心率e ； （2）若15||4AB =，求椭圆方程。