对数函数换底公式

2021-2022学年高一数学必修一第4章

微专题4 换底公式

换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．

一、换底公式的正用

例1 (1)log 29×log 34等于( )

A.14

B.12

C ．2

D ．4 考点 对数的运算

题点 换底公式的应用

答案 D

解析 log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3

＝4. (2)已知log 152＝a ，b ＝log 35，则log 12518＝________.

答案 ab ＋a ＋23b

解析 a ＝log 152＝log 32log 315＝log 32log 35＋1＝log 32b ＋1

， 所以log 32＝a (b ＋1)＝ab ＋a ，

log 12518＝log 318log 3125＝log 3(2×32)log 353

＝log 32＋23log 35＝ab ＋a ＋23b

. 二、换底公式的逆用

例2 计算：log 52×log 727log 513

×log 74＝________. 答案 －34

解析 原式＝log 52log 513

×log 727log 74

＝1

3log log 427＝lg 2lg 13×lg 27lg 4 ＝12lg 2－lg 3×3lg 32lg 2

＝－34. 三、换底公式的基本变形一：log a b ＝1log b a

例3 已知2a ＝5b ＝10，求1a ＋1b

的值． 解 ∵2a ＝10，∴a ＝log 210， ∴1a ＝1log 210

＝lg 2， 5b ＝10，∴b ＝log 510，∴1b ＝1log 510＝lg 5. ∴1a ＋1b

＝lg 2＋lg 5＝1. 四、换底公式的基本变形二：log n m a b ＝m n

log a b 例4 已知log 1627＝a ，则log 916＝________. 答案 32a

解析 ∵log 1627＝a ，∴432log 3＝a ，

∴34log 23＝a ，∴log 23＝43

a ， ∴log 916＝243log 2＝42log 32＝2log 32＝2·1log 23

＝2×34a ＝32a

. 五、解对数方程

例5 若log a b ·log b c ·log c 3＝2，则a 的值为________． 答案 3

解析 ∵log a b ·log b c ·log c 3＝

lg b lg a ·lg c lg b ·lg 3lg c ＝lg 3lg a

＝2. ∴lg 3＝2lg a ＝lg a 2， ∴a 2＝3，解得a ＝3，或a ＝－3(舍去)．

六、证明对数恒等式

例6 证明：(ab )lg a ＋lg b ＝a lg a ·b lg b ·a 2lg b .

证明左边＝a lg a＋lg b·b lg a＋lg b ＝a lg a·a lg b·b lg a·b lg b，

又()lg lg lg lg lg log lg lg lg lg .b b

a a

b b a a b b b b b b b a ⋅⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭ 所以左边＝a lg a ·b lg b ·b lg a ·a lg b ＝a lg a ·b lg b ·a lg b ·a lg b

＝a lg a ·b lg b ·a 2lg b ＝右边． 即原等式成立．