数字信号处理实验6——利用FFT实现快速卷积
北理工数字信号处理实验报告
本科实验报告实验名称：数字信号处理实验实验1 利用DFT 分析信号频谱一、实验目的1.加深对DFT 原理的理解。
2.应用DFT 分析信号频谱。
3.深刻理解利用DFT 分析信号频谱的原理，分析现实过程现象及解决办法。
二、实验原理1、DFT 和DTFT 的关系有限长序列()x n 的离散时间傅里叶变换()j X e ω在频率区间(02)ωπ≤≤的N个等分点{(0),(1),(),(1)}x x x k x N-……上的N 个取样值可以由下式表示：2120()|()()01(21)N jkn j Nk k X e x n eX k k N πωωπ--====≤≤--∑由上式可知，序列()x n 的N 点DFT ()X k ，实际上就是()x n 序列的DTFT 在N 个等间隔频率点{(0),(1),(),(1)}X X X k X N -……上样本()X k 。
2、利用DFT 求DTFT方法1：由()X k 恢复出()j X eω的方法如图2.1所示：图 2.1.由 N 点DFT 恢复频谱DTFT 的流程由图2.1所示流程图可知：01()()()(22)j j nkn j n N n n k X e x n eX k W e N ωωω∞∞∞---=-∞=-∞=⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 由式2-2可以得到12()()()(23)Nj k kx e X k N ωπφω==--∑其中()x φ为内插函数12sin()2()(24)sin()2N j N e N ωωφωω--=•-方法2：然而在实际MATLAB 计算中，上诉插值公式不见得是最好的方法。
由于DFT 是DTFT 的取样值，其相邻的两个频率样本点的间距为2Nπ,所以如果我们增加数据的长度N ，使得得到的DFT 谱线就更加精细，其包络就越接近DTFT 的结果，这样可以利用DFT 来近似计算DTFT 。
如果没有更多的数据，可以通过补零来增加数据长度。
FFT快速卷积课程设计报告
洛阳理工学院课程设计报告课程名称_________数字信号处理_____________ 设计题目_ 用FFT实现快速卷积__ _____ 专业_________通信工程_________________ 班级__________x x x x x __________________ 学号__________xx x xx x ________________ 姓名x x xx完成日期______ 2014年6月27日_________课程设计任务书设计题目：_______用FFT实现快速卷积______________设计内容与要求：FFT的出现，使DFT在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、系统分析与仿真、雷达信号处理、光学、地震及数值分析等各个领域都得到广泛应用。
然而，各种应用一般都以卷积和相关运算为依据。
在实际应用中，为了分析时域离散LTI系统或者序列滤波时，需要计算两个序列的线性卷积。
为了提高运算速度，可以利用FFT来实现。
要求：参考课本上第90页的内容（3.4.1 用DFT计算线性卷积），设计并编写程序来实现重叠相加法计算线性卷积。
课程设计评语成绩：指导教师：_______________年月日目录第1章设计原理 (1)1.1设计思想 (1)1.2计算循环卷积的过程 (1)1.3重叠相加法的图示 (2)第2章设计过程 (3)2.1循环卷积子函数流程图 (3)2.2主函数流程图 (4)2.3循环卷积子函数源程序： (4)2.4主函数源程序： (6)第3章结果与验证 (9)第4章界面设计 (11)第5章分析与总结 (12)参考文献 (13)第1章 设计原理1.1设计思想运用分段处理方法中的重叠相加法计算两个序列的卷积运算。
设一个给定序列是长度为n1的A,另一个导入序列是长度为n2的B,其中B 序列是相对A 序列比较长的，所以可以把B 分为和A 一样长的若干段段，即B 分后每一小段长度为n1。
(完整word版)数字信号处理上机实验答案(第三版,第十章)
第十章 上机实验数字信号处理是一门理论和实际密切结合的课程，为深入掌握课程内容，最好在学习理论的同时，做习题和上机实验。
上机实验不仅可以帮助读者深入的理解和消化基本理论，而且能锻炼初学者的独立解决问题的能力。
本章在第二版的基础上编写了六个实验，前五个实验属基础理论实验，第六个属应用综合实验。
实验一 系统响应及系统稳定性。
实验二 时域采样与频域采样。
实验三 用FFT 对信号作频谱分析。
实验四 IIR 数字滤波器设计及软件实现。
实验五 FIR 数字滤波器设计与软件实现实验六 应用实验——数字信号处理在双音多频拨号系统中的应用任课教师根据教学进度，安排学生上机进行实验。
建议自学的读者在学习完第一章后作实验一；在学习完第三、四章后作实验二和实验三；实验四IIR 数字滤波器设计及软件实现在。
学习完第六章进行；实验五在学习完第七章后进行。
实验六综合实验在学习完第七章或者再后些进行；实验六为综合实验，在学习完本课程后再进行。
10.1 实验一: 系统响应及系统稳定性1.实验目的（1）掌握 求系统响应的方法。
（2）掌握时域离散系统的时域特性。
（3）分析、观察及检验系统的稳定性。
2.实验原理与方法在时域中，描写系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，在频域可以用系统函数描述系统特性。
已知输入信号可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应，本实验仅在时域求解。
在计算机上适合用递推法求差分方程的解，最简单的方法是采用MA TLAB 语言的工具箱函数filter 函数。
也可以用MATLAB 语言的工具箱函数conv 函数计算输入信号和系统的单位脉冲响应的线性卷积，求出系统的响应。
系统的时域特性指的是系统的线性时不变性质、因果性和稳定性。
重点分析实验系统的稳定性，包括观察系统的暂态响应和稳定响应。
系统的稳定性是指对任意有界的输入信号，系统都能得到有界的系统响应。
或者系统的单位脉冲响应满足绝对可和的条件。
数字信号处理课程设计--用fft实现快速卷积--大学毕业设计论文
洛阳理工学院课程设计报告课程名称数字信号处理课程设计设计题目用FFT实现快速卷积专业通信工程班级学号姓名完成日期2015.06.15课程设计任务书设计题目：用FFT实现快速卷积设计内容与要求：FFT的出现，使DFT在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、系统分析与仿真、雷达信号处理、光学、地震及数值分析等各个领域都得到广泛应用。
然而，各种应用一般都以卷积和相关运算为依据。
在实际应用中，为了分析时域离散LTI系统或者序列滤波时，需要计算两个序列的线性卷积。
为了提高运算速度，可以利用FFT来实现。
要求：参考课本上第90页的内容（3.4.1 用DFT计算线性卷积），设计并编写程序来实现重叠相加法计算线性卷积。
课程设计评语成绩：指导教师：_______________年月日目录第1章概述 (1)1.1Matlab简介 (1)1.2设计目的 (2)1.3设计原理 (2)1.3.1算法产生背景 (2)1.3.2算法基本思想 (2)第2章程序设计 (5)第3章分析与测试 (7)3.1循环卷积设计 (7)3.2 线性卷积设计 (9)3.3 设计结果 (11)第4章心得体会 (12)参考文献 (13)第1章概述随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和技术领域，数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。
任意一个信号都具有时域与频域特性，信号的频谱完全代表了信号，因而研究信号的频谱就等于研究信号本身。
通常从频域角度对信号进行分析与处理，容易从信号的特性获得更加深入的了解。
因此，信号的频谱分析是数字信号处理技术中一种较为重要的工具。
1.1 Matlab简介Matlab语言是当今国际上科学界最具影响力、也是最有活力的软件。
它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。
它是由美国Math Works 公司于1982年推出的软件产品，取名来源于Matrix Laboratory,简称“Matlab”。
数字信号处理中的快速算法实现技巧
数字信号处理中的快速算法实现技巧数字信号处理是现代通信、音频处理等领域中不可或缺的重要技术。
在数字信号处理中，快速算法的实现技巧是非常关键的，它能够显著提高算法的执行效率和计算速度。
本文将介绍几种在数字信号处理中常用的快速算法实现技巧。
一、快速傅里叶变换（FFT）傅里叶变换是数字信号处理中最关键的数学工具之一。
而快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算傅里叶变换的方法。
它通过巧妙地利用对称性和重叠计算的思想，将原本需要O(N^2)的计算复杂度降低到O(NlogN)的复杂度，极大地提高了计算速度。
在实际的快速傅里叶变换实现中，有几个关键的技巧需要注意。
首先是蝶形运算，它是FFT中最基本的计算单元。
通过合理地组织数据的顺序，使得蝶形运算可以被高效地实现。
其次是位翻转技巧，它用于优化数据的存储和访问顺序，提高内存的访问效率。
最后是并行计算技巧，利用现代计算机的多核心特性，同时进行多个蝶形运算，进一步提高计算速度。
二、快速卷积运算卷积运算是数字信号处理中常见的操作，它用于滤波、匹配等算法中。
传统的卷积运算需要进行大量的乘法和累加运算，计算复杂度较高。
而快速卷积运算通过巧妙地利用傅里叶变换的性质，将卷积运算转化为对应频域上的乘法运算，大大降低了计算复杂度。
在实际的快速卷积运算实现中，需要注意几个关键的技巧。
首先是零填补技巧，即在进行傅里叶变换时，将信号和滤波器的长度进行零填补，使得它们的长度相等。
其次是频域乘法技巧，即在频域上进行乘法运算，再将结果进行反变换得到最终的卷积结果。
最后是快速傅里叶变换的优化技巧，在实际计算中，可以通过选择合适的傅里叶变换算法和参数，进一步提高计算速度。
三、快速运算矩阵乘法矩阵乘法是数字信号处理中常用的运算，它用于滤波器系数的更新、信号的变换等操作。
传统的矩阵乘法需要进行大量的乘法和累加运算，计算复杂度较高。
而快速运算矩阵乘法通过优化乘法的顺序和重新组织数据，将计算复杂度降低到更低的水平。
北京理工大学数信实验报告
实验1 利用DFT 分析信号频谱一、实验目的1、加深对DFT 原理的理解。
2、应用DFT 分析信号的频谱。
3、深刻理解利用DFT 分析信号频谱的原理，分析实现过程中出现的现象及解决方法。
二、实验设备与环境计算机、MATLAB 软件环境。
三、实验基础理论1.DFT 与DTFT 的关系：有限长序列的离散时间傅里叶变换(e )j X ω 在频率区间(02)ωπ≤≤ 的N 个等间隔分布的点2(0k N 1)kk N πω=≤≤-上的N 个取样值可以有下式表示：2120(e )|(n)e(k)(0k N 1)N jkn j Nkk NX x X πωπω--====≤≤-∑由上式可知，序列(n)x 的N 点DFT (k)X ,实际上就是(n)x 序列的DTFT 在N 个等间隔频率点2(0k N 1)kk N πω=≤≤-上样本(k)X 。
2.利用DFT 求DTFT方法1：由(k)X 恢复出(e )j X ω的方法如下：由流程知：11(e )(n)e[(k)W]e N j j nkn j nNn n k X x X Nωωω∞∞----=-∞=-∞===∑∑∑继续整理可得到：12()(k)()Ni k kx e X N ωπφω==-∑其中(x)φ为内插函数：sin()2()sin()2N N ωφωω=方法2：实际在MATLAB 计算中，上述插值运算不见得是最好的办法。
由于DFT 是DTFT 的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为2N π，所以如果我们增加数据的长度N ，使得到的DFT 谱线就更加精细，其包络就越接近DTFT 的结果，这样就可以利用DFT 计算DTFT 。
如果没有更多的数据，可以通过补零来增加数据长度。
3.利用DFT 分析连续信号的频谱采用计算机分析连续时间信号的频谱，第一步就是把连续信号离散化，这里需要进行两个操作：一是采样，二是截断。
对于连续时间非周期信号(t)a x ,按采样间隔T 进行采样，阶段长度M ，那么：1(j )(t)e(nT)e M j tj nTa a a n X x dt T x -∞-Ω-Ω-∞=Ω==∑⎰对(j )a X Ω 进行N 点频域采样，得到：2120(j )|(nT)e(k)M jkn Na a M kn NTX T x TX ππ--Ω==Ω==∑采用上述方法计算信号(t)a x 的频谱需要注意如下三个问题：（1）频谱混叠；（2）栅栏效应和频谱分辨率； （3）频谱泄露。
数字信号处理实验 FFT变换及其应用
实验报告格式
图1.1 p=8，q=2 图1.2 p=8,q=4 图1.3 p=8,q=8
图1.4 q=8,p=13
图1.5 q=8,p=14
从上面的图中，根据p和q值相应的变化，可以看出：
，改变q的值：随着q的增大，经过傅里叶变化后的图像显示值的变化比较缓慢，幅度谱变化随着q的变大而变大，但相位的变化较不同。
，随着p的增大，时域信号幅值变换的比较缓慢。
图1.6 a=0.1,f=0.0625 图1.7 a=0.1,f=0.4375
图1.8a=0.1, f=0.5625
a=0.1，f=0.625，检查谱峰出现的位置是否正确，注意频谱的形式，绘制频谱特性曲线。
f=0.4375 f=0.5625，观察在这两种情况下频谱的形状和普峰出现的位置，有无混淆和泄漏现象发生？说明产生现象的发生
图1.9
FFT实现卷积运算
x1=ones(1,10);
x2=8.*sin(0.5.*n.*pi+4);
x3=0.8.*exp(3*n);
图1.10实现卷积
x1=ones(1,10);
x2=8.*sin(0.5.*n.*pi+4);
图1.11
从分别使用FFT和conv来实现卷积运算，在实验结果上可以看出，的结果是一样的。
三．一个综合性例子
图1.12
运行结果：
图1.13 正弦波图1.14正弦波图1.15 方波
图1.16 方波图1.17 三角波图1.18 三角波。
数字信号处理实验报告_完整版
实验1 利用DFT 分析信号频谱一、实验目的1.加深对DFT 原理的理解。
2.应用DFT 分析信号的频谱。
3.深刻理解利用DFT 分析信号频谱的原理，分析实现过程中出现的现象及解决方法。
二、实验设备与环境 计算机、MATLAB 软件环境 三、实验基础理论1.DFT 与DTFT 的关系有限长序列 的离散时间傅里叶变换 在频率区间 的N 个等间隔分布的点 上的N 个取样值可以由下式表示：212/0()|()()01N jkn j Nk N k X e x n eX k k N πωωπ--====≤≤-∑由上式可知，序列 的N 点DFT ,实际上就是 序列的DTFT 在N 个等间隔频率点 上样本 。
2.利用DFT 求DTFT方法1：由恢复出的方法如下：由图2.1所示流程可知：101()()()N j j nkn j nN n n k X e x n eX k W e N ωωω∞∞----=-∞=-∞=⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 由上式可以得到：IDFTDTFT( )12()()()Nj k kX e X k Nωπφω==-∑ 其中为内插函数12sin(/2)()sin(/2)N j N x eN ωωφω--= 方法2：实际在MATLAB 计算中，上述插值运算不见得是最好的办法。
由于DFT 是DTFT 的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为2π/N ，所以如果我们增加数据的长度N ，使得到的DFT 谱线就更加精细，其包络就越接近DTFT 的结果，这样就可以利用DFT 计算DTFT 。
如果没有更多的数据，可以通过补零来增加数据长度。
3.利用DFT 分析连续信号的频谱采用计算机分析连续时间信号的频谱，第一步就是把连续信号离散化，这里需要进行两个操作：一是采样，二是截断。
对于连续时间非周期信号,按采样间隔T 进行采样，阶段长度M ，那么：1()()()M j tj nT a a a n X j x t edt T x nT e ∞--Ω-Ω=-∞Ω==∑⎰对进行N 点频域采样，得到2120()|()()M jkn Na a M kn NTX j T x nT eTX k ππ--Ω==Ω==∑因此，可以将利用DFT 分析连续非周期信号频谱的步骤归纳如下： （1）确定时域采样间隔T ，得到离散序列（2）确定截取长度M ，得到M 点离散序列,这里为窗函数。
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数字滤波器来说，除了可以通过数字网络来实现外，也可以通过应用
通过快速傅里叶变换(简称
当 且 出。
长度很长时，通常不允许等
全部取样齐后再进行卷积，否则会使输出相对于 太大， 要补上太多的零点，很不经济， 分成长度与 相
输入有较长的延时。另外，若
的计算时间也要很长。为此，采用分段卷积的方法，即把
仿的一段段，分别求出每段卷积的结果，然后用相应的方式把它们结合起来，便是总的输
数字信号处理实验 ——利用FFT实现快速卷积
通信中英2班 潘奕铭(16086214)
实验目的
加深理解 信号处理。 进一步掌握圆周卷积和线性卷积两者之间的关系。 在实现数字滤波（或快速卷积）中的重要作用，更好地利用 进行数字
基本原理
数字滤波器根据系统的单位冲激响应 应( 对于 现： 粗略地说，这种方法就是先将输入信号 然后再和 将乘积 。 滤波器的频响取样值 通过 相乘， 变换为它的频谱取样值 )还原为时域序列，即得到输出 ， 可事先存放在存储器中，最后再 )系统和无限长单位冲激响应( 是有限长还是无限长可以分为有限长单位冲激响 )系统。 来实
15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.
if all(imag(xn)==0)&(all(imag(hn)==0)) yn=real(yn); end ny=0:length(yn)-1; %画图 stem(ny,yn,'.'); ylabel('yn'); title('Used by FFT');
, 波形图：
：
程序清单：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. clear all; %定义函数 n=[0:1:16]; m=[0:1:17]; N1=length(n); N2=length(m); xn=(1/3).^n hn=(-0.5).^n;
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 1FFT XK=fft(xn,N); HK=fft(hn,N); YK=XK.*HK; yn=ifft(YK,N); if all(imag(xn)==0)&(all(imag(hn)==0)) yn=real(yn); end ny=0:length(yn)-1; %画图 stem(ny,yn,'.'); ylabel('yn'); title('Used by FFT');
hn=[1,-1,-1,1] %线性卷积 y1n=conv(xn,hn) ny1=0:length(y1n)-1 %FFT XK=fft(xn,7); HK=fft(hn,7); YK=XK.*HK; y2n=ifft(YK,7); if all(imag(xn)==0)&(all(imag(hn)==0)) y2n=real(y2n); end ny2=0:length(y2n)-1; %画图对比 subplot(2,1,1); stem(ny1,y1n,'.'); ylabel('y1n'); title('Used by Conv'); subplot(2,1,2); stem(ny2,y2n,'.'); ylabel('y2n'); title('Used by FFT');
21. 22.
ylabel('yn'); title('Used by FFT');
, 波形图：
：
程序清单：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. clear all; %定义函数 n=[0:1:16]; m=[0:1:17]; N1=length(n); N2=length(m); xn=cos(2*pi/N1*n); hn=(-0.5).^n; N=N1+N2-1; %FFT XK=fft(xn,N); HK=fft(hn,N); YK=XK.*HK; yn=ifft(YK,N);
实验内容
给定两个序列 线性卷积；其次用 波形图： , 。首先直接在时域计算两者的 快速计算两者的线性卷积，验证结果。
程序清单：
1. 2. 3. clear all; xn=[2,1,1,2]
4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
结论：上下两幅图对比可知两者结果一致，利用 应用 , , 波形图： 可取 可自定，本实验 ：
能更快速地计算两者的线性卷积。
实现数字滤波器的通用程序。其中，数字滤波器的冲激响应为
程序清单：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. clear all; %定义函数 n=[0:1:16]; m=[0:1:17]; N1=length(n); N2=length(m); xn=ones(1,N1); hn=(-0.5).^n; N=N1+N2-1; %FFT XK=fft(xn,N); HK=fft(hn,N); YK=XK.*HK; yn=ifft(YK,N); if all(imag(xn)==0)&(all(imag(hn)==0)) yn=real(yn); end ny=0:length(yn)-1; %画图 stem(ny,yn,'.');