三角形的三线及面积(习题)
三角形中的有关线段典型练习题
祖π数学新人教八年级上册
之精讲精练
【题型7】三角形的“三线”综合
三角形的三条高的交点一定在（）
A.三角形内部
B.三角形的外部
C.三角形的内部或外部
D.以上答案都不对【变式训练】
1.三角形的角平分线、中线、高线都是（）
A.线段
B.射线
C.直线
D.以上都有可能
2.下列说法正确的是（）
A.三角形三条高都在三角形内
B.三角形三条中线相交于一点
C.三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D.三角形的角平分线是射线
3.至少有两条高在三角形内部的三角形是（）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.都有可能
4.不一定在三角形内部的线段是（）
A.三角形的角平分线
B.三角形的中线
C.三角形的高
D.三角形的中位线
5.可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是（）
A.三角形的高
B.三角形的角平分线
C.三角形的中线
D.无法确定
6.在三角形中，交点一定在三角形内部的有（）
①三角形的三条高线②三角形的三条中线③三角形的三条角平分线
④三角形的外角平分线．
A.①②③④
B.①②③
C.①④
D.②③
7.如果一个三角形三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
1。
9.1.2三角形——三角形的三线
9.1.2三角形——三角形的三线在我们的数学世界中，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而三角形的三线——中线、高线和角平分线，更是理解三角形性质和解决相关问题的关键。
先来说说三角形的中线。
中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。
一个三角形有三条中线，并且这三条中线都相交于一点，这个点被称为三角形的重心。
为什么中线如此重要呢？假如你把一个三角形用木板做出来，然后通过中线悬挂起来，你会发现它能够保持平衡。
这是因为中线把三角形的面积分成了相等的两部分。
举个例子，有一个三角形 ABC，其中 D 是 BC 的中点，那么 AD 就是三角形 ABC 的一条中线。
通过中线 AD，我们可以得出三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积是相等的。
而且，如果我们知道了三角形某一边的长度和对应的中线长度，还能计算出这个三角形的面积。
接下来是三角形的高线。
高线，简单来说，就是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是高线。
由于三角形有三个顶点，所以相应地有三条高线。
这三条高线也相交于一点，这个点被称为三角形的垂心。
比如在三角形 ABC 中，过 A 点作 BC 的垂线，垂足为 E，那么线段 AE 就是三角形 ABC 以 BC 为底边的高线。
高线在计算三角形的面积时起着至关重要的作用，因为三角形的面积等于底乘以高除以 2。
同时，高线还能帮助我们判断三角形的类型，比如如果一个三角形的三条高线都在三角形内部，那么这个三角形就是锐角三角形；如果有一条高线在三角形的外部，那它就是钝角三角形。
最后，我们来谈谈三角形的角平分线。
角平分线是指三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
每个三角形同样有三条角平分线，并且这三条角平分线也相交于一点，这个点被称为三角形的内心。
比如说在三角形 ABC 中，角 A 的平分线与 BC 交于点 F，那么线段 AF 就是角 A 的角平分线。
角平分线有一个很重要的性质，就是角平分线上的点到角两边的距离相等。
三角形的三线分类练习
三角形三线精选习题一、高线1、如图:（1）在△ABC中，BC边上的高是______．(2)在△AEC中,AE边上的高是_________ ．（3）在△FEC中，EC边上的高是_________ ．(4)若AB=CD=2cm，AE=3cm,则S= _________ cm2,CE= _________ cm．△AEC1题图2、（1）观察图形，指出图中出现了哪些高线？(2）图中存在哪些相等角？2题图注意基本图形：双垂直图形．3、如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．（1）试说明CD是△ABC的高；(2)如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．3题图12、如图在△ABC中，CD是高，点E、F、G分别在BC、AB、AC上，且EF⊥AB，∠1=∠2，试判断DG与BC的位置关系？并说明理由．二、中线4、如图，在三角形ABC中,AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？注意常考题型：周长差问题．5、如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm,求△ABD和△ADC的周长的差．11、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB 和AC的长．13、如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1)∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少?注意常考知识点：中线等分面积．三、角平分线14、已知△ABC中，∠ACB=90°,CD为AB边上的高，BE平分∠ABC,分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．15、如图△ABC中，∠A=20°,CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高,又有∠EDA=∠CDB,求∠B的大小．12、（2011•湖州）如图：CD平分∠ACB，DE∥AC且∠1=30°，则∠2= 度．23．、如图，BE 、CD 相交于点A ，CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 的平分线。
三角形的三线及面积(等分点转移面积)(北师版)
学生做题前请先回答以下问题问题1：如图，已知△ABC，点D是BC边上的一点，且BD:DC=1:3，则S△ABD:S△ADC=_______．你是怎么思考的？问题2：根据三角形面积公式可以推出：两个三角形的底相等时，面积比等于________之比；高相等时，面积比等于________之比．问题3：如图，已知m∥n，则S△ABP=S△ABC．理由是什么？你是怎么思考的？问题4：如图，已知△ABC，在平面内找一点P，使S△ABP=S△ABC，请找出所有满足条件的点P．你是怎么思考的？三角形的三线及面积（等分点转移面积）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，AC的中点，且，则△DEF的面积为( )A.1B.2C.4D.82.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在AD上，AE=2DE，若△ABE的面积是4，则△ABC 的面积是( )A.8B.10C.12D.153.如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD上的一点，若BD：CD=2：3，DE：AE=1：4，△ABC的面积是8，则△DEC的面积为( )A. B.1C. D.4.如图，点D在BC上，点E在AD上，且BD=CD，，若△ABE的面积是6，则△ABC的面积为( )A.6B.12C.18D.245.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若S△AOD=5，S△COD=4，S△COB=16，则四边形ABCD的面积为( )A.20B.35C.41D.456.如图，在△ABC中，已知D，E分别是边BC，AD上一点，点F是CE的中点，且，，若，则阴影部分的面积为( )A.1B.2C. D.7.如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，D是AC的中点，AE与BD交于点F，且，若，则下列说法错误的是( )A.CE：BE=4:1B.C. D.8.如图，设E，F分别是△ABC的边AC，AB上的点，线段BE，CF交于点D．若△BDF，△BCD，△CDE的面积分别是6，14，14，则下列说法正确的是( )A. B.C. D.。
万点千题 解三角形的三线两圆及面积问题
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2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．证明：由AD =12(AB +AC )，⇒AD 2=14(AB +AC )2=14AB 2+14AC 2+12AB ACcos A ，∴4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．(二)角平分线角平分线定理：如图，在ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，则AB AC =BDCD．证法1在ΔABD 中，AB sin ∠ADB =BDsin ∠BAD ，在ΔACD 中，AC sin ∠ADC =CD sin ∠CAD，∴AB AC =BDCD ．证法2该结论可以由两三角形面积之比得证，即S ΔABD S ΔACD =AB AC =BDCD ．(三)高高的性质：h 1，h 2，h 3分别为ΔABC 边a ，b ，c 上的高，则h 1:h 2:h 3=1a :1b :1c =1sin A :1sin B :1sin C求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．(四)外接圆过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．外接圆半径的计算：R =a 2sin A =b 2sin B =c2sin C．外接圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =abc4R=(R 为△ABC 外接圆半径)． (五)内切圆与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．内切圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =12(a +b +c )·r (r 为△ABC 内切圆半径)，并可由此计算r ．二、【题型突破】(一)三线1.△ABC 中，AC =7，BC =2，B =60°，则BC 边上的高等于()A ．32B ．332C ．3+62D ．3+3942.在△ABC 中，若AB =4，AC =7，BC 边的中线AD =72，则BC =．μθημαz ︱e iπ+1=0微信公众号：数学史话3.在△ABC 中，B =120°，AB =2，A 的角平分线AD =3，则AC =．4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C =125，a =b =13，BC 边上的中点为D ，则sin ∠BAC =，AD =．5.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，BC 边上的中线长为22，高线长为3，且b tan A =(2c -b )tan B ，则bc 的值为．6.已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为．7.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为S ，且a =1，4S =b 2+c 2-1，则△ABC 外接圆的面积为()A ．4πB ．2πC ．πD ．π28.设△ABC 内切圆与外接圆的半径分别为r 与R ，且sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4，则cos C =；当BC=1时，△ABC 的面积为．9.在△ABC 中，D 为边AC 上一点，AB =AC =6，AD =4，若△ABC 的外心恰在线段BD 上，则BC =．10.已知△ABC 的外接圆半径为R ，且满足2R (sin 2A -sin 2C )=(2a -b )·sin B ，则△ABC 面积的最大值为．(二)计算三角形的面积三角形面积问题的题型及解题策略三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面数学︱数是万物的本原-毕达哥拉斯积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．1.在△ABC 中，A =60°，AC =4，BC =23，则△ABC 的面积等于．2.△ABC 的内角内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若b =6，a =2c ，B =π3，则△BDC 的面积是．3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b sin C +c sin B =4a sin B sin C ，b 2+c 2-a 2=8，则△ABC 的面积为．4.(4)(2017·浙江)已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连接CD ，则△BDC 的面积是，cos ∠BDC =．5.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则△ABC 的面积S =．6.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C =3a cos B -c cos B ，BA ·BC=2，则△ABC 的面积为．7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin (B +A )+sin (B -A )=2sin2A ，且c =6，C =π3，则△ABC 的面积是()A ．3B ．33C ．3或1D ．3或338.已知四边形ABCD 中，AB =2，BC =CD =4，DA =6，且D =60°，试求四边形ABCD 的面积．μθημαz ︱e iπ+1=0微信公众号：数学史话ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZZZZZZZZZZZ ZZ ZZ 三角形的三线两圆及面积问题一、必备知识总结(一)中线中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍．即：如图，在ΔABC 中，D 为BC 中点，则AB 2+AC 2=12BC 2+2AD 2．证明：在ΔABD 中，cos B =AB 2+BD 2-AD 22AB ⋅BD，在ΔABC 中，cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC ．∴AB 2+AC 2=12BC 2+2AD 2．另外：已知两边及其夹角也可表述为：4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．证明：由AD =12(AB +AC )，⇒AD 2=14(AB +AC )2=14AB 2+14AC 2+12AB ACcos A ，∴4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．(二)角平分线角平分线定理：如图，在ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，则AB AC =BDCD．证法1在ΔABD 中，AB sin ∠ADB =BDsin ∠BAD ，在ΔACD 中，AC sin ∠ADC =CD sin ∠CAD，∴AB AC =BDCD ．证法2该结论可以由两三角形面积之比得证，即S ΔABD S ΔACD =AB AC =BDCD ．(三)高高的性质：h 1，h 2，h 3分别为ΔABC 边a ，b ，c 上的高，则h 1:h 2:h 3=1a :1b :1c =1sin A :1sin B :1sin C求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．(四)外接圆过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．外接圆半径的计算：R =a 2sin A =b 2sin B =c2sin C．外接圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =abc4R=(R 为△ABC 外接圆半径)． (五)内切圆与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．内切圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =12(a +b +c )·r (r 为△ABC 内切圆半径)，并可由此计算r ．二、【题型突破】1.已知在△ABC 中，c =2b cos B ，C =2π3．(1)求B 的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长度．①c =2b ；②周长为4+23；③面积为S △ABC =334．2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b 2=(b 2+c 2-a 2)(1-tan A )．数学︱数是万物的本原-毕达哥拉斯(1)求角C ；(2)若c =210，D 为BC 的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度．条件①：△ABC 的面积S =4且B >A ，条件②：cos B =255．3.已知函数f (x )=sin 2x -cos 2x +23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )=2，c =5，cos B =17，求△ABC 中线AD 的长．4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2-a 2=bc ．(1)求角A 的大小；(2)若a =3，求BC 边上的中线AM 的最大值．5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2-a 2=bc ．(1)求角A 的大小；(2)若a =3，求BC 边上的中线AM 的最大值．6.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C +3a sin C -b -c =0．(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B =17，AD =1292，求△ABC 的面积．7.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2-(b -c )2=(2-3)bc ，sin A sin B =cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7．(1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C +a sin A =b sin B +c sin C ．(1)求A ；(2)设D 是线段BC 的中点，若c =2，AD =13，求a ．9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m =(a +b ，sin A -sin C )，向量n =(c ，sin A -sin B )，且m ∥n ．(1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD =3，求a +2c 的最大值及此时△ABC 的面积．10.(2015·全国Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C；(2)若AD =1，DC =22，求BD 和AC 的长．11.如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线，已知BC =1，且cos ∠BCD =-35．(1)若AC 平分∠BCD ，且AB =2，求AC 的长；μθημαz ︱e iπ+1=0(2)若∠CBD =45°，求CD 的长．12.已知f (x )=12sin x +π6 cos x -3，x ∈0，π4．(1)求f (x )的最大值、最小值；(2)CD 为△ABC 的内角平分线，已知AC =f (x )max ，BC =f (x )min ，CD =22，求C ．13.已知函数f (x )=3sin (2018π-x )sin 3π2+x -cos 2x +1．(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )=32，AD =2BD =2，求cos C ．14.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =-17．(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．15.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2+b 2=λab ．(1)若λ=6，B =5π6，求sin A ；(2)若λ=4，AB 边上的高为3c6，求C ．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a +b )cos C +c cos B =0．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积S =83，其外接圆的半径R =4213，求△ABC 的周长．17.已知△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B -sin 2A )=(b -c )sin C ，c =3．(1)求A ；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD =192，求△ABC 的面积．18.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足：sin A -sin B +sin C sin C =sin Bsin A +sin B -sin C．(1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．19.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列．(1)若1tan A +1tan C =233，求角B 的值；(2)若△ABC 外接圆的面积为4π，求△ABC 面积的取值范围．20.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m =(2a -c ，cos C )，n =(b ，cos B )，m ∥n ．(1)求角B 的大小；(2)若b =1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径．数学︱数是万物的本原-毕达哥拉斯。
(2021年整理)三角形的三线练习题
三角形的三线练习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角形的三线练习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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三角形的中线、角平分线和高一、填空.1．一个三角形有______条中线，______条角平分线，______条高.2．在一个三角形中，有两条高就是三角形的边,这个是_______三角形。
3．在一个三角形中，有两条高在三角形的外部，这个是_______三角形.4．三角形的角平分线、中线、高都是____（填“直线”、“射线”或“线段”)。
二、选择题.5．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都不对6．下列语句正确的是（ )A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部B．直角三角形的高只有一条C．三角形的高至少有一条在三角形内部D．钝角三角形的三条高都在三角形外部7．三角形的三条角平分线的交点在三角形的（）A．内部 B．外部 C．一条边上 D．都可能8．三角形的三条中线的交点在三角形的( ）A．内部 B．外部 C．一条边上 D．都可能9．三角形的一条高是一条（）A．直线 B．垂线 C．垂线段 D．射线三、作图题。
10．画出下面三角形的三条高.（标出每一条高的垂足）D C B A 图2C 图1B C D11．画出下面三角形的三条中线。
12．画出下面三角形的三条角平分线。
13．如右图所示：（1）∵AD 是△ABC 的角平分线∴______=______=21_______(2）∵∠BAD=∠DAC∴AD 是△ABC 的________线14．如图（2)所示：(1）∵EC 是△ABC 的角平分线∴______=______=21_______（2）∵AD 是△ABC 的中线∴______=______=21_______（3）∵∠ACE=∠ECB∴EC 是△ABC 的________线（4)∵BD=DC∴AD 是△ABC 的________线15．如图（1）所示:（1）∵AD 是△ABC 的高∴______ = ______ = 90°(2）∵∠ADB = 90°B∴AD是△ABC的_________。
三角形三线练习题
三角形三线练习题三角形是几何学中的一个重要概念，常常涉及到许多与三角形相关的问题。
其中一个基本的概念就是三角形的三条特殊线段，分别是垂直线、中位线和角平分线。
掌握和理解这三条线段的性质对于解决三角形相关题目非常有帮助。
在这篇文章中，我将为大家提供一些三角形三线的练习题，帮助大家加深对这些线段的认识和运用。
第一题：已知三角形ABC，AD是BC的中点，AE是BC的角平分线，EF是AB的垂直线段。
若DE的长度为6cm，求BC的长度。
解析：首先，根据题意，我们可以得到以下信息：- AD是BC的中点，即AD=DC。
- 公式角平分线的性质，我们可以得到AE:EC = AB:BC。
- 由垂直线的性质，我们可以得到EF ⊥ AB。
设BC的长度为x，则AD=DC=x/2。
根据角平分线的性质，我们可以得到AE：EC=AB:BC=AD:DC=1:1/2=2:1。
由此，我们可以设AE的长度为2y，EC的长度为y。
由垂直线的性质，我们可以得到EF ⊥ AB，即EF和AB垂直相交。
根据勾股定理，我们可以得到EF²+AF²=AE²，即EF²+y²=(2y)²，化简得到EF²+y²=4y²。
又由题意可知，DE是垂直线EF的一条段，即DE ⊥ EF。
因此，我们可以得到DE和EF垂直相交，那么我们可以运用勾股定理，得到EF²+DE²=DF²，即EF²+6²=DF²。
由此，我们得到EF²+6²=DF²=EF²+y²。
将上面两个等式相等，得到4y²=EF²+y²，整理得到3y²=EF²，化简可得EF = √3y。
又根据垂直线的性质，我们可以得到EF²+DF² = ED²。
(完整版)等腰三角形三线合一专题练习[1]
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等腰三角形三线合一专题训练1例1 如图，四边形ABCD中，AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上。
求BC=AB+DC 。
变 1 如图，AB // CD，/ A = 90° AB = 2, BC = 3, CD = 1, E 是AD 边中点。
求证：CE丄BE。
变2：如图，四边形ABCD中，AD / BC, E是CD上一点，且AE、BE分别平分/ BAD、/ ABC.(1)求证：AE丄BE; (2)求证：E是CD的中点；(3)求证：AD+BC=AB.A n变3:\ ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM丄DN分别交AB、AC 于M、N，求证：（1）DM = DN。
A⑵若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM和DN有何数量关系。
|\/|⑴已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF , EF交BC于点D .求证：DE=DF .⑵已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点. 求证：BE=CF .利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点，PC L AB于D, PEL AC于E, ?CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？变1若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为（）A 17B 22C 17 或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律1 1例1.在△ ABC中，AB=AC /仁一 / ABC / 2= —/ ACB BD与CE相交于点0,如图，/ B0C勺大小2 2与/A的大小有什么关系？1 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ BOC WZ A大小关系如何？3 31 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与Z A大小关系如何?n n会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC —腰上的中线BD?各这个等腰三角形周长分成15和6两部分,利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA PB PC, ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP 连结CQ （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.2）若PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断△ PQC的形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD^^ ABC的高，AB=AC △ ABC周长为20cm,A ADC的周长为14cm,求AD的长。
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三角形的三线及面积（习题）
➢例题示范
例1：已知在4×4的正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为__________个．
【思路分析】
连接AB，则AB作为△ABC的底，要使△ABC的面积为1，利用同底等高，即平行转移面积即可．具体操作：
①先在AB的一侧找一个点C，使△ABC的面积为1，过点C作AB的平行线；
②再在AB的另一侧找一个点C，使△ABC的面积为1，过点C作AB的平行线．如图所示：
共6个．
➢巩固练习
1.如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得
OA=15米，OB=10米，则A，B间的距离不可能是（）
A．20米B．15米C．10米D．5米
2. 3. 在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形中，有两条高在三角形外部的是
（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形
D ．都有可能
4. 如图，∠ABC =∠ACB ，AD ，BD ，CD 分别平分△ABC 的外角∠EAC ，内角
∠ABC ，外角∠ACF ．以下结论：①AD ∥BC ；②∠ACB =2∠ADB ；③∠ADC =90°-∠ABD ；④∠BDC =
∠BAC ．其中正确的有______________（填序号）．
F E
D
C B
A
第4题图
第5题图
5. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸
中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个．
6.
7. 如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，
AD ，CE 的中点，且S △ABC =4
cm 2，那么阴影部分的面积是_________．
8. 已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，BD =2CD ，
AD ，BE ，CF 交于一点G ，S △BGD =8，S △AGE =3，那么△ABC 的面积是____________．
A
E
F G
9.
10. 11. 如图所示，在△ABC 中，点D 是AB 的中点，点E 在边BC 上，CE =2BE ，
若△ABC 的面积为6，则△BDE 的面积是____．
12.
部分的面积是______________．
【参考答案】
1. D
2. C
3. B
4.①②③
5. 5
6.8
7. 1 cm²
8.30
9.18
10.6 2
11.1
12.6 cm²。