§3. 用方程的系数判别二次曲线的类型和不变量
二次曲线
二次曲线- 二次曲线二次曲线- 正文也称圆锥曲线或圆锥截线，是直圆锥面的两腔被一平面所截而得的曲线。
当截面不通过锥面的顶点时，曲线可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线。
当截面通过锥面的顶点时，曲线退缩成一点、一直线或二相交直线。
在截面上的直角坐标系(x,y)之下,这些曲线的方程是x,y 的二元二次方程：。
若截面不通过锥面的顶点，令截面与锥面轴线所成的角为θ,锥面的半顶角为α，则当时，所截曲线为圆；当时，截面与锥面的所有母线都相交,所截曲线为椭圆；当θ=α时，截面与锥面的一条母线平行，所截曲线为抛物线；当0≤θ<α时,截面与锥面的两条母线平行，所截曲线为双曲线。
焦点与准线如果圆锥曲线不是圆，则在圆锥曲线所在的平面上存在一定点和一定直线，使得圆锥曲线上任何一点到该定点和定直线的距离之比为常数，这个定点称为圆锥曲线的焦点，定直线称为圆锥曲线的准线。
为了得到焦点与准线，只需作一个球面内切于圆锥面并同时与圆锥曲线所在的平面σ相切。
设球面与平面σ相切于点F，球面与圆锥面相切于一个圆,这个圆所在的平面为ω，ω与σ相交于直线l，则点F，就是焦点，直线l就是准线（图1）。
二次曲线二次曲线这时,圆锥曲线上任意一点P到焦点F的距离｜PF｜与到准线l的距离｜PD｜之比为：。
其中θ,α都与P在曲线上的位置无关，所以是常数。
这个常数称为圆锥曲线的离心率，记为e。
当截线是椭圆时，e<1；当截线是双曲线时，e>1；当截线是抛物线时，e=1。
对于椭圆或双曲线，存在两个合于以上要求的球面，因此椭圆或双曲线都有两个焦点与两条准线。
每个焦点与其相应的准线都有上述性质。
抛物线只有一个焦点与一条准线。
若椭圆的两个焦点为F1,F2。
如图2所示的球面与圆锥面相切的圆为C1,C2。
这时对于椭圆上任意一点P，令通过P的母线OP（O为圆锥面的顶点）与C1、C2的交点分别为A、B。
则P 到F1的距离｜PF1｜与P到F2的距离｜PF2｜之和为｜PF1｜｜PF2｜=｜P A｜｜PB｜=｜AB｜。
二次曲线的定义
a13 a23 a33 u3
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji ,| Aij || aij |2 0.
注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。
推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
AB(B, E, D, A) AB(D, A, B, E).
由二级曲线的射影定义，这两个射影点列的对应点连线以 及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线，这六条直线恰好 是已知两个三点形的六条边。结论成立。
注：本题的逆命题成立。
二次曲线的射影定义
六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理3(Maclaurin) 一条非
定义3 在射影平面上，称 两个射影线束对应直线交点的 集合为一条二阶曲线。
定义3′ 在射影平面上，称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线。
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生 成的二阶曲线方程。
二次曲线的射影定义
注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型。从代数上看，S = 0和T = 0 为相同的代数对象；从几何上看，它们是同一几何对象 的不同描述，因此统称为二次曲线。
注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1
S
( x1 ,
x2 ,
推论1′ 平面上五直线(其中 无三线共点)唯一确定一条非 退化二级曲线。
第三章第一节 仿射坐标变换的一般理论
点的变换公式为：
x 2 1 0 x 1 y 0 1 1 y 2 z 1 0 1 z 0
x 2 x y 1 y y z 2 z x z
e3
e3
ye2 ze3 OM xe1 x (c11e1 c21e2 c31e3 ) y(c12e1 c22e2 c31e3 ) z(c13e1 c23e2 c33e3 ) (c11 x c12 y c13 z )e1 (c21 x c22 y c23 z)e2 (c31 x c32 y c33 z)e3
1.2 图形的坐标变换公式 将空间点的坐标变换公式： x d1 c11 c12 c13 x y d c c c y 21 22 23 2 z d c 3 31 c32 c33 z
于是 I 到 I 的过渡矩阵为 (Cd1 , Cd 2 , Cd 3 ) C (d1 , d 2 , d 3 ) CD 推论： 若I 到I 的过渡矩阵为C ，则 I 到I 1 的过渡矩阵为C 例3. 已知仿射坐标系 I 的三个坐标平面在 仿射坐标系 I 的方程为 yOz面：3 x 2 y 2 z 1 0 xOz面：2 x y - z - 2 0 xOy面：x - 2 y z 2 0 且 I 的原点O 在I 中的坐标为 (1, 4, 2) ， 求I 到 I 的坐标变换公式.
x x 2 y I到II的向量的变换公式: y 2 x y 在I坐标 [ A; e1 , e2 ]下: F E A(0,0), B(1,0), F (0,1), D(2,2) e 2 e2 AC 2 AB AF 2e1 e2 A D e1 C (2, 1) e1 C B E (1, 2) 同理 E 点坐标为： 1 x （x 2 y 2） 3 II到I的点的坐标变换公式: x x 2 y 2 y 1 ( 2 x y 2) 3 y 2 x y 2
二次曲线的不变量
CHENLI
3
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3.1 二次曲线的(半)不变量
定义: 曲线方程系数的一个确定的函数, 如果在 任意一个直角坐标变换下它的函数值不变, 就称 这个函数是这条曲线的一个正交不变量, 简称 不变量.
不变量既然与直角坐标系的选择无关, 于是它 就反映了曲线本身的几何性质. 因此找出曲线的 不变量是解析几何研究中的一个重要课题.
a11 b1 a22 b2 b1 c b2 c
称为二次曲线 F(x, y) = 0 的半不变量.
CHENLI
25
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3.1 二次曲线的(半)不变量
引理 当 I2 = I3 = 0 时, K1 = 0 r(A) = 1. 证明: 因为I2 = 0, 即a11a22 = a122,
(c12 , c22 ),
于是由引理,
I1I1 = I1(c11, c21) + I1(c12, c22) 0.
又因为I1 , I1 都不为零, 所以I1I1 > 0, 即 I1 , I1 同号.
CHENLI
18
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3.1 二次曲线的(半)不变量
注: 命题3.4 说明, 二次曲线的不变量 I1 在 I2 0 的情况下, 其正负性在作可逆线性变量替换时也 不会变. • I1, I2, I3 在作可逆线性变量替换时的变化规律:
例如: 设 F(x, y) = 2x2 y2, 此时 I1 = 1,
x x
作仿射坐标变换
y
2
y
得
F (x, y) = 2x2 4y2, 此时 I1 = 2.
CHENLI
14
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3.1 二次曲线的(半)不变量
解析几何中的二次曲线
二次曲线的应用
在几何学中的应用
二次曲线用于描述平面上的几何形状 二次曲线可以表示椭圆、双曲线和抛物线等 二次曲线在解析几何中具有重要地位 二次曲线在几何学中具有广泛的应用
在物理学中的应用
二次曲线在力学中的应用，例如描 述物体运动轨迹
二次曲线在电磁学中的应用，例如 电场和磁场的分布
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应用：椭圆型二次曲线在几何、代数、物理等多个领域都有广泛的应用。
抛物型二次曲线
定义：抛物线是一 种特殊的二次曲线， 其方程可以表示为 y=ax^2，其中a 是常数。
性质：抛物线有一 个顶点在原点，并 且沿着y轴对称。
图像：抛物线的图 像是一个开口朝上 的半圆形或开口朝 下的半椭圆形。
应用：抛物线在几 何、物理和工程等 领域有广泛的应用 。
双曲线型二次曲线
定义：双曲线型二次曲线是指形式为Ax^2+By^2=C的曲线，其中A、B、C为常数且 A≠B≠0。
性质：双曲线型二次曲线是二次曲线中的一种，具有双曲线的几何特性，如对称性、离心率 等。
分类：根据A和B的符号不同，双曲线型二次曲线可以分为实轴型和虚轴型两种。
应用：双曲线型二次曲线在几何学、物理学等领域有广泛的应用，如行星轨道、光学等。
摄影镜头设计： 通过应用二次 曲线的光学性 质，改善摄影 镜头的成像效 果，提高照片 质量和艺术效
果。
二次曲线的光学性质的未来发展前景
二次曲线的光 学性质在光学 工程中的应用 将更加广泛， 特别是在光学 成像、光学仪 器设计等领域。
随着科技的发 展，二次曲线 的光学性质在 光子晶体、光 子集成电路等 领域的应用也 将得到进一步
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坐标变换与二次曲线的分类
第三章 坐标变换与二次曲线的分类本章教学目的：通过本章的学习，掌握仿射坐标变换的一般理论，理解和掌握二次曲线的类型，掌握用方程的系数判别二次曲线的类型,不变量，掌握圆锥曲线的仿射特征组, 度量特征。
本章教学重点：(1) 平面的仿射变换与保距变换, (2) 仿射变换基本定理本章教学难点：(1) 用坐标法研究仿射变换 (2) 图形的仿射分类与仿射性质本章教学内容：第一节 仿射坐标变换的一般理论一 过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式1 向量的坐标变换公式在空间中取定两个仿射坐标系，它们的标架分别为231,,,I O e e e ⎡⎤⎣⎦和'''''123,,,I O e e e ⎡⎤⎣⎦。
设向量α在I 和'I 中的坐标(),,x y z 和()''',,x y z 。
又设'1e ,'2e ,'3e 在I 中的坐标依次为()112131,,c c c ，()122232,,c c c ，()132333,,c c c ，即 '1111212313'2121222323'3131232333e c e c e c e e c e c e c e e c e c e c e⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩， 于是由坐标的定义得到α在I 中的坐标为'''111213'''212223'''313233x c x c y c z y c x c y c z z c x c y c z ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩， ()3.1用矩阵写出为'111213'212223'313233x c c c x y c c c y z c c c z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()3.1a 称 ()3.1和()3.1a 为向量的坐标变换公式, ()3.1a 中的矩阵111213212223313233c c c C c c c c c c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为从坐标系I 到'I 的过渡矩阵。
二次函数与二次曲线的像分析
二次函数与二次曲线的像分析二次函数和二次曲线在数学中是非常重要的概念，它们的图像和性质有助于我们理解和解决各种实际问题。
本文将对二次函数与二次曲线的像进行分析和探讨。
一、二次函数的像分析二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数。
我们首先来讨论二次函数的像。
1. 对称轴与顶点：二次函数的图像是关于对称轴对称的，对称轴的方程可以通过寻找顶点来确定。
顶点坐标的x值可以通过-b/2a求得，而y值即为函数的最值。
2. 开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
开口方向的不同会直接影响函数的图像形状。
3. 零点分析：对于二次函数而言，零点即为函数与x轴的交点。
利用求根公式，我们可以求得二次函数的零点，从而找到函数的交点。
二、二次曲线的像分析除了二次函数，我们还需要研究二次曲线的像。
二次曲线是指由二次方程定义的图形，其一般形式为Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0。
1. 类型分析：根据系数B²-4AC是否小于零，可以将二次曲线分为椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
具体的分类可以根据判别式Δ=B²-4AC来确定。
2. 对称中心：二次曲线的对称中心是指图像的对称中心，可以根据二次曲线的方程来确定。
对称中心是曲线的重要性质之一。
3. 离心率分析：对于椭圆和双曲线而言，离心率是一个重要的参数。
离心率可以通过计算来确定二次曲线的形状和属性，对于物理学中的椭圆轨道和双曲线轨道的研究非常有价值。
三、二次函数与二次曲线的关系二次函数和二次曲线之间存在密切的联系，它们有着相似的性质和图像。
通过对二次函数与二次曲线的比较和分析，可以更好地理解它们之间的关系。
1. 二次函数的特例：当B=0、C=0时的二次曲线是二次函数的图像。
此时，二次曲线仅由一条曲线组成，而不再具有椭圆、抛物线或双曲线的性质。
2. 图像对应关系：某些二次函数的图像与某些二次曲线的图像非常相似，它们在对称轴、顶点和开口方向等方面具有相似的特点。
二次曲线的一般式-概述说明以及解释
二次曲线的一般式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次曲线是数学中重要的曲线类型之一。
它由二次方程所表示，是平面上的曲线。
在二次曲线上，点到定点的距离与点到定直线的距离的比值恒定，这是二次曲线独特的性质之一。
二次曲线广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。
在几何学中，二次曲线的性质和特点被用于解决许多关于曲线的问题，如焦点、直径、切线和法线等。
在物理学中，二次曲线的运动方程被用于描述抛物线运动或者椭圆轨道等运动问题。
在工程学中，二次曲线常用于设计道路、桥梁和建筑物的曲线部分，以达到美观和结构稳定的目的。
在计算机图形学中，二次曲线被广泛应用于绘制曲线和曲面，用于创建平滑的图形效果。
本文将深入探讨二次曲线的一般式，包括其定义、性质和特点。
我们将介绍二次曲线的一般形式，并重点讨论其中的关键概念和公式。
通过学习二次曲线的一般式，读者能够更好地理解二次曲线的特性，并能够应用这些知识解决相关问题。
接下来的章节将按照以下结构展开：首先，我们将介绍二次曲线的定义和一般形式，包括其方程和基本图形。
然后，我们将深入研究二次曲线的性质和特点，例如焦点、直径和切线等。
最后，我们将总结二次曲线的一般式，并探讨其应用和意义。
在本文的剩余部分，读者将逐步了解二次曲线的复杂性和多样性，以及它们在数学和实际应用中的作用。
无论读者是初学者还是对二次曲线较为熟悉的人，本文都将为他们提供全面而深入的知识，帮助他们更好地理解和运用二次曲线的一般式。
文章1.2文章结构部分的内容可以如下编写：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，在本文中分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开端，概述了二次曲线的一般式的主题和背景，引起读者的兴趣。
其中，1.1小节对二次曲线的概念和定义进行解释，确保读者了解文章所涉及的数学概念。
1.2小节则介绍了本文的文章结构，提供了整篇文章的脉络，为读者理解文章内容奠定基础。
最后，1.3小节明确了本文的目的，即探究二次曲线的一般式，并说明了相关探究的意义。
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定义3.1 由曲面(曲线)方程的系数给出的函数，如
果在经过任意一个直角坐标变换后，它的函数值不变，
就称这个函数是该曲面(曲线)的一个正交不变量，简 称不变量。
设二次曲面的方程为(2.1)或(2.3)，记
I1 a11 a22 a33 ,
I2
a11 a12
阵.由定理3.1知 I4 是不变量,因此:
A E A E
T
a44
'T
a44
(3.6)
A E 而 T
a44
a443 K12 K2
A
,因此比较
(3.6)式两边的λ 和 2的系数知道:
K
' 1
K1
,
K
' 2
K2
.
于是 K1, K2 在保持原点不动的直角坐标变换下是不
变的。
对于二次曲线方程(2.12),记:
我们只给出(1)的证明。设 1, 2 , 3 是曲面的特征
根。
对应于 a11 x2 a22 y2 a33z2 a44 0, a11a22a33 0;
此时
I3 a11a22a33 0,
I1 a11 a22 a33
I2 a11a22 a22a33 a33a11, I4 a11a22a33a44 I3a44
另外:
TT (A E)T TT A-E T TT T A-E A E ,
因此得:
A E A E ,
将上式两边展开得:
3 I12 I2 I3 3 I12 I2 I3 .
由λ的任意性得: I1 I1, I2 I2 , I3 I3 .
T T
I
4
A
T 0
0 A
1 T
I1 a11 a22,
I2
a11 a12
a12 a22
, I3
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 , a33
K1
a11 a31
a13 a22 a33 a23
a23 . a33
我们同样可以得到:
定理 3.1' I1 , I2 , I3 是二次曲线的不变量.
定理 3.2' 当 I2 I3 0 时, K1 是二次曲线的不 变
T 0
a44
0
1
TT 0 A
T 0
T 0
1 T
a44
0
1
TT A T A I4 . 于是 I1 , I3 , I3 , I4 是二次曲面的不变量.
我们称方程
A E 3 I12 I2 I3 0,
(3.3)
为二次曲面的特征方程，它的根称为二次曲面的
特征根. 由定理2.1知道特征方程和特征根在任意直角
将变为(3.5)式:
( x
y
z
1)
a1'a1 1'2
a1'3 a1'4
a1'2
a2' 2
a2' 3 a2' 4
a1'3 a2' 3
a3'3
a3' 4
a1'4 a2' 4
a3' 4 a4' 4
x
y 0 z
1
3.5
其中,
A
(ai'j
)
是二次曲面
T
1
A
1
0
的矩阵
A (aij ) 经过坐标变换 T 后的二次曲面方程的矩
( x0,
y0 , z0 ),
T是
正交矩阵.将(3.1)代入二次曲面方程(2.3)得到:
0
(TT T
T 0
A
1) T
a44
T 0
1
(T
TT
1) 0T
0 A
1 T
T
a44
0
0
1
1
(T
TTA 1) 0T A T
TT T
T 0
a44
0
0
1
1
(T
TT AT 1) 0T AT TT
a11 a12 a14 a11 a13 a14 a22 a23 a24
K2 a12 a22 a24 a13 a33 a34 a23 a33 a34
a14 a24 a44 a14 a34 a44 a24 a34 a44
定理3.2 在保持原点不动的直角坐标变换(即坐标
旋转变换)下，K1, K2 是不变量，称为半不变量。
证明: 设直角坐标变换为 T ,其中，T是正交
矩阵。我们考虑如下二次曲面(3.4)式:
a11 a12 a13 a14 x
(x
y
z
1)
a12
a22
a23
a24
y
0
(3.4 )
a13 a14
a23 a24
a33 a34
a34 a44
z
1
其中λ是任意实数。经过坐标变换 T后 ，(3.4)
量.
利用不变量判别二次曲线类型
由定理2.1我们从五个简化方程出发，用不变量来描 述它们。有下面的定理：
定理3.3 二次曲面用不变量表示它的简化方程如下：
(1) 当 I3 0 时,
1 x2
2 y2
3z2
I4 I3
0
;
(2) 当I3 0, I4 0 时, 1 x2 2 y2 2
I4 z 0 ; I2
(3) 当 I3 I4 0, I2 0
时,
1 x2
2 y2
K2 I2
0
;
(4) 当 I2 I3 I4 0, K2 0
时, I1 x2 2
K2 y 0 I1
;
(5) 当 I2 I3 I4 K2 0
时,
I1 x2
K1 I1
0.
其中 1 , 2 , 3分别为二次曲面的非零特征根。
1 a11 , 2 a22 ,
3 a33 ,
a44
I4 I3
.
由特征方程的根与系数的关系立即知道:
于是简化方程可写成: 1 x2
同样，对二次曲线也有
坐标变换下都是不变的。设三个特征根为1, 2 , 3 则由
根与方程的系数关系有:
I1 1 2 3 , I2 12 23 31, I3 123
除了以上不变量外，我们还有以下半不变量的概念，
我们记:
K1
a11 a14
a14 a22 a44 a24
a24 a33 a44 a34
a34 , a44
0T
TT A0
A0 T T T0 0T
a44
1
.(3.2)
(3.2)就是在新坐标系下的二次曲面的方程,即:
A T T AT ,
T T AT
A
T 0
AT
TT
T T A0
F ( x0 ,
y0
TT
, z0 )
.
因为T为正交矩阵，即TTT E,所以对任意实数λ，有:
TT (A E)T TT AT E ,
a12 a11 a22 a13
a13 a22 a33 a23
a23 , a33
I3 A , I4 A .
定理3.1 I1, I2, I3, I4 是 二次曲面的不变量.
证明: 作任意一个直角坐标变换:
T 0,
(3.1)
其中,
T ( x, y, z), 'T
( x,
y,
zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,
T 0