二次曲线小结
二次曲线的性质及应用
二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖指导教师：王学红摘要二次曲线与我们的生活密切相关，它们的性质在生产、生活中被广泛应用。
本小组成员在此次研究性学习活动中对二次曲线的性质进行了一系列探讨，从二次曲线的定义入手，就二次曲线的方程、光学性质及应用等方面展开说明。
AbstractConics are closely related to our living. Their characters have been widely applied in the producing and our living. The members of our team carried out a series of discussions with the characters of the conics at the research-based learning activities. Starting with the definition of conics, we illuminated with the equation, the optical properties and the application areas of the conics.二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班 刘谦益 傅明睿 陈霖指导教师：王学红一、绪论在我们的生活中，二次曲线无处不在。
车轮滚滚，留下一路红尘；烈日炎炎，照亮亘古乾坤。
这些都给我们留下圆的形象。
构筑了五彩世界的圆，就是最简单的二次曲线——x 2+y 2=r 2从椭圆方程说起当我们在纸上钉两个图钉，（它们的间距为2c ），将一根长为l 的绳子分别各系在一个图钉上，用笔绷紧绳子绕一圈，就画出了一个椭圆——因为椭圆上任意一点到两焦点的距离和相等，而且不难得出这个椭圆长轴a= ,短轴b=,我们把它放在直角坐标系中，设F 1（c,0），F 2（-c,0），可知椭圆上任意一点p(x,y)满足PF 1+PF 2=l=2a 。
二次曲线和二次曲面的性质
二次曲线和二次曲面的性质二次曲线和二次曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、代数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将就二次曲线和二次曲面的性质展开讨论。
一、二次曲线的性质1. 定义二次曲线是由二次方程所描述的曲线，其一般方程可以表示为Ax²+ Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，并且A和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆：当B² - 4AC < 0 时，方程描述的曲线为椭圆。
椭圆是一个闭合曲线，具有对称轴和离心率等性质。
双曲线：当B² - 4AC > 0 时，方程描述的曲线为双曲线。
双曲线有两个分离的曲线支，其特点是无界且具有两个渐近线。
抛物线：当B² - 4AC = 0 时，方程描述的曲线为抛物线。
抛物线具有轴对称性，分为开口向上和开口向下两种类型。
3. 几何性质不同类型的二次曲线具有不同的几何性质。
椭圆的主轴为长轴，副轴为短轴，其焦点在椭圆的长轴上。
椭圆的离心率介于0和1之间，且椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于常数。
双曲线的主轴为虚轴，分别与两个焦点连线构成直角。
双曲线的离心率大于1，且双曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于常数。
抛物线的焦点位于曲线的顶点上方或下方，其离心率等于1。
抛物线具有镜像对称性，焦点和顶点关于准线对称。
二、二次曲面的性质1. 定义二次曲面是由二次方程所描述的曲面，其一般方程可以表示为Ax²+ By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数，并且A、B和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲面可分为椭圆锥面、双曲面、抛物面和椭球面等类型。
椭圆锥面：当D² - 4AC < 0 时，方程描述的曲面为椭圆锥面。
关于二次曲线的某些结论
关于二次曲线的某些结论
二次曲线是几何学的重要研究对象，它们在几何及其它多领域都有广泛的应用。
下面将简要介绍关于二次曲线的某些结论。
首先，二次曲线存在不同种类，其中一种是双曲线。
双曲线有很多分类，比如双曲线x2/a2-y2/b2=1，这种双曲线有两个焦点，它们分别位于曲线上x和y的反函数处，且焦点之间的距离等于√(a2+b2)。
对于双曲线，其几何曲线可以表示为不一定是实数的x和y 的函数关系，这是它的一大优势。
其次，抛物线是二次曲线的另一个重要例子，不同抛物线有不同的性质。
抛物线是指一种形状为y2=2px或y2=-2px（p>0）的曲线，其特性是其凹点在y轴上，若y2=2px，则凹点位于原点，若y2=-2px，则凹点位于y轴上2/p处。
此外，高斯定理也是关于二次曲线的重要定理，它用来描述任意一个二次曲线的最大连续点数目是次数的平方。
具体来说，如果一个二次曲线的次数是n，那么最多可以连接n2个点，即n2+1个表示点，将它们连接起来，构成一个连续的线段。
最后，可以指出的是贝塞尔定理，它用于描述给定K曲线上给定点，K曲线可以通过K条直线连接起来。
K曲线指的是任意一个可以由K条交错曲线组成的折线图，它的K越大，给定点也就越多。
贝塞尔定理能够为进行折线图的分析和构建提供有用的信息。
以上是有关二次曲线的某些结论，这些结论可以为几何及其它多领域的研究提供有用的信息。
二次曲线的性质与像
根据双曲线的方程，可以确定曲线分支的形状和方向。参数$a$和$b$决定了双曲线的形状，根据$f = \sqrt{a^2 + b^2}$，可以计算出焦点到曲线的距离。通过这些信息，可以确定双曲线的像在坐标系中的位置。
4.抛物线的性质与像
2.椭圆的性质与像
椭圆是二次曲线中最为常见的一种类型，具有许多独特的性质。椭圆的方程可表示为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的性质如下：
-椭圆是闭合的曲线，终点回归起点。
-对称性：椭圆关于$x$轴和$y$轴均对称。
通过给定抛物线的方程，可以确定其像的形状和方向。参数$a$决定了抛物线的开口方向和弯曲程度，通过求解焦点的坐标，可以确定抛物线的顶点位置。进而，可以确定抛物线的像在平面坐标系中的位置。
总结：
二次曲线是数学和几何学中的重要概念，通过分析二次曲线的性质和方程，我们可以了解其像的形状和位置。椭圆、双曲线和抛物线分别具有各自独特的性质，通过确定其参数值和焦点位置，我们可以准确地描述和绘制二次曲线的像。对于数学和几何学的研究和应用来说，深入理解二次曲线的性质与像是非常关键的。
抛物线是三种二次曲线中最简单的一种，其方程可表示为$y = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$为常数，且$a\neq 0$。
抛物线的性质如下：
-抛物线关于$y$轴对称。
-拱形：抛物线可以朝上或朝下，具有一个最低或最高点。
-焦点：抛物线具有一个焦点，位于抛物线的对称轴上，与顶点的距离为$p = \frac{1}{4a}$。
二次发展曲线
二次发展曲线
二次发展曲线是一种描述一个系统、组织或个体发展变化的曲线模型。
它包括一个初始的增长阶段，紧随其后是一个成熟期，最终进入稳定状态。
在增长阶段，发展速度很快，然后逐渐减缓。
到达成熟期后，系统、组织或个体的发展速度将几乎停滞。
这种曲线模型常常用来描述产品生命周期、经济发展、人的知识和技能发展等。
二次发展曲线的形状通常是“S”型曲线。
曲线的前半部分代表
初始的增长阶段，增长速度很快。
曲线的中间部分则代表成熟期，增长速度开始减缓，但仍然在增长。
曲线的后半部分代表稳定期，增长速度几乎停滞。
二次发展曲线的概念强调了发展过程中的不同阶段和速度的差异。
它也提醒人们在发展过程中要注意适应和调整。
当一个系统、组织或个体进入稳定期时，可能需要进行改革和创新，以进入下一个增长阶段。
总的来说，二次发展曲线为我们提供了一个用于理解发展变化的模型，并帮助我们预测和应对未来的变化。
这个模型可以应用于各个领域，帮助人们更好地管理和推动发展。
二次曲线的性质与判定解析
二次曲线的性质与判定解析二次曲线是代数几何中重要的一个概念，它在数学和其他学科中有广泛的应用。
本文将详细探讨二次曲线的性质与判定解析，并对其相关理论进行阐述。
一、二次曲线的定义二次曲线是由二次方程定义的曲线，其表达形式为\(ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0\)，其中a、b、c是实数，且\(a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0\)。
二、二次曲线的类型根据二次曲线的系数和方程的特征，可以将二次曲线分为以下几类：1. 椭圆：当二次曲线满足\(b^{2}-4ac<0\)时，曲线的解析形式为\(\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1\)，其中\((x_{0},y_{0})\)是椭圆中心的坐标。
2. 双曲线：当二次曲线满足\(b^{2}-4ac>0\)时，曲线的解析形式为\(\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1\)，其中\((x_{0},y_{0})\)是双曲线中心的坐标。
3. 抛物线：当二次曲线满足\(b^{2}-4ac=0\)时，曲线的解析形式为\((x-x_{0})^{2}=4p(y-y_{0})\)，其中\((x_{0},y_{0})\)是抛物线的焦点坐标，p是抛物线的焦距。
三、二次曲线的性质1. 对称性：椭圆、双曲线和抛物线都具有关于x轴、y轴和原点的对称性。
2. 焦点与准线：椭圆和双曲线都有焦点和准线，而抛物线只有焦点和直线。
焦点是曲线上所有点到两个定点的距离之和等于定值的点。
准线是与焦点处于同一直线上的点的轨迹。
3. 离心率：椭圆和双曲线都有离心率的概念，而抛物线没有。
离心率是描述曲线形状和性质的重要参数，它可以判断曲线的形状是否扁平或细长。
4. 焦直线：椭圆和双曲线都有与焦点和准线垂直的直线，称为焦直线，与曲线的交点构成了曲线的形状。
解析几何中的二次曲线
解析几何中的二次曲线二次曲线是解析几何中的重要内容之一，它在数学和其他学科中都有广泛的应用。
本文将介绍什么是二次曲线，它们的一般方程以及常见的几何特征。
一、什么是二次曲线在解析几何中，二次曲线是由二次方程定义的曲线。
一般来说，它们可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
这些曲线可以通过改变二次方程的系数来得到不同的形状和性质。
下面将分别介绍这三类二次曲线的定义和特点。
1. 椭圆椭圆是二次曲线中最简单的一种。
它可以定义为平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点被称为焦点，连结两个焦点的线段长度为短轴的长度，而与短轴垂直且通过椭圆中心的直线被称为长轴。
椭圆的形状由长轴和短轴的长度决定。
在数学中，椭圆的一般方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a为长轴的长度的一半，b为短轴的长度的一半。
2. 双曲线双曲线也是二次曲线中一种常见的形式。
它可以定义为平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。
类似于椭圆，这两个定点被称为焦点。
双曲线的形状也由焦点之间的距离决定。
双曲线可以分为两支，每一支都有一个焦点。
在数学中，双曲线的一般方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a为离心率的倒数，b为离心率与焦点之间的距离的乘积。
3. 抛物线抛物线是另一种常见的二次曲线形式。
它可以定义为平面上到一个定点的距离等于到一个直线的垂直距离的点的轨迹。
抛物线的形状由定点和直线的位置决定。
在数学中，抛物线的一般方程为：$$y = ax^2 + bx + c$$其中，a、b、c为常数，且$a \neq 0$。
二、二次曲线的性质除了上述曲线的定义和方程，二次曲线还有一些重要的性质。
1. 焦点和准线对于椭圆和双曲线而言，焦点和准线是其重要特征。
(完整版)二次曲线知识点归纳总结
(完整版)二次曲线知识点归纳总结一、二次曲线的定义与特点二次曲线是由二次项和一次项组成的方程，通常具有以下特点：- 方程的最高次数为2；- 方程的二次项系数不为0；- 方程在坐标系中的图像可以表示为一条弯曲的曲线。
二、二次曲线的标准方程二次曲线的标准方程为：$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F =0$，其中$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$为常数。
根据方程中$B^2 - 4AC$ 的取值，可以将二次曲线分为三种情况：1. 当 $B^2 - 4AC > 0$ 时，二次曲线为椭圆；2. 当 $B^2 - 4AC = 0$ 时，二次曲线为抛物线；3. 当 $B^2 - 4AC < 0$ 时，二次曲线为双曲线。
三、二次曲线的图像与性质1. 椭圆：常见于求解平面几何问题，具有两个对称轴和中心点，对称轴互相垂直，以中心点为焦点的椭圆正好满足椭圆方程的定义。
2. 抛物线：常见于物体抛射运动的描述，具有一个对称轴和一个顶点，对称轴垂直于抛物线的轨迹，抛物线方程的开口方向和参数决定了抛物线的形状。
3. 双曲线：常见于电磁波传播、双曲线函数的图像等领域，具有两个对称轴和两个焦点，对称轴互相垂直，以两个焦点为焦点的双曲线正好满足双曲线方程的定义。
四、二次曲线的应用1. 数学领域：- 二次曲线是数学分析和几何学的基础，广泛应用于数学定理的证明和推导。
- 抛物线的研究在牛顿力学、光学和电磁学等领域有重要意义。
- 双曲线在微分方程、概率论和复变函数等数学领域发挥重要作用。
2. 物理领域：- 二次曲线在物体运动、力学系统和信号处理等问题中有着广泛的应用。
- 抛物线的轨迹描述了物体在重力作用下的运动规律，是研究机械能转化和守恒的重要工具。
- 双曲线函数可以描述电磁波的传播特性，对于无线通信、光学和电路设计等有重要影响。
3. 工程领域：- 二次曲线在建筑设计中用于确定弧形建筑物的结构参数。
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你还想学点吗？---离心率概念分析
离心率是反映了二次曲线的形态及 性质的重要概念。 引入定义：椭圆的焦距2c与长轴2a 的比叫做椭圆的离心率，类似的给 出了双曲线，抛物线的离心率定义。 离心率定义 有两个要点：一个距离 与长度有序之比，e=c/a>0 离心率取值范围：椭圆：2c<2a,故 0<e<1,在双曲线：2c>2a,得 e>1,按抛 物线定义，e=1。 离心率与圆周率是几何中的两大比 率，它们的共同特点：均为两个定 量的有序之比，区别在于前者适用 于二次曲线，后者只适用于圆；e值 有相对的任意性（可变），π却具有 唯一性（无理常数）。 离心率深刻揭示了二次曲线的实质， 沟通了它们的关系。椭圆，双曲线， 抛物线三者关系密切，是同一定义
椭圆的学习要求与导航
学习要求 知道椭圆定义并推出椭圆标准方程， 理解参数a,b,c,e 的相互关系和几何意义。 能灵活应用椭圆定义、方程及性质解 决问题（椭圆作图）。 学习导航 椭圆方程的定义及参数a,b,c,(e)是椭圆 所特有的，与坐标无关。 a>b>0,c2=a2b2,(e=c/a)必须牢固掌握。 椭圆的性质（有心、封闭的曲线）， 椭圆曲线的范围，掌握曲线（椭圆） 对称性的判别，与坐标轴的交点。 特别： 1.椭圆的焦点一定在长轴上， 2. a,b,c三个参数的关系是满足以 a为斜 边的 直角三角形勾股定理a2=b2+c2。 3.标准方程中a对应的变量x（或y)，表 明焦点就在x轴（或y轴）。
附 录
纲要信号图表
一般二次方程的讨论
Excel作图
圆的学习要求和导航
继续
d>r相离，d=r相切，d<r相交 圆与圆关系 两圆的圆心(a1,b1),(a2,b2),两圆的半径r1,r1 两圆的圆心距 d (a1 a2 ) 2 (b1 b2 ) 2
d的 范围 0
学习要求：
e=c/a
|F1F2|=2c.c2=a2-b2
e=c/a
双曲线的学习要求和学习导航
学习要求 知道双曲线的定义，理解双曲 线标准方程的参数a,b,c,e的几何 意义和相互关系，根据条件熟 练写出双曲线的标准方程，灵 活应用双曲线的定义，方程及 性质解有关问题。 学习导航 学习时，要与椭圆的标准方程 进行比较，加深这两种曲线之 间的区别和联系。 必须理解双曲线参数 a,b,c,e是双 曲线所固有的，与坐标的建立 无关。 双曲线有心但不封闭，所以存 在这样的特殊情况，直线平行
所以直线与抛物线相切并不是直线 与抛物线只有一个公共点的充要条 件。
图形
y2=2px y=0
y2=-2px x2=2py x2=-2py
方程
对称轴
y=0
x=0
x=0 (0,-p/2) y=p/2
焦点 准线
(p/2,0) (-p/2,0) (0,p/2)
x=-p/2 x=p/2
y=-p/2
坐标平移
二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 通过坐标平移可以消去一次项，简化方 程的表达式。 坐标系的改变，曲线的位置形状和大小 都没有改变，点的坐标和方程也随之改 变。 坐标的平移公式：x=x’+h x’=x-h y=y’+k y’=y-k 主要题目类型： 1。已知原坐标系，新坐标原点，求一些 点和方程的在新坐标系中的表达式。 2。已知新坐标系，原坐标的原点，求一 些点和方程的在原坐标系中的表达 式。 3。二次曲线方程经过配方成完全平方式
双曲线定义的三个“盲点”
双曲线定义：“平面内与两个定点 F1F2的距离之差的绝对值是常量（小 于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。” 定义内有三个盲点：“小于|F1F2|”， “绝对值”，“常数”，稍有不慎， 就回出错。 盲点1：“小于|F1F2|” 将“小于|F1F2|”改成“大于|F1F2|”， 经过演示，点的轨迹不存在。将 “小于|F1F2|”改成“等于|F1F2|”，经 过演示，点的轨迹不再是双曲线， 而是以F1F2为起点的两条射线。 盲点2： “绝对值” 若将“绝对值”去掉，经过演示点 的轨迹不再是两支曲线，只有一支， 即左支或右支。
盲点3 ：“常数” 若常数等于零，点的轨迹是什 么？经过演示，不难发现点的 轨迹是线段F1F2的中垂线。 思考题： 学习椭圆，抛物线的定义要注 意什么？
双曲线与它的渐近线
双曲线方程 可得 y a x a 可以看出，随着 x无限变大，y也无限变大 所以双曲线是无界的，为了更好研究它无限 2 伸展的趋势，把上式改为 y b x 1 a 2 a x a2 当x无限变大时， 2 趋近于0 x 这时，y就渐近于±b/a x，说明当x无限增大， 双曲线愈来愈接近直线y=± b/a x, 并且不论x 有多大，在第一象限内总有：
2 2
x2 y2 1 a2 b2
b
b a2 b y x 1 2 x a x a X无限变大，双曲线无限逼近渐近线，但永远 不会相连接。 设在第一象限内取x0 ，渐近线对应y1,双曲线 b b 2 x0 a 2 对应y0 ，有 y y0 x0
1
说明了①在第一象限内，对同样的x渐近 线的值大于双曲线的值，②x无限增大， y1-y0 也无限趋向于0
直线与椭圆的位置关系： 把直线与椭圆的方程组消元后 得一元二次方程，它的判别式 Δ>0直线与椭圆相交 Δ=0直线与椭圆相切 Δ <0直线与椭圆相离
椭圆的标准方程与性质
标准方程 图形
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
x2+y2=r2
x2+y2=2rx (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0
x2+y2 x x12+y12 x1 x22+y22 x2 x32+y32 x3 y 1 y1 1 y2 1 =0 y3 1
* x=r(1+cosθ) y=rsinθ * x=a+rcosθ y=b+rsinθ
2 2
~
内含
|r1-r2|
~
相交
r1+r2
外切
d>r1+r2
位置 关系
同心
内切
外离
关于相切： （1） 过圆上一点（x0,y0) 公式法： （x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 判别式法：设切线y-y0=k(x-x0)代入圆方 程，消去 y得相应x的二次方程，由 判别式Δ=0可求得 k 从而得切线。 几何法：由圆心到切线距离r确定k而得切 线。 （2）圆外一点（x0,y0)的切线可仿上述判 别式法、几何法处理。
A2 B 2
圆的公式
图形
圆心在原点，半径为 r
圆心在(r,0),半径为r
直角坐标方程
参数方程
* x=rcosθ y=rsinθ
过圆上一点（ x0,y0)的切线 x0x+y0y=r2
xox+yoy=r(x+xo) (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 x0x+y0y+D(x+x0)/2+E(y+y0)/2 +F=0
(-a,0) (a,0) X轴y轴，实轴2a，虚轴2b
(0,-a) (0,a) X轴y轴，实轴2a，虚轴2b
对称中心 (0,0)
焦点 (离心率) 焦距 渐进线 y=±bx/a (-c,0) (c,0) e=c/a |F1F2|=2c c2=a2+b2
(0,0)
(0,-c) (0,c) e=c/a |F1F2|=2c c2=a2+b2 y=±ax/b
双曲线的渐进线但与双曲线仅 有一个交点，而并不相切。因 此，直线与双曲线只有一个交 点，是直线与双曲线相切的必 要而非充分条件。
什么时候直线与双曲线有一个交 点？两个交点？没有交点？
双曲线的标准方程与性质
标准方程 图形
x2 y2 2 1 2 a b y2 x2 2 1 2 a b
顶点 对称轴
a
a
b ( x0 a b ( a x 0
x0 a 2 ) a2 x0 a 2
2
2
思考题： ①你能说说离心率e与双曲线渐近线开口 大小的关系吗？ ②你能举出其他已学的函数或方程的曲 线的渐近线的例子吗？
)0
抛物线的学习要求和学习导航
学习要求 掌握抛物线的定义，熟记四种标准方 程，了解 焦参数 p 的几何意义，掌 握抛物线的几何性质并能运用解决有 关问题。 学习导航 掌握抛物线的定义，推导和建立抛物 线的标准方程。用定义解题有时更简 洁，虽然抛物线只一个参数，只须一 个条件就可以求出，但有四个标准方 程，所以必须掌握它的特征和对应的 抛物线的开口方向，对称轴，焦点位 置和准线的关系。 了解二次曲线的几种定义，对提高解 题能力是有帮助的。 直线与抛物线的位置关系，特别注意 相切的情况。由于抛物线与对称轴只 一个交点，而它不是抛物线的切线，
圆 锥 截 线
又以焦点F为极点，经过焦点作 准线l的垂线为极轴（取垂足到 焦点的方向为正方向），建立 极坐标系，得到极坐标系中圆 锥曲线的统一方程
ep 1 e cos
思考题 1，一个动点到两个定点（-3，0） （3，0）的斜率的积为-1，这轨 迹是什么曲线？ 若斜率的积为-1/4，是什么曲线？ 若斜率的积为1/4，是什么曲线？ 2，一个动点到两个定点（-3，0） （3，0）的距离的平方差为常 量，这பைடு நூலகம்迹是什么曲线？