圆锥曲线小结
2.5.2圆锥曲线小结(2)
4
达标检测
x 2 y 2 16 上的一个动点。 1.已知定点 A（12，0） ，点 P 是曲线
求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程。 2.已知一条长为 6 的线段的两端点 A、B 分别在 x、y 轴上滑动， 1 点 M 在线段 AB 上，且 AM 2 MB, 求动点 M 的轨迹方程。
5
归纳延伸
在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转 化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”在解决直线 和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、 琐碎问题．
课后作业:请完成《导学案》章末检测13~22 预习作业：复习本章知识
2
5 .
5.过点(0,2)与抛物线 y2=8x 只有一个公共点的直线有( A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 无数多条ຫໍສະໝຸດ C)精讲点拨
例 1.已知双曲线的方程为 2 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请 说明理由． y x2－
2
＝1，试问：是否存在被点 B(1,1)
x 2 y2 6 例 2.已知椭圆 G： 2＋ 2＝1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点为 (2 2,0), a b 3 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A、B 两点，以 AB 为底边作等腰 三角形，顶点为 P(－3,2)． (1)求椭圆 G 的方程； (2)求△PAB 的面积．
2.5.2 本章小结(2)
热身训练
x2 y2 1.椭圆 ＋ ＝1 的焦点为 F1、 2， P 在椭圆上． F 点 若|PF1|＝4， 则|PF 2| 9 2 ，∠F1PF2 的大小为 120° ． y2 x2 2 2 x y ＋ ＝1 顶点为焦点的椭圆方程为 16 4 . 2.以 － ＝－ 1 的焦点为顶点， 4 12 ＝ 3.中心在原点， 焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4， －2)， 5 则它的离心率为 . x2 y2 2 4.设双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线 y＝x2＋1 相切， a b 则该双曲线的离心率等于
数学高考复习名师精品教案：第70课时：第八章 圆锥曲线方程-圆锥曲线小结
数学高考复习名师精品教案第70课时：第八章 圆锥曲线方程——圆锥曲线小结课题：圆锥曲线小结 一．课前预习：1．设抛物线22y x =，线段AB 的两个端点在抛物线上，且||3AB =，那么线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离是（B ）()A 32 ()B 1 ()C 12()D 2 2．椭圆22221x y a b +=(0)a b >>与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B 两点，在劣弧AB 上取一点C ，则四边形OACB 的最大面积为（B ）()A 12ab ()B 2()C 2()D ab 3．ABC ∆中，A 为动点，1(,0)2B -，1(,0)2C ，且满足1sin sin sin 2C B A -=，则动点A 的轨迹方程是（D ）()A 2216161(0)3x y y -=≠()B 2216161(0)3y x x -=≠ ()C 22161161(34x y x -=<-()D 22161161(34x y x -=>4．已知直线1y x =+与椭圆221mx ny +=(0)m n >>相交于,A B 两点，若弦AB 中点的横坐标为13-，则双曲线22221x y m n-=的两条渐近线夹角的正切值是43．5．已知,,A B C 为抛物线21y x =-上三点，且(1,0)A -，AB BC ⊥，当B 点在抛物线上移动时，点C 的横坐标的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞ ． 二．例题分析：例1．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x轴正半轴上，且满足||,||,||OA OB OF 成等比数列，过点F 作双曲线在第一、三象限内的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FB ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点,D E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．（1）证明：设l ：()ay x c b=--，由方程组()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2(,)a ab Pc c ，∵||,||,||OA OB OF 成等比数列，∴2(,0)a A c ，∴(0,ab PA c =- ，2(,)a ab OP c c = ，2(,)b abFP c c=- ，∴222a b PA OP c ⋅=- ，222a b PA FP c⋅=- ，∴PA OP PA FB ⋅=⋅ ．（2）设1122(,),(,)D x y E x y ，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得444222222222(()0a a c a c b x x a b b b b -+-+=， ∵120x x ⋅<，∴42222422()0a b a b c a b b-+<-，∴22b a >，即222c a >，∴e >所以，离心率的取值范围为)+∞．例2．如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)P m (0)m >作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点，（1）设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明：()QP QA QB λ⊥-；（1） 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程． （2）解：（1）设直线AB 的方程为y kx m =+，代入抛物线方程24x y =得2440x kx m --= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x m =-，∵点P 分有向线段AB 所成的比为λ，得1201x x λ+=+，∴12xx λ=-，又∵点Q 是点P 关于原点的对称点，∴(0,)Q m ，∴(0,2)QP m =，∴1212(,(1))QA QB x x y y m λλλλ-=--+-∴12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-221121222[(1]44x x x x m m x x =+⋅++121212224442()2()44x x m m m m x x m x x x x +-+=+⋅=+⋅=∴()QP QA QB λ⊥-．（2）由221204x y x y-+=⎧⎨=⎩得点(6,9),(4,4)A B -，由24x y =得214y x =，∴12y x '=，∴抛物线在点A 处切线的斜率为6|3x y ='=， 设圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则22229163(6)(9)(4)(4)b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩， 解得2323125,,222a b r =-==，∴圆C 的方程是22323125()(222x y ++-=，即22323720x y x y ++-+=． 三．课后作业：1．直线143x y +=与抛物线221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上的点P 使ABP ∆的面积等于6，这样的点P 共有（ ）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个()D 4个2．设动点P 在直线1x =上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt OPQ ∆，则动点Q 的轨迹是（ ）()A 圆()B 两条平行线 ()C 抛物线()D 双曲线3．设P 是直线4y x =+上一点，过点P 的椭圆的焦点为1(2,0)F ，2(2,0)F -，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为 ．4．椭圆221123x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的 倍．5．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ． 6．直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点,A B ， （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．7．如图，P 是抛物线C ：212y x 上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q ， （1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（2）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离．。
圆锥曲线的方程复习小结第2课时课件2024-2025学年高二上数学人教A版(2019)选择性必修一
O
=、.=、
变式练习: 若直线
的值.
解：
与x轴交于M点，与双曲线
交于A 、B两点，求
总结弦长公式： 联立方程组
消去y（也可消去x ）得
y
y=kx+m
. B(x2,y2) . A(x1,y1) x
O
弦长公式也可以写成关于y的形式 特别直线上任意两点间的距离
题3：已知双曲线
圆锥曲线中点弦问题
（1）求过点P(2,1)且被点P平分的双曲线的弦AB所在直线的方程；
圆锥曲线中定值问题 的右焦点为F，过点F的任意一条直线l与C交于A ，B两点，点M的坐标为
y l
A（x1,y1）
F(1,0) O
M(2,0)
.
x
B（x2,y2）
另法（用第二定义）： ：准线x=2，过M点作直线l1:x=2
∽
小结
通过坐标法对直线和圆锥曲线位置关系及其简单应用进行总结，我们获得了哪些知 识和方法。
2。
直线切抛物线于点(1,2)
（2）
y (1,2)
y2=4x
x O
总结: 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，
联立
（也可消去x）
（1）当p=0时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，有且只有一个交点.
此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行.
（2）当
当相交于一点时， 3-a2=0 ,a=±5
29 当相切于一点时，
（2）当相交于两点时，
y
x O
C
直线与圆锥曲线的位置关系
变式练习:
已知：直线y=ax+1 与抛物线2=4
圆锥曲线章节复习与小结
学习目标：1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程;2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；自主学习：复习2：① 若椭圆221x my +=，则它的长半轴长为__________；②双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，则双曲线的方程为 ；③以椭圆2212516x y +=的右焦点为焦点的抛物线方程为 ．合作交流：1. 当α从0 到180 变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？2.若曲线2211x y k k+=+表示椭圆，则k 的取值范围是 ． 基础达标：1.曲线221259x y +=与曲线221259x y k k+=--(9)k <的（ ）． A ．长轴长相等 B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2.与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（ ） ．A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上C ．一条抛物线上D ．一个圆上3.过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为4．直线1y kx =-与双曲线224x y -=没有公共点，则k 的取值范围 ．5.到直线3y x =+的距离最短的抛物线24y x =上的点的坐标是 ．能力提升：1.3k >是方程22131x y k k +=--表示双曲线的（ ）条件。
A .充分但不必要 B .充要 C .必要但不充分 D .既不充分也不必要2.在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）3.方程11422=-+-t y t x 表示的曲线为C,给出下面四个命题，其中正确命题的个数是（ ）①若曲线C 为椭圆，则1<t<4 ②若曲线C 为双曲线，则t<1或t>4③曲线C 不可能是圆 ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t<23 A.1 B.2 C.3 D.44.设12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足120PF PF ⋅= ，则12F PF ∆的面积是（ ）A .1B .C .D .25. 过抛物线28y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）．A ．10B ．8C ．6D ．46.已知直线x －y =2与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 .7.右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.8.（2012年高考（陕西文））已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.(1)求椭圆2C 的方程; (2)设O 为坐标原点,点A,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA = ,求直线AB 的方程.思考题：1.就m的不同取值，指出方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m-+-=--所表示的曲线的形状．*2.抛物线22xy=-与过点(0,1)M-的直线l相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．。
圆锥曲线方程小结与复习(一) 教案示例
圆锥曲线方程小结与复习(一)·教案示例目的要求1．通过小结与复习，对全章基础知识进行总结，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上有进一步的提高．2．通过对全章知识内容的总结、例题的分析、讲解和讨论，进一步熟悉和掌握有关的数学思想方法．内容分析1．本章主要内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质．(1)椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹．由这些条件可以求出它们的标准方程，通过分析标准方程可研究三种曲线的简单几何性质．对三种曲线的标准方程、图形及简单几何性质的复习，可采用教科书中的表格形式进行归纳总结．这样，可以使学生比较清楚地掌握三种曲线的特性及它们之间的区别与联系．(2)椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下：a．从方程的形式看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次的，所以，它们属于二次曲线．b．从点的集合(或轨迹)的观点看：它们都是与定点和定直线的距离之比是常数e的点的集合(或轨迹)．这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线．只是由于离心率e取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线．B．这三种曲线都可以看成是由平面截圆锥面得到的截线(见教科书章头图)．因此，它们统称为圆锥曲线．(3)坐标法是研究曲线的一种重要方法．本章在第七章的基础上进一步学习了求曲线方程的一般方法，如何利用曲线的方程讨论曲线的简单几何性质，以及用坐标法证明简单的几何问题等．2．本课时安排的两个例题，对知识的覆盖面较大，突出了本章重点知识和基本方法．其中例1是一道探求轨迹方程问题，可以按求点的轨迹方程的一般方法来求解；也可以先分析几何图形特征，从中寻找解题思路．其中，前一种思路突出了通性通法，后一种思路可避免繁杂运算，对两种思路的分析，要根据学生的实际情况，进行启发、点拨．例2是一道利用方程研究曲线性质的证明题，可以通过解方程组求出交点坐标进行证明；也可以利用解析几何常用的“设而不求”的技巧来证明．对后一种思路的分析、讲解要详细，以便让学生掌握．两个例题包括了本章中“已知曲线求方程”和“已知方程研究曲线性质”两个训练重点．通过讲解这两个例题，可复习解析几何的基本方法．教学中，要充分利用好这两个例题，使本章主要知识内容得到较全面的复习和巩固．教学过程1．内容小结．对全章的基础知识内容，作一次小结．可让学生填表(教师按教科书中的项目先准备好表格，留空)．在填完表格的基础上，教师订正或师生共同小结．然后，教师可对一些重点予以强调．比如三种曲线的统一性(方程形式、集合(或轨迹)观点等)以及坐标法的重要性．2．指出本章学习要求和需要注意的问题．可让学生先阅读教科书中相关内容．教师指出学习本章要充分利用“数形结合思想”，高考对本章知识内容的考查要求较高．学习不可能一步到位，而是要在理解基础知识、掌握基本方法的基础上，逐步提高自己分析问题、解决问题的能力．3．讲参考例题．例1：一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5=0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．分析：解答本题可以按求轨迹方程的一般方法来进行．设动圆圆心为M(x，y)，半径为R．设已知两圆的圆心分别为F1、F2，根据题意，有|MF |=R 2|MF |10R 12＋，＝－．⎧⎨⎩则 |MF1|＋|MF2|＝12．即．(x +3)=122++-+y x y 2223()化简整理，得 x y 223627+=1．所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的中心是原点，长轴、短轴长分别是、，焦点在轴上．1263x注：解答本题也可以从几何条件入手，结合椭圆定义找到解题思路．由于|MF1|＋|MF2|＝12＞|F1F2|=6，所以点M 的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴长为12的椭圆．从而可得其标准方程．例2：直线y=x －2与抛物线y2=2x 相交于A 、B 两点，求证OA ⊥OB ．分析1：由于直线与抛物线的方程为已知，故可通过解方程组来求点A 、B 的坐标．再结合斜率公式及两直线垂直的充要条件来进行证明．证法 1：将y ＝x －2代入y2＝2x 中，整理，得x2－6x ＋4=0．解得±．则±． x =3 y =155不妨设点、的坐标分别为－，－、＋，＋．A B A(31)B(31)5555则，＝．∴·×－．k =1k k k =1=1OA OB OA OB --++--++=--535153553515351595 ∴OA ⊥OB ．分析2：设点A 、B 的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，因为OA ⊥OB 成立的的充要条件是x1x2＋y1y2=0．所以，可结合韦达定理进行证明．证法2：同证法1得方程x2－6x ＋4＝0．设点A 、B 的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由一元二次方程根与系数的关系，可知x1＋x2＝6，x1x2＝4．∵y1＝x1－2，y2=x2－2，∴y1y2=(x1－2)(x2－2)=x1x2－2(x1＋x2)＋4=4－12＋4=－4．∴x1x2＋y1y2＝0．∴OA ⊥OB ．4．归纳小结．由于本课前半部分本身带有总结性质，这里可着重对两个例题的解题思路进行总结． 布置作业..复习参考题A 组第8、10、14题．。
圆锥曲线离心率小结
高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率及其取值范围椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ， 变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ， 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ， 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c-，由焦半径公式a ex PF p --=1，即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得 31+==ace （31-舍去），变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得c b a ab 4322=+， 又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e ，得42=e 或342=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==ab a b a ac e ，∴42=e ，∴2=e ， 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又c F F 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421b c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ，∵222a cb -=，∴212222-=--ac a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴26=e ， 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线》小结课件
规律
椭圆、双曲线标准方程求法：一定型，二定量。 最后再验完备性。
训练1： 已知圆C:(x-3)2+y2=100及点A(-3,0),P是圆C上任一点, 线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点,则Q点的轨迹方程 是
解析:如图所示,因为 l 是 PA 的垂直平分线, 所以|PQ|=|AQ|,|QA|+|QC|=|QC|+|QP|=10, 所以 Q 点的轨迹是以 A,C 为焦点的椭圆,且 2a=10,c=3, 所以 a=5,b=4.故所求的椭圆方程为 x2 + y2 =1.
k x2 k y2 1 8
x2 y2 ＝1 18
又： a b 0
kk
y2
x2
抛物线y ax2 a 0的焦应点：坐y2 标 x2
＝1
8 1
1
a b
焦点坐标是: 0,
焦点坐标 ba
F
0,
1 4a
8 k
k 1
k
9
k
k 1
练 透 基 点， 研 通 难 点
问题三：焦点三角形
在焦点三角形PF1F2中，令 PF1 ＝r1,令 PF2 ＝r2
2
4
由焦点弦公式可得|AD|=x1+x2+p=3+1=4, 则|AB|+|CD|=|AD|-2R=4-1=3.
答案:3
问题二：方程形式
基本方法重温
①椭圆 a x2 b y2 a b 0 (a b 0) ②双曲线8k x2 k y2 8 的一个焦点为0，3
的焦点坐标 .
求k值 .
a x2 b y2 a b x2 y2 ＝1 b a
主干知识理
标准方程与几何性质
《圆锥曲线与方程》小结 高考考纲要求教师版
《圆锥曲线与方程》小结一．考查规律1、小题就小考，较少知识点的组合；大题常考综合应用，难度与过去比，有所降低，但灵活性要求较高。
2、选择、填空题是对解答题的补充，以容易和中档题为主。
解答题第1问，把你知道的,,,,F a b c e 点坐标写出来，至少得1分；第2问得分稍难，常常是面积距离定点定值范围等问题。
二．考纲要求1、掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.3、了解圆锥曲线的简单应用.4、理解数形结合的思想三．基本思想解析几何基本思想：用代数方法解决几何问题。
就考试来说，就是先求方程，再联立方程组成方程组，通过消元（二元转化为一元），用12,,x x ，二次项系数等来解决问题。
能解出12,x x 的都不算难题，多数情况下解出12,x x 时带根号或解不出，因此常整体用12x x +，12x x 等来解决问题。
常用技巧是“设而不求，整体代换”。
从解方程组来看，直线与圆锥曲线方程联立消元后只有1212,x x x x +和可用，一定有技巧；两圆锥曲线方程联立相减后只有12121212,,,x x y y x x y y ++--，一定有技巧。
做题至少要写到1212,,x x x x +，体现你知道解析几何基本思想，得到7-8分没有问题。
四．基本运算1、代入法 常用“12120,0,,a x x x x ≠>+⋅”2、点差法 可用“12121212,,y y x x y y k x x -++=-。
多用于中点或斜率已知或相关等。
五．解题思路几何条件转化为：如何整体用1212,x x x x +去解决问题。
常见转化：1、弦长公式12121(1(0)kAB xy ka+=-=====-≠两直线垂直时，可用1k-代k同理求弦长；两直线斜率互为相反数时，可用k-代k同理求弦长；可用同理求弦长等等。
2、垂直问题11221212,),,),0a x yb x y a b x x y y⊥⇔+=若=(=(则以AB为直径的圆过一点，实质是垂直问题。
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专题(三)
圆锥曲线方程的求法与讨论
求圆锥曲线方 程的方法小结
1、代入法（用定义） 2、五步法（特别：参数法、相关点法） 3、待定系数法
互动练习
1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M（2，0）的距
离之差等于2，则点P 的轨迹是 （ D ）
A．直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.P是双曲线
x1+x2=6, ∵y1=x1-2 ,
x1·x2=4 y2=x2-2;
OB
x
∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=x1·x2-2(x1+x2)+4
=4-12+4=-4
kOA • kOB
y1 • x1
y2 x2
y1 y2 x1 x2
4 4
1
∴OA⊥OB
引伸练习
1.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求弦长|AB|。
应的准线,PN⊥l,垂足为N, 由椭圆第二定义得:
| |
PF1 PN
| |
3 5
,即|
PF1
|
3 5
|
PN
|
3 5
(xp
25 3
)
5 xp 5
xp 5时,| PF1 |max| A2F1 | 8,
xp 5时,| PF1 |min | A1F1 | 2
(一)定义的应用
互动 练习
2、已知点P 是椭圆 x2 y2 1 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
标准方程 标准方程 标准方程
几何性质
第二定义
几何性质 第二定义
综合应用 统一定义
几何性质
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
几何条件 标准方程
椭圆
双曲线
抛物线
与两个定点 与两个定点的 与一个定点和
的距离的和等 距离的差的绝对 一条定直线的距
于常数
值等于常数
离相等
x2 y2 1(a b 0) x2 y2 1(a 0,b 0) y2 2 px( p 0)
a2 b2
a2 b2
图 形
顶点坐标 （±a,0),(0,±b)
（±a,0)
（0,0)
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆
双曲线 抛物线
对称性 焦点坐标
离心率 e= c/a 准线方程
X轴，长轴长2a, X轴，实轴长2a,
Y轴，短轴长2b Y轴，虚轴长2b
（±c,0)
（±c,0)
c2=a2-b2
c2=a2+b2
0<e<1
e>1
x=±a2/c x=±a2/c
X轴 （p/2,0)
e=1 x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a)x
专题(一)
定义的应用
(一)定义的应用
互动 练习
1、已知点P 是椭圆
x2 y2 25 9
1一点 ， F1和F2
是椭圆的焦点，
⑴若∠F1PF2=90°，求△ F1PF2的面积
由两点间距离公式得:
| PF1 |2 (x 3)2 y2
x2 6x 9 16 (25 x2 ) 25
9 x2 6x 25 (3 x 5)2
25
5
5 x 5| PF1 |max 8,| PF1 |min 2
(一)定义的应用
互动 练习
2、已知点P 是椭圆 x2 y2 1 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
解法2：同解法1得方程 ( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12
即，动圆圆心P(x,y)到点O1（-3，0）和点O2(3,0)距离的和是12， 所以点P的轨迹是焦点为（-3，0）、（3，0），长轴长等于
12的椭圆。
∵2c=6 ,2a=12 , ∴ c=3 , a=6 ∴b2=36-9=27
94
说明:(1)从图形分析,应有四个解
(2)利用方程求解时,应注意 对K的讨论
y
O
x
例.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证：OA⊥OB （课本P130例2）。
证法1：将y=x-2代入y2=2x中，得 (x-2)2=2x 化简得 x2-6x+4=0
y
A
解得： 则：
x 3 5 y 1 5
右焦点,求:
25 16
(1) PF1 的最大值与最小值
(2) PF1 PF2 的最大值
P
解 (2) 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10
F1
F2
思考题:怎样求
PF1
PF2
(| PF1 | | PF2 2
|)2
25
|PF1|·|PF2|的最小 值?
PF1 PF2 max 25
圆锥曲线复习课
基础知识系统复习
一、学习目标
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的 几何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲 线的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物 线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形，并了解圆锥曲线的初步应用。
知识结构
椭圆
圆
锥 双曲线
曲
线 抛物线
①①①22-2-②-②②得得得22(31|P|+PFcFo11|s·|·θ|P|)P|FPF2F2|=|1=|3·36|P6 F2|=36
故故SS故FF1S1PPFF2F21PF21212||P12PFF|1P1||F|1|P|PF|F2P2|F|ss2inin|690
9sin 13co3s
9 tan
1 cos 1
| PF1 |max 8,| PF1 |min 2
互动 练习
(一)定义的应用
2、已知点P 是椭圆 x2 y2
右焦点,求:
25 16
(1) PF1 的最大值与最小值
1
上一点
， F1和F2
l P
N
是椭圆的左
d
(2) PF1 PF2 的最大值
A1 F1
F2 A2
(1)解法三:(几何法)设l是已知椭圆与焦点F1相
OB
x
kOB
1 3
5 5
, kOA
1 3
5, 5
kOB
• kOA
1 3
5 • 1 5 3
5 1 5 1 5 95
∴OA⊥OB
例1.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证：OA⊥OB （课本P130例2）。
证法2：同证法1得方程 x2-6x+4=0
y
A
由一元二次方程根与系数的关系，可知
Y
P
X
O1
O2
例（课本P129例1）一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y26x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y), 半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。 分别将两已知圆的方程
x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0 配方，得 （x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
Y
P
X
O1
O2
当⊙P与⊙O1:(x+3)2+y2=4外切时，有|O1P|=R+2 ①
当⊙P与⊙O2:(x-3)2+y2=100内切时，有|O2P|=10-R ②
①、②式两边分别相加，得 |O1P|+|O2P|=12
即 ( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12 化简整理得 : x2 y2 1 36 27
所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为 12、6 3.
例（课本P129例1）一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y26x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
Y
P
X
O1
O2
例（课本P129例1）一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y26x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
2.直线y=x+b与抛物线y2=2x相交于A、B ,且弦长|AB|=2 10 , 求该直线的方程.
3.直线l与抛物线y2=2x相交于A、B ,且AB中点的坐标为(3,1), , 求该直线的方程.
4.过抛物线y2=4x的焦点作直线,交此抛物线于A、B两点,求AB 中点的轨迹方程.
习题讲评
基训 P48 三、2 基训 P45 三、2 基训 P46 三、2 基训 P52 三、2
于是得动圆圆心的轨迹方程为 x2 y2 1 36 27
这个动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为 12、6 3.
布置作业：
复习参考题：A组12题、13题
2
d P
F1
F2
(一)定义的应用
互动 练习
2、已知点P 是椭圆 x2 y2 1 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
右焦点,求:
25 16
(1) PF1 的最大值与最小值
P
d
(2) PF1 PF2 的最大值
A1 F1
F2 A2
(1)解法一:(代入法)设P(x,y),易知:c=3, 得F1(-3,0),
改成双曲线
⑵若∠F1PF2=60°，求△ F1PF2的面积 ⑶若∠F1PF2=θ，求△ F1PF2的面积
呢?P
d
解 ⑵⑴⑶ 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10①
F1
F2
又a=5 b=3,∴c=4,2c=8
由由余余由弦弦勾定定股理理定得得理::|P|得PFF:11||2|P2++F|P|1P|F2F+22||2|P2--2F2|2P|P|2F=F161|·|4·|P|②PFF22|c|cooss6θ0=°64=②64②