二次函数小结
第26章小结二次函数的复习课件
2、抛物线 y = 3x 2 + 2 的开口向
坐标为
.
， 顶点
3、抛物线 y =2（ x +1）2 - 4 的顶点坐标为
对称轴为
.
4、当a 为最高点.
时，抛物线 y =（a +2）x 2 的顶点
5、抛物线 y = （ x - 2） 2 + 3 的开口向 ，对称
轴为
，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而
2
1
A
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
-1
D B
2 3 4 56 7
8x
1、本课主要复习了哪些内容？ 2、通过复习，你有什么体会或收获呢？
二次函数 y x2 2x 3
1）用配方法求其顶点D的坐标； 2）求其与y轴的交点C的坐标、与x轴交点A、B （且点A在点B的左边）的坐标。
y x2 2x 1
y
9
8 y=x2-2x+3
7
6
y x2 4x 3
5
4
3
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8x
-1
知识点回顾四：
二次函数一般式与顶点式的转化
一般式
y ax2 bx c
配方
顶点式
y ax m2 k
y ax2 bx c
（
大 a ＞0 致 图 象 a＜0
函 数
a ＞0
变 化 a＜0
在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小. 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大. 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大. 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小.
由a、b、c
二次函数重点知识小结
＜１＞ ＜２＞ ＜３＞
（１）当一丢ｅ［ｍ，一Ｍ
大值是，（ｍ）、，（Ｈ）中的较大者。
ｆｉｘ）的卧值是小期＝Ｔ４ａｃ－ｂ２，删的最
４∈Ⅳ’，由＜１＞×＜２＞得口２‘（１一毛）】ｒ『２０－－Ｘ２）≥Ｉ
而ｊ。（１一＾）≤『兰二譬二卅２：ｉ１（当且仅当而：ｉ１时取等号）， ｘ：（１一屯）≤［兰二鼍爿２＝丢（当且仅当而：ｊ１时取等号），通过＜３＞可得
例２：试说明函数Ｙ＝ｘ２＾＋５，无论Ｘ取何值，ｙ＞０。
分析：第一种方法：用配方法将其化成ｙ＝（ｘ一２）２＋ｌ的形式 来说明。（但如果系数取值不好．该方法就比较麻烦） 第二种方法：用△来说明．因为△＝－４＜Ｏ．所以函数与ｘ轴无交点， 又因为该函数的二次项系数ａ＝Ｉ＞０．所以图象开１３向上。于是，图 象在ｘ轴上方．因此无论ｘ取何值，ｖ＞ｏ。 例３：求证：不论ｍ取什么实数．方程ｘ２－（ｍ２＋ｍ）ｘ＋ｍ一２－－０必 有两个不相等的实数根。 分析：这道题如果用常规做法．就是证明一元二次方程的Ａ＞ Ｏ的问题．然ｆ『ｉｉ本题的判别式△是一个关于ｍ的一元四次多项 式．符号不易判断。这就给证明带来了麻烦。若用函数思想分析题 意。设ｆ（ｘ）－－－＇ｘ２－（ｍ：＋ｍ）ｘ＋ｍ一２，由于它的开口向上，所以只要找到 一个实数ｘＯ。使得ｆ（ｘ０）＜ｏ。就说明这个二次函数的图象与ｘ轴有 两个交点，问题就得到了解决。
对应二次方程的根． 图１ 例２．已知２工２＜３ｘ，求函数，Ｏ）＝Ｊ２＋ｘ＋１的最值。
（２）不等式ａｘ２＋ｂｘ＋Ｃ＞０（或＜ｏ）的解集为对应的二次函数图 像在ｘ轴上方ｆ或下方）的点的横坐标的取值集合．
例：
若不等式舣２＋ｂｘ－Ｉ－４＞０的解集为ｆ
ｘ
Ｉ一２＜ｘ＜ｌ｝。则二
次函数Ｙ＝ｂｘ２＋４ ｘ＋ａ在区ｆｓ３［０，３
二次函数心得体会(实用18篇)
二次函数心得体会（实用18篇）一、重视每一堂复习课数学复习课不比新课，讲的都是已经学过的东西，我想许多老师都和我有相同的体会，那就是复习课比新课难上。
四、要多了解学生。
你对学生的了解更有助于你的教学，特别是在初三总复习间断，及时了解每个学生的复习情况有助于你更好的制定复习计划和备下一堂课，也有利于你更好的改进教学方法。
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心得体会函数作为现代编程领域中最为重要的概念之一，函数是每一位程序员必须掌握的基本技能。
函数可以帮助我们实现代码的复用，并最大化代码的可维护性和可读性，提高代码的效率。
在我研究函数的实践和编程经验中，我发现函数不仅仅是一个工具，而是一种思考方式，一种编写高质量代码的宏观策略。
接下来，我将分享在学习和使用函数的过程中所体会到的经验和心得。
第二段：函数与代码复用。
函数的主要优势之一是代码的复用。
通过将相似或重复的代码封装在函数中，我们可以将其多次调用，而不必重写相同的代码。
这不仅减少了代码量，减轻了维护代码的负担，还使代码的可读性更好，因为调用一组相关功能的函数总比分散在不同位置的代码更易于理解。
第三段：函数与代码可维护性。
另一个函数的优势是提高代码可维护性。
通过将相似功能的代码封装在函数中，我们可以建立代码的分层表示，使代码更具有结构性。
如果将许多类似的代码放在同一文件中，那么将来需要添加或修改其中的一部分代码将会非常困难。
而函数可以将相关代码组合在一起，使代码的逻辑更加清晰，因此更容易维护。
第四段：函数与代码测试。
函数还是测试代码的重要工具。
通过测试函数的输出和输入，我们可以确保其正确性，并保证代码的质量。
函数可以切割代码，以便调试，而不用担心整个代码库的问题。
如果一个函数经过良好的测试，则可以自信地将其重用在许多其他代码中。
第五段：结论。
总之，函数是用于构建任何高质量代码的关键概念。
函数使代码更具有结构性，更容易维护和测试，并使代码更易于阅读，比分散的代码更具可读性。
14--二次函数(小结与复习)
会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题。
情感价值
会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
教学重点
能画出二次函数的图象，用二次函数的知识分析解决有关抛物问题的实际问题，建立二次函数的数学模型并运用它解决实际问题。
教学难点
将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。
（1）求出S与x之间的函数关系式；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用．
问题5：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，进价是每件80元，售价是每件120元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降低1元，商场平均每天可多售出2件，但每件最低价不得低于108元．
二、练习，巩固所学二次函数内容
大有镇中心学校教研组集体备课（初备）
备课组长签字：日期：教研组长签字：日期：
主备人：
马海燕
备课组员
米存
年（班）级
九年级（1）
日期
星期
累计课时
课型
新授
电教课累计
远教课
第课时
授课课通过对实际问题情景的分析确定二次函数表达式，并体会二次函数的意义。
2、会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。
（1）若每件衬衫降低x元（x取整数），商场平均每天盈利y元，试写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均）盈利最多？
三、小结（1）我们是如何研究二次函数的？
（2）二次函数在实际问题应用中需要注意什么？
板书设计
二次函数（小结与复习）
一、复习知识，回顾方法三、小结
九年级数学上册第22章二次函数小结与复习课件新版新人教版
针对训练
11.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的 利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请 结合图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第 几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的 知识，对公司在此款电脑的经营状况 (是否亏损？何时亏损？)作预测分析．
【解析】
方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则
顶点坐标为(1,2)．
方法二代入公式
x2ba2211，y4ac4ab2
41322
41
2，
则顶点坐标为(1,2)．
方法归纳解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx ＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称 轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也 可以直接利用公式求解.
解得, a=2,b=－3,c=5.
待定系数法
∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.
针对训练 5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7
的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离
为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状
＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2
＋2bx＋c的对称轴
x b b 2(1)
，即b≤1，故选择D .
考点四 抛物线的几何变换
例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长 度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线 解析式是( )
二次函数小结与复习教案
二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数的定义、性质和图像；（2）掌握二次函数的求解方法，包括配方法、公式法、图像法；（3）能够运用二次函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（2）培养学生运用二次函数解决实际问题的能力；（3）培养学生合作学习、讨论交流的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其自信心；（2）培养学生勇于探究、积极思考的精神；（3）培养学生团队协作、分享的品质。
二、教学内容1. 复习二次函数的定义：函数式y = ax^2 + bx + c（a ≠0）；2. 复习二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等；3. 复习二次函数的图像：开口向上/向下的抛物线，顶点式、对称轴式等；4. 复习二次函数的求解方法：配方法、公式法、图像法；5. 运用二次函数解决实际问题：长度、面积、最大值、最小值等问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数的定义、性质和图像；（2）二次函数的求解方法；（3）运用二次函数解决实际问题。
2. 教学难点：（1）二次函数的图像分析；（2）运用二次函数解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生回顾二次函数的相关知识，激发学生的学习兴趣；2. 讲解：根据教材，系统讲解二次函数的定义、性质、图像和求解方法，让学生清晰地理解二次函数的基本概念；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决问题，培养学生运用知识的能力；4. 练习：布置课堂练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导；五、课后作业1. 复习二次函数的定义、性质、图像和求解方法；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 选择一个实际问题，运用二次函数解决，并将解题过程和答案写在作业本上。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估其对二次函数知识的掌握程度；3. 练习题：分析学生完成的练习题，了解其在二次函数求解方法和实际问题解决方面的能力；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解其合作学习、交流分享的能力。
第二章二次函数单元小结课件
b2－4ac
b2－4ac＝0
b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点 与x轴没有交点
知识专题
知识点5：二次函数解析式的三种表示方式 1.已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(_a_≠_0_) _.
作业布置
1.布置作业：教材“复习题”中第2、3、4、8、13 题 2.完成练习册中本课时的练习.
知识点6.二次函数的实际应用
最大面积应用题的解题步骤 1.根据要求设出自变量x，因变量y是面积； 2.列出二次函数的解析式，写出自变量取值范围； 3.运用顶点公式或利用配方把解析式化为顶点式求出
面积的最大值。
知识专题
最大利润应用题的解题步骤 1.总利润=单利润×销售数量； 2.设价格为自变量x，总利润为因变量y，列出关系式； 3.运用公式法或配方化为顶点式求出利润的最大值.
开口方向
a＞0 a＜0
向上 向下
对称轴 x=h
顶点坐标 （h，0）
知识专题
知识点3：抛物线的平移
1.平移关系
当h>0时，向右平移 y=ax2
当h<0时，向左平移
y=a(x-h)2
当k>0时，向上平移 当k<0时，向下平移
y=a(x-h)2+k
2.顶点变化 (0，0)
(h，0)
(h，k)
知识专题
知识点4：二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质
考点专练
【要点指点】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函 数表达式时常见的有三种情势：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)； 顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶 点坐标；交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线 与x轴交点的横坐标.
第22章二次函数小结与复习
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1.二次函数的概念
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 是常数，a ≠０ __)的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的
最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特
殊的二次函数．
5.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三
种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交 点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次 方程ax2＋bx＋c=0的根.
有两个交点
有两个重合 的交点 没有交点
下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜
0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是D ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由图像开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧 可得b＜0，由图像与y轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图像上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b ＋c＜0，故③正确； 由图像上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜ 0，由图像上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出
3.二次函数图像的平移
y＝ax2 沿x轴翻折 y＝-ax2
左、右平移 左加右减
ya(xh)2
上、下平移 上加下减
ya(xh)2k
写成一般形式
yax2 bxc
4.二次函数表达式的求法
1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) 2．顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 3．交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
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y
-1
1
x
0
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤ b2 - 4ac > 0
复习五：二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种
情况:
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点
二次函数复习课
复习一：
一般地，函数y ax2 bx c(其中a,b,c是常数， a 0)叫做关于x的二次函数。
1. 自变量的最高次数是2。
2. 二次项的系数a≠0。 3. 二次函数含自变量的代数式必须是整式。 4. 自变量x的取值范围是全体实数。
复习二.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
根据a,b,c的取值，呈现表达式的几种形态：
y=ax²+bx+c (a ≠0, b≠0,c≠0) y=ax²+bx (a ≠0, b≠0,c=0) y=ax²+c (a ≠0, b=0,c≠0)
y=ax²(a ≠0, b=0,c=0)
复习二
熟练运用配方法把一般式化成顶点式：
y 1 x2 6x 21
当x=h时,最大值为k.
2、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
a>0,开口向上
直线x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
(4)当 -2≤x≤1时，y的最大值是_______， y的最小值是_______.
2.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米, 宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直 角坐标系,如图所示,
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标
y
(2)求出这条抛物线的函数关系式
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形
A
“脚手架”ABCD,使A、D两点在抛物线 上,B、C两点在地面OM上,为了筹备材料,
oB
需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、
DC的长度之和的最大值是多少?
P D
CM x
（4）如果现有一辆宽4米,高4米的卡车准备要通过 这个隧道,问它能顺利通过吗?
• 周末作业： • 《同步》P65---69
根据a,h,k的取值，呈现的表达式的几种形态：
y=a(x-h)2+k (a ≠0, h≠0,k≠0) y=a(x-h)2 (a ≠0，h≠0,k=0) y=ax2 +k (a ≠0，h=0,k≠0) y=ax2 (a ≠0，h=0,k=0)
2.一般式y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a ≠0)
求一元二次方程ax2+bx+c=m
求抛物线y= ax2+bx+c
的解．(a,b,c,m为常数）
从“形”上看 与直线y =m交点的
横坐标. (a,b,c,m为常数）
复习六：二次函数的应用
数问题和形问题。 二次函数最值的功能应用。
练习： 1.已知抛物线 y＝-x²+4x+1. (1)对称轴是______； (2)当x______时，y随x的增大而增大。 (3)当 -1<x<3时，y的范围是_______。
复习四：抛物线 y=ax2+bx+c 中a,b,c的基本作用
(1)a确定抛物线的开口方向： (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
b (3)a、b确定对称轴 x=- 2a 的位置: (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： (5)当x=1时，y=a+b+c (6)当x=-1时，y=a-b+c
练习. 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则在下列
2
解： y 1 x2 6x 21
2
提取二次项系数 1 x2 12x 21
2
配方
1 x2 12x 62 36 21
2
1 x 62 -36 21
2
化简:去掉中括号 1 x 62 —18 21.
21 x 62 3.
2
1.能便于 研究图象 的性质。
2.便于画 函数的图 象。
3.能考察 是否在顶 点处取得 最值。
复习三 抛物线的平移
左 y = a( x – h )2 + k 上
右
下
平
平
移
移
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同, 位置不同。已知抛物线的顶点坐标，对称轴，开口方 向，就可以画出大致图象。
a<0,开口向下
直线x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
4a
复习二
1.顶点式y=a(x-h)2+k (a ≠0)
b2 – 4ac= 0
(3)没有交点
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
二次函数与一元二次方程的关系：
求x为何值时，二次函数 y= ax2+bx+c的值为m．
（a,b,c,m为常数）
从“数”上看
求一元二次方程
ax2+bx+c=m的解. （a,b,c,m为常数）
抛物线 开口方向
y=a(x-h)2+k(a>0)
向上
y=a(x-h)2+k(a<0)
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标 增减性 最值
（h,k)
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
(h,k)
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.