人教版九年级数学上册第22章《二次函数》复习小结练习
人教版九年级上册数学第22章复习题含答案
22.1 二次函数复习题（一）、学习反馈一、选择题： １.在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系２.已知函数 y ＝(m ＋2)22mx 是二次函数，则 m 等于（ ）A 、±2B 、2C 、－2D 、±３.已知 y ＝ax 2＋bx ＋ c 的图像如图所示，则 a 、b 、c 满足（ ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＜0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0D 、a ＜0，b ＜0，c ＞0４.苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足S ＝gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D ５.抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ） A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点６.抛物线 y ＝x 2－4x ＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ） A 、0 B 、4C 、－4D 、2二、填空题：１.抛物线 y ＝－x 2＋1 的开口向_________。
２.抛物线 y ＝2x 2 的对称轴是_________。
３.函数 y ＝2 (x －1)2 图象的顶点坐标为_________。
４.将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式 为__________________。
５.函数 y ＝x 2＋bx ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝_________。
６.二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝_________时，y 有最小值。
212stOstOstOstOxyO三题图７.函数 y ＝(x －1)2＋3，当 x_________时，函数值 y 随 x 的增大而增大。
８.将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝_________。
人教版九年级上册 第22章 二次函数复习知识点总结和题型讲解
二次函数复习知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。
（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0.）⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. y＝ax2的性质：2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）4. y ＝a (x －h)2＋k 的性质：5. y ＝ax2+bx+c 的性质：三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a.(a 决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然a ≠0 ① 当0a >时，抛物线开口向上，当0a <时，抛物线开口向下；②a 的绝对值越大，开口越小，反之a 的绝对值越小，开口越大。
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b （a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置）.抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；② （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③ （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c(c 决定了抛物线与y 轴交点的位置)⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 四、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）五、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．八、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 交点式（两根式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）， 适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与x 轴的两个交点（1x ，0），（2x ，0），一般选用交点式；九、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。
【初三数学】南京市九年级数学上(人教版)第22章二次函数单元小结(含答案解析)
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元练习（含答案）一、单选题1．下列函数中，属于二次函数的是( ) A ．y ＝2x ﹣1B ．y ＝x 2+1xC ．y ＝x 2(x +3)D ．y ＝x (x +1)2．若关于x 的函数y=（3-a ）x 2-x 是二次函数，则a 的取值范围( ) A ．a≠0B ．a≠3C ．a ＜3D ．a ＞33．若函数()22122m y m x x -=--+是关于x 的二次函数，且抛物线的开口向上，则m 的值为（ ） A ．-2B ．1C ．2D ．-14．抛物线y ＝（x +3）2﹣4的对称轴为（ ） A ．直线x ＝3B ．直线x ＝﹣3C ．直线x ＝4D ．直线x ＝﹣45．将二次函数223y x x =-+化为()2+y x m h =+的形式，结果为（ ） A ．()214y x =-+ B ．()212y x =-+ C ．()214y x =++D ．()212y x =++6．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．已知二次函数22()y x a b =++的顶点坐标为（2，－3），则a ，b 的值分别为（ ） A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，3D ．-2，38．顶点是（－3，0），开口方向、形状与函数213y x =的图象相同的抛物线为 ( ) A ．21(3)3y x =- B ．21(3)3y x =+C ．21(3)3y x =-+D ．21(3)3y x =--9．已知点()11,A y ，()22,B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A ．122y y ＞＞B ．212y y <<C ．122y y <<D ．212y y <<10．已知抛物线y ＝－(x －1)2＋4，下列说法错误的是（ ） A ．开口方向向下 B ．形状与y ＝x 2相同 C ．顶点(－1，4)D ．对称轴是直线x ＝111．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+2x-3经变换后得到抛物线y=x 2-2x-3，这个变换可以是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位12．如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =OC ；则下列结论：①abc ＜0；②244b aca-＞0；③ac -b +1=0；④OA •OB =-c a ．其中正确的结论（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题13．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-（1）若m=-3，则函数图像的对称轴是_________.（2）对于此函数，在-1≤x≤1的范围内至少有x 值使得y≥0，则m 的取值范围是_______.14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4,)y -，2(1,)y ，则1y ______2y （填“>”，“=”，或“<”）. 15．如图，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为____.16．二次函数223y x x k =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是________．三、解答题17．已知抛物线y ＝ax 2经过点A(2，1)． (1)求这个函数的解析式；(2)画出函数的图像，写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标；(3)抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知y 关于 x 的函数y =（m 2+2m ）x 2+mx +m +1. （1）当m 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m 为何值时，此函数是二次函数？19．已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：（1）请直接写出m 的值为_________． （2）求出这个二次函数的解析式．（3）当03x <<时，则y 的取值范围为______________________________．20．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y 本，销售单价为x 元．（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？21．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）经过A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式；(2)设点M 是直线l 上的一个动点，当点M 到点A ，点C 的距离之和最短时，求点M 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点N ，使S ⊿ABN =43S ⊿ABC ，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.22．学以致用：问题1：怎样用长为20cm 的铁丝围成一个面积最大的矩形？小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为5cm 的正方形时面积最大为225cm ．请用你所学的二次函数的知识解释原因．思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为225m 且周长最小的矩形？ 小明猜测：围成正方形时周长最小．为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的结论：在a b a +…、b 均为正实数）中，若ab 为定值p人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元练习（含答案）一、单选题1．下列函数中，属于二次函数的是( ) A ．y ＝2x ﹣1B ．y ＝x 2+1xC ．y ＝x 2(x +3)D ．y ＝x (x +1)2．若关于x 的函数y=（3-a ）x 2-x 是二次函数，则a 的取值范围( ) A ．a≠0B ．a≠3C ．a ＜3D ．a ＞33．若函数()22122m y m x x -=--+是关于x 的二次函数，且抛物线的开口向上，则m 的值为（ ） A ．-2B ．1C ．2D ．-14．抛物线y ＝（x +3）2﹣4的对称轴为（ ） A ．直线x ＝3B ．直线x ＝﹣3C ．直线x ＝4D ．直线x ＝﹣45．将二次函数223y x x =-+化为()2+y x m h =+的形式，结果为（ ） A ．()214y x =-+B ．()212y x =-+C ．()214y x =++D ．()212y x =++6．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．已知二次函数22()y x a b =++的顶点坐标为（2，－3），则a ，b 的值分别为（ ） A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，3D ．-2，38．顶点是（－3，0），开口方向、形状与函数213y x =的图象相同的抛物线为 ( ) A ．21(3)3y x =- B ．21(3)3y x =+C ．21(3)3y x =-+D ．21(3)3y x =--9．已知点()11,A y ，()22,B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A ．122y y ＞＞B ．212y y <<C ．122y y <<D ．212y y <<10．已知抛物线y ＝－(x －1)2＋4，下列说法错误的是（ ） A ．开口方向向下 B ．形状与y ＝x 2相同 C ．顶点(－1，4)D ．对称轴是直线x ＝111．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+2x-3经变换后得到抛物线y=x 2-2x-3，这个变换可以是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位12．如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =OC ；则下列结论：①abc ＜0；②244b aca-＞0；③ac -b +1=0；④OA •OB =-c a ．其中正确的结论（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题13．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+- （1）若m=-3，则函数图像的对称轴是_________.（2）对于此函数，在-1≤x≤1的范围内至少有x 值使得y≥0，则m 的取值范围是_______.14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4,)y -，2(1,)y ，则1y ______2y （填“>”，“=”，或“<”）. 15．如图，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为____.16．二次函数223y x x k =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是________．三、解答题17．已知抛物线y ＝ax 2经过点A(2，1)． (1)求这个函数的解析式；(2)画出函数的图像，写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标；(3)抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知y 关于 x 的函数y =（m 2+2m ）x 2+mx +m +1. （1）当m 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m 为何值时，此函数是二次函数？19．已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：（1）请直接写出m 的值为_________． （2）求出这个二次函数的解析式．（3）当03x <<时，则y 的取值范围为______________________________．20．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y 本，销售单价为x 元．（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？21．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）经过A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式；(2)设点M 是直线l 上的一个动点，当点M 到点A ，点C 的距离之和最短时，求点M 的坐标； (3)在抛物线上是否存在点N ，使S ⊿ABN =43S ⊿ABC ，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.22．学以致用：问题1：怎样用长为20cm 的铁丝围成一个面积最大的矩形？小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为5cm 的正方形时面积最大为225cm ．请用你所学的二次函数的知识解释原因．思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为225m 且周长最小的矩形？ 小明猜测：围成正方形时周长最小．为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的结论：在a b a +…、b 均为正实数）中，若ab 为定值p 人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元练习（含答案）一、单选题1．下列函数中，属于二次函数的是( ) A ．y ＝2x ﹣1B ．y ＝x 2+1xC ．y ＝x 2(x +3)D ．y ＝x (x +1)2．若关于x 的函数y=（3-a ）x 2-x 是二次函数，则a 的取值范围( ) A ．a≠0B ．a≠3C ．a ＜3D ．a ＞33．若函数()22122m y m x x -=--+是关于x 的二次函数，且抛物线的开口向上，则m 的值为（ ） A ．-2B ．1C ．2D ．-14．抛物线y ＝（x +3）2﹣4的对称轴为（ ） A ．直线x ＝3B ．直线x ＝﹣3C ．直线x ＝4D ．直线x ＝﹣45．将二次函数223y x x =-+化为()2+y x m h =+的形式，结果为（ ） A ．()214y x =-+ B ．()212y x =-+ C ．()214y x =++D ．()212y x =++6．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．已知二次函数22()y x a b =++的顶点坐标为（2，－3），则a ，b 的值分别为（ ） A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，3D ．-2，38．顶点是（－3，0），开口方向、形状与函数213y x =的图象相同的抛物线为 ( ) A ．21(3)3y x =- B ．21(3)3y x =+C ．21(3)3y x =-+D ．21(3)3y x =--9．已知点()11,A y ，()22,B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A ．122y y ＞＞B ．212y y <<C ．122y y <<D ．212y y <<10．已知抛物线y ＝－(x －1)2＋4，下列说法错误的是（ ）A ．开口方向向下B ．形状与y ＝x 2相同C ．顶点(－1，4)D ．对称轴是直线x ＝111．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+2x-3经变换后得到抛物线y=x 2-2x-3，这个变换可以是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位12．如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =OC ；则下列结论：①abc ＜0；②244b aca-＞0；③ac -b +1=0；④OA •OB =-c a ．其中正确的结论（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题13．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-（1）若m=-3，则函数图像的对称轴是_________.（2）对于此函数，在-1≤x≤1的范围内至少有x 值使得y≥0，则m 的取值范围是_______.14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4,)y -，2(1,)y ，则1y ______2y （填“>”，“=”，或“<”）. 15．如图，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为____.16．二次函数223y x x k =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是________．三、解答题17．已知抛物线y ＝ax 2经过点A(2，1)． (1)求这个函数的解析式；(2)画出函数的图像，写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标；(3)抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知y 关于 x 的函数y =（m 2+2m ）x 2+mx +m +1. （1）当m 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m 为何值时，此函数是二次函数？19．已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：（1）请直接写出m 的值为_________． （2）求出这个二次函数的解析式．（3）当03x <<时，则y 的取值范围为______________________________．20．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y 本，销售单价为x 元．（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？21．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）经过A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式；(2)设点M 是直线l 上的一个动点，当点M 到点A ，点C 的距离之和最短时，求点M 的坐标； (3)在抛物线上是否存在点N ，使S ⊿ABN =43S ⊿ABC ，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.22．学以致用：问题1：怎样用长为20cm 的铁丝围成一个面积最大的矩形？小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为5cm 的正方形时面积最大为225cm ．请用你所学的二次函数的知识解释原因．思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为225m 且周长最小的矩形？ 小明猜测：围成正方形时周长最小．为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的结论：在a b a +…、b 均为正实数）中，若ab 为定值p人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元练习（含答案）一、单选题1．下列函数中，属于二次函数的是( ) A ．y ＝2x ﹣1B ．y ＝x 2+1xC ．y ＝x 2(x +3)D ．y ＝x (x +1)2．若关于x 的函数y=（3-a ）x 2-x 是二次函数，则a 的取值范围( ) A ．a≠0B ．a≠3C ．a ＜3D ．a ＞33．若函数()22122my m x x -=--+是关于x 的二次函数，且抛物线的开口向上，则m 的值为（ ） A ．-2B ．1C ．2D ．-14．抛物线y ＝（x +3）2﹣4的对称轴为（ ） A ．直线x ＝3B ．直线x ＝﹣3C ．直线x ＝4D ．直线x ＝﹣45．将二次函数223y x x =-+化为()2+y x m h =+的形式，结果为（ ） A ．()214y x =-+ B ．()212y x =-+ C ．()214y x =++D ．()212y x =++6．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．已知二次函数22()y x a b =++的顶点坐标为（2，－3），则a ，b 的值分别为（ ） A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，3D ．-2，38．顶点是（－3，0），开口方向、形状与函数213y x =的图象相同的抛物线为 ( ) A ．21(3)3y x =- B ．21(3)3y x =+C ．21(3)3y x =-+D ．21(3)3y x =--9．已知点()11,A y ，()22,B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A ．122y y ＞＞B ．212y y <<C ．122y y <<D ．212y y <<10．已知抛物线y ＝－(x －1)2＋4，下列说法错误的是（ ） A ．开口方向向下 B ．形状与y ＝x 2相同 C ．顶点(－1，4)D ．对称轴是直线x ＝111．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+2x-3经变换后得到抛物线y=x 2-2x-3，这个变换可以是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位12．如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =OC ；则下列结论：①abc ＜0；②244b aca-＞0；③ac -b +1=0；④OA •OB =-c a ．其中正确的结论（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题13．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-（1）若m=-3，则函数图像的对称轴是_________.（2）对于此函数，在-1≤x≤1的范围内至少有x 值使得y≥0，则m 的取值范围是_______.14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4,)y -，2(1,)y ，则1y ______2y （填“>”，“=”，或“<”）. 15．如图，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为____.16．二次函数223y x x k =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是________．三、解答题17．已知抛物线y ＝ax 2经过点A(2，1)． (1)求这个函数的解析式；(2)画出函数的图像，写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标；(3)抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知y 关于 x 的函数y =（m 2+2m ）x 2+mx +m +1.（1）当m 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m 为何值时，此函数是二次函数？19．已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：（1）请直接写出m 的值为_________． （2）求出这个二次函数的解析式．（3）当03x <<时，则y 的取值范围为______________________________．20．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y 本，销售单价为x 元．（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？21．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）经过A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式；(2)设点M 是直线l 上的一个动点，当点M 到点A ，点C 的距离之和最短时，求点M 的坐标； (3)在抛物线上是否存在点N ，使S ⊿ABN =43S ⊿ABC ，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.22．学以致用：问题1：怎样用长为20cm 的铁丝围成一个面积最大的矩形？小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为5cm 的正方形时面积最大为225cm ．请用你所学的二次函数的知识解释原因．思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为225m 且周长最小的矩形？ 小明猜测：围成正方形时周长最小．为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的结论：在a b a +…、b 均为正实数）中，若ab 为定值p 人教版九年级上册第二十二章二次函数单元检测（含答案）一、选择题1. 二次函数221y ax x a =++-的图象可能是（ ）提示：对于122-++=a x ax y 的图象，对称轴是直线a x 21-=，当0>a 时，021<-a，则抛物线的对称轴在y 轴左侧，A 、B 、C 、D 四个选项均不符合；当0<a 时，021>-a，则抛物线的对称轴在y 轴右侧，只有B 项图象符合，故选B2．抛物线247y x x =--的顶点坐标是（ ） A ．(211)-，B ．(27)-，C ．(211)，D ．(23)-，提示：11)2(114474222--=-+-=--=x x x x x y 所以顶点坐标为(211)-， 选A3． 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象如图1所示，则点A(ac ，bc)在（ ）．A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限提示：由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象可知：0,0><c a ，∵对称轴0>x ，在y 轴右侧，即02>-ab ，所以0>b ，∴0,0><bc ac ，即点A(ac ，bc)在第二象限 选B4．把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．22(1)y x =-+ B ．22(1)y x =-- C ．221y x =-+D ．221y x =--A B C D提示：备选答案A 是向左移，备选答案B 是向右移，备选答案D 是向下移，所以选D5．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图2所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个D. 5个提示：由图象可知：12,0,0=-><a b c a ，即b a 21-= ∴0>b 故①不正确；由1-=x 时，0<y 得0<+-c b a ，∴c a b +>，所以②不正确；由2=x 时，0>y ，即024>++c b a ，所以③正确；由b a 21-=及0<+-c b a 得④也正确；由1=x 时y 取最大值，故⑤正确，所以选B6．已知一次函数y = ax + b 的图象过点（－2，1），则关于抛物线y = ax 2－bx + 3的三条叙述： ① 过定点（2，1）， ② 对称轴可以是x = 1，③ 当a ＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3．其中所有正确叙述的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3提示：把(-2，1)代入b ax y +=得b a +-=21 把(-2，1)代入32+-=bx ax y 得3241++=b a ，上述两个同解，所以①成立，由对称轴1=x 得12=ab，得a b 2=，与b a +-=21矛盾，所以②不成立；由于y = ax 2－bx + 3与y 轴交于点(0，3)，所以抛物线的顶点最小值为3，③成立 ，所以选C二、填空题72＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m 的值为__________．提示：选择两组y x ,的值代入c bx x y ++=2得⎩⎨⎧++=-++=-c b c 12001 解得⎩⎨⎧-=-=12c b ∴122--=x x y 把2=x 代入122--=x x y 得 1144-=--=y 即1-=m8．抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋a 2＋2的一部分如图3所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点图2图3的坐标是_________提示：抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋a 2＋2的对称轴为122-=-=aax 由图象可知抛物线与x 轴的一个交点为(-3，0)，到直线1-=x 的距离为2，∴另一个交点为(1，0)9．将抛物线22(1)3y x =+-向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为 ．提示：将抛物线22(1)3y x =+-向右平移1个单位为322-=x y ，再向上平移3个单位得到3322+-=x y 即22x y =10．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图4所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．提示：由图象可知抛物线对称轴为1=x ，与x 轴交点(3，0)一元二次方程220x x m -++=图4 图5。
人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 知识点总结及练习
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式()2y a x h k =-+的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x -1 o x 0 x 0 1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
人教版 九年级数学上册 第22章复习测试题带答案
人教版 九年级数学上册 第22章复习测试题带答案22.1 二次函数的图象和性质一、选择题1. 对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( ) A. 对称轴是直线x ＝1，最小值是2 B. 对称轴是直线x ＝1，最大值是2 C. 对称轴是直线x ＝－1，最小值是2 D. 对称轴是直线x ＝－1，最大值是22. 二次函数y ＝x 2－2x ＋4化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，下列正确的是( ) A. y ＝(x －1)2＋2 B. y ＝(x －1)2＋3 C. y ＝(x －2)2＋2 D. y ＝(x －2)2＋43. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b <0；②c >0；③a ＋c <b ；④b 2－4ac >0，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( ) A. 34或1 B. 14或1 C. 34或12 D. 14或345. (2019•雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数22()1y x =-+，下列说法中错误的是A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2y x 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到6. 海滨广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水的最大高度为3米，此时喷水的水平距离为12米．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉喷出的水在空中划出的曲线满足的函数解析式是( )A ．y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3B ．y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1C ．y ＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3D ．y ＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋37. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝cx 的图象可能是( )8. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (b ＞a ＞0)与x 轴最多有一个交点．现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0无实数根；③a －b ＋c ≥0；④a ＋b ＋cb －a的最小值为3.其中，正确结论的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9. (2019•泸州)已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 A ．2a < B ．1a >- C ．12a -<≤D ．12a -≤<10. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BC ＝4，点P 是△ABC 边上一动点，沿B →A →C 的路径移动．过点P 作PD ⊥BC 于点D ，设BD ＝x ，△BDP 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二、填空题11.抛物线y ＝－8x 2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ＞0时，y 随x 的增大而________，当x ＜0时，y 随x 的增大而________．12. 如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3；③a ＋b ＋c>0；④当x>1时，y 随着x 的增大而增大．正确的说法有________．(请写出所有正确说法的序号)13. (2019•襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有的关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地所用的时间为__________s ．14. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．15. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________．16. 已知点(x1，－7)和点(x2，－7)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当x＝x1＋x2时，y的值是________．17. 如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集为____________．三、解答题18. 如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(1，0)，C(0，－3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)设抛物线与x轴的另一交点为B，在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．19. 2018·南京已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？20. 已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3.(1)求A、B两点的坐标；(2)若tan∠PDB＝54，求这个二次函数的关系式．21. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b 满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m<n，求x0的取值范围．22. 如图，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．人教版九年级22.1 二次函数的图象和性质培优训练-答案一、选择题1. 【答案】B 【解析】由二次函数y ＝－(x －1)2＋2可知，对称轴为直线x ＝1排除C ，D ，函数开口向下，有最大值，最大值为当x ＝1时y ＝2，故排除A 选B .2. 【答案】B 【解析】将二次函数的一般式经过配方转化成顶点式，可以加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式．y ＝x 2－2x ＋4＝x 2－2x ＋1＋3＝(x －1)2＋3.3. 【答案】C 【解析】∵图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号，∴b ＞0，故①错误；∵图象与y 轴交于x 轴上方，∴c ＞0，故②正确；当x ＝－1时，a －b ＋c <0，则a ＋c <b ，故③正确；图象与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，故④正确．4. 【答案】A 【解析】由二次函数过点(－1，0)可得a ＋b ＝2，把x ＝1代入y ＝ax 2－bx －2得y ＝a －b －2，即a －b ＝2＋y.由a ＋b ＝2和a －b ＝2＋y 得a ＝2＋12y ，由题意得a ＞0，b ＞0，所以2＋12y ＞0，解得y ＞－4，又由顶点在第四象限，可得y ＝－3或－2或－1.当y ＝－3时，可得a ＝12，b ＝32，则ab ＝34；当y ＝－2时，可得a ＝1，b ＝1，则ab ＝1；当y ＝－1时，可得a ＝32，b ＝12，则ab ＝34，综上ab 的值为34或1.5. 【答案】C【解析】二次函数22()1y x =-+，10a =>，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点为(2,1)，当2x =时，y 有最小值1，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小；故选项A 、B 的说法正确，C 的说法错误； 根据平移的规律，2yx 的图象向右平移2个单位长度得到2(2)y x =-，再向上平移1个单位长度得到22()1y x =-+， 故选项D 的说法正确， 故选C ．6. 【答案】C7. 【答案】C【解析】抛物线开口向上，所以a ＞0，对称轴在y 轴右侧，所以a 、b 异号，所以b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，所以直线y ＝ax ＋b过第一、三、四象限，反比例函数y ＝cx 位于第二、四象限，故答案为C.8. 【答案】D 【解析】 序号 逐项分析 正误① ∵b >a >0，∴对称轴－b2a <0，即对称轴在y 轴左侧√ ② ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，∴y ＝ax 2＋bx ＋c ≥0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0即ax 2＋bx ＋c ＝－2无实数根√③ 由②得y ＝ax 2＋bx ＋c ≥0，∴当x ＝－1时，a －b ＋c ≥0 √④∵当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ≥0，∴a ＋b ＋c ≥3b －3a ，a ＋b ＋c ≥3(b －a )，∵b ＞a ，∴a ＋b ＋cb －a≥3 √9. 【答案】D【解析】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+， ∵抛物线与x 轴没有公共点，∴22(2)4(36)0a a a ∆=---+<，解得2a <， ∵抛物线的对称轴为直线22ax a -=-=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∴1a ≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<， 故选D ．10. 【答案】B【解析】∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(1)当0≤x ≤2时，点P 在AB 边上，△BDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝BD ＝x ，y ＝12x 2 (0≤x ≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x ≤4时，点P 在AC 边上，△CDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝CD ＝4－x ，∴y ＝12BD ·PD ＝12x (4－x ) (2＜x ≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B 的图象能大致反映y 与x 之间的函数关系．二、填空题11. 【答案】下 y 轴 (0，0) 减小 增大12. 【答案】①②④【解析】由于二次函数开口向上，且与y 轴的交点在负半轴上，∴a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，即①正确；又由于二次函数与x 轴交点的横坐标为－1，3.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3即②正确；当x ＝1时，二次函数上的点在第四象限，即a ＋b ＋c ＜0即③错误；由于(－1，0)，(3，0)两点关于二次函数的对称轴为轴对称，∴此二次函数的对称轴方程为：x ＝1，因为二次函数开口向上，所以当x ＞1时y 随x 的增大而增大，即④正确. 故①②④正确．13. 【答案】4【解析】依题意，令0h =得： ∴20205t t =-， 得：(205)0t t -=， 解得：0t =(舍去)或4t =，∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ， 故答案为：4．14. 【答案】21(4)2y x =- 【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠， 把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-， 把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =， 所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案为：21(4)2y x =-．15. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．16. 【答案】0 [解析]依题意可知已知两点关于y 轴对称，∴x 1与x 2互为相反数，即x 1＋x 2＝0.当x ＝0时，y ＝a·02＝0.17. 【答案】x<1或x>3 【解析】∵直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A(1，0)和B(3，2)，∴根据图象可知，不等式x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为x ＜1或x ＞3.三、解答题18. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A(1，0)，C(0，－3)，∴⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－3.∴此二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3. (2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴B(－3，0)，∴AB ＝4. 设点P 的坐标为(m ，n)． ∵△ABP 的面积为10， ∴12AB·|n|＝10，解得n ＝±5. 当n ＝5时，m 2＋2m －3＝5，解得m ＝－4或m ＝2，∴P(－4，5)或P(2，5)； 当n ＝－5时，m 2＋2m －3＝－5，此方程无解．故点P 的坐标为(－4，5)或(2，5)．19. 【答案】解：(1)证明：当y ＝0时，2(x －1)(x －m －3)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝m ＋3.当m ＋3＝1，即m ＝－2时，方程有两个相等的实数根； 当m ＋3≠1，即m ≠－2时，方程有两个不相等的实数根． 综上，不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点． (2)当x ＝0时，y ＝2(x －1)(x －m －3)＝2m ＋6， ∴该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m ＋6，∴当2m ＋6＞0，即m ＞－3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．20. 【答案】解：(1)y ＝ax 2－2ax ＋c＝a(x 2－2x)＋c ＝a(x －1)2＋c －a ∴P 点坐标为(1，c －a)．(2分)如图，过点C 作CE ⊥PQ ，垂足为E ，延长CE 交BD 于点F ，则CF ⊥BD. ∵P(1，c －a)， ∴CE ＝OQ ＝1. ∵PQ ∥BD ，∴△CEP ∽△CFD ， ∴CP CD ＝CE CF .又∵CP ∶PD ＝2∶3， ∴CE CF ＝CP CD ＝22＋3＝25，∴CF ＝2.5，(4分) ∴OB ＝CF ＝2.5，∴BQ ＝OB －OQ ＝1.5， ∴AQ ＝BQ ＝1.5，∴OA ＝AQ －OQ ＝1.5－1＝0.5， ∴A(－0.5，0)，B(2.5，0)．(5分)(2)∵tan ∠PDB ＝54，∴CFDF＝5 4，∴DF＝45CF＝45×2.5＝2，(6分)∵△CFD∽△CEP，∴PEDF＝CE CF，∴PE＝DF·CECF＝2×12.5＝0.8.∵P(1，c－a)，C(0，c)，∴PE＝PQ－OC＝c－(c－a)＝a，∴a＝0.8，(8分)∴y＝0.8x2－1.6x＋c.把A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c＝0，解得c＝－1.(9分)∴这个二次函数的关系式为：y＝0.8x2－1.6x－1.(10分)21. 【答案】【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入y1的函数表达式中，解方程即可；(2)由y1＝(x＋a)(x－a－1)可得出y1过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论即可；(3)先求出y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小即可得解．解：(1)∵函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)，∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分)化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1，∴y1＝x2＋x－2；(4分)(2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，①当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时，把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中，得a2＝b；(6分)②当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时，把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中，得a2＋a＝－b；(8分)(3)∵抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝－a＋a＋12＝12，m<n，∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，∵m<n，∴点Q离对称轴x＝12的距离比P离对称轴x＝12的距离大，(10分)∴|x0－12|<1－12，∴0<x0<1.(12分) 22. 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，－b2a ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)易知直线AB 的表达式为y ＝x ＋3，设P(m ，－m 2－2m ＋3)，过点P 作PC ∥y 轴交AB 于点C ，则C(m ，m ＋3)，PC ＝(－m 2－2m ＋3)－(m ＋3)＝－m 2－3m ， 所以S △PAB ＝12×(－m 2－3m)×3＝－32(m 2＋3m)＝－32(m ＋32)2＋278， 所以当m ＝－32时，S △PAB 有最大值278，此时点P 的坐标为(－32，154)．22.2 二次函数与一元一次方程一、选择题（本大题共10道小题）1. 抛物线y ＝－x 2＋4x －4与坐标轴的交点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．32. 根据下列表格中的数值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b 为常数)根的情况是( )A.B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．无实数根3. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是( )A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1C．x＝－3 D．x＝－24. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝24t－4t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是()A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s5. 若A(－1，0)为抛物线y＝－3(x－1)2＋c上一点，则当y≥0时，x的取值范围是()A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．－1≤x≤3 D．x≤－1或x≥36. 函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立的x的取值范围是()A．x＜－4或x＞2 B．－4＜x＜2C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜27. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为()A. x1＝－3，x2＝－1B. x1＝1，x2＝3C. x1＝－1，x2＝3D. x1＝－3，x2＝18. 根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的取值范围是()A.1.23＜x＜1.24 B．1.24＜x＜1.25C．1.25＜x＜1.26 D．1＜x＜1.239. 如图，抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作C 1，将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．－458＜m ＜－52B ．－298＜m ＜－12C ．－298＜m ＜－52D ．－458＜m ＜－1210. 已知二次函数y ＝－x 2＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )A ．－254<m<3 B ．－254<m<2 C ．－2＜m ＜3D ．－6＜m ＜－2二、填空题（本大题共7道小题）11. 飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后2 s 滑行的距离是________m.12. 如图，已知抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴的两个交点分别是A ，B (点A 在点B的左侧)．(1)点A 的坐标为__________，点B 的坐标为________； (2)利用函数图象，求得当y <5时x 的取值范围为________．13. 已知二次函数y＝kx2－6x－9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为____________．14. 设A，B，C三点分别是抛物线y＝x2－4x－5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是________．15. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是____________．16. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b＞0；②a－b ＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x ＜－1或x＞3时，y＞0.上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)17. 已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是直线x＝－1.(1)求m，n的值；(2)当x取何值时，y随x的增大而减小？19. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m.(1)如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．20. 某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；②方程x2－2|x|＝2有________个实数根；③关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是________．21. 利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)请你再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法；(2)已知函数y＝x3的图象(如图)，求方程x3－x－2＝0的解(精确到0.1)．人教版九年级数学22.2 二次函数与一元一次方程同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析] 当x＝0时，y＝－x2＋4x－4＝－4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，－4)；当y＝0时，－x2＋4x－4＝0，解得x1＝x2＝2，则抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选 C.2. 【答案】A【解析】当x＝2时，方程ax2＋bx＋c＝0，因此方程有一个实数根为2.当x 由－1增大到0时，ax 2＋bx ＋c 的值由－3增大到2，因此可以推断当x 在－1与0之间取某一值时，必有ax 2＋bx ＋c ＝0，说明方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有一个根在－1与0之间．3. 【答案】A[解析] ∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标是(1，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是x 1＝－3，x 2＝1.故选A.4. 【答案】A5. 【答案】C6. 【答案】A[解析] 抛物线的对称轴是直线x ＝－2a2a ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－4，0)．∵a ＜0，∴抛物线开口向下，∴使y ＜0成立的x 的取值范围是x ＜－4或x ＞2.故选A.7. 【答案】C【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a ＋2a＋c ＝0，即3a ＋c ＝0.当x ＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a ＋c ＝0成立，当x ＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a ＋c ＝0(与3a ＋c ＝0不相符)，∴方程的两个根为x 1＝－1，x 2＝3.8. 【答案】B9. 【答案】C【解析】 如图．∵抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，∴B (5，0)，A (9，0)．∴抛物线C 1向左平移4个单位长度得到C 2，∴平移后抛物线的解析式为y ＝12(x －3)2－2.当直线y ＝12x ＋m 过点B 时，有2个交点， ∴0＝52＋m ，解得m ＝－52；当直线y ＝12x ＋m 与抛物线C 2只有一个公共点时，令12x ＋m ＝12(x －3)2－2，∴x 2－7x ＋5－2m ＝ 0，∴Δ＝49－20＋8m ＝0，∴m ＝－298，此时直线的解析式为y ＝12x －298，它与x 轴的交点为(294，0)，在点A 左侧，∴此时直线与C 1，C 2有2个交点，如图所示．∴当直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点时，－298＜m ＜－52.10. 【答案】D【解析】 如图，当y ＝0时，－x 2＋x ＋6＝0，解得x 1＝－2，x 2＝3，则A (－2，0)，B (3，0)．将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方的部分图象的解析式为y ＝(x ＋2)(x －3)，即y ＝x 2－x －6(－2≤x ≤3)．当直线y ＝－x ＋m 经过点A (－2，0)时，2＋m ＝0，解得m ＝－2；当直线y ＝－x ＋m 与抛物线y ＝x 2－x －6有唯一公共点时，方程x 2－x －6＝－x ＋m 有两个相等的实数根，解得m ＝－6.所以当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围为－6＜m ＜－2.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】6 【解析】 当y 取得最大值时，飞机停下来， 则y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，此时t ＝20，飞机着陆后滑行600米停下来， 因此t 的取值范围是0≤t ≤20. 当t ＝18时，y ＝594， 所以600－594＝6(米)． 故答案是：6.12. 【答案】(1)(－3，0)(1，0) (2)－4<x <2【解析】(1)当x2＋2x－3＝0时，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．(2)当y＝5时，x2＋2x－3＝5，x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2.由函数图象可得，当－4<x<2时，y<5.13. 【答案】k＞－1且k≠014. 【答案】15[解析] 当x＝0时，y＝－5，∴点A的坐标为(0，－5)；当y＝0时，x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，不妨设点B在点C的左侧，∴点B的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(5，0)，则BC＝6，∴△ABC的面积为12×6×5＝15.15. 【答案】x1＝－2，x2＝1[解析] 方程ax2＝bx＋c的解即抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax2＝bx＋c的解是x1＝－2，x2＝1.16. 【答案】②③④[解析] 由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，∴b＝－2a，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．①∵a＞0，∴b＜0，∴①错误；②当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，∴②正确；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0的解是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1的交点的横坐标，由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1有两个不同的交点，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，∴③正确；④由图象可知，y＞0时，x＜－1或x＞3，∴④正确．17. 【答案】4[解析] x＋y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴当x＝－1时，x＋y有最大值，最大值是4.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P (－3，1)，对称轴是直线x ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝9－3m ＋n ，－m 2＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝－2. (2)由(1)知二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －2.∵a ＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当x ≤－1时，y 随x 的增大而减小．19. 【答案】解：(1)∵二次函数的图象与x 轴有两个公共点，∴Δ＝b 2－4ac ＝22＋4m ＞0，∴m ＞－1.(2)∵二次函数的图象过点A(3，0)，∴0＝－9＋6＋m ，∴m ＝3，∴二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.令x ＝0，则y ＝3，∴B(0，3)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋3.∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴为直线x ＝1，∴把x ＝1代入y ＝－x ＋3，得y ＝2，∴P(1，2)．(3)根据函数图象可知：使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜0或x ＞3.20. 【答案】解：(1)m ＝0.(2分)(2)如解图所示：(4分)(3)①函数图象有两个最低点，坐标分别是(－1，－1)以及(1，－1)．②函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝0(y轴)．(6分)③从图象信息直接看出：当x＜－1或0＜x＜1时，函数值随自变量的增大而减小；当－1＜x＜0或x＞1时，函数值随自变量的增大而增大．④在x＜－2或x＞2时，函数值大于0，在－2＜x＜0或0＜x＜2时，函数值小于0等．(答案不唯一，合理即可)(4)①3，3；②2; ③－1＜a＜0.(10分)【解法提示】①观察图象可知函数图象与x轴有3个交点，∴方程x2－2|x|＝0有3个不相等的实数根；②把抛物线y＝x2－2|x|向下平移2个单位，得抛物线y＝x2－2||x－2，则抛物线y＝x2－2|x|－2与x轴只有2个交点，∴方程x2－2|x|－2＝0有2个不相等的实数根；③把抛物线y＝x2－2|x|向上平移0＜h＜1时，抛物线与x轴有4个交点，∴抛物线解析式y＝x2－2|x|－a中，0＜－a＜1，∴－1＜a＜0.21. 【答案】解：(1)答案不唯一，如在直角坐标系中画出抛物线y＝x2－1和直线y＝2x，其交点的横坐标就是方程的解．(2)在图中画出直线y＝x＋2，与函数y＝x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，∴方程的解为x≈1.5.22.3【实际问题与二次函数】一．选择题1．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h＝﹣6（t﹣2）2+7，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米B．5米C．6米D．7米2．正方形的边长为3，如果边长增加x，那么面积增加y，则y与x之间的函数表达式是（）A．y＝3x B．y＝（3+x）2C．y＝9+6x D．y＝x2+6x3．对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法中正确的是（）A．当x＝﹣2时，y的最大值是﹣3B．当x＝2时，y的最小值是﹣3C．当x＝2时，y的最大值是﹣3D．当x＝﹣2时，y的最小值是﹣34．一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y 与x的函数关系式为（）A．y＝50（1﹣x）2B．y＝50（1﹣2x）C．y＝50﹣x2D．y＝50（1+x）2 5．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）A．最小值2B．最小值﹣3C．最大值2D．最大值﹣36．若抛物线y＝x2﹣2x+m的最低点的纵坐标为n，则m﹣n的值是（）A．﹣1B．0C．1D．27．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值，则a，b的大小比较为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定8．二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值最大值范围是（）A．t＝0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对9．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值2，则a、b的大小比较为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定10．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（）A．y＝﹣x2+20x B．y＝x2﹣20x C．y＝﹣x2+10x D．y＝x2﹣10x 二．填空题11．已知x2﹣3x+y﹣5＝0，则y﹣x的最大值为．12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．13．如图，有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙（墙长为15m），另外三边用长为16m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为．14．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为．15．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．三．解答题16．龙眼是同安的特产，远销国内外．现有一个龙眼销售点在经销时发现：如果每箱龙眼盈利10元，每天可售出50箱．若每箱龙眼涨价1元，日销售量将减少2箱．若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱龙眼应涨价多少元才能获利最高？17．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？（2）某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？18．某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．（2）若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？19．用长12m的一根铁丝围成长方形．（1）如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的较长的边是多少？（2）能否围成面积是10m2的长方形？为什么？（3）能围成的长方形的最大面积是多少？20．生产商对在甲、乙两地生产并销售的某产品进行研究后发现如下规律：每年年产量为x （吨）时所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y＝x2+5x+90，投人市场后当年能全部售10出，且在甲、乙两地每吨的售价P甲P乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额﹣全部费用）（1）当在甲地生产并销售x吨时，满足P甲＝﹣x+14，求在甲地生成并销售20吨时利润为多少万元；（2）当在乙地生产并销售x吨时，P乙＝﹣x+15，求在乙地当年的最大年利润应为多少万元？参考答案一．选择题1．解：∵h＝﹣6（t﹣2）2+7，∴a＝﹣6＜0，∴抛物线的开口向下，函数由最大值，∴t＝2时，h最大＝7．故选：D．2．解：∵新正方形的边长为x+3，原正方形的边长为3，∴新正方形的面积为（x+3）2，原正方形的面积为9，∴y＝（x+3）2﹣9＝x2+6x，故选：D．3．解：对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，由于﹣1＜0，所以，当x＝2时，y取得最大值，最大值为﹣3，故选：C．4．解：二年后的价格是为：50×（1﹣x）×（1﹣x）＝50（1﹣x）2，则函数解析式是：y＝50（1﹣x）2．故选：A．5．解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），所以该抛物线有最大值是﹣3．故选：D．6．解：∵y＝x2﹣2x+m，∴＝＝n，即m﹣1＝n，∴m﹣n＝1．故选：C．7．解：∵y＝a（x﹣1）2+b有最大值，∴抛物线开口向下a＜0，b＝，∴a＜b．故选：B．8．解：∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，y max＝f（3）＝2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≥t+2时，即t≤1时，y max＝f（t+2）＝﹣（t﹣1）2+2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≤t，即t≥3时，y max＝f（t）＝﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3，故选：C．9．解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值2，∴a＜0，b＝2，则a、b的大小比较为：a＜b．故选：B．10．解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，故选：C．二．填空题11．解：∵x2﹣3x+y﹣5＝0，∴y＝﹣x2+3x+5，∴y﹣x＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，∴y﹣x的最大值为6，故答案为6．12．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min．故答案为：3.75．13．解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16﹣2x）m，由题意可知：y＝x（16﹣2x）＝﹣2（x﹣4）2+32，且x＜8，∵墙长为15m，∴16﹣2x≤15，∴0.5≤x＜8，∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为32m2；故答案为：32m2．14．解：y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．15．解：设P（x，x2﹣x﹣4），四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．故答案为10．三．解答题16．解：设每箱龙眼应涨价x元，总利润为y，根据题意可得：y＝（10+x）（50﹣2x）＝﹣2x2+30x+500＝﹣2（x﹣）2+612.5，答：每箱龙眼应涨价元才能获利最高．17．解：（1）∵y＝﹣0.1（x2﹣26x+169）+16.9+43＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9∴对称轴是：直线x＝13即当（0≤x≤13）提出概念至（13分）之间，学生的接受能力逐步增强；（2）当x＝10时，y＝﹣0.1×102+2.6×10+43＝59．18．解：（1）根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；（2）设每月销售水果的利润为w，则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500＝﹣5x2+100x+1420＝﹣5（x﹣10）2+1920，当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元，答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．19．解：设长方形的宽为xm，则长为（12﹣2x）m，即为（6﹣x）m，则6﹣x≥x，得0＜x≤3，（1）根据题意，得x（6﹣x）＝5，即x2﹣6x+5＝0，x1＝5，x2＝1（舍去），∴此时长方形较长的边为5m．（2）当面积为10m2时，x（6﹣x）＝10，即x2﹣6x+10＝0，此时b2﹣4ac＝36﹣40＝﹣4＜0，故此方程无实数根．所以这样的长方形不存在．（3）设围成的长方形面积为k，则有x（6﹣x）＝k．即x2﹣6x+k＝0，要使该方程有解，必须（﹣6）2﹣4k≥0，即k≤9，∴最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，此时x＝3m，6﹣x＝3m，这时所围成的图形是正方形．20．解：（1）甲地当年的年销售额为（﹣x+14）•x＝（﹣x2+14x）万元；w＝（﹣x2+14x）﹣（x2+5x+90）＝﹣x2+9x﹣90．甲＝﹣×202+9×20﹣90＝30，当x＝20时，w甲所以在甲地生成并销售20吨时利润为30万元；（2）在乙地区生产并销售时，年利润：w＝﹣x2+15x﹣（x2+5x+90）乙＝﹣x2+10x﹣90＝﹣（x﹣25）2+35．∴当x＝25时，w有最大值35万元，乙∴在乙地当年的最大年利润应为35万元．。
人教版数学九年级上册 第22章 《二次函数》章末复习题(含答案)
第22章《二次函数》章末复习题限时：120分钟满分：120分一．选择题（每题3分，共36分）1．抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（）A．（3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣3，4）2．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（，y3），则y1，y 2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y23．对抛物线：y＝﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（）A．与x轴有两个交点B．开口向上C．与y轴的交点坐标是（0，3）D．顶点坐标是（1，﹣2）4．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h＝﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是（）A．1米B．5米C．6米D．7米5．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2+bx+c＝0的一个根7．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x+1）2+2 B．y＝﹣（x﹣1）2+4 C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+48．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x29．已知二次函数y＝ax2的图象开口向上，则直线y＝ax﹣1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限10．下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（）A．B．C．D．11．已知拋物线y＝﹣x2+2，当1≤x≤5时，y的最大值是（）A．2 B．C．D．12．小明从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0，②abc＞0，③a﹣b+c＞0，④2a﹣3b＝0，⑤4a+2b+c＞0，你认为其中正确信息的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（每题4分，共,20分）13．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，则抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过象限．14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是．15．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是．16．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，在飞机着陆滑行中，最后2s滑行的距离是m．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限．设m＝a+b+c，则m的取值范围是．三．解答题（共64分）18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．19．为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会．某公司研发生产一种新型智能环保节能灯，成本为每件40元．市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y（元）与每天的销售量为x（件）的关系如图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元．（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设该公司日销售利润为P元，求每天的最大销售利润是多少元？（3）在试销售过程中，受国家政策扶持，毎销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m（m≤40）元．在获得国家每件m元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m的取值范围是（直接写出结果）．20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，则点P的坐标为；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…0 ﹣2 ﹣2 0 4 …（1）求该二次函数的表达式；（2）当y≥4时，求自变量x的取值范围．23．如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx ﹣3与x轴的另一个交点为点B（2，0），点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；（3）连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．参考答案一．选择1．解：∵y＝x2﹣6x+5，＝x2﹣6x+9﹣9+5，＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（3，﹣4）．故选：A．2．解：根据题意，得y 1＝1+6+c＝7+c，即y1＝7+c；y 2＝4﹣12+c＝﹣8+c，即y2＝﹣8+c；y3＝9+2+6﹣18﹣6+c＝﹣7+c，即y3＝﹣7+c；∵7＞﹣7＞﹣8，∴7+c＞﹣7+c＞﹣8+c，即y1＞y3＞y2．故选：B．3．解：A、∵△＝22﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝﹣8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；B、∵二次项系数﹣1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；C、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误；D、∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），本选项正确．故选：D．4．解：∵高度h和飞行时间t满足函数关系式：h＝﹣5（t﹣1）2+6，∴当t＝1时，小球距离地面高度最大，∴h＝﹣5×（1﹣1）2+6＝6米，故选：C．5．解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3＝0时，y＝2x+1，与x轴有交点．故选：B ．6．解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，故A 选项错误； ∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，故C 选项错误；∵对称轴x ＝1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；故B 选项错误； ∵对称轴x ＝1，∴另一个根为1+2＝3，故D 选项正确． 故选：D ．7．解：由原抛物线解析式可变为：y ＝（x +1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2），与y 轴交点的坐标为（0，3）， 又由抛物线绕着它与y 轴的交点旋转180°，∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点（0，3）中心对称， ∴新的抛物线的顶点坐标为（1，4）， ∴新的抛物线解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+4． 故选：B ．8．解：用作图法比较简单，首先作出y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）图象，任意画一个（开口向上的，与x 轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1，这时与x 轴的交点就是x 1，x 2，画在同一坐标系下，很容易发现： 答案是：x 1＜a ＜b ＜x 2． 故选：C ．9．解：∵二次函数y＝ax2的图象开口向上，∴a＞0；又∵直线y＝ax﹣1与y轴交于负半轴上的﹣1，∴y＝ax﹣1经过的象限是第一、三、四象限．故选：D．10．解：A、根据图象可知，函数在实数范围内是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；B、根据图象可知，函数在对称轴的左边是减函数，函数y随x增大而减小；函数在对称轴的右边是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；C、根据图象可知，函数在两个象限内是减函数，但是如果不说明哪个象限内是不能满足题意的；故本选项错误；D、根据图象可知，函数在实数范围内是减函数，即函数y随x增大而减小；故本选项正确．故选：D．11．解：∵拋物线y＝﹣x2+2的二次项系数a＝﹣＜0，∴该抛物线图象的开口向下；而对称轴就是y轴，∴当1≤x≤5时，拋物线y＝﹣x2+2是减函数，＝﹣+2＝．∴当1≤x≤5时，y最大值故选：C．12．解：①由二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上可知a＞0，图象与y轴交点在负半轴，c＜0，正确；②由图象可知x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，正确；③对称轴x＝﹣＞0，a＞0，b＜0，abc＞0，正确；④对称轴x＝﹣＝，﹣3b＝2a，2a﹣3b＝﹣6b，错误；⑤由图象可知x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，正确．所以①②③⑤四项正确．故选：C．二．填空题（共5小题）13．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，∴△＝b2+4c＜0，∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c中，二次项系数﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，∵判别式＝（﹣b）2﹣4×（﹣1）×c＝b2+4c＜0，∴抛物线与x轴无交点，∴抛物线在x轴的下方，∴抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过第三、四象限；故答案为：三、四．14．解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝3．故答案为：x＝3．15．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∴c＝3．取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．16．解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当t＝18时，y＝594，所以600﹣594＝6（米）故答案是：6．17．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（0，﹣3）、（﹣1，0），∴c ＝﹣3，a ﹣b +c ＝0， 即b ＝a ﹣3， ∵顶点在第四象限， ∴﹣＞0，＜0，又∵a ＞0， ∴b ＜0，∴b ＝a ﹣3＜0，即a ＜3，b 2﹣4ac ＝（a +c ）2﹣4ac ＝（a ﹣c ）2＞0∵a ﹣b +c ＝0， ∴a +b +c ＝2b ＜0， ∴a +b +c ＝2b ＝2a ﹣6， ∵0＜a ＜3，∴a +b +c ＝2b ＝2a ﹣6＞﹣6， ∴﹣6＜a +b +c ＜0． ∴﹣6＜m ＜0． 故答案为：﹣6＜m ＜0． 三．解答题（共6小题）18．解：（1）令y ＝0，即0＝ax 2﹣4ax ， 解得x 1＝0，x 2＝4， ∴A （0，0），B （4，0）．答：点A 、B 的坐标为：（0，0），（4，0）； （2）①设直线PC 解析式为y ＝kx +b ， 将点C （2，1），P （1，﹣a ）代入解得：k ＝1+a ，b ＝﹣3a ﹣1，∴直线PC 解析式为y ＝（1+a ）x ﹣3a ﹣1， 当x ＝4时，y ＝3a +3， 所以点Q 的纵坐标为3a +3．②∵当点Q 在B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，3a+3≥0，∴a≥﹣1∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，∴﹣1≤a＜0当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，所以抛物线与点P不相交．综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜019．解：（1）设每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝kx+b，把（1500，55）与（2000，50）代入y＝kx+b得，，解得：，∴每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝﹣x+70，当y≥45时，﹣x+70≥45，解得：x≤2500，∴自变量x的取值范围1000≤x≤2500；（2）根据题意得，P＝（y﹣40）x＝（﹣x+70﹣40）x＝﹣x2+30x＝﹣（x ﹣1500）2+22500，∵﹣＜0，P有最大值，当x＜1500时，P随x的增大而增大，∴当x＝1500时，P的最大值为22500元，答：每天的最大销售利润是22500元；（3）由题意得，P＝（﹣x+70﹣40+m）x＝﹣x2+（30+m）x，∵对称轴为x＝50（30+m），∵1000≤x≤2500，∴x的取值范围在对称轴的左侧时P随x的增大而增大，50（30+m）≥2500，解得：m≥20，∴m的取值范围是：20≤m≤40．故答案为：20≤m≤40．20．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，把x＝0代入中，得：y＝2，∴C点坐标是（0，2），又B（3，0）∴直线BC的解析式为，∵∴∴＝，由S△BCD ＝2S△AOC得：∴，整理得：m2﹣3m+2＝0解得：m1＝1，m2＝2∵0＜m＜3∴m的值为1或2；（3）存在，理由：设：点M的坐标为：（m，n），n＝﹣x2+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），①当BC是平行四边形的边时，当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），故：m+3＝1，n﹣2＝s或m﹣3＝1，n+2＝s，解得：m＝﹣2或4，故点M坐标为：（﹣2，﹣）或（4，﹣）；②当BC为对角线时，由中点公式得：m+1＝3，n+3＝2，解得：m＝2，故点M（2，2）；综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．21．解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，∴，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣；（2）连接BC，如图1所示，∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，连接BC，如图1所示，设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），且过B（5，0），C（0，﹣）∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，当x＝2时，y＝1﹣＝﹣，∴P（2，﹣），故答案为：（2，﹣）；（3）存在点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形．如图2所示，①当点N 在x 轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，C （0，﹣），∴N 1（4，﹣）；②当点N 在x 轴上方时，如图，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ，在△AN 2D 与△M 2CO 中，∴△AN 2D ≌△M 2CO （ASA ）， ∴N 2D ＝OC ＝，即N 2点的纵坐标为．∴x 2﹣2x ﹣＝，解得x ＝2+或x ＝2﹣， ∴N 2（2+，），N 3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N 的坐标为（4，﹣）或（2+，）或（2﹣，）． 22．解：（1）根据表中可知：点（﹣1，﹣2）和点（0，﹣2）关于对称轴对称， 即对称轴是直线x ＝﹣，设二次函数的表达式是y ＝a （x +）2+k ，把点（﹣2，0）和点（0，﹣2）代入得：，解得：a＝1，k＝﹣，y＝（x+）2﹣＝x2+x﹣2，所以该二次函数的表达式是y＝x2+x﹣2；（2）当y＝4时，y＝x2+x﹣2＝4，解得：x＝﹣3或2，所以当y≥4时，自变量x的取值范围是x≤﹣3或x≥2．23．解：（1）在y＝﹣x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，即点A的坐标为：（﹣6，0），将A（﹣6，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；（2）设点D的坐标为：（m，m2+m﹣3），设DE交AC于F，则点F的坐标为：（m，﹣m﹣3），∴DF＝﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）＝﹣m2﹣m，∴S△ADC ＝S△ADF+S△DFC＝DF•AE+•DF•OE＝DF•OA＝×（﹣m2﹣m）×6 ＝﹣m2﹣m＝﹣（m+3）2+，∵a＝﹣＜0，∴抛物线开口向下，存在最大值，∴当m＝﹣3时，S△ADC又∵当m＝﹣3时，m2+m﹣3＝﹣，∴存在点D（﹣3，﹣），使得△ADC的面积最大，最大值为；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D（﹣4，﹣3），根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D（﹣4，﹣3）关于x轴的对称点D′（﹣4，3），直线AD′的解析式为y＝x+9，由，解得或，此时直线AD′与抛物线交于D（8，21），满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为（﹣4，﹣3）或（8，21）。
初三数学上册(人教版)第二十二章二次函数22.1知识点总结含同步练习及答案
描述：2.二次函数的图象与性质（）的图象与性质（）的图象与性质（、、 是常数，）的图象与性质所以 ．m =2y =a x 2a ≠0y =a (x −h +k )2a ≠0y =a +bx +c x 2a b c a ≠函数 （）在上的最值问题：y =a +bx +c a ≠0y =a +bx +c x 2a >0m <x <n描述：例题：3.二次函数图象的变换平移“上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是 进行加减．对称旋转函数图象旋转可以看成先把原图象上的点（通常我们选择顶点）绕着旋转中心旋转，得到旋转后的点的坐标，即可得到新的函数．x （1） 将二次函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位后，所得图象的函数表达式是______．（2） 如果保持抛物线 的图象不动，把 轴、 轴分别向上、向右平移 个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是_____．解：（1） ；（2） ．（1） “上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是 进行加减．（2） 把 轴、 轴分别向上、向右平移 个单位，就相当于把函数分别向下、向左平移 个单位．y =x 212y =2x 2x y 2y =(x −1+2)2y =2(x +2−2)2x x y 22将二次函数 的图象绕坐标原点 旋转 ，则旋转后的图象对应的解析式为______．y =−2x −1x 2O 180∘y =−−2x +12描述：例题：4.二次函数的解析式设一般式 （）若已知条件或根据已知可推出图象上三个点，可以设成一般式，将已知条件代入解析式，得出关于 、、 的三元一次方程组，解方程即可．设顶点式 （）若已知条件或根据已知可推出函数的顶点或对称轴与最值时，可以设成顶点式，将已知条件代入解析式，求出待定系数．设交点式 （）若已知条件或根据已知可推出图象上纵坐标相同的两个点的坐标为 和 时，可以设交点式，将已知条件代入解析式，求出待定系数．解：．可以看成先把原图象上的点绕着坐标原点 旋转 ，得到旋转后的点的坐标，即可得到新的函数．y =−−2x +1x 2O 180∘（1） 抛物线 关于 轴对称的图象为______．（2） 在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为____．（3） 将抛物线 的图象绕它的顶点 旋转 ，则旋转后的抛物线的函数关系式为______．解：（1） ；（2） ；（3） ．y =−2x −3x 2x y =+x −2x 2x y y =−2x +1x 2A 180∘y =−+2x +3x 2y =−+x +2x 2y =−+2x −1x 2y =a +bx +c x 2a ≠0a b c y =a (x −h +k )2a ≠0y =a (x −)(x −)+m x 1x 2a ≠0(,m )x 1(,m )x 2二次函数的图象经过 ，， 三点，求该二次函数的解析式．分析：已知条件中给出三个点，所以可以设一般式．解：设二次函数的解析式为 （）．将 ，， 三点代入，得解得即二次函数的解析式为 ．A (1,2)B (0,−1)C (−2,5)y =a +bx +c x 2a ≠0A (1,2)B (0,−1)C (−2,5)⎧⎩⎨a +b +c =2,c =−1,4a −2b +c =5.⎧⎩⎨a =2,b =1,c =−1.y =2+x −1x 2已知二次函数的图象的顶点为 ，且过点 ，求该二次函数的解析式．分析：已知一个顶点和另一个点，所以可以设顶点式．解：设二次函数的解析式为 ．将点 的坐标代入，解得 ．所以二次函数的解析式为 ．A (−1,4)B (2,−5)y =a (x +1+4)2B (2,−5)a =−1y =−(x +1+4=−−2x +3)2x 2已知抛物线与 轴的交点坐标是 ，，且抛物线经过 ，求抛物线的解析x A (−2,0)B (1,0)C (2,8)四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
2020-2021学年人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 期末专题复习(含答案)
2020-2021年九年级数学人教版（上）二次函数期末专题复习（含答案）一、选择题 1. 已知函数y=21x 2-x-12，当函数y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是（ ） A. x ＜1 B. x ＞1 C. x ＞-4 D . -4＜x ＜62. 下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax 2+bx +c(a ≠0)模型的是( ) A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D ．圆的周长与圆的半径之间的关系．3. 把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. 32+=x y B. 32-=x y C . 2)3(+=x y D. 2)3(-=x y4. 在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为( )A ．y ＝(x ＋2)2＋2B ．y ＝(x －2)2－2C ．y ＝(x －2)2＋2D ．y ＝(x ＋2)2－25. 将抛物线y ＝x 2－4x －4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为( )A ．y ＝(x ＋1)2－13B ．y ＝(x －5)2－3C ．y ＝(x －5)2－13D ．y ＝(x ＋1)2－36. 如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m ，门宽为2m ．若饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式为（ ）A ．yx 2+26x （2≤x ＜52） B ．yx 2+50x （2≤x ＜52） C ．y ＝﹣x 2+52x （2≤x ＜52）D ．yx 2+27x ﹣52（2≤x ＜52）7. 已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且图象过A(x 1，m)、B(x 1＋n ，m)两点，则m 、n 的关系为( )A. m ＝12nB. m ＝14nC. m ＝12n 2D. m ＝14n 28. 某同学在用描点法画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象时，列出了下面的表格：A. －11B. －2C. 1D. －59. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b<0；②c>0；③a ＋c<b ；④b 2－4ac>0，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 410.已知点A （b ﹣m ，y 1），B （b ﹣n ，y 2），C （b，y 3）都在二次函数y ＝﹣x 2+2bx+c 的图象上，若0＜m ＜n ，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 3＜y 1 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 211.如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y 是x 的函数，函数关系式是（ ）A 、1y x =+B 、1y x =-C 、21y x x =-+ D 、21y x x =--12. 已知函数y ＝x 2+x ﹣1，当m ≤x ≤m+2时，y ≤1，则m 的取值范围（ ） A ．m ≥﹣2 B ．﹣2≤m ≤﹣1C ．﹣2≤mD ．m ≤﹣1二、填空题13. 抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.14. 已知函数①y=x 2+1，②y=-2x 2+x ．函数____(填序号)有最小值，当x=____时，该函数的最小值是_______． 15. 若函数是关于x 的二次函数，则a 的值为 ． 16. 关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于 点，此时 ．17. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B(m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c)，则点A 的坐标是________．18. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝________．19. 如图，某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为242y x x =-++，则水柱的最大高度是 米。
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《二次函数》复习与小结练习
考点一：二次函数的定义
形如：)0(2≠++=a c bx ax y 的函数叫做二次函数，x 是自变量，a,b,c 分别是二
次项系数，一次项系数，常数项。
常见考点：（1）x 的最高次数为2，（2）二次项系数不为0
练习1：下列函数中是二次函数的是（ ）
A 、y=3x-1
B 、323--=x x y
C 、22)1(x x y -+=
D 、132-=x y
练习2、如果函数1232++=+-kx x y k k 是二次函数，那么k=
练习3、若函数1||)1(+-=m x m y 是二次函数，则m 的值是
练习4、若关于x 的函数12)1(122-++=--x x a y a a 是二次函数，求a 的值 练习5、函数mx x m m y ++-=22)23(，当m= 时，它为一次函数，当m 时，它是二次函数。
考点二：二次函数的图象和性质
二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的性质，我们关注：（1）它的开口方向（2）对称轴（3）顶点坐标（4）最值（5）坐标轴的交点。
下面我们分两种情况讨论：
（1）a>0时，二次函数开口向上，有当a
b x 2-<时，y 随x 的增大而减小，当a b x 2->时，y 随x 的增大而增大，当a
b x 2-=时，函数有最小值，a b a
c y 442min -=
（2）a<0时，二次函数开口向下，有当a
b x 2-<时，y 随x 的增大而增大，当a b
x 2->时，y 随x 的增大而减小，当a
b x 2-=时，函数有最大值，a b a
c y 442max -= 对称轴：a b x 2-=，顶点坐标（a b 2-，a b ac 442-）
与x 轴的交点（a ac b b 242-+-，0），（a ac
b b 242---，0）
与y 轴的交点（0，c ）
练习1：抛物线23x y =开口 ，对称轴 ，顶点坐标是
练习2：抛物线32
12+-=x y 开口 ，对称轴 ，顶点坐标是 练习3：抛物线2)1(2-=x y 开口 ，对称轴 ，顶点坐标是 练习4：抛物线2)1(2++-=x y 开口 ，对称轴 ，顶点坐标是 ，当 时，y 随x 的增大而增大，当 时，y 随x 的增大而减小，当 时，函数有最 值，最 值为
练习5：抛物线3222++=x x y 开口 ，对称轴 ，顶点坐标是 ，当 时，y 随x 的增大而增大，当 时，y 随x 的增大而减小，当 时，函数有最 值，最 值为
练习6:若点（1,5），（4,5）在抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的图象上，则它的对称轴是。