高等数学入门1(预备知识)配套习题(基础版)
高数基础考试题库及答案
高数基础考试题库及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. x+2答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x+1答案：B4. 函数y=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. e^(-x) + CC. ln(x) + CD. x^e + C答案：A5. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为：A. 1B. 3C. 9D. -3答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^3-3x的极值点为______。
答案：x=-1或x=22. 函数y=ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)3. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有______。
答案：最大值和最小值4. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数为______。
答案：05. 微分方程dy/dx=2x的通解为______。
答案：y=x^2+C三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。
计算f(1)=0，f(3)=0，f(2)=-2，因此最大值为0，最小值为-2。
2. 求极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5x)。
解：将分子分母同时除以x^3，得到lim(x→∞) [(1-3/x+2/x^2)/(1+2/x-5/x^2)]，当x趋向于无穷大时，极限值为1/1=1。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是减函数。
高数一基础知识
高数一基础知识高数（一）的预备知识第一部份 代数部份 （一）、基础知识：1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。
2．绝对值：aa a⎧=⎨-⎩a a ≥∠3．乘法公式（a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)4.一元二次方程（1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ⎧∆=-〉⎪∆=-=⎨⎪∆〈⎩有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根（3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x 2+px+q=0设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则；1212p qx x x x +=-⎧⎨⋅=⎩（4）十字相乘法： （二）指数和对数1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)nna a x x -⎧≠=⎪⎨=⎪⎩则 2．根式与分数指数：（1）1nna a = （2）m n m na a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）;(1)x y x y a a a +⋅=(2)()m n m n a a ⋅=(3)x y x y a a a -÷=(4)()n n n a b a b ⋅=⋅4．对数：设,xa N X N =则称为以a 为底的对数,记作：log a n =X,lnX ，lgX;5．对数的性质 (1)log a M ·N=log a M+log a N(2) loglog log a a MM N N=- (3) log log xa a N x N =⋅ (4)换底公式：log log log a b a NN b =（5）log ln ,aN x a N e x =⇒= （三）不等式1．不等式组的解法：（1）分别解出两个不等式，例2153241X XX X -<-⎧⎨->-⎩（2）求交集 2、绝对值不等式 （1）;X a a X a ≤⇒-≤≤ （2）;X a X a X a ≥⇒≥≤-或3、1元2次不等式的解法：（1）标准形式：200ax bx c ++≥≤（或）（2）解法：0122⎧⎪⎨⎪⎩ 解对应的一元次方程 判解：0a a ⎧⎪⎨⎪∆⎩①若与不等式同号，解取根外；②若与不等式异号，解取根内；③若无根（＜），则a 与不等式同号；例：（1）2560;xx -+≥ （2）2320;xx -+＜（四）函数1、正、反比例函数：y kx = ， 1y x=2、1元2次函数：2y ax bx c=++ （a ≠0）顶点：2424b ac b a a-（-,）； 对称轴：2bx a=-； 最值：244ac b y a-=；图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数：n y x = （n=1,2,3）；4、指数函数：xy a = （x e ）；5、对数函数：y=ln x第二部分 三角（一）角的概念 1、正角、负角(二)三角变换 1．倒数关系sin α·csc α=1 tan α·cot α=1 sec α·cos α=1sec α=1cos α csc α=1sin α cot α=1tan α 2. 平方关系的22sin cos 1αα+=22tan 1s ee αα+=22cot 1csc αα+=；3．诱导公式：（1）同名函数的：—α，1800±α，3600±α，K ·360+α的三角函数值等于角α的三角函数值；符号采用把X 当作锐角时原角所在象限原函数的符号。
高等数学基础版习题
求一个函数的原函数，叫做求它的不定积分；
求一个函数相应于闭区间的一个带标志点划 分的黎曼和关于这个划分的参数趋于零时的 极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积 分。
整理课件
下面主要讲下不定积分的求解；求定积 分，可先求不定积分，再利用牛顿-莱 布尼兹公式，可得结果。
1
整理课件
3、分部积分法
d d
(1) Pm (x)为m次多项式， eax ,sin axቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ cos ax (2) ln x, arctan x, arcsin x， Pm (x) (3) eax， cos x,sin x (3)会出现循环，注意， 选取的函数不能改变。
I1
认真观察被积函数，找特点，应用 恰当的方法，再求解
•1、直接积分法。
所谓直接积分法，就是被积函数比较简单的情况下 ，可直接利用基本积分公式（3.1-P131）或积分基 本性质（3.2-P133）（这两个一定要记牢）求解或 者稍微拆分变型一下再求积分。
整理课件
习题3.1——1 求不定积分
3
1 x dx
0
2
2 x2d cos x
0
2
2
x
2
cos
x 2
0
2
0
x cos
x 2
dx
x
80 xd sin 2
8
x
sin
x 2
0
0
sin
x 2
dx
8
16 cos x 2
0
8 16
整理课件
4
1
0
x
arctan
xdx
1 1arctan xdx2
高等数学第一章课后习题答案(带解析)
第一章函数与极限第一节映射与函数一、填空题1.函数ln(2)y x =+的定义域为[1,)(2,1]+∞-- .2.设函数2(1)f x x x +=+，则=)(x f x x -2.3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则(e )xf 的定义域为(,0]-∞.4.已知()sin f x x =,[]2()1f x x ϕ=-,则()x ϕ=2arcsin(1)x -,其定义域为5.设2,0,()e ,0,x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩()ln x x ϕ=，则复合函数[]()f x ϕ=2ln ,1,01x x x x ⎧-≥⎨<<⎩.6.设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]()f f x =1.7.函数(10)y x =-≤<二、单项选择题1.函数lnarcsin 23x xy x =+-的定义域为C .A．(,3)(3,2)-∞-- B.(0,3)C.[3,0)(2,3]- D.(,)-∞+∞2.设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >，则()f x 的定义域为B.A.[1,1]a +B.[1,1]a -- C.[1,1]a a -+ D.[1,1]a a -+3.函数11x y x -=+的反函数是D .A.11x y x -=+ B.11xy x-=+ C.11x y x +=- D.11x y x+=-4.设()f x 为奇函数，()x ϕ为偶函数，且[()]f x ϕ有意义，则[()]f x ϕ为B.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不正确三、解答题1.判断函数(ln y x =+的奇偶性，并求其反函数.解：因为()ln(ln(()f x x x f x -=-==-=-，所以()f x 是奇函数.由e yx =，e yx --=，得e e 2y y x --=，所以反函数为e e 2x xy --=2.设)(x f 满足c b a xcx bf x af ,,()1()(=-+均为常数，且)b a ≠,求)(x f .解：x cx bf x af =-+)1()()1(令t x =-1,则t x -=1,故t c t bf t af -=+-1)()1(.xcx bf x af -=+-∴1)()1(.(2)联立(1),(2)得到1(1)(22xbcx ac b a x f ---=.四、证明2()1xf x x =+在其定义域内有界.证明：,x R ∀∈取12M =,使得21()122x x f x M x x =≤==+，所以()f x 在其定义域R 内有界.第二节数列的极限一、单项选择题1.数列极限lim n n y A →∞=的几何意义是D .A．在点A 的某一邻域内部含有{}n y 中的无穷多个点B.在点A 的某一邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点C.在点A 的任何一个邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点D.在点A 的任何一个邻域外部至多含有{}n y 中的有限多个点nn n 632-∞→A.65-B.31 C.35 D.13.数列有界是数列收敛的C条件.A.充分B.充要C.必要D.两者没有关系二、利用数列极限的定义证明:1cos lim0n nn→∞+=.证明：对0ε∀>，要使1cos 1cos 20n n n n nε++-=≤<，只需2n ε>.0ε∀>,取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，就有1cos 0n n ε+-<成立，所以1cos lim0n nn→∞+=.第三节函数的极限一、单项选择题1.=+→x x x 1lim2A.A.32 B.1C.21 D.2.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则C.A.()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B.()f x 在点0x 的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C.()f x 在点0x 的函数值可以不存在D.若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值∞→32x x A.1B.21 C.0D.不存在4.极限0limx x x→=D .A.1B.1- C.0D.不存在二、利用函数极限的定义证明:236lim 53x x x x →--=-.证明：0ε∀>，要使26533x x x x ε---=-<-，只需取δε=，则当03x δ<-<时，就有26533x x x x ε---=-<-成立,所以236lim 53x x x x →--=-.第四节无穷小与无穷大一、单项选择题1.下列命题正确的是C.A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是C.A.1sin(0)x x→ B.1e (0)xx →C.2ln(1)(0)x x +→ D.21(1)1x x x -→-3.下列命题正确的是D.A.两个无穷小的商仍然是无穷小B.两个无穷大的商仍然是无穷大C.112--x x 是1→x 时的无穷小D.1-x 是1→x 时的无穷小4.(附加题)设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则下列命题正确的是B.A.若{}n x 发散，则{}n y 发散B.若1n x ⎧⎫⎨⎩⎭为无穷小，则{}n y 必为无穷小C.若{}n x 无界，则{}n y 必有界 D.若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小提示：已知n n x y 为无穷小，当1n x 为无穷小时，必有1()n n n ny x y x =⋅为无穷小；否A，例n x n =发散，21n y n=收敛；否C，例1(1),1(1)n n n n x n y n ⎡⎤⎡⎤=+-⋅=--⋅⎣⎦⎣⎦均无界；否D，例21n x n=有界，n y n =非无穷小.第五节极限运算法则一、填空题1.21lim2x x x x →+=++12. 2.121lim1x x x →+=-∞.3.22121lim1x x x x →-+=-0.4.212lim3n n n →∞+++=+ 12.5.若232lim43x x x kx →-+=-，则常数k =3-.提示：由已知，得23lim(2)0x x x k →-+=，3k ∴=-.6.设213lim 112x a x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭，则常数a =2.提示：由已知，222113lim ,lim()012x x a x x a x x x →→--=∴--=-，从而2a =.7.e 1lim e 1n nn →∞-=+1.提示：11e 1e lim lim 11e 11en n n n n n→∞→∞--==++8.=-+++∞→)2324(lim 2x x x x 21.9.11021lim 21xx x-→-=+-1，1121lim 21xx x+→-=+1，所以11021lim21xx x →-+不存在.提示：11lim 20,lim 2x xx x -+→→==+∞10.已知21sin ,0()1,0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=>⎪⎩,则0lim ()x f x →=0.二、计算题1.220()lim h x h x h→+-解：1.2222220000()22limlim lim lim(2)2h h h h x h x x xh h x xh h x h x h h h →→→→+-++-+===+=.2.231lim (2sin )x x x x x→∞-++解：因为2332111lim lim 011x x x x x x x x→∞→∞--==++，而2sin x +为有界函数，所以根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，知231lim (2sin )0x x x x x→∞-+=+.3.322232lim 6x x x x x x →-++--解：32222232(1)(2)(1)2lim lim lim 6(3)(2)35x x x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+++++===----+-.4.21lim1x x →-解：211lim1x x x →→=-1x →=14x →=.5.lim x →+∞解：lim x →+∞=limxlimlimx x ==1=-.6.求)1111(lim 31xx x ---→.解：原式32112lim x x x x --+=→)1)(1()2)(1(lim21x x x x x x ++-+-=→112lim21-=+++-=→x x x x .第六节极限存在准则两个重要极限一、填空题1.0sin lim x x x →=1；sin lim x xx→∞=0.提示：0sin lim1x x x →=；sin 1lim lim sin 0x x x x x x →∞→∞=⋅=.2.0sin limsin x x x x x →-=+0；sin lim sin x x xx x→∞-=+1.提示：00sin 1sin lim lim 0sin sin 1x x x x x x x x x x →→--==++；11sin sin lim lim 11sin 1sin x x xx x x x x xx→∞→∞-⋅-==++⋅.3.1lim 1kxx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭e k-（k 为正整数）.提示：.()11lim 1lim 1e kxx k k x x x x ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4.10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭12e-.提示：11221200lim 1lim 1e22xxx x x x ---→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.二、计算题1.30tan sin limx x xx →-解：3200tan sin sin 1cos lim lim cos x x x x x x x x x x →→--=⋅2220002sin sinsin 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭. 2.011limsin x x→解：000011limlim lim lim sin sin sin 2x x x x x x x x x →→→→-=⋅.3.0x →解：原式2220002sin 1sin cos 1cos 2lim 6lim 6lim 311cos sin 32x x x x x x x x x x x x x →→→---====-⋅.4.lim n →∞⎛⎫+解：<++<，又1,1n n n n ====，所以根据夹逼准则知，lim 1n →∞⎛⎫+++=⎪⎭.第七节无穷小的比较一、填空题1.当0x →时，sin 3x 是2x 的低阶无穷小；2sin x x +是x 的等价（或同阶）无穷小；1cos sin x x -+是2x 的低阶无穷小；cos 1x -是2arcsin x 的同阶无穷小；1(1)1nx +-是x n的等价（或同阶）无穷小；32x x -是22x x -的高阶无穷小.提示：222000sin 32sin 1cos sin lim,lim 2,lim,x x x xx x x xx xx →→→+-+=∞==∞13222000cos 11(1)1lim ,lim 1,lim 0arcsin 22nx x x x x x x x x x x n→→→-+--=-==-.2.已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a =32-.提示：12230021(1)1233lim lim 1,1cos 1322x x axax a a x x →→+-==-==---.二、计算题1．21tan 1limx x x →-解：2000tan 1tan 1122lim lim lim 2x x x x xx x x x →→→--===--.2.2220(sec 1)lim3sin x x x x →-解：22222222240002(sec 1)(1cos )1lim lim lim3sin 3cos 312x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪--⎝⎭===⋅⋅.3.0tan 2tan lim3sin sin 2x x x x x→--解：000sin 2sin sin tan 2tan cos 2cos cos 2cos lim lim lim 13sin sin 23sin sin 2sin (32cos )x x x x x xx xx x x x x x x x x x →→→--⋅===---.4.20sin cos 1limsin 3x x x x x →+--解：200sin cos 11limlim sin 333x x x x x x x x →→+-==-.第八节函数的连续性与间断点一、填空题1.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续，则常数,a b 应满足的关系为a b =.提示：()2(0)lim (0)x f a bxa f --→=+==，0sin (0)lim x bxf b x-+→==.2.设0()1,0ln(1),0x f x x bx x x <=-=⎨⎪+⎪->⎪⎩在0x =处连续，则常数a =22，b =1.提示：0(0)lim lim lim x x x axf x ----→→→===，(0)1f =-，00ln(1)(0)lim lim x x bx bxf b x x--+→→+=-=-=-.3.()sin xf x x=的可去间断点为0x =；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为2x =.4.若函数e ()(1)x af x x x -=-有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，则常数a =e .提示：由已知，1e lim (1)x x a x x →--存在，所以1lim(e )0xx a →-=，从而e a =.二、单项选择题1.0x =是1()sin f x x x=的A .A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点提示：01lim ()lim sin0x x f x x x→→==2.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩D.A.在0,1x x ==处都间断B.在0,1x x ==处都连续C.在0x =处连续，1x =处间断D.在0x =处间断，1x =处连续提示：(0)1,(0)0(0)f f f -+=-==；(1)(1)1,(1)1f f f -+===.3.设函数42,0(),0x f x xk x ≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =B .A.4B.14C.2D.12提示：021lim ()limlim ,(0)4x x x f x f k x →→→===.4.函数111122,0()221,0x x x x x f x x --⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪=⎪⎩在0x =处B .A.左连续B.右连续C.左右均不连续D.连续提示：110lim 20,lim 2xxx x -+→→==+∞，从而(0)1(0),(0)1(0)f f f f -+=-≠==.三、讨论函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩在0x =处的连续性.解：111(0)lim ln(1)0(0),(0)lim ee x x xf x f f -+-+--→→=+====，所以()f x 在0x =处不连续，且0x =是第一类跳跃型间断点.四、若2,0()0e (sin cos ),x x a xf x x x x +≤⎧=⎨>+⎩在-∞(，)∞+内连续，求a .解：由于)(x f 在0=x 处连续,所以)0()0()0(f f f ==-+.(0)lim ()lim e (sin cos )1x x x f f x x x +++→→==+=,a a x x f f x x =+==--→→-)2(lim )(lim )0(0,a f =)0(.故1=a .五、设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩.试讨论()g x 在0x =处的连续性.解：()0011lim ()lim lim 令x x t t x g x f f t a x →→→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭，(0)0g =，所以当0a =时，()g x 在0x =处连续，当0a ≠时，()g x 在0x =处间断.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、填空题1.设,0()1,0a x x f x x x +≤⎧=>⎩在(,)-∞+∞内连续，则常数a =12.2.设22,1()1,1x bx x f x x a x ⎧++≠⎪=-⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞处连续，则常数a =1，b =-3.提示：由题意知，1lim ()(1)x f x f a →==，则212lim1x x bx a x→++=-21lim(2)0x x bx →∴++=，则3b =-，进而1a =.3.211lim cos1x x x →-=-cos 2. 4.()2cot 2lim 1tan xx x→+=e .5.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭4e-.提示：41122412lim lim 1e 11xx x xx x x x x -++--→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6.已知lim 82xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数a =ln 2.提示：332233lim lim 1e 822x a x x axx a x aax a a x a x a →∞→∞--⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3ln 8,ln 2a a ==.7.203sin (1)cos lim (1cos )x x x x x →++=+12.8.0x →=12.提示：原式limx→=0x →=22012limsin 222x x x x x →⋅==⋅.9．函数21()23f x x x =--的连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞．二、单项选择题1.当1→x 时,函数1211e 1x x x ---的极限等于D .A.2B.0C.∞D.不存在但不为∞2.设()f x 在2x =连续，(2)3f =，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭D .A.0B.2C.3D.34提示：22222142113lim ()lim ()lim ()(2)244244x x x x f x f x f x f x x x x →→→-⎛⎫-====⎪---+⎝⎭.三、讨论11()1exxf x -=-的连续性，若有间断点，指出其类型.解：()f x 为初等函数，故在其定义区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞内均连续，在其无定义点0,1x x ==间断.据011lim ()lim1ex x x xf x →→-==∞-，知0x =为第二类无穷间断点；据11111111lim ()lim 0,lim ()lim 11e1exx x x x x xxf x f x --++→→→→--====--，知1x =为第一类跳跃间断点.第十节闭区间上连续函数的性质一、单项选择题1.方程sin 2x x +=有实根的区间为A.A.π,32⎛⎫⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭提示：令()sin 2f x x x =+-，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可.2.方程(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)x x x x x x x x x ---+---+---(2)(3)(4)0x x x +---=有D 个实根.A.0B.1C.2D.3提示：令()(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)f x x x x x x x x x x =---+---+---(2)(3)(4)x x x +---，又(1)0,(2)0,(3)0,(4)0f f f f <><>，则由零点定理知，方程在(1,2),(2,3),(3,4)分别至少存在一个根；又()f x 是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根.二、证明题1.证明方程e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.证明：令()e 2xf x x =--，则()f x 在[0,2]上连续，且2(0)10,(2)e 40f f =-<=->，根据零点定理，至少存在一点(0,2)ξ∈，使()0f ξ=，所以方程()0f x =，即e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.2.设()f x 在[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明：令()()F x f x x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()()0F a f a a =-<，()()0F b f b b =->，根据零点定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()f ξξ=.3.附加题设()f x 在[,)a +∞上连续，lim ()0x f x →+∞=.证明()f x 在[,)a +∞上有界.证明：由lim ()0x f x →+∞=，对10,X a ε=>∃>，当x X >时，有()()01f x f x ε=-<=，即()f x 在(,)X +∞上有界；又()f x 在[,]a X 上连续，故()f x 在[,]a X 上有界，所以存在10,M >使[]1(),,f x M x a X ≤∀∈，取{}1max 1,M M =，则对[],x a ∀∈+∞()f x M <，即()f x 在[,)a +∞上有界.第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.()03limsin tan ln 12x x x x →=-+14-.提示：()20003331lim lim lim 4sin tan tan (cos 1)222ln 12x x x xx x x x x x x x →→→-⋅===---+.2.2131lim2x x x →-=+-26-.提示：21lim26x x x x →→==-+-.3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中b a ,为常数，则a =7，b =5.4.若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a =-2.提示：由题意知，20sin 2e 1lim ax x x x →+-20sin 2e 1lim 22ax x x a a x x →⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，从而2a =-.5.曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的C.A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦D .A.22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B.22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C.22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D.22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3.下列各式中正确的是D.A．01lim 1exx x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e xx x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.11lim 1e xx x --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4.设0→x 时，tan e 1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n =A.A.1B.2C.3D.4提示：由题意知，当0→x 时，tan e 1tan xx x - 从而n 取1.5.曲线221e 1ex x y --+=-D .A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是C.A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B.1sin ,(0,)x x x∈+∞C.11sin ,(0,1]x x x∈ D.1sin ,(0,)x x x∈+∞三、计算题（每小题7分，共49分）1.2x →解：2222(1)(2)(413)(1)(413)9limlim 4(2)42x x x x x x x →→→+-+===-.2.()21ln(1)lim cos x x x +→解：()()2211ln(1)ln(1)0limcos lim 1cos 1x x x x x x ++→→=+-222001cos 112limlim ln(1)2eeex x x x x x →→---+===.3.()1lim123nnnn →∞++解：()1312333,31233n n n nnnn<++<⋅∴<++<⋅Q1n =，()1lim 1233nnnn →∞∴++=.4．21sinlimx x x解：2111sinsin sinlim lim limlim 112x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅⋅.5.设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .解：()()()()()()22ln 1ln 2ln 1limln 12lim n n f f f n f f f n n n →∞→∞+++=⎡⎤⎣⎦L L ()()222ln 12ln ln limlim22n n n n a n aan n →∞→∞++++===L .6.1402e sin lim 1e xx x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002e sin 2e sin 2lim lim 1111e 1e x x x x x x x x x x --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ +=-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，11114444000e 2e 12e sin 2e sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x x xx x x x x x x x x x x x x +++-→→→-⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭301lim 1e xx +-→=+=，所以，原式1=.7.已知(lim 1x x →-∞=，求,.a b解：左边22(1)lim limlim x x x x a x b x →-∞→-∞⎡⎤--+⎢==，右边1=，故[]lim (1)1x a x b →-∞--=+，则1,2a b ==-．四、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题8分）解：当a b =时，()0f x ≡，此时()f x 在0x =处连续；当a b ≠时，000011lim ()lim lim lim ln (0)0x x x x x x x x a b a b af x f x x x b→→→→---==-=≠=，故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．五、附加题设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题7分）证明：设1()()2F x f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，而1(0)(0)2F f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()11110222F f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，211(0)(0)022F F f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若1(0)02F F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即(0)0F =或102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，此时取0ξ=或12ξ=即可；若1(0)02F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，由零点定理知：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使()0Fξ=，即1()2f fξξ⎛⎫=+⎪⎝⎭．。
2021_2022学年新教材高中数学第1章预备知识单元复习课第1课时预备知识巩固练习含解析北师大版必
第1课时 预备知识课后训练·巩固提升1.若全集U={0,1,2,4},且∁U A={1,2},则集合A=()A.{1,4}B.{0,4}C.{2,4}D.{0,2}U={0,1,2,4},且∁U A={1,2},则集合A={0,4},故选B .2.若命题p :∃x ∈R ,使2x 2+1≤2,则该命题的否定是()A.∃x ∈R ,使2x 2+1>2B.∃x ∈R ,使2x 2+1≥2C.∀x ∈R ,有2x 2+1≤2D.∀x ∈R ,有2x 2+1>2,可知命题p 的否定是“∀x ∈R ,有2x 2+1>2”.3.已知集合A={x|x 2-2x+1>0},B={y |y =x 2+12},则A ∩B=()A.[12,+∞)B.(1,+∞)C.[12,1)D.[12,1)∪(1,+∞)A={x|x 2-2x+1>0}={x|x ≠1},B={y |y =x 2+12}={y |y ≥12}, ∴A ∩B={x |x ≥12,且x ≠1}.4.若x ∈(1,+∞),则y=3x+1x -1的最小值是.x ∈(1,+∞), ∴y=3x+1x -1=3(x-1)+1x -1+3≥2√3+3,当且仅当x=1+√33时取等号.故所求最小值为2√3+3.√3+35.已知全集U=R ,集合A={x|x 2-3x-10<0},B={x|m+1≤x ≤2m-1}.(1)当m=3时,求集合(∁U A )∩B ;(2)若A ∩B=B ,某某数m 的取值X 围.集合A={x|x 2-3x-10<0}={x|(x+2)(x-5)<0}={x|-2<x<5},当m=3时,B={x|4≤x ≤5},所以∁U A={x|x ≤-2,或x ≥5},所以(∁U A )∩B={5}.(2)因为A ∩B=B ,所以B ⊆A.①当B=⌀时,有m+1>2m-1,解得m<2,此时满足B ⊆A.②当B ≠⌀时,要使B ⊆A ,应满足{m +1≤2m -1,m +1>-2,2m -1<5,解得2≤m<3.综上所述,实数m 的取值X 围是{m|m<3}.1.设集合M={1,2,3},N={z|z=x+y ,x ∈M ,y ∈M },则集合N 中的元素个数为()A.3B.5C.6D.9,N={2,3,4,5,6}, ∴集合N 中的元素个数为5.故选B .2.下列说法正确的是()A.若x>y>z,则|xy|>|yz|B.若1a <1b<0,则ab>b2C.若a>b,c>d,则ac>bdD.若a2x>a2y,则x>y中,取x=1,y=-2,z=-3,则1>-2>-3,但|1×(-2)|<|(-2)×(-3)|,所以A错误;B中,若1a <1b<0,则b<a<0,则b2>ab,所以B错误;C中,取a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,则-1>-2,-3>-4,但-1×(-3)<-2×(-4),所以C错误; D中,若a2x>a2y,则a2(x-y)>0,则x-y>0,则x>y,所以D正确.3.若正实数x,y满足1x +4y=1,且不等式x+y4<m2-3m有解,则实数m的取值X围是()A.(-1,4)B.(-4,1)C.(-∞,-1)∪(4,+∞)D.(-∞,0)∪(3,+∞)(1 x +4y)(x+y4)=2+y4x+4xy≥2+2√y4x·4xy=4,则x+y4≥4,所以不等式x+y4<m2-3m有解,可转化为4<m2-3m,解得m<-1,或m>4,选C.4.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值X围是.B=⌀时,显然B⊆A,此时有m+1≥2m-1,得m≤2.当B≠⌀时,要使B⊆A,在数轴上表示出集合A,B,如图.则有{m+1≥-2,2m-1≤7,m+1<2m-1,解得2<m≤4.综上,实数m的取值X围为m≤4.m|m≤4}5.已知关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2<0.(1)当a=3时,求不等式的解集;(2)当a<0时,求不等式的解集.当a=3时,不等式为3x2-5x-2<0,即(3x+1)(x-2)<0,解得-13<x<2.所以不等式的解集为{x|-13<x<2}.(2)由不等式ax2+(1-2a)x-2<0,可得(ax+1)(x-2)<0.又方程(ax+1)(x-2)=0的两根为x1=-1a,x2=2.①当-1a >2,即-12<a<0时,原不等式的解集为{x|x<2,或x>-1a};②当a=-12时,原不等式的解集为{x|x≠2};③当-1a <2,即a<-12时,原不等式的解集为{x|x>2,或x<-1a}.6.某批发站全年分批购入每台价值为3 000元的电脑共4 000台,每批都购入x台,且每批均需付运费360元,储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比,若每批购入400台,则全年需用去运费和保管费共43 600元.现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用,请问能否恰当安排进货数量使资金够用?写出你的结论,并说明理由.120台时,可以使资金够用.理由如下:设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元,储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比的比例系数设为k,每批购入x台,则共需分4000x批,每批价值3000x元.由题意知y=4000x×360+3000kx,当x=400时,y=43600,解得k=130,所以y=4000x ×360+100x≥2√4000x×360×100x=24000(元),当且仅当4000×360=100x,即x=120时等号成立.x故当每批购入电脑120台时,可以使资金够用.。
高数第一章复习资料
⾼数第⼀章复习资料第⼀章预备知识⼀、定义域1.已知得定义域为,求得定义域。
答案:2.求得连续区间。
提⽰:任何初等函数在定义域范围内都就是连续得。
答案:⼆、判断两个函数就是否相同？1., 就是否表⽰同⼀函数？答案:否2.下列各题中, 与就是否相同？答案:都不相同三、奇偶性1.判断得奇偶性。
答案:奇函数四、有界性,使,则在上有界。
有界函数既有上界,⼜有下界。
1.在内就是否有界？答案:⽆界2.就是否有界？答案:有界,因为五、周期性1.下列哪个不就是周期函数(C)。
A. B. C. D.注意: 就是周期函数,但它没有最⼩正周期。
六、复合函数1.已知,求例:已知,求解1:解2:令, , ,2.设,求提⽰:3.设,求提⽰:先求出4.设,求提⽰:七、函数图形熟记得函数图形。
第⼆章极限与连续⼋、重要概念1.收敛数列必有界。
2.有界数列不⼀定收敛。
3.⽆界数列必发散。
4.单调有界数列极限⼀定存在。
5.极限存在得充要条件就是左、右极限存在并且相等。
九、⽆穷⼩得⽐较1.时,下列哪个与就是等价⽆穷⼩(A)。
A. B. C. D.⼗、求极限1.⽆穷⼩与有界量得乘积仍就是⽆穷⼩。
, , , ,2.⾃变量趋于⽆穷⼤,分⼦、分母为多项式例如: 提⽰:分⼦、分母同除未知量得最⾼次幂。
3.出现根号,⾸先想到有理化补充练习:(1) (2)(3) (4)(5)4.出现三⾓函数、反三⾓函数,⾸先想到第⼀个重要极限例:作业:P49 7 (1)~(3)5.出现指数函数、对数函数、幂指函数,⾸先想到第⼆个重要极限例:作业:P49 7 (4)~(6)6.、、、、、、,可以使⽤洛必达法则作业:P99 5 (1)~(8)7.分⼦或分母出现变上限函数提⽰:洛必达法则+变上限函数得导数等于被积函数例:补充练习:(1) (2)(3) (4)⼗⼀、连续与间断任何初等函数在其定义域范围内都就是连续得。
分段函数可能得间断点就是区间得分界点。
若,则在处连续,否则间断。
北师版高中数学必修第一册课后习题 第1章 预备知识 1.2 集合的基本关系
1.2 集合的基本关系课后训练巩固提升1.以下关系式错误的个数为( ).①0∈0;②0⊇⌀;③0.3∉Q;④0∈N;⑤{a,b}⊆{b,a};⑥{x∈Z|x2-2=0}是空集.A.4B.3C.2D.1,故①错误;“⊇”表示集合与集合间的关系,故②错误;Q是有理数集,0.3是有理数,所以有0.3∈Q,故③错误;N是自然数集,0是自然数,所以0∈N.故④正确;由子集的定义知{a,b}⊆{b,a},故⑤正确;{x∈Z|x2-2=0}=⌀,故⑥正确.2.已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则集合B的子集的个数为( ).A.8B.2C.4D.7A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},当x=0,y=0时,z=0;当x=0,y=1或x=1,y=0时,z=1;当x=1,y=1时,z=2,所以集合B中含有3个元素,其子集的个数为23=8.3.已知集合A={x|x是三角形},B={x|x是等腰三角形},C={x|x是等腰直角三角形},D={x|x是等边三角形},则( ).A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D,∴C⊆B.4.(多选题)已知A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则集合A可以是( ).A.{1,8}B.{2,3}C.{1}D.{2}A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},所以集合A一定是由集合B与C的公共元素构成的集合的子集,结合选项可知A,C正确.5.已知集合A={-2,3,6m-6},若{6}⊆A,则实数m= .{6}⊆A,所以6∈A,所以6=6m-6,即m=2.6.已知集合A={x|1<x<1 021},B={x|x≤a},若A⫋B,则实数a的取值范围为.A={x|1<x<1021},B={x|x≤a},且A ⫋B,可得a≥1021.7.已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac 2},若A=B,求c 的值.,知b≠0,c≠±1,c≠0,a≠0.又A=B,∴{a +b =ac ,a +2b =ac 2,或{a +b =ac 2,a +2b =ac . ∴a=2ac-ac 2或a=2ac 2-ac,即c 2-2c+1=0或2c 2-c-1=0,又c≠±1,∴c=-12. 故所求实数c 的值为-12.1.已知集合A={x ∈N|-3≤x≤1},B={y|y ⊆A},则集合B 中元素的个数为( ).A.2B.3C.4D.5A={x ∈N|-3≤x≤1}={0,1},B={y|y ⊆A}中的元素为集合A 的子集,故集合B 中元素的个数为22=4.2.集合A={a,a 2+1,1},B={2a},若B ⊆A,则实数a=( ).A.-1B.0C.12D.1B ⊆A,∴2a ∈A.①当2a=a 2+1时,解得a=1,则A={1,2,1},故a=1不成立;②当2a=a 时,即a=0,则A={0,1,1},故a=0不成立;③当2a=1时,即a=12,则A={12,54,1},B={1},a=12符合题意,故a=12.3.若集合A 满足={-1,0,12,13,1,2,3,4}的所有非空子集中,具有自倒关系的集合的个数为( ).A.7B.8C.16D.15,集合M 中的元素1和-1的倒数等于本身,满足自倒关系; 2和12必须同时出现在同一个集合中,只能算一个元素,3和13必须同时出现在同一个集合中,只能算一个元素,所以既满足自倒关系集合定义,又是集合M 的子集的集合元素的个数最多有4个,故所求集合的个数为24-1=15.4.已知集合A={a,a-1},B={2,y},C={x|1<x-1<4}.(1)若A=B,则y 的值为 ;(2)若A ⊆C,则实数a 的取值范围是 .由题意可得,a=2或a-1=2.若a=2,则A={1,2},此时y=1;若a-1=2,则A={2,3},此时y=3.综上可知,y 的值为1或3.(2)因为C={x|2<x<5},所以{2<a <5,2<a -1<5,解得3<a<5. 故实数a 的取值范围为(3,5).或3 (2)(3,5)5.设集合A={x|-3≤x≤2},B={x|2k -1≤x≤2k+1,k∈R},且B ⊆A,则实数k 的取值范围是 .B={x|2k-1≤x≤2k+1,k∈R},所以B≠⌀.又B ⊆A,所以有{-3≤2k -1,2k +1≤2,解得-1≤k≤12. :[-1,12] 6.已知集合A={x|ax 2-3x+2=0}的子集只有两个,求实数a 的值.A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素.当a=0时,x=23,满足条件. 当a≠0时,Δ=(-3)2-4a×2=0,得a=98. 综上,a 的值为0或98.。
高数大一上知识点习题
高数大一上知识点习题1. 基本函数与性质1.1 函数与映射的概念函数的定义及其基本性质映射的定义及其基本性质1.2 基本函数的性质与图像幂函数、指数函数、对数函数的性质与图像三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的性质与图像1.3 复合函数与反函数复合函数的定义与性质反函数的定义与性质2. 三角函数与三角恒等式2.1 弧度制与角度制弧度制与角度制的转换关系2.2 三角函数各三角函数定义及其基本性质正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性及图像三角函数的图像变换2.3 三角恒等式基本三角恒等式的推导与应用和差化积与积化和差的相关公式3. 极限与连续3.1 数列的极限数列的极限概念及其基本性质收敛数列与发散数列的判断方法重要极限的计算方法3.2 函数的极限函数极限的定义及其基本性质极限运算法则已知函数极限，确定参数的值3.3 连续与间断函数的连续性与间断点的概念连续函数的性质与运算法则间断点的分类及其特点4. 导数与微分4.1 导数的概念与性质导数的定义及其物理意义导数的四则运算法则导数与几何意义的关系4.2 基本初等函数的导数幂函数、指数函数、对数函数的导数三角函数的导数及其运算法则4.3 高阶导数与导数的应用高阶导数的概念与计算函数在一点的泰勒公式导数在几何上的应用5. 定积分5.1 定积分的概念与性质定积分的定义及其几何意义定积分的性质及运算法则5.2 定积分的计算方法第一类换元法第二类换元法分部积分法5.3 定积分的应用曲线的弧长与曲面的面积平面图形的面积物理应用问题中的定积分以上是高数大一上的知识点习题，希望你能根据这些内容进行学习和练习。
高数作为大一学生的重要基础课程，掌握好这些知识点对于日后的学习和发展都具有重要意义。
祝你学业进步！。