-空间中平面及直线的方程
空间几何中的平面与直线方程求解
空间几何中的平面与直线方程求解在空间几何中，平面和直线是两种基本的几何图形，它们在数学、物理、工程等众多领域都有着广泛的应用。
而平面和直线的方程求解也是空间几何的一个重要的问题。
一、平面的一般式方程求解平面的一般式方程可以表示为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面法向量的三个分量，D为平面到原点的距离。
假设一个平面的法向量为n=[A,B,C]，平面上的一点为P(x0,y0,z0)，那么这个平面的一般式方程可以表示为n·(P-O)+D=0，其中·表示点积运算，O为原点。
化简得到A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，即为所求的平面的一般式方程。
二、平面的点法式方程求解平面的点法式方程可以表示为n·(P-P0)=0，其中n为平面法向量，P0为平面上已知点，P为平面上任意一点。
如果n=[A,B,C]，P0=(x0,y0,z0)，P=(x,y,z)，则点法式方程可以表示为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。
三、直线的标准式方程求解直线的标准式方程可以表示为(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p，其中m、n、p为直线方向向量的三个分量，(x0,y0,z0)为直线上的一点。
化简得到(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=t，其中t为参数，可以表示直线上的任意一点，所以直线的标准式方程也可以表示为x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt。
四、直线的对称式方程求解直线的对称式方程可以表示为(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=(t-t0)，其中m、n、p为直线方向向量的三个分量，(x0,y0,z0)为直线上的一点，t0为参数。
化简得到(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=(t-t0)，而对称式方程可以表示直线上的任意一点，所以直线的对称式方程也可以表示为x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt+t0。
4-3平面与空间直线方程、位置关系、平面束
2020/3/6
1
1
一、平面方程
1.点位式方程
给定M0，和两个不共线的向量，， 那么过M0且平行于，的平面可唯一确定.
称向量，为平面 的方位向量 M0
设M0 ( x0 , y0 , z0 )，
M
{ X1,Y1, Z1}， { X2 ,Y2 , Z2 }
由此可得直线的对称式方程
2020/3/6
x y z1
24
25
34 5
5.两条直线的位置关系
空间中的两条直线可以是相交、平行、重合、异面
设两条直线的方程是：
L1 :
x x1 X1
y y1 Y1
z z1 , Z1
L2 :
x x2 X2
y y2 Y2
z z2 Z2
设Q是空间中任一点，
v
那么点 Q l PQ // v PQ t
设在直角坐标系下，点P 的坐标是 ( x0 , y0 , z0 ) ，向
量 v ( X , Y , Z )，Q点坐标是 ( x, y, z) ，
于是
x
y
x0 y0
tXx tYy
x0 y0
26
27
x2 x1 X1 X2
y2 y1 Y1 Y2
z2 z1 Z1 0 Z2
(3) L1 , L2 平行 v1 // v2 /\/ P1P2
X1 :Y1 : Z1 X 2 :Y2 : Z2 x2 x1 : y2 y1 : z2 z1
于是所求方程为 y 3z 0 .
2020/3/6
初中数学知识归纳空间直角坐标系中平面和直线的方程
初中数学知识归纳空间直角坐标系中平面和直线的方程在初中数学中，学习空间直角坐标系是非常重要的一部分。
掌握好平面和直线的方程，对于解题和图像的分析都有着关键的作用。
本文将对空间中平面和直线的方程进行归纳总结。
一、平面的方程在空间直角坐标系中，平面由一个点和一个法向量确定。
常见的平面方程有点法式和一般式。
1.1 点法式设平面上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，平面的法向量为(a, b, c)，则平面上任意一点M(x, y, z)到点P的位置矢量为PM = (x - x0, y - y0, z - z0)。
根据平面上的点和法向量的垂直关系，可得:a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0这就是平面的点法式方程，也可写成：ax + by + cz + d = 0其中d = -(ax0 + by0 + cz0)。
1.2 一般式将平面的点法式方程展开，可得平面的一般式方程：Ax + By + Cz + D = 0其中A, B, C, D为常数，满足A² + B² + C² ≠ 0。
将一般式方程展开后，即可得到一般式方程的标准形式。
二、直线的方程直线是空间中的一个重要对象，研究直线方程可以帮助我们更好地理解直线的性质并解决相关问题。
2.1 参数方程参数方程是直线方程表示的一种常用形式。
设直线上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，直线的方向向量为(a, b, c)，则直线上任意一点M的位置矢量为：PM = (x - x0, y - y0, z - z0)由于直线上所有点的位置矢量都与方向向量平行，可得：(x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c这就是直线的参数方程形式，也可以写成：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct其中t为参数，表示直线上的不同点。
这种方程表示了直线上所有的点。
空间中的直线与平面方程
空间中的直线与平面方程在几何学中，空间中的直线与平面是两个基本的概念。
直线是空间中最简单的图形之一，由无数点连接而成，而平面则是由无数直线组成的无限延伸的二维图形。
本文将围绕空间中的直线和平面，探讨它们的方程及相关性质。
一、直线的方程在空间中，一条直线的方程可以用参数方程、对称方程和一般方程来表示。
这里我们将重点讨论一般方程。
假设空间中的一条直线L可以由一点P_0(x_0, y_0, z_0)沿着向量\overrightarrow{v}(a, b, c)得到。
那么，直线L上的任意一点P(x, y, z)都满足P_0P与\overrightarrow{v}平行，即P_0P=k\overrightarrow{v}，其中k为任意实数。
根据向量的性质，可以得到以下方程：\frac{{x-x_0}}{a}=\frac{{y-y_0}}{b}=\frac{{z-z_0}}{c}这便是直线L的一般方程。
其中，a、b、c分别为直线L的方向向量的分量；x_0、y_0、z_0是直线L上一点的坐标。
二、平面的方程在空间中，一个平面可以由三个不共线的点确定。
设平面P通过点A(x_1, y_1, z_1)、B(x_2, y_2, z_2)和C(x_3, y_3, z_3)。
那么，平面上的任意一点P(x, y, z)都满足向量\overrightarrow{AP}、\overrightarrow{BP}与\overrightarrow{CP}共面。
根据向量的性质，可以得到以下方程：\begin{vmatrix}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{vmatrix}=0这被称为平面P的一般方程。
其中，x、y、z是平面上任意一点的坐标；x_1、y_1、z_1、x_2、y_2、z_2、x_3、y_3、z_3是平面上的三个点的坐标。
几何空间中的直线和平面的方程式
几何空间中的直线和平面的方程式几何学是一门研究空间和形状的学科。
在几何学中，我们研究如何描述和解释在三维空间中的对象——点、线和平面。
这些对象可以用数学公式来表示，这些公式相当于对象的方程式。
在空间几何中，直线和平面是最基本的对象之一。
在本文中，我们将探讨几何空间中直线和平面的方程式。
一、直线的方程式在三维空间中，直线可以通过以下两种方式来描述：1. 点向式方程式点向式方程式基于直线上的两点：P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)。
由于直线上的任意一点可以表示为P到Q之间的向量v，所以直线的点向式方程式可以表示为：r = P + tv其中，t是任意实数。
我们可以将P到Q之间的向量写成：v = Q-P = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)那么点向式方程式可以写成：x = x1 + (x2-x1) ty = y1 + (y2-y1) tz = z1 + (z2-z1) t这就是一个直线的点向式方程式。
例如，我们可以用点A(1, 0, 0)和点B(0, 1, 0)来表示直线L。
那么直线L的点向式方程式就可以写成：x = 1-ty = tz = 02. 参数式方程式直线的参数式方程式可以表示为：x = x1 + aty = y1 + btz = z1 + ct其中，a、b、c是任意实数，可以表示方向向量。
二、平面的方程式在三维空间中，我们可以通过以下两种方式来定义平面：1. 三点式方程式我们可以通过三个不在同一直线上的点来定义一个平面。
假设这三个点是A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)和C(x3, y3, z3)，那么平面的三点式方程式可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A = y1(z2-z3) + y2(z3-z1) + y3(z1-z2)B = z1(x2-x3) + z2(x3-x1) + z3(x1-x2)C = x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)D = -x1(y2z3-y3z2) - x2(y3z1-y1z3) - x3(y1z2-y2z1)这就是一个平面的三点式方程式。
空间直线与平面的方程与计算
空间直线与平面的方程与计算空间几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中各种几何对象的性质与关系。
其中，空间直线与平面是最基本的几何对象之一。
本文将介绍空间直线和平面的方程以及相关计算方法。
一、空间直线的方程空间直线可以通过一点和一个方向来确定。
假设直线上一点为P(x₁, y₁, z₁)，且方向向量为d(a, b, c)，则空间直线的方程可以表示为：x = x₁ + at (1)y = y₁ + bt (2)z = z₁ + ct (3)其中t为参数。
根据参数t的取值不同，可以得到直线上的不同点。
例子：已知空间直线L过点A(1, 2, 3)且平行于向量V(1, -1, 2)，求直线L的方程。
解：直线L的方程可以表示为：x = 1 + ty = 2 - tz = 3 + 2t二、空间平面的方程空间平面可以通过三个不共线的点来确定。
假设平面上的三个点分别为A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)和C(x₃, y₃, z₃)，则空间平面的方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0 (4)其中A、B、C、D为常数，可以通过已知点A、B、C来确定。
将A、B、C带入方程(4)中，可求解出常数A、B、C、D的值，进而确定平面的方程。
例子：已知空间平面P过点A(1, 2, 3)，B(2, 3, 4)和C(3, 4, 5)，求平面P的方程。
解：将点A(1, 2, 3)、B(2, 3, 4)和C(3, 4, 5)带入方程(4)，得到方程为：x + y + z + D = 0再将点A(1, 2, 3)代入方程，可得：1 +2 +3 + D = 0D = -6因此，平面P的方程为：x + y + z - 6 = 0三、空间直线与平面的关系空间直线与平面可以相互交叉、平行或重合。
下面分别介绍这三种情况的判断方法。
1. 相交情况：若空间直线的方向向量与平面的法向量（平面的法向量可以通过方程(4)中的系数A、B、C确定）不平行，则直线与平面必相交。
平面与空间中的直线与平面方程
平面与空间中的直线与平面方程直线和平面是几何学中重要的概念，它们的方程形式可以描述它们在平面和空间中的位置和性质。
本文将深入探讨平面与空间中的直线与平面方程，并给出相应的示例。
一、平面中的直线方程在平面中，直线可以由一般方程或点斜式方程来表示。
1. 一般方程：平面中的直线可以表示为Ax + By + C = 0的形式，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为零。
这个方程描述了平面中所有满足方程的点构成的直线。
示例：设直线L在平面坐标系中的一般方程为2x - 3y + 5 = 0。
根据这个方程可以确定直线L在平面上的位置和性质。
2. 点斜式方程：平面中的直线也可以表示为y = mx + b的形式，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的交点纵坐标。
示例：设直线L在平面坐标系中的点斜式方程为y = 2x + 1。
通过斜率2和与y轴的交点纵坐标1，可以确定直线L在平面上的位置和性质。
二、空间中的直线方程在空间中，直线可以由参数方程或对称式方程来表示。
1. 参数方程：空间中的直线可以表示为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct的形式，其中x0、y0、z0为直线上的一点，a、b、c为方向比例。
示例：设直线L在空间直角坐标系中的参数方程为x = 1 + t，y = -2 + 2t，z = 3 + 3t。
通过参数方程可以确定直线L在空间中的位置和性质。
2. 对称式方程：空间中的直线也可以表示为(x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c的形式，其中x0、y0、z0为直线上的一点，a、b、c为方向比例。
示例：设直线L在空间直角坐标系中的对称式方程为(x - 1)/2 = (y + 2)/(-2) = (z - 3)/3。
通过对称式方程可以确定直线L在空间中的位置和性质。
三、平面方程平面方程可以用一般方程、点法式方程或法线式方程来表示。
1. 一般方程：平面可以由Ax + By + Cz + D = 0的形式来表示，其中A、B、C、D为常数，且A、B和C不同时为零。
空间直线与平面的方程
空间直线与平面的方程空间中的几何问题涉及到直线和平面的方程，这是解决问题的基础。
本文将介绍空间直线与平面的方程及其应用场景。
一、空间直线的方程空间中的直线可以由参数方程来描述，即通过给定的参数来确定直线上的点。
一条空间直线可以用以下形式的参数方程表示：x = x_0 + aty = y_0 + btz = z_0 + ct其中，(x_0, y_0, z_0) 是直线上的一点，而 a、b、c 是直线的方向向量的三个分量。
t为参数，代表直线上的任意一点。
这样的参数方程可以覆盖直线上的所有点。
二、空间平面的方程类似于直线，空间中的平面也可以通过一般方程或者点法向式方程来描述。
平面的一般方程形式为 Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B、C 是平面法向量的三个分量，(x, y, z) 是平面上的任意一点，D 是常数项。
通过给定 A、B、C 和 D 的值，可以确定一个唯一的平面。
如果已知平面上的一个点 P_0 和法向量 N，我们可以使用点法向式方程来表示平面方程。
点法向式方程的形式为：N · (P - P_0) = 0其中，N 是法向量，·表示向量的点积，(P - P_0) 是平面上的任意一点向量。
三、空间直线与平面的关系空间中的直线和平面可能有不同的关系。
下面介绍几种常见的情况：1. 直线在平面内或与平面重合：当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线将与平面相交于一点，或者直线与平面重合。
根据直线的参数方程和平面的一般方程或点法向式方程，我们可以求解出直线与平面的交点或者判断直线是否与平面重合。
2. 直线与平面平行：当直线的方向向量与平面的法向量平行但不重合时，直线与平面平行。
在这种情况下，直线与平面没有交点。
根据直线的参数方程和平面的一般方程或点法向式方程，我们可以得到判断直线与平面平行的条件。
3. 直线与平面相交于一点：当直线的方向向量既不与平面法向量垂直，也不与平面法向量平行时，直线与平面将相交于一点。
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的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：
2(x 1) 3( y 1) 4(z 1) 0,
即
2x 3y 4z 9 0.
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铃
补例 求过三点
的平面 的方程.
解 取该平面 的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
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铃
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n (0, B,C) i, 平面平行于 x 轴;
此混合积的坐标
形式为:
Z
x2 x1 y2 y1 z2 z1 0. x3 x1 y3 y1 z3 z1
例4 设已知三点 P1(0,0,1), P2(1,1,0)及P（3 1，0，1），求过该三点 的平面方程.
解 所求的平面方程是
即：y z 1 0.
x 0 y 0 z 1 1 1 1 0. 10 0
| A1A2 B1B2 C1C2 |
.
A12 B12 C12 A22 B22 C22
平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20夹角的余弦:
cos
| A1A2 B1B2 C1C2 |
.
A12 B12 C12 A22 B22 C22
两平面垂直的条件
平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20互相垂直的 充要条件是
①
称①式为平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
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铃
平面的点法式方程（1）可以化成
Ax By Cz D 0
其中D Ax0 By0 Cz0是常数，x, y, z的系数A，B，C依次 是法向量的三个坐标分向量.
例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点
1 l k 0.
点（1，1， 2）在平面x ly kz 1上，则要求 3 1 l 2 k 1. 3
解关于l与k的联立方程，得l 2, k 3.
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铃
2. 直线方程
空间直线的一般方程.
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
3(x 3) 4( y 1) 6(z 1) 0. 这里法向量的坐标为n (3,4,6).
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铃
平面的三点式方程
已知不在同一直线上的三点
P1 x1, y1, z1 , P2 x2, y2, z2 , P3 x3, y3, z3 ,
uuuur P1P2
uuuur
与 P1P3 不共线,
A1 xB1 yC1zD10 A2 xB2 yC2 zD2 0
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
A1A2B1B2C1C20. 两平面平行的条件
平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20互相平行的 充要条件是
A1: A2B1: B2C1: C2.
例8 试决定常数 l 与 k 使得平面
x ly kz 1
与平面x y z 8垂直，且过点(1,1, 2). 3
解 两平面垂直要求其向量垂直，即有
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铃
平面的截距式方程
Ax By Cz D 0 (A 0, B 0,C 0).
求平面在x轴上的截距：令y z 0,解得 x D , 同理求得
A
平面在y轴和z轴上的截距分别为：
D B
，
D C
.
若D 0,
平面的截距式方程为
x D
y D
z D
1.
ABC
例6 x+2y+z-1=0表示的平面在x,y,z轴的截距分别是
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
M3 M2
即
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铃
例2 已知一平面的方程为
Ax B y C z D 0 (A 2 B 2 C 2 0).
解
于是
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铃
平面的一般方程
由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面 都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平 面都可以用三元一次方程来表示 .
1, 1 ,1.该平面在第一卦限内的部分如图.
2
z
1
o 1 12 y x
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铃
两平面的夹角
两平面的法向量的夹角(通常指锐角)
称为两平面的夹角.
设平面1和2的法线向量分别为
n1(A1, B1, C1), n2(A2, B2, C2),
那么平面1和2的夹角 应满足
cos |cos(n1 ^, n2)|
即
uuuur uuuur r P1P2 P1P3 0,
以
uuuur P1P2
uuuur P1P3
作为所求平面的法向量.
uuur
uuuur uuuur
设 P x, y, z 是平面上任一点, 显然 P1P 垂直于 P
P1P P1P2 P1P3 0. x x1 y y1 z z1
反过来, 可以证明任一三元一次方程AxByCzD0的图 形总是一个平面.
方程AxByCzD0称为平面的一般方程, 其法线向量为 n(A, B, C).
例如, 方程3x4yz90表示一个平面, n(3,4, 1)是这平 面的一个法线向量.
例3 将平面的一般式方程 3x+4y+6z=1化成点法式方程. 解 先在平面上任意选定一点，比如（-3，1，1）.则有
5-3 空间中平面与直线的方程 1.平面的方程
设一平面通过已知点 P0 (x0, y0, z0 ) 且垂直于非零向
量 n (A , B , C), 求该平面的方程.
任取点P(x, y, z), 则有
P0P n
故
P0Pn 0
zn
P
p0
o x
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0