小学五年级奥数解析01-2：数的整除问题

第一讲数的整除问题

一、基本概念和知识

1.整除——约数和倍数

定义：一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a. 否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b┼a。

如果整数a能被整数b整除（约数 b | 倍数a），a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

2.数的整除性质

性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除 a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。

⑥能被11整除的数的特征：该数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例1：判断123456789这九位数能否被11整除？

解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为2 5—20＝5，又因为11┼5，所以11┼123456789。

例2：判断13574是否是11的倍数？

解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的

数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例1：判断1059282是否是7的倍数？

解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此105 9282是7的倍数。

例2：判断3546725能否被13整除？★

解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为8 21—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.

二、例题

解：∵45=5×9，

∴根据整除“性质2”可知

∴ｙ可取0或5。

∴满足条件的六位数是519930或919935。

例2 李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？

解：∵9□.2□元=9□2□分

28＝4×7，

∴根据整除“性质2”可知

4和7均能整除9□2□。

4｜2□可知□处能填0或4或8。

因为79020，

79424，所以□处不能填0和4；

因为7｜9828，所叫□处应该填8。

又∵9828分=98.28元

98.28÷28＝3.51（元）

答：每支钢笔 3.51元。

个条件的整数。

∴根据能被11整除的数的特征可知：

1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数，

即11｜（15—5a）.或11｜（5a—15）。

但是15—5a=5（3—a），5a—15=5（a—3），又（5，11）=1，因此111（3—a）或11｜（a—3）。

又∵ａ是数位上的数字。

∴ａ只能取0～9。

所以只有a=3才能满足11｜（3—a）或11｜（a—3），

即当a=3时，11｜15—5a。

符合题意的整数只有1323334353。