流体力学 第二章 基本方程组
第二章 动量传输基本方程.
2.1 流体运动的描述
研究方法－－（2）欧拉法 欧拉法以流场中某一空间点作研究对象，分析该点 以及该点与其他点之间物理量随时间的变化过程来研究 流体运动情况的。因此，凡是表征流体运动特征的物理 量都可表示为时间 τ 和空间x、y、z的函数。 z着眼点不是流体质点，而是空间点，设法在流体空间的 每一个点上，描述出流体运动随时间变化的状况。 z每一空间点的运动 整个流场的运动状况。 z以速度作为描述流体在空间变化的变量，研究流体速度 在空间的分布。 z欧拉法把流体视为连续介质，用场论的方法研究流体流 动，是一套最重要的研究方案。我们将采用它来研究动 量传输。
第二章 动量传输的基本方程
2.1 流体运动的描述 2.2 连续性方程 2.3 理想流体动量传输微分方程－欧拉方程 2.4 实际流体动量传输方程－纳维尔-斯托克斯方程 2.5 柏努利方程 2.6 柏努利方程的应用 小结
2.1 流体运动的描述
引入场的概念——物理量在空间的分布 流场的概念
流场是指充满运动流体的空间。运动参数表 示流体运动特征的所有物理量，如速度、密度、 压力、粘性力等。流体动力学研究流体质点的运 动参数随时间及空间位置变化的规律。
v v ′(M ′,τ + Δτ ) v v (M , τ )
M′
v ∂v ∂τ
)+
Δτ → 0
M
lim v (M ′ , τ
v dv v (M , τ + Δ τ ) − v (M , τ = lim Δτ dτ Δτ → 0
) − v (M , τ )
Δτ
v v MM ′ v (M ′, τ ) − v (M , τ ) ∂v (M , τ ) v lim lim = Δτ → 0 Δτ MM ′ → 0 ∂S MM ′
第二章--计算流体力学的基本知识
第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。
这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。
2.1计算流体力学简介2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。
20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。
数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。
从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。
数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。
数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。
自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。
最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。
航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。
流体运动的规律由一组控制方程描述。
计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。
但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。
计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。
计算流体力学是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程(Euler或Navier-Stokes方程)以发现各种流动现象规律的学科。
高等流体力学-流体力学基本方程组ppt
状态方程
总结词
描述流体状态变化的方程
详细描述
状态方程是流体动力学中描述流体状态变化的方程。它 表达了流体的某些物理属性之间的关系。在流体力学中 常用的状态方程包括理想气体状态方程、理想液体状态 方程和真实气体状态方程等。理想气体状态方程通常可 以表示为：$pV = nRT$，其中$p$是压力，$V$是体积， $n$是摩尔数，$R$是气体常数，$T$是温度。理想液体 状态方程通常可以表示为：$rho = text{常数}$。
非线性性
大多数流体力学方程是非线性的，这 意味着它们不满足叠加原理。非线性 方程的解通常更加复杂，可能需要特 定的初始和边界条件来求解。
定常与非定常性
要点一
定常性
定常或稳态方程描述的是不随时间变化的流动状态。定常 方程通常更容易求解，因为它们不包含时间导数项。
要点二
非定常性
非定常或非稳态方程描述的是随时间变化的流动状态。求 解非定常方程通常需要使用数值方法，因为它们包含时间 导数项，需要追踪流动随时间的变化。
02
流体的运动规律对于理解自然现 象、优化工程设计、提高生产效 率等方面具有重要意义。
流体力学的发展历程
01
流体力学的发展可以追溯到古代，如中国的水利工程和灌溉系 统等。
02
17世纪，牛顿建立了经典力学体系，为流体力学的发展奠定了
基础。
19世纪末到20世纪初，随着工业革命和科技的发展，流体力学
03
03
流体力学基本方程组的推导
连续性方程的推导
总结词
连续性方程描述了流体质量守恒的性质，通过质量守恒原理推导得出。
详细描述
连续性方程基于质量守恒原理，即流入和流出一个封闭系统的质量之差等于系统内质量的增加或减少。在流体力 学中，连续性方程表达了单位时间内流入流出控制体的流体质量流量与控制体内流体质量的变化率之间的关系。
《流体力学》第二章流体静力学
p z C g
pa 4 3 真空 1
p2 g
p=0
z1
z3
2
z=0
p 为压强水头 g
z 为位置水头
2.3 重力场中的平衡流体 重要结论
p p0 gh
(1) 在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性 规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。 (2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成： 一部分是自由液面上的压强P0；另一部分是该点到自由 液面的单位面积上的液柱重量ρgh。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静 压强相等，即任一水平面都是等压面。
2.2 流体平衡微分方程 一、欧拉平衡方程
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
2 3
2
3
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
dA dA n
dF pdAn
F pdAn
A
流体静压力：作用在某一面积上的总压力； （矢量） 流体静压强：作用在某一面积上的平均压强或某一点的 （标量） 没有方向性 压强。
2.1 平衡流体上的作用力 证明：
z A
pn px
微元四面体受力分析
py
dx C x
dz O dy B y
y
p x p y p z pn
C x
pz
f
↑
z
表 面 力 质 量 力
1 d yd z 2 1 Py p y d zd x 2 1 P p d yd x z z 2 P n pn d A P x px
流体力学的基本方程
z
(vz)dxdydz
vy
v
z
vx (x, y,z)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
微元六面体内密度变化引起 的每秒的流体质量的变化量：
tCVdvt dxdydz
故 ： tdx d x (v x y ) dd x z d y (v y y ) d d x z d z (v z y ) dd x z 0 dydz
t
xkuku
——单位体积的流体控制体的质量变化率 ——单位体积的流体控制体的质量净流出量
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
1.定常流动 0
t
xk
uk 0
Duk 0
Dt xk
t xk
uk0
2.不可压缩流体
D 0
Dt
uk 0 xk
注意：不可压流体各点的密度不变，但各点间的密度可能不同，即不要求密度场为均匀场。
左面微元面积流 入的流体质量：
右面微元面积流出 的流体质量：
( xd 2)xv(x vxxd 2)d x ydz ( xd 2)xv (x vxxd 2)d x ydz
vy
v
z
vx (x, y,z)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
D D ttuk xk 0 但
0
xk
例： 密度分层流动
均质不可压缩流体： const
在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。
2
1
第二章 流体力学的基本方程
学习笔记_推导流体力学基本方程组
①连续性方程推导依据：质量守恒，密度变化导致减少的质量=净流出的质量x 方向：单位时间由ABCD 流入质量：dydz dx x u u dx x )2)(2(∂∂-∂∂-ρρ 单位时间由EFGH 流出质量：dydz dx x u u dx x )2)(2(∂∂+∂∂+ρρ 净流出质量：dxdydz x u dxdydz x u x u ∂∂=∂∂+∂∂)()(ρρρ 同理y 、z 方向dxdydz y v ∂∂)(ρ，dxdydz zw ∂∂)(ρ 单位时间密度变化导致减少的质量dxdxdz t ∂∂-ρ所以连续性方程0)()()(=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z w y v x u t ρρρρ（微分形式）矢量形式0)(·=∇+∂∂v tρρ连续性方程是流体流动最基本的方程，任何流体连续运动均必须满足。
②理想流体运动方程（欧拉运动方程）理想流体是一种设想的没有黏性的流体,在流动时各层之间没有相互作用的切应力。
推导依据：牛顿第二定律（动量定理）合外力等于动量对时间的变化率x 方向 面力：dydz dx x p p dydz dx x p p )2()2(∂∂--∂∂+ 质量力：dxdydz f x ρ 合外力dydz dx x p p dydz dx x p p dxdydz f x )2()2(∂∂--∂∂++ρ 动量对时间的变化率dxdydz dt du ρ 整理得xp f dt du x ∂∂+=ρ1 同理y 、z 方向y p f dt dv y ∂∂+=ρ1，zp f dt dw z ∂∂+=ρ1 理想流体运动方程z p f dt dw y p f dt dv xp f dt du z y x ∂∂+=∂∂+=∂∂+=ρρρ111，矢量形式p f dt v d ·1∇+=ρ可写成zp f z w w y w v x w u t w dt dw yp f z v w y v v x v u t v dt dv xp f z u w y u v x u u t u dt du z y x ∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρρ111 根据亥姆霍兹速度分解定理v v t v v v rot v t v v v t v dt v d ⨯+∇+∂∂=⨯+∇+∂∂=∇+∂∂=ω222·22所以欧拉运动方程可以写成兰姆-葛罗米柯方程p f v v t v ∇+=⨯+∇+∂∂ρω1222，把有旋部分凸显出来。
§3.7流体力学基本方程组Navier-Stokes方程,NS方程这里只讨论牛顿
• 连续性方程
dρ dt
+
ρ∇
·
V
=
0
• 运动方程
ρ
dV dt
=
ρF + ∇ · P
• 能量方程
ρT
ds dt
=
∇(κ∇T )
+
Φ
+
ρq
或
ρCV
dT dt
= −p ∇ · V + ∇(κ∇T ) + Φ + ρq
• 应力张量
P
=
−pI
+
2µS
−
2 3
µ(∇
·
V)I
• 完全气体的状态方程
p = ρRT
ν
∂2Vi ∂xk2
+
1 3
ν
∂ ∂xi
∂Vk ∂xk
其中
ν
=
µ ρ
，称为运动学粘度，将
µ
称为动力学粘度。
1
对于无粘流体，运动方程可化简为
dV dt
=
F
−
1 ρ
∇p
(6)
方程(6)常称为欧拉（Euler）方程。 三、能量方程 单位质量的流体内能设为 U，它应满足的微分方程是
ρ
dU dt
=
P
:
S
+ ∇ · (κ∇T )
F−
ρ = ρ(p)
1 ρ
∇
p
+
ν∇2V
(14)
该方程组有5个方程，5个变量即 ρ, p 和 V 的3个分量。它主要用于低速的气体流动和液
体流动，可以忽略可压缩性，但不能忽略粘性。
此时，能量方程与连续性方程、运动方程并不耦合，如果对流场中的温度分布不感
流体力学的基础方程组
这里首先介绍流体力学的基础方程组：1质量守恒方程在这里我采用拉格朗日法（L 法）下对有限体积和体积元应用质量守恒定律（1） L 法有限体积分析取体积为τ，质量为m 的一定的流体质点团，则有00m t t t t tD D DD D m d d d d d D D D D D ττττττττττρρρρρ=⇒==⇒=+=⎰⎰⎰⎰⎰ 因为速度散度的物理意义是相对体积膨胀率及密度的随体导数，即1D div d d Dtυττ= d y u v w v dt t x y z tρρρρρρ∂∂∂∂∂=+++=+⋅∇∂∂∂∂∂ (())(())0D D d d v divv d div v d Dt Dt tt ττττρρρτρτρρτρτ∂∂+=+⋅∇+=+=∂∂⎰⎰⎰⎰ 由奥高定理()s u v w d udydz vdzdx wdxdy x y zττ∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (cos cos cos )su v w ds αβγ=++⎰⎰ n s sv nds v ds =⋅=⎰⎰⎰⎰ 得 (())0s div v d d vds t t ττρρρττρ∂∂+=+=∂∂⎰⎰⎰假定被基函数连续，而且体积τ是任意选取的，由此可知被基函数必须等于0，即00i iv D D divv Dt Dt x ρρρρ∂+=⇔+=∂ 或()()00i iv div v t t x ρρρρ∂∂∂+=⇔+=∂∂∂ 在直角坐标系中，连续性方程为()()()0u v w t x y zρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 或()D u v w Dt x y zρρ∂∂∂=-++∂∂∂2.动量守恒方程任取一个体积为τ的流体，他的边界为S 。
根据动量定理，体积τ中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量力和应力之和。
单位面积上的应力n P n p =⋅，其中P 是二阶对称应力张量，所以n P 不是通常指的P 在n(单位体积面元的法线方向)方向的分量。
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n
una
u
dA
Q ,netout un dA Q,out Q,in CS
Q,out undA Aout
Q,in un dA Ain
6
2.1.2 输运方程
流体力学基本方程的推导：应用物理学基本定律 —— 需要用到系统物理量S随时间的变化率。
输运方程可以将系统物理量的导数（随体导数）转换为控制 体中物理量的导数与控制面上流量之和。
Vin
Ain
Ain
8
S(t t) (t t)dV Q,out Q,in t V( t )
随体导数
lim dS
S (t t) S (t )
dt
t 0
t
lim lim
t0
1
(t t)dV
(t)dV
t V(t )
V(t)
t0
t t
Q ,out Q ,in
取控制体CV＝t 时刻系统所占据的空间位置V(t)
（欧拉法的概念）
→ 控制体、控制面的位置、形状和大小不随时间变化，而流体能
够出、入控制体，所以控制体与外界既有能量、动量交换，也有质 量交换。
时刻t位于控制体内的流体所具有的物理量的大小为
CV t tdV CV
3
（3） 流量（输运通量）
物理量的流量Q = 单位时间通过给定曲面A的流体所具有的 物理量的大小。
――积分形式的连续性方程。
13
mCV dxdydz
t
t
dy
= 控制面上流体质量的净流入速率
ux
( ux ) x
dx 2
(
x
,y ,z
,t
)
dydz
z
y
M dz dx
ux
( ux ) x
dx 2
(
x
,y
,z
,t
)
dydz
x-dx/2
x+dx/2 x
uy
( uy ) y
dy
2
uy
( uy ) y
设系统S在时间t内从体积V(t)移至V(t+t)，其物理量S的随体
,
导数为
lim dS
S (t t) S (t )
dt
t 0
t
S(t) (t)dV , S(t t) (t t)dV
V( t )
V( tt )
7
Ain dV=－unt dA
Vin
dA
dA
Vout
dV=unt dA
Aout
dt t
Q out
Q in
12
2.2 连续性方程
dmS
dt
t
CV
dV
undA
CS
mCV t
Qm,out
Qm,in 0
控制体CV＝系统在瞬时t占据的空间
mCV t
Qm,in
Qm ,out
单位时间内，控制体中质量的增加＝从控制面流入的质量
t
CV
dV
undA
CS
0
Q ucosadA u •ndA
A
A
n
a
u
A
体积流量（流量） Q ucosadA A
( m3/s )
质量流量 动量流量
Qm ucosadA
A
QK uucosadA
A
（kg/s） （kg·m/s2）
4
总流的过水断面：恒与流速正交的断面, cosa = 1
1
2
Q udA
Q udA
物质线 物质面 物质体 在流动过程中均维持其连续性
物质体的系统物理量 St dV S 的密度=单位体积流体内具有的物理量的大小
系统总质量 mS d
S
2
（2） 控制体（Control volume，简称CV）：流场中一个给定的 空间体积，其边界称为控制面（Control surface，简称CS）。
dy 2
dxdz
uz
( uz z
)
dz 2
uz
( uz z
)
dz 2
dxdy
(
ux x
)
( uy ) y
( uz z
)
dxdydz
14
微分形式的连续性方程 (ux ) (uy ) (uz ) 0
t x
y
z
矢量形式 张量形式
divu 0
t (u j ) 0 t x j
V (t+t) = V(t) + Vout－Vin
S(t t) (t t)dV (t t)dV (t t)dV
V( t )
Vout
Vin
dV (untdA) t undA Q,outt
Vout
Aout
Aout
dV untdA t un dA Q,int
经典力学基本定律：质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律
→ 流体力学基本方程组
推导时用到输运方程相结合
↑
系统、控制体、随体导数等相关概念
1
2.1 系统、控制体和输运方程
2.1.1 系统和控制体
（1）系统（System）： 由确定的流体质点组成的流体团，在 流动过程中其位置、体积和形状可随时间变化，可与外界交换能 量、动，但与外界没有质量交换。（拉格朗日法的概念）。
( u j ) t x j
t
u
j
x j
u j x j
d u j dt x j
d
divu
0
dt
15
◆只有满足连续性方程的流动才是可能的。 几种特殊情况：
lim 1
(t t)dV
(t)dV
CV
t0 t V( t )
V(t)
t
9
dS dt
CV t
Q,out Q,in
雷 诺
输
或
dS dt
t
dV
CV
undA CS
运 方 程
体积源项 表面源项
系统中的随体导数＝控制体中随时间的变化率 ＋流出控制面的的流量（输运通量）
★该式也可以用于运动和变形的控制体，此时要用相对于控制 面的相对速度来计算流量。
恒定流 CV t 0
dS dt
Q ,out
Q ,in
10
★固定不变的控制体：
d dt
S
dV
CV
t
dV
u n dA
CS
高斯定理→
undA
u • ndA
n • udA
• udV
CS
CS
CS
CV
场论中的公式
•
u
u
•
•
u
质点随体导数
d
u
•
dt t
d
dt
S
dV
1
2
A
A
Qm udA QK uudA
A
A
总流的断面平均流速
v Q 1 udA A AA
( m/s)
A =过水断面的面积
5
通过控制面上面积元dA 的物理量的出 流流量
dQ undA u cos adA
CS
出流边界Aout上：un > 0 入流边界Ain 上: un < 0
整个控制面上物理量向外的净出流流量为
CV
t
divu dV
CV
d dt
divu dV
11
2.1.3 流管的输运方程
dS dt
CV t
Q2
Q1
恒定流：
dS dt
Q2 Q1
Q2 A2
Q1
A1
侧壁un=0, Q侧 = 0
★ 流管上所取的控制体有多个入流和出流断面：
恒定流：
dS dt
Q out
Q
in
非恒定流： dS CV