流体力学第二章上课讲义
流体力学2章讲稿
第二章 流体运动学只研究流体运动, 不涉及力、质量等与动力学有关的物理量。
§2.1 流体运动的描述 两种研究方法:(1)拉格朗日(Lagrange)法: 以流场中质点或质点系为研究对象, 从而进一步研究整个流体。
理论力学中使用的质点系力学方法，难测量，不适用于实用理论研究。
(2)欧拉(Euler)法: 将流过空间的流体物理参数赋予各空间点（构成流场），以空间各点为研究对象，研究其物理参数随时间t ，位置（x ，y ，z ）的变化规律。
易实验研究，流体力学的主要研究方法。
两种研究方法得到的结论形式不同，但结论的物理相同。
可通过一定公式转换。
1. 拉格朗日法有关结论质点： r=r （t ） dt d rV = dtd dt d V r a ==22x=x （t ） dt dxu = 22dtx d a x =y=y （t ） dtdyv = 22dt y d a y =p=p （t ） T=T （t ） .. .. .. .. .. .. .. .. 质点系：x=x （t,a,b,c ） p=p （t,a,b,c ） T=T （t,a,b,c ） .. .. .. .. .. .. .. ..(a, b, c)是质点系各质点在t ＝t 0时刻的坐标。
(a, b, c)不同值表不同质点2. 欧拉法物理量应是时间t 和空间点坐标x, y,z 的函数u ＝u(x, y, z, t) p ＝p(x, y, z, t) T ＝T(x, y, z, t) 3. 流体质点的随体导数！！流体质点的随体导数：流体质点物理参数对于时间的变化率。
简称为质点导数。
例：质点速度的随体导数（加速度）dt d V 质点分速度的随体导数dtdu质点压力的随体导数dtdp质点温度的随体导数dt dT.. .. .. .. .. .. 质点导数是拉格朗日法范畴的概念。
流体质点随体导数式---随体导数的欧拉表达式dt d V =z wy v x u t t∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V V V V V V Vdt du =z u w y u v x u u t u u tu∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂Vdt dT =z T w y T v x T u t T T tT∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V普遍形式： dt dF =z F w y F v x F u t F F tF∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VF t )(∇⋅+∂∂=V证其一： dt d V =V V V∇⋅+∂∂t 由 dt d V=tt ∆-→∆V V 'lim 0因 V=V （x ，y , z,t ）V ’=V （x+Δx ，y+Δy ,z+Δz,t+Δt ）所以 V ’=V++∆∂∂x x V +∆∂∂y y V z z∆∂∂V t t ∆∂∂+V 代入上式得dt d V==∆∆∂∂+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆→∆tt z z y x xt tV V y V V lim 0V V V z V y V x V t V ∇⋅+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=tw v u 可见, 在欧拉法中质点速度的随体导数(即加速度)由两部分组成。
流体力学讲义2-2
ji
S ij S ji，有六个独立分量；
ji
只有三个独立分量。
0
V i V i 0 S ij x j ij x j
0
平移
变形
转动
Turbulence Research Laboratory
在直角坐标系中， S ij 、 ij
S ij V j 1 Vi 2 x j x i Vi 1 V j 2 x i x j S ji
右端第二项用ij表示，它是反对称张量，表示微团的转动
ij 1 Vi V j 2 x j x i 1 V j Vi 2 x i x j
S xx
的各个分量表示式如下：
w z
1 w u , 2 x z S x y S yx 1 u v 2 y x
u x
, S yy
v y
, S zz
S yz S zy
1 v w , 2 z y
,微团上参考点
x 0 处的速度为 V 0 V ( x 0 , t )
我们来考察微团上任意一点
x x 0 x
的速度
V ( x 0 x 0 , t )
V V V 2 V( x 1 x 2 x 3 o ( x ) Taylor展开，我们有：x 0 x 0 , t ) V ( x 0 , t ) 利用 x 1 x 2 x 3
O A O A A A O O V xex V0 x t V 0 t x 0 V t ex x x 0 V u v w ex ey ez 代入上式（为了简明起见取消下标0），得： x x x x
中南大学《流体力学》课件第二章静力学.
证明
质量力 表面力
1 f x dxdydz 6
1 p 0 0 p A cos( n , x ） x dydz n n 2
导出关系式 得出结论
F 0
x
px pn
第一节 平衡流体中的应力特征
第二节 流体平衡微分方程
压强在流体运动、流体与固体相互作用中扮演重要角色，如 机翼升力、高尔夫球及汽车的尾流阻力，龙卷风产生强大的 负压强作用，液压泵和压缩机推动流体做功等都与压强有关。 然而，压强在静止流体、相对静止流体及粘性运动流体中的 分布规律将明显不同。
如图所示的密闭容器中，液面压强 问题1： p0＝9.8kPa，A点压强为49kPa， 则B点压强为多少 ,在液面下的深度为多少? 答案 39.2kPa;
3m
问题2： 露天水池水深5m处的相对压强为：
答案
49kPa
图示容器内 A、B 两点同在一水 问题3：平面上，其压强分别为 pA 及 pB。 因 h1 h 2，所以 pA pB。 答案
• 点压强的定义及特性 • 微元体法推导出流体平衡微分方程 即流体平衡的规律 • 重力作用下流体的平衡
p p ( U U ) 0 0
pp gh 0
等压– 绝对压强p‘ 绝对压强不可为负 – 相对压强（表压强）p 相对压强可正可负 – 真空压强（真空值）pv 真空压强恒为正值
自由面上 p 0 所以 AB 上各点的压强均为 0
[例]试标出如图所示盛液容器内A、B、C三点的位置水头、 测压管高度、测压管水头。以图示0-0为基准面。
pC g pB g
A
pA g
Z
Z
c
ZB
C 因为 ，所以，以A点的测压管水头为依据， g 可以确定B点的位置水头为2m和测压管高度为6m ；C点的 位置水头6m，测压管高度为2m.
流体力学第二章2--4讲
2
gz
p
（2-75-1）
上面（2-75）或（2-75-1）式，称作无旋流的拉格朗日-柯西
积分。当流动又是定常时，该积分退化为伯努利方程（2-73-1）
式。所以，理想不可压缩流体作无旋流动时，其运动方程对空
间坐标的积分，与循流线的积分完全相同。
1 t V 2 2 p gk
或
2 1 V p 0 gz t 2
上式对空间坐标积分后，得
1 t
V
2
gz
p
2
(2-62-1)
b.单位时间内质量力和表面力所做的功为：
F Vd
p n Vd
(2-62-2)
根据奥-高公式可知：
d dt
p n Vd
n P V d
div P V d
2 d V p 2 0 dt
(2-72)
又因为定常，所以流线与迹线重合，则对上式积分得：
V 2
2
p
常数
(2-73)
若质量力仅为重力，则重力位势=gz ，则得
V
2
gz
p
2
常数
(2-73-1)
上式为伯努利方程，它表示理想不可压流体作定常运动时，
2 2 2 2 2 u 2 v w u v u w v w 2 2 2 x z y x z x z y y
流体力学II教材讲解
流体力学II（Viscous Fluid and Gas Dynamics）讲义第一章、粘性不可压缩流体运动基本方程组（学时数：6）1-1．绪论流体力学是力学的一个重要分支，主要研究流体介质（液体、气体、等离子体）的特性、状态，在各种力的作用下发生的对流、扩散、旋涡、波动现象和质量、动量、能量传输，以及同化学、生物等其他运动形式之间的相互作用。
它既是一门经典学科，又是一门现代学科，对自然科学和工程技术具有先导作用。
历史上，力学包括流体力学，曾经经历基于直观实践经验的古代力学、基于严密数学理论的经典力学、基于物理洞察能力的近代力学三个阶段。
在人类早期的生产活动过程中，力学即与数学、天文学一起发展。
17世纪，Newton基于前人的天文观测和力学实验，发明了微积分，并总结出机械运动三大定律和万有引力定律，发表了著名的《自然哲学的数学原理》一书。
由于原理是普适自然与工程领域的规律，从而使力学成为自然科学的先导。
从17世纪开始，人们逐步建立了流体力学的基本理论体系，从Pascal定律、Newton粘性定律、Pitot 管测速，到Euler方程和Bernoulli方程，标志着流体动力学正式成为力学的一个分支学科。
18世纪，人们着重发展无粘流体的位势理论。
到了19世纪，为了解决工程实际问题，开始注重粘性的影响，Navier-Stokes方程的建立为流体力学的进一步发展奠定了完整的理论基础，但该方程解的存在性与光滑性的证明至今仍是一大难题。
20世纪初，Prandtl凭借出色的物理洞察能力，提出边界层理论，从而开创了流体力学的近代发展阶段，使力学成为人类实现“飞天”梦想的重要理论先导。
60年代以来，由于超级计算机、先进测试技术的发展和应用，力学进一步凸显宏微观结合和学科交叉的特征，进入现代力学发展新阶段。
刚刚过去的2011年，人类遭遇了一系列极端事件：日本海底地震导致海啸和福岛核电站泄露事故；澳大利亚飓风；我国干旱洪水灾害等异常气候问题。
流体力学讲稿第二章201510参考件
*一位农民想通过一根很长的细管子将珍贵的葡萄酒从自己的乡 间农舍输送到山脚下的一位朋友家里。一切都很顺利：朋友家 的酒桶灌满了葡萄酒，但随后液体管子内的压力很快使木桶破 碎，葡萄酒浸泡了房子。
4）非均匀流体平衡的密度条件 --- 重力场中的非均匀流体若处于平衡,则流体呈现分层状态,即 各水平层内密度不变。 分析：由流体静力学原理，各层压强与水平位置无关，压强差为 两层间单位底面积上流体重量 gdz，故密度 必与水平位置无关。 3.均质流体的相对平衡 1)均质流体整体进行匀加速直线运动 如图示,xy平面平行容器流体之
2017/1/4
16
液体中曲面上的静压强分布
2）U形管流体测压原理 如图示,由流体静力学定律,有
18
液柱式测压计
重液体
思考题 在水管上安装一复式水银测压计，试给出测压管 中1-2-3- p4
2017/1/4 20
3）帕斯卡原理及其应用 --- 若在静止均质流体的边界上施加一压强,该压强可以均匀 传遍整个流体,其值不变,此即帕斯卡原理。 --- 如图示，在活塞C加一推力Fc使流体产生压强增量 p
势,故斜压流体在有势体力作用下一般无法平衡。 ----对于互不混合的两种静止流体的分界面,沿界面上任一微 元线段 之压强增量可写为 ( p 与 在分界面上连续)
流体平衡基本方程
f ( p) g ( )
故得 即分界面为等压面。
13
---若体力有势，因
，则界面的各侧为等压
面，也就是各自的等密面。 由 ，故 与 垂直，即分界面与体力方向垂直， 因而有势的体力其等势面（法向方向为 ）与分界面 （等压面）重合。 ----常见的流体分界面包括水面等自由表面（气液分界面），在 重力 作用下之平衡水面与重力等势面 一致。 --- 万有引力
流体力学讲义 第二章 流体静力学
第二章流体静力学作用在流体上的力有面积力与质量力。
静止流体中，面积力只有压应力——压强。
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜体与浮体的稳定性问题等。
第一节作用于流体上的力一、分类1.按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、表面张力等。
2.按作用方式分：质量力和面积力。
二、质量力1.质量力(mass force):是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。
对于均质流体（各点密度相同的流体），质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
单位牛顿（N）。
2.单位质量力：单位质量流体所受到的质量力。
(2-1) 单位质量力的单位：m/s2 ，与加速度单位一致。
最常见的质量力有：重力、惯性力。
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所受的单位质量力f水和f水银的大小？A. f水<f水银；B. f水=f水银；C. f水>f水银；D、不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液体所受的单位质量力大小（fX. fY. fZ）分别为多少？自由落体：X＝Y=0,Z=0。
加速运动：X=-a,Y=0,Z=-g。
三、面积力1.面积力（surface force）：又称表面力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。
它的大小与作用面面积成正比。
表面力按作用方向可分为：压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2.应力：单位面积上的表面力，单位：或图2-1压强(2-2)切应力(2-3) 考考你1.静止的流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，无法承受剪切力。
2.理想流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，因为无粘性，故无剪切力。
第二节流体静压强特性一、静止流体中任一点应力的特性1.静止流体表面应力只能是压应力或压强，且静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
流体力学第二章---流体静力学PPT课件
部的压强也同时增大 p 0 .
即液面压强的增量同时等值地传递到液体中每一点，这就是著
名的巴斯卡原理。工程上的水压机、水力蓄能机等都是在此原理
下计算的。
.
21
C2 流体静力学
五、 流体平衡的条件
• 为保证欧拉平衡方程： pf
2.2 流体平衡微分方程
p X , p Y ,
x
y
p Z z
成立，均质流体（ρ=常数）和正压流体（ρ=ρ(p)）必须满足 质量力有势的条件： f ，UU称为势函数。
P0为液面 压强。
.
20
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
四、重力下流体的压强分布规律
z p0
pp0 h
P0为液面 压强。
（1）静止液体中，任意点的压强由两部
分液组重成，h 。一液部重分压是强表与面液压面强以P0；下另水一深部成分线是
性关系。
x
h2
h
h1
静止流体
pp0p0h
（2）表面压强与液重无关。如果液面压强P0增大 p0 ，液体内
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因为:
dAn
c
o s 1dydz
2
则上式变成
p x1 2 d y d z p n1 2 d y d z 1 6d x d y d zx f 0
或
1
px
pn
3
fxdx0
dx趋于0时，第三项为无穷小，可以略去，故得：
px pn
同理可得: py pn pz pn
所以
pxpy pz pn
因为n的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止
同理得 写成矢量形式
fy
1
p y
0
fz
1
p z
0
f
1
Hale Waihona Puke p0（2-3）
这就是静止流体平衡微分方程式，又称欧拉平衡微分方程式 （1755年，欧拉首先推导）。
欧拉平衡方程的物理意义：在静止流体中，某点单位 质量流体的质量力与静压强的合力相平衡。
欧拉平衡方程的适用范围：静止或相对静止状态的可 压缩和不可压缩流体。
设六面体中心点处的静压强为p，则作用在六个平面中心点上的 静压强可按泰勒（G.I.Taylor）级数展开，例如：在垂直于X轴的左、 右两个平面中心点上的静压强分别为：
p p xd 2 x1 2 x 22 p d 2 x 21 6 x 33 p d 2 x 3
p p xd 2 x1 2 x 22 p d 2 x 21 6 x 33 p d 2 x 3 略去二阶以上无穷小量后，分别等于：
作用在单位面积上的表面力称为应力.有切应力和正应力两 种。 ☆ 质量力作用于流体体积内的每一质点，是远距离作用力， 是空间点和时间的函数。 ☆ 表面力作用于流体周界的表面上，源于分子间的相互作用， 是表面点和时间的函数。 重力、惯性力、电磁力属质量力，压力、粘性力属表面力。 问题：表面张力、浮力属什么类型？
p limPdP A0 A dA
lim T dT
A0 A dA
法向应力P和切向应力τ的单位为Pa（N/m2）。
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2．静止流体的应力特征
特征一: 流体静止时，切应力为零。
特征二: 静止的流体不能承受拉应力， 只能承受压应力（压强）， 任一点各个方向的压强相等。
特征三: 有势力场中，两种流体交界面 必为等压面。
ABD、ABC和BCD四个面上的流体静压强分别为px、py、pz和pn，pn与x、 y、z轴的夹角分别为α、β、γ，则作用在各面上流体的总压力分别为：
Px
px
1 dydz 2
Py
py
1dxdz 2
Pz
pz
1 dxdy 2
PnpndAn （dAn为BCD的面积）
假定作用在流流体上的单位质量力为 f ，它在各坐标轴上的分量分别为
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ΔP n
ΔF
ΔA ΔT τ
V A
周围流体作 用的表面力
切向应力
作用在流体上的表面力
如上图所示，在流体中取出被表面积为A的封闭曲面 所包围的某部分流体体积V，则周围流体必然有力作用在 这个体积V的表面积A上。在表面积A上围绕点a取一微元
面积ΔA，周围流体作用在其上的表面力为ΔF，则a点的法
向应力和切向应力的数学表达式分别为
欧拉平衡方程是流体静力学最基本的方程，流体静力 学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。
在推导流体静力学的计算公式时，一般不从上述方程出发，而是 从下述的压强差公式来进行推导的。
第二章 流体静力学
流体静力学 研究流体在静止状态下的力学规律 静止：受平衡力作用下的运动状态
绝对静止、相对静止、匀速直线运动 本章研究的问题
静止液体压强分布规律 物体所受的总压力、压力中心、压力体 惯性力作用下液体的相对平衡
思考1
挡水墙的静水压强按什么规律分布? 挡水墙所受的总压力是多少?
流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。但是，
静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而
流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连
续函数，即
pp(x,y,z)
§2-2 静止流体微分方程
一、流体平衡微分方程式
在静止流体中任取一边长为 dx，dy和dz的六面体流体微团，作用
在该六面体的上表面力只有静压强。
p 1 p dx 2 x
p 1 p dx 2 x
p1 pdxdydz 2 x
p1 pdxdydz
p
2 x
微元平行六面体x方向的受力分析
作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体微团的 平均密度为ρ，则质量力沿三个坐标轴的分量为：
fxdxdydz
fydxdydz
fzdxdydz
静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其
上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。对于x轴，则为
p 1 2 p x d x d y d z p 1 2 p x d x d y d z fxd x d y d z 0
整理即得：
fx
1
p x
0
（2-2）
思考2
珠穆朗玛峰顶上的大气压力、密度、温度为 多少?
思考3
海面下108m深处的水压强是多少?
1．质量力和表面力
质量力：某种力场对流体的作用力
单位质量力是单位质量的流体所受到的力场作用力，记作f. 在重力场中， 单位质量力 f 就等于重力加速度g.
表面力：周围物体作用在流体微团表面的力。
fx、fy、fz，则作用在微元四面体上的总质量力为：
Wr 1dxdydz
r f
6
它在三个坐标轴上的分量为：
Wx
1dxdydz
6
fx
Wy
1dxdydz
6
fy
Wz
1 dxdydz
6
fz
由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意
轴上投影的总和等于零。
在x轴方向上力的平衡方程为：
p x1 2 d y d z p n d A nco 1 s 6d x d y d zxf 0 (2-1)
特征四: 流体静压强的方向必然重合于 受力面的内法线方向。
证明：任一点各个方向的压强值相等
证明当图中的四面体缩成一点时, 四个面上的压应力相等.
作用在ACD面上 的流体静压强
px
pz 作用在BCD面
pn 上的静压强
py 微元四面体受力分析
作用在ABD和 上的静压 强
现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关系。由于静止流体 中没有切应力，所以作用在微元四面体四个表面上的表面力只有垂直于 各个表面的压强。因为所取微元四面体的各三角形面积都是无限小的， 所以可以认为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、