弧长和扇形面积 圆PPT下载
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《弧长及扇形的面积》圆PPT课件
解：R=40 mm， n=110，
=
∴的长=
×
≈76.8（mm）.
因此，管道的展直长度约为76.8 mm.
练一练
如图，在同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆于C、D，且
OC∶OA=1∶2，则弧CD与弧AB长度之比为（ B ）
A.1∶1
C.2∶1
O
B.1∶2
D.1∶4
− ×1×
=
π- .
课堂小结
1.弧长公式：
2.扇形面积公式：
或
注意： 求图形的面积：
割补法、组合法
3.9 弧长及扇形的面积
- .
复习旧知
1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？
C=2πR
S=π
2.什么叫圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角
情境导入
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（1）转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
20πcm
A
（2）转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR
S扇形 =
360
2
B
O
A
注意
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
想一想
扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
n r
l
180
S扇形
n r 2
S扇形 =
360
n r r 1 n r
1
r lr
180 2 2 180
《弧长和扇形面积》圆PPT课件3 (共17张PPT)
4 ， 3
3、已知半径为2的扇形，面积为 4 ． 则这个扇形的弧长=____ 3
4 ， 3
4.如图所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放 在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图 的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为 ________
B
C (A/)
B/ C/ L
A
D
课堂小结
这节课你有什么收获?
n0
（３）n°圆心角所对弧长是多少？ nR
180
弧长公式
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长 为L，则
注意：
（1 ）在应用弧长公式 L 180 ， 进行计算 时，要注意公式中 n 的意义． n 表示 1°圆心 角的倍数，它是不带单位的；
nR l 180 nR
（2）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数 相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧 也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中， 才可能是等弧．
2
扇形面积
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积
nR 2 S扇形= 360
注意:
nR 2 在应用扇形的面积公式S扇形= 360
进行计算时，要注意公式中n的意义．
n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的
比较弧长公式与扇形面积公式
l
n 弧 ＝ 180 πR
n S扇形 ＝ πR2 360
1 lR 2
拓展提高
3．已知如图所示，扇形所在圆的半径为R， AB的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切 于点C、E，且与⊙O内切于点D，求 ⊙O′的周长．
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3、已知半径为2的扇形，面积为 4 ． 则这个扇形的弧长=____ 3
4 ， 3
4.如图所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放 在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图 的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为 ________
B
C (A/)
B/ C/ L
A
D
课堂小结
这节课你有什么收获?
n0
（３）n°圆心角所对弧长是多少？ nR
180
弧长公式
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长 为L，则
注意：
（1 ）在应用弧长公式 L 180 ， 进行计算 时，要注意公式中 n 的意义． n 表示 1°圆心 角的倍数，它是不带单位的；
nR l 180 nR
（2）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数 相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧 也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中， 才可能是等弧．
2
扇形面积
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积
nR 2 S扇形= 360
注意:
nR 2 在应用扇形的面积公式S扇形= 360
进行计算时，要注意公式中n的意义．
n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的
比较弧长公式与扇形面积公式
l
n 弧 ＝ 180 πR
n S扇形 ＝ πR2 360
1 lR 2
拓展提高
3．已知如图所示，扇形所在圆的半径为R， AB的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切 于点C、E，且与⊙O内切于点D，求 ⊙O′的周长．
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弧长及扇形面积的计算ppt课件
3.6 弧长及扇形面积的计算
1.半径为r的圆的周长是多少？面积是
多少？
C 2r S r2
2.什么叫做弧？什么叫做1°的弧？
圆上任意两点间的部分叫做弧.
整个圆的 1 叫做1°的弧. 弧是圆的一部分 360
3.什么叫做扇形？
一条弧和经过这条弧两端的两条半径 所围成的图形叫做扇形.
扇形是圆面的一部分
n 2r nr
360
180
知识点一 弧长公式
在半径为r的圆中，n°弧的长度为：
弧的度数或圆心角的度数
n°弧
弧长
l
nr
180
半径 A
r O
B
注意：“n°弧的长度”也可以说成
“n°的圆心角所对的弧的长度”.
例1. 如图所示为一段弯形管道，其中心线是一段圆弧 AB 已知 AB的圆心为O，半径OA=60 cm，∠AOB = 108°, 求这段弯管的长度.
作业布置
A：学案 B：《练习册》91-92页
(去掉1.3.4.8.14.15.17.19)
如图 ,已知⊙O的半径为r .思考下面的问题：
O
1°弧
O
60°弧
O
n°弧
（1）圆周上1°弧的长度是整个圆周长的多少？ 1
怎样用圆的半径r表示 1°弧的长度呢？ 360
1 2 r r
360
180
（2）怎样用圆的半径r表示 60°弧的长度呢？
60 2r r
360
3
（3）怎样用圆的半径r表示 n°弧的长度 l 呢？
分BD的长为20cm,求扇子的一面上贴纸部分的面
积。
分析：
转化思想
.
S S扇形BAC S扇形DAE
解：由题意得：n=120 °,
1.半径为r的圆的周长是多少？面积是
多少？
C 2r S r2
2.什么叫做弧？什么叫做1°的弧？
圆上任意两点间的部分叫做弧.
整个圆的 1 叫做1°的弧. 弧是圆的一部分 360
3.什么叫做扇形？
一条弧和经过这条弧两端的两条半径 所围成的图形叫做扇形.
扇形是圆面的一部分
n 2r nr
360
180
知识点一 弧长公式
在半径为r的圆中，n°弧的长度为：
弧的度数或圆心角的度数
n°弧
弧长
l
nr
180
半径 A
r O
B
注意：“n°弧的长度”也可以说成
“n°的圆心角所对的弧的长度”.
例1. 如图所示为一段弯形管道，其中心线是一段圆弧 AB 已知 AB的圆心为O，半径OA=60 cm，∠AOB = 108°, 求这段弯管的长度.
作业布置
A：学案 B：《练习册》91-92页
(去掉1.3.4.8.14.15.17.19)
如图 ,已知⊙O的半径为r .思考下面的问题：
O
1°弧
O
60°弧
O
n°弧
（1）圆周上1°弧的长度是整个圆周长的多少？ 1
怎样用圆的半径r表示 1°弧的长度呢？ 360
1 2 r r
360
180
（2）怎样用圆的半径r表示 60°弧的长度呢？
60 2r r
360
3
（3）怎样用圆的半径r表示 n°弧的长度 l 呢？
分BD的长为20cm,求扇子的一面上贴纸部分的面
积。
分析：
转化思想
.
S S扇形BAC S扇形DAE
解：由题意得：n=120 °,
《弧长和扇形面积》圆PPT课件
(1)已知圆的半径为10cm,半圆的弧长为 ( 10πcm )
(2)已知圆的半径为9cm ，60°圆心角所对的弧 长为( 3πcm )
(3)已知半径为3，则弧长为π 的弧所对的圆心角 0 60 为_______ (4)已知圆心角为150°，所对的弧长为20π ，则 24 。 圆的半径为_______
1. 你还记得圆面积公式吗？ 2. 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对 的扇形的面积？ 3. 1°的圆心角所对的扇形面积 是多少？ 4. n°的圆心角呢？ O· 1° 2 圆的面积公式： S R ， n° R 360°的圆心角所对的扇形的面积,
1 2 2 R ， 1°的圆心角所对的扇形面积是 360
4 3
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
弓形的面积 = S扇- S⊿
A
D
0 B
C
解：如图，连接OA、OB，过圆心O作AB的垂线，垂足为D， 交弧AB于点C. ∵OC=0.6，DC=0.3 ∴OD=OC-DC=0.3
弧长公式
问题2.已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对 弧长． 若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长 为l，则
nR l 180
注意 ： 在应用弧长公式 l
要注意公式中 n的意义．n表示1°圆心角的倍数， 它是不带单位的。 应用：已知公式中的任意两个量，可以求第三个 量。
n R ， 进行计算时， 180
4.弧长相等的两段弧是等弧吗？
答：不一定，因为它们不一定 完全重合.也就是说形状不一定相同.
5.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧 所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R.
弧长和扇形面积的计算ppt课件
式 S扇形=
lr，与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形
看作一个曲边三角形，把弧长看作底，r 看作高；（4）注
意区分扇形面积公式和弧长公式，其存在两方面不同：一是
分母不同，二是半径的指数不同.
28.5 弧长和扇形面积的计算
对点典例剖析
考
点
典例2 某摆盘的形状是扇形的一部分，如图所示是其几
清
单 何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 AC=BD=12 cm
∠BAB′=n°，根据题意，得 2π×2=
××
，解得
，∴∠BAB′=120°，∵ 点 C′为 BB′ 的中点，
n=120
28.5 弧长和扇形面积的计算
重
∴∠BAC′= ∠BAB′=60°，∴△BAC′为等边三角形
难
题 ，∵ 点 D 为 AC 的中点，∴ 点 D′为 AC′的中点，
型
［解析］如解析图，连接 OD，∵AC=4，AB=2，∴AC=2AB
重
难
题 ，∵∠ABC=90°，∴∠C=30°，∴∠DOB=2∠C=60°，∵BC
型
突 = − =2 ，∴OC=OD=OB= BC= ，过点 O 作
破
OM⊥CD 于点 M，在 Rt△OCM 中，∠C=30°，∴OM= OC=
π+ π
2
3
突
破
28.5 弧长和扇形面积的计算
重 ■题型二 求阴影部分的面积
难
例 2 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，
题
型 点 O为 BC 的中点，以点 O 为圆心，OB 长为半径作半圆
突
lr，与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形
看作一个曲边三角形，把弧长看作底，r 看作高；（4）注
意区分扇形面积公式和弧长公式，其存在两方面不同：一是
分母不同，二是半径的指数不同.
28.5 弧长和扇形面积的计算
对点典例剖析
考
点
典例2 某摆盘的形状是扇形的一部分，如图所示是其几
清
单 何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 AC=BD=12 cm
∠BAB′=n°，根据题意，得 2π×2=
××
，解得
，∴∠BAB′=120°，∵ 点 C′为 BB′ 的中点，
n=120
28.5 弧长和扇形面积的计算
重
∴∠BAC′= ∠BAB′=60°，∴△BAC′为等边三角形
难
题 ，∵ 点 D 为 AC 的中点，∴ 点 D′为 AC′的中点，
型
［解析］如解析图，连接 OD，∵AC=4，AB=2，∴AC=2AB
重
难
题 ，∵∠ABC=90°，∴∠C=30°，∴∠DOB=2∠C=60°，∵BC
型
突 = − =2 ，∴OC=OD=OB= BC= ，过点 O 作
破
OM⊥CD 于点 M，在 Rt△OCM 中，∠C=30°，∴OM= OC=
π+ π
2
3
突
破
28.5 弧长和扇形面积的计算
重 ■题型二 求阴影部分的面积
难
例 2 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，
题
型 点 O为 BC 的中点，以点 O 为圆心，OB 长为半径作半圆
突
《弧长和扇形面积》-完整版课件
D
180
由上面的弧长公式，可得 AB的长
因此所要求的展直长度
L 2700 1570 2970mm.
如图，由组成圆心角的两条半 径和圆心角所对的弧所围成的 图形叫做扇形，可以发现，扇 形面积与组成扇形的圆心角的 大小有关，圆心角越大，扇形 面积也就越大．怎样计算圆半 径为R，圆心角为n°的扇形面 积呢？
A
O ·n°
R
B
1. 你还记得圆面积公式吗？ 2. 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇 形的面积？ 3. 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？ 4. n°的圆心角呢？
圆的面积公式： S R2，
360°的圆心角所对的扇形的面积，
1°的圆心角所对的扇形面积是 1 2R2，
360
nR2
圆心角为n°的扇形面积是
制造弯形管道时，经常要先按中心线计算 “展直长度”（图中虚线成的长度），再下料， 这就涉及到计算弧长的问题．
A
700mm
R=900mm B
100°
700mm
C
D
1. 你ห้องสมุดไป่ตู้记得圆周长的计算公式吗？
2. 圆的周长可以看作是多少度的圆 心角所对的 弧长？ 3. 1°的圆心角所对弧长是多少？ 4. n°的圆心角呢？
解：在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角
度数n之间有如下关系：
l= n 2 R= n R .
360
180
带入数据，得
l= 60 24 =8 .
180
即弧长为8 .
2.已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π，求 扇形的面积.
解 ： 由 l= n R ， 得 R = 180l .
180
n
又 S扇形 =
《弧长和扇形面积的计算》PPT课件下载(第1课时)
n
180l BC
180 25
143.
πr 3.1410
所以∠BOC约为143° .
总结
扇形的面积公式有两个，若已知圆心角的度数和 半径，则用S扇形＝n3π6r02 ；若已知扇形的弧长和半径， 则用S扇形＝12 lR(l是扇形的弧长)．
1 若扇形的面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为( D )
= 120π 0.62 - 1 AB OD
360
2
=0.12π- 1 0.6 3 0.3 2
0.22（m2）.
1. 弧长公式为 l n • πr nπr .
180 180
2.
扇形的面积计算公式为
S扇形
nπr 2 360
.
3. 弧长和扇形面积都和圆心角n°，半径r有关系，
因此l和S之间也有一定的关系，列式表示为：
O
垂足为D，交AB于点C，连接AC .
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
O
∴OD=OC-DC=0.3（m）. ∴OD=DC .
A
D
B
图1
又AD⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线 .
C
∴AC=AO=OC . 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. 图2
有水部分的面积 S =S扇形OAB -S OAB
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
3 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝
4，则 BC 的长为( B )
A. 10 π
3
C. 5 π
9
B. 10 π
9
D. 5 π
18
知识点 2 扇形面积公式
半径为r的⊙O，面积为πr2，圆心角为360°. 按下表的圆心角，计算所
《弧长及扇形的面积》圆PPT课件3 (共20张PPT)
R
B
创设情境 出示目标
如图,某传送带的一个转动轮的半 径为10cm. (1)转动轮转一周,传送带上的物品 A被传送多少厘米? 20πcm
(2)转动轮转1o,传送带上的物品A 被传送多少厘米? cm
18
(3)转动轮转no,传送带上的物品A 被传送多少厘米? n cm
18
创设情境 出示目标
知识 目标
能力 目标 情感 目标
经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公 式的过程；了解弧长计算公式和扇形面积 计算公式，并运用公式解决问题。
了解弧长和扇形面积公式后，能运用公 式解决问题，训练学生的数学运用能力 。
体验教学活动充满着探索与创造，感受 数学的严谨性以及数学结论的确定性 。
小组讨论 探索新知 （1）已知⊙O的半径为R，1o的 圆心角所对的弧长是多少？ 1o的圆心角所对的弧长是 2R
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
B
创设情境 出示目标
如图,某传送带的一个转动轮的半 径为10cm. (1)转动轮转一周,传送带上的物品 A被传送多少厘米? 20πcm
(2)转动轮转1o,传送带上的物品A 被传送多少厘米? cm
18
(3)转动轮转no,传送带上的物品A 被传送多少厘米? n cm
18
创设情境 出示目标
知识 目标
能力 目标 情感 目标
经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公 式的过程；了解弧长计算公式和扇形面积 计算公式，并运用公式解决问题。
了解弧长和扇形面积公式后，能运用公 式解决问题，训练学生的数学运用能力 。
体验教学活动充满着探索与创造，感受 数学的严谨性以及数学结论的确定性 。
小组讨论 探索新知 （1）已知⊙O的半径为R，1o的 圆心角所对的弧长是多少？ 1o的圆心角所对的弧长是 2R
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
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弧长和扇形面积
思考 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分． 想一想，如何计算半径为 R 的圆的周长？
圆周长 C = 2πR
圆的周长可以看作多少度的圆心角所 对的弧长？
360°
思考 1°的圆心角所对的弧长是多少？
n°的圆心角所对的弧长是多少？
弧长公式 n°的圆心角所对的弧长是多少？
弧长 如何推导弧长公式？ 如何利用弧长公式计算？
如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部分的面积． 提示：可以先算非阴影部分的扇 形面积之和．
答案：12π．
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其 中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积（结果保留小数 点后两位）．
如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1 为半径的 扇形，并且所有多边形的每条边长都大于 2，则第 n 个多边 形中，所有扇形面积之和是___________( 结果保留π，用含 n 式子表示 ).
一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，母线长5cm ，则它的侧面积是_____________．
圆锥的底面半径是1cm，母线是2cm，则高是________，侧面 积是_________，全面积是________．
解： 圆柱的底面圆半径
圆锥的母线长 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r． 那么侧面展开扇形的半径是___l ___． 侧面展开扇形的弧长与_底__面__周___长__相等 ，等于__2_π_r______． 圆锥的侧面积等于___________________.
圆锥的全面积等于________________.
圆锥 圆锥底面周长和侧面弧长有什么关系？ 怎么算圆锥的侧面积和全面积？
在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_______． 答案：4π cm.
在半径为50cm的圆中，60°的圆心角所对的弧长为_______．
扇形
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形 ．
可以发现，扇形的面积除了与圆 的半径有关外，还与组成扇形的 圆心角的大小有关．
圆心角越大，扇形面积也就越大 ． 怎么计算圆半径为R，圆心角n°的扇形面积呢？
思考 怎么计算圆半径为R，圆心角n°的扇形面积呢？ 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．
如何计算半径为的 R 圆的面积呢？
圆面积可以看作是多少度圆心角所 对的扇形的面积呢？
360°
思考 怎么计算圆半径为R，圆心角n°的扇形面积呢？ 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料 ，试计算图所示管道的展直长度L(结果取整数) .
解：由弧长公式，可得弧AB 的长 因此所要求的展直长度
1．弧长相等的两段弧是等弧吗？
2．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆 心角是81°．这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小 数点后以为）？
答案：R=4r.
已知一个圆锥的轴截面 △ABC 是等边三角形，它的表面积 为75π ，求这个圆锥的底面半径和母线的长． 提示：底面半径与母线长之比是1：2．
答案：底面半径是5，母线的长是10．
一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形 ，求这个圆锥的高．
计算旋转路径的长度
一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚( 如图)，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 __________ ．
计算旋转路径的长度
计算旋转路径的长度
将边长为 4 cm 的正方形 ABCD 的四边沿直线向右滚动 ( 不 滑动 )，当正方形滚动两周时，正方形的顶点 A 所经过的路 线的长是__________cm .
1．圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm．求它的侧面展 开图的圆心角和圆锥的全面积．
2．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是50 cm，制作 100 个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？
如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，若他们恰好 能围成一个圆锥模型，圆的半径为 r，扇形的半径为 R，扇形 的圆心角等于90°，则 r 与 R 之间的关系是________．
例题——底面半径，母线，圆心角的关系
已知圆锥的底面半径为8cm， 母线长20cm，求它的侧面展开 图的圆心角． 由侧面扇形的弧长等于底面周长可知：
这是底面半径、母线、圆心
角之间的固定关系，已知其
中任意两个都可以求第三个
n=14444° ．
底面半径和母线的比与圆心角的关系 底面半径和母线的比与圆心角有什么关系？
已知正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以 a/2为半径的圆相切于点D、 E、F，求图中阴影部分的面积S ．
圆锥的相关概念 我们知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，
我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任 意一点的线段叫做圆锥的母线．
圆锥的侧面展开图是什么图形？ 扇形
圆锥的侧面积
练习——公式1
已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积为 ________．
练习——公式1 扇形半径为12，面积为9π，它的圆心角等于________．
答案：22.5°.
练习——公式1
已知扇形面积为 ，圆心角为60°，则这个扇形的半径为________ ．
练习——公式2 如果扇形的半径是6，所含的弧长是5π，那么扇形的面积是 _______．
n°的圆心角所对的扇形面积是多少？
扇形面积公式 圆心角为n°的扇形面积是
扇形面积 如何求扇形的面积？
另一个公式 比较扇形面积公式与弧长公式
可以发现
扇形面积等于弧长与半径乘积的一半
另一个公式
类比记忆：可以扇形看做一个三角形 弧长看做三角形的底 半径看做三角形的高 如此一来， 扇形面积公式就与三角形面积公式一致了．
答案：15π.
练习——公式2
练习——公式2
已知扇形的面积为24π，弧长为8πcm，则扇形的半径是_____cm ，圆心角是______度．
练习——公式2 答案：19.
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中 水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后 两位）．
思考 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分． 想一想，如何计算半径为 R 的圆的周长？
圆周长 C = 2πR
圆的周长可以看作多少度的圆心角所 对的弧长？
360°
思考 1°的圆心角所对的弧长是多少？
n°的圆心角所对的弧长是多少？
弧长公式 n°的圆心角所对的弧长是多少？
弧长 如何推导弧长公式？ 如何利用弧长公式计算？
如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部分的面积． 提示：可以先算非阴影部分的扇 形面积之和．
答案：12π．
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其 中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积（结果保留小数 点后两位）．
如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1 为半径的 扇形，并且所有多边形的每条边长都大于 2，则第 n 个多边 形中，所有扇形面积之和是___________( 结果保留π，用含 n 式子表示 ).
一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，母线长5cm ，则它的侧面积是_____________．
圆锥的底面半径是1cm，母线是2cm，则高是________，侧面 积是_________，全面积是________．
解： 圆柱的底面圆半径
圆锥的母线长 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r． 那么侧面展开扇形的半径是___l ___． 侧面展开扇形的弧长与_底__面__周___长__相等 ，等于__2_π_r______． 圆锥的侧面积等于___________________.
圆锥的全面积等于________________.
圆锥 圆锥底面周长和侧面弧长有什么关系？ 怎么算圆锥的侧面积和全面积？
在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_______． 答案：4π cm.
在半径为50cm的圆中，60°的圆心角所对的弧长为_______．
扇形
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形 ．
可以发现，扇形的面积除了与圆 的半径有关外，还与组成扇形的 圆心角的大小有关．
圆心角越大，扇形面积也就越大 ． 怎么计算圆半径为R，圆心角n°的扇形面积呢？
思考 怎么计算圆半径为R，圆心角n°的扇形面积呢？ 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．
如何计算半径为的 R 圆的面积呢？
圆面积可以看作是多少度圆心角所 对的扇形的面积呢？
360°
思考 怎么计算圆半径为R，圆心角n°的扇形面积呢？ 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料 ，试计算图所示管道的展直长度L(结果取整数) .
解：由弧长公式，可得弧AB 的长 因此所要求的展直长度
1．弧长相等的两段弧是等弧吗？
2．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆 心角是81°．这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小 数点后以为）？
答案：R=4r.
已知一个圆锥的轴截面 △ABC 是等边三角形，它的表面积 为75π ，求这个圆锥的底面半径和母线的长． 提示：底面半径与母线长之比是1：2．
答案：底面半径是5，母线的长是10．
一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形 ，求这个圆锥的高．
计算旋转路径的长度
一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚( 如图)，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 __________ ．
计算旋转路径的长度
计算旋转路径的长度
将边长为 4 cm 的正方形 ABCD 的四边沿直线向右滚动 ( 不 滑动 )，当正方形滚动两周时，正方形的顶点 A 所经过的路 线的长是__________cm .
1．圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm．求它的侧面展 开图的圆心角和圆锥的全面积．
2．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是50 cm，制作 100 个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？
如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，若他们恰好 能围成一个圆锥模型，圆的半径为 r，扇形的半径为 R，扇形 的圆心角等于90°，则 r 与 R 之间的关系是________．
例题——底面半径，母线，圆心角的关系
已知圆锥的底面半径为8cm， 母线长20cm，求它的侧面展开 图的圆心角． 由侧面扇形的弧长等于底面周长可知：
这是底面半径、母线、圆心
角之间的固定关系，已知其
中任意两个都可以求第三个
n=14444° ．
底面半径和母线的比与圆心角的关系 底面半径和母线的比与圆心角有什么关系？
已知正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以 a/2为半径的圆相切于点D、 E、F，求图中阴影部分的面积S ．
圆锥的相关概念 我们知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，
我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任 意一点的线段叫做圆锥的母线．
圆锥的侧面展开图是什么图形？ 扇形
圆锥的侧面积
练习——公式1
已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积为 ________．
练习——公式1 扇形半径为12，面积为9π，它的圆心角等于________．
答案：22.5°.
练习——公式1
已知扇形面积为 ，圆心角为60°，则这个扇形的半径为________ ．
练习——公式2 如果扇形的半径是6，所含的弧长是5π，那么扇形的面积是 _______．
n°的圆心角所对的扇形面积是多少？
扇形面积公式 圆心角为n°的扇形面积是
扇形面积 如何求扇形的面积？
另一个公式 比较扇形面积公式与弧长公式
可以发现
扇形面积等于弧长与半径乘积的一半
另一个公式
类比记忆：可以扇形看做一个三角形 弧长看做三角形的底 半径看做三角形的高 如此一来， 扇形面积公式就与三角形面积公式一致了．
答案：15π.
练习——公式2
练习——公式2
已知扇形的面积为24π，弧长为8πcm，则扇形的半径是_____cm ，圆心角是______度．
练习——公式2 答案：19.
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中 水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后 两位）．