高考数学解答题逐题专项练1：数列解析版

热点一等差、等比数列基本量的计算

解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，要立足于两个数列的概念，设出相应基本量，充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略.

例1 (2019·六安市第一中学模拟)已知正数数列{a n}的前n项和为S n，满足a2n＝S n＋S n－n≥2)，a1＝1.

1(

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)设b n＝(1－a n)2－a(1－a n)，若{b n}是递增数列，求实数a的取值范围.

解(1)a2n＝S n＋S n－1(n≥2)，

a2n－1＝S n－1＋S n－2(n≥3).

相减可得a2n－a2n－1＝a n＋a n－1，

∵a n>0，a n－1>0，

∴a n－a n－1＝1(n≥3).

当n＝2时，a22＝a1＋a2＋a1，

∴a22＝2＋a2，a2>0，

∴a2＝2.

因此n＝2时，a n－a n－1＝1成立.

∴数列{a n}是等差数列，公差为1.

∴a n＝1＋n－1＝n.

(2)b n＝(1－a n)2－a(1－a n)＝(n－1)2＋a(n－1)，

∵{b n}是递增数列，

∴b n＋1－b n＝n2＋an－(n－1)2－a(n－1)＝2n＋a－1>0，

即a>1－2n恒成立，

∴a>－1.

∴实数a的取值范围是(－1，＋∞).

跟踪演练1 (2019·乐山调研)已知等差数列{a n}中，a2＝5，a1，a4，a13成等比数列.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)求数列{a n}的前n项和S n.

解(1)设等差数列{a n}的公差为d，

则a1＝5－d，a4＝5＋2d，a13＝5＋11d，

因为a1，a4，a13成等比数列，

所以(5＋2d)2＝(5－d)(5＋11d)，

化简得d2＝2d，则d＝0或d＝2，

当d＝0时，a n＝5.

当d ＝2时，a 1＝5－d ＝3，

a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1(n ∈N *).

所以，当d ＝0时，a n ＝5(n ∈N *

)； 当d ＝2时，a n ＝2n ＋1(n ∈N *

). (2)由(1)知，当a n ＝5时，S n ＝5n . 当a n ＝2n ＋1时，a 1＝3，则S n ＝n 3＋2n ＋1

2

＝n 2＋2n (n ∈N *

).

热点二 数列的证明问题

判断数列是否为等差或等比数列的策略：

(1)将所给的关系式进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的定义进行判断； (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可.

例2 已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1

a n

的等差中项.

(1)求证：数列{S 2

n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)设b n ＝

－1

n

a n

，求{b n }的前n 项和T n .

(1)证明 由题意知2S n ＝a n ＋1a n

，即2S n a n －a 2

n ＝1，①

当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1，代入①式得2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2

＝1， 整理得S 2

n －S 2

n －1＝1(n ≥2).

又当n ＝1时，由①式可得a 1＝S 1＝1(负值舍去)， ∴数列{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解 由(1)可得S 2

n ＝1＋n －1＝n ， ∵数列{a n }的各项都为正数，∴S n ＝n ， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1， 又a 1＝S 1＝1满足上式， ∴a n ＝n －n －1(n ∈N *

). (3)解 由(2)得b n ＝－1

n

a n

＝

－1

n

n －n －1

＝(－1)n

(n ＋n －1)，

当n 为奇数时，

T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)＝－n ；

当n 为偶数时，

T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n －1＋n －2)＋(n ＋n －1)＝n ，

∴数列{b n }的前n 项和T n ＝(－1)

n

n (n ∈N *).

跟踪演练2 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 原式可转化为

S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，

即S n ＝2S n －1－n ＋4，

所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2].

由S 1－2a 1＝1－4，得S 1＝3，所以S 1－1＋2＝4， 所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1

，

所以S n ＝2

n ＋1

＋n －2，

所以T n ＝(22＋23

＋…＋2n ＋1

)＋(1＋2＋…＋n )－2n

＝

41－2n

1－2

＋

n n ＋1

2

－2n ＝

2n ＋3

＋n 2

－3n －8

2

.

热点三 数列的求和问题

1.裂项相消法就是把数列的每一项分解成一正一负的两项，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项消，有的是间隔项消.常见的裂项方式有： 1n n ＋1

＝1n －1n ＋1；1n

n ＋k

＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1；14n 2－1＝1

2

⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1－12n ＋1.

2.如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法.用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式. 例3 (2019·菏泽模拟)已知正项等比数列{a n }中，a 1＝1

2，且a 2，a 3，a 4－1成等差数列.

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 2a 2

n ＋4，求数列⎩⎨

⎧

⎭

⎬⎫

1b n b n ＋1的前n 项和T n .

解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 2，a 3，a 4－1成等差数列，

所以2a 3＝a 2＋a 4－1，得2a 1q 2

＝a 1q ＋a 1q 3

－1， 又a 1＝12，则2×12q 2＝12q ＋12

q 3

－1，