一元二次方程与二次函数提高训练题
22.2《二次函数与一元二次方程》练习题(含答案)
22.2 二次函数与一元二次方程01 基础题知识点 1 二次函数与一元二次方程1． (柳州中考 )小兰画了一个函数 y ＝ x 2＋ ax ＋ b 的图象如图，则关于 x 的方程 x 2＋ ax ＋b ＝ 0 的解是 (D)A ．无解 C ． x ＝－ 42． (青岛中考 )若抛物线 y ＝x 2－6x ＋m 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 m >9． 3．二次函数 y ＝ax 2＋bx 的图象如图，若一元二次方程 ax 2＋bx ＋m ＝0 有实数根，则 m 的取 值范围为 m ≤3．4． (1)已知一元二次方程 x 2＋x －2＝0 有两个不相等的实数根，即 x 1＝1，x 2＝－2.求二次函 数 y ＝ x 2＋ x － 2 与 x 轴的交点坐标；(2)若二次函数 y ＝－x 2＋x ＋a 与 x 轴有一个交点，求 a 的值．解： (1) ∵一元二次方程 x 2＋x －2＝ 0 有两个不相等的实数根，即 x 1＝1，x 2＝－2， ∴二次函数 y ＝x 2＋x －2 与 x 轴的交点坐标为 (1，0)，(－ 2，0)． (2)∵二次函数 y ＝－x 2＋x ＋a 与 x 轴有一个交点， 令 y ＝ 0，则－ x 2＋x ＋a ＝0 有两个相等的实数根，1∴1＋4a ＝0，解得 a ＝－ 14.B ． x ＝1D ．x ＝－ 1 或 x ＝4知识点 2 利用二次函数求一元二次方程的近似解5．(兰州中考)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5 的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3知识点 3 二次函数与不等式6．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y<0时x的取值范围是(C)A．x<－1B．x>2C．－1<x< 2D．x<－1或x>27．画出二次函数y＝x2－2x 的图象．利用图象回答：(1) 方程x2－2x＝0 的解是什么？(2) x 取什么值时，函数值大于0；(3)x 取什么值时，函数值小于0. 解：列表：x－2－101234y830－1038描点并连线：(1) 方程x2－2x＝0 的解是x1＝0，x2＝ 2.x1 1.1y－1－0.491.2 1.3 1.40.040.59 1.16（2）当 x<0或 x>2 时，函数值大于 0. （3） 当 0<x<2 时，函数值小于 0.易错点 1 漏掉函数是一次函数的情况8．（吕梁市文水县期中 ）若函数 y ＝（a －1）x 2－4x ＋2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为－ 1或2或 1.易错点 2 忽视坐标轴包含 x 轴和 y 轴 9．抛物线 y ＝x 2－2x ＋1 与坐标轴的交点个数是 （C ）A ． 0B ．1C ．2D ． 310．已知抛物线 y ＝x 2－（a ＋ 2）x ＋9 的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为 y ＝x 2－6x ＋9或 y ＝x 2＋6x ＋9或 y ＝ x 2＋ 9． 02 中档题11． （牡丹江中考 ）抛物线 y ＝ ax 2＋bx ＋c （a <0）如图所示，则关于 x 的不等式 ax 2＋bx ＋c >012． （大同市期中 ）二次函数 y ＝ （x － 2）2＋ m 的图象如图所示，一次函数 y ＝kx ＋b 的图象经过A （1，0）及点B （4，3），则满足 kx ＋b ≥x （－2）2＋m 的 x 的取值范围是 （A ）13．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为 （－1，0），（2，0），（0，2），则当 y >2 时，自变的解集是 （C ）A ．x <2C ．－ 3< x < 1B ． x >－ 3 D ．x <－ 3 或 x >1该二次函数图象上的点A ． 1 ≤x ≤ 4 C ．x ≥4B ．x ≤1量 x 的取值范围是 (B)1A ．0<x <2B ．0<x <1 1 C.2<x <1 D ．－ 1< x <214． (济南中考 )二次函数 y ＝ x 2＋ bx 的图象如图，对称轴为直线 x ＝1.若关于 x 的一元二次方 程 x 2＋bx －t ＝0(t 为实数 )在－ 1< x < 4的范围内有解，则 t 的取值范围是 (C)下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线 x ＝ 1；③当 x <1 时，函数值 y随 x 的增大而增大；④方程 ax 2＋ bx ＋c ＝ 0 有一个根大于 4.其中正确的结论有 (B)B ． 2 个 D ． 4 个16．( 杭州中考 )把一个足球垂直水平地面向上踢， 时间为 t(秒 )时该足球距离地面的高度 h(米 ) 适用公式 h ＝ 20t － 5t 2(0 ≤t ≤ 4．) (1) 当 t ＝3 时，求足球距离地面的高度； (2) 当足球距离地面的高度为 10 米时，求 t ； (3)若存在实数 t 1，A ．t ≥－1 C ．－ 1≤t < 8D ．3<t <8A ．1个 C ．3 个t2(t1≠t2)，当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m(米)，求m 的取值范围．解：(1)当t＝3 时，h＝20t－5t2＝20×3－5×9＝15，∴此时足球距离地面的高度为15 米．2(2)当h＝10 时，20t－5t2＝10，即t2－4t＋2＝0，解得t＝2＋2或t＝2－ 2.答：经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10 米．(3) 由题意得t1和t2 是方程20t－5t2＝m(m≥0的) 两个不相等的实数根，则Δ＝202－20m>0.解得m<20.∴m 的取值范围是0≤m<20.03 综合题1 2 117．有这样一个问题：探究函数y＝2x2＋x的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函2x数y＝1x2＋1的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：2x函数y＝1x2＋1的自变量x 的取值范围是x≠0，m 的值为29；2 x 6(2) 在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；(3) 进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有 1 个交点，所以对应方程21x2＋1＝0 有 1 个实数根；2xx②方程1x2＋1＝2 有 3 个实数根；2x③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．解：（2）函数图象如图所示.⑶③答案不唯一，女口：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限.。
二次函数与一元二次方程同步培优题典(解析版)
专题2.5二次函数与一元二次方程姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•阜新）已知二次函数y ＝﹣x 2+2x +4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A ．图象的开口向上B ．图象的顶点坐标是（1，3）C ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大D ．图象与x 轴有唯一交点【分析】先利用配方法得到y ＝﹣（x ﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A 、B 、C 进行判断；通过解方程﹣x 2+2x +4＝0可对D 进行判断． 【解析】∵y ＝﹣x 2+2x +4＝﹣（x ﹣1）2+5，∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，解方程﹣x 2+2x +4＝0，解得x 1＝1+√5，x 2＝1−√5， ∴抛物线与x 轴有两个交点． 故选：C ．2．（2020•大连）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x ＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x 轴的另一个交点坐标是（ ）A ．（72，0）B ．（3，0）C ．（52，0）D ．（2，0）【分析】根据抛物线的对称性和（﹣1，0）为x 轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标． 【解析】设抛物线与x 轴交点横坐标分别为x 1、x 2，且x 1＜x 2，根据两个交点关于对称轴直线x ＝1对称可知：x 1+x 2＝2， 即x 2﹣1＝2，得x 2＝3，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）， 故选：B ．3．（2020•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表：x ﹣1 0 1 3 y﹣3131下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2+bx +c ＝0有一个根大于4．其中正确的结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据表格数据求出二次函数解析式，即可判断①，再将解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可判断②、③，当y ＝0时，解方程即可判断④．【解析】根据题意：将点（﹣1，﹣3）、（0，1）、（1，3）代入二次函数y ＝ax 2+bx +c 中， {a −b +c =−3c =1a +b +c =3， 解得{a =−1b =3c =1，所以二次函数y ＝﹣x 2+3x +1， ∵a ＝﹣1＜0， ∴抛物线的开口向下， 所以①正确；∵y ＝﹣x 2+3x +1＝﹣（x −32）2+134， 则图象的对称轴为直线x =32， 所以②错误；∵图象的对称轴为直线x =32，∴当x ＜32时，函数值y 随x 的增大而增大， 所以③错误；当y ＝0时，﹣（x −32）2+134=0， 解得x 1=3−√132，x 2=3+√132， ∵3＜√13＜4， ∴3＜3+√132＜72， 所以方程ax 2+bx +c ＝0有一个根小于4， 所以④错误．综上所述：其中正确的结论有①． 故选：A ．4．（2020•毕节市）已知y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝2．若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根，且x 1＜x 2，﹣1＜x 1＜0，则下列说法正确的是（ ）A ．x 1+x 2＜0B ．4＜x 2＜5C ．b 2﹣4ac ＜0D ．ab ＞0【分析】利用函数图象分别得出抛物线与x 轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案． 【解析】∵x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个根， ∴x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标， ∵抛物线的对称轴为x ＝2， ∴x 1+x 22=2，即x 1+x 2＝4＞0，故选项A 错误；∵x 1＜x 2，﹣1＜x 1＜0， ∴﹣1＜4−x 22＜0， 解得：4＜x 2＜5，故选项B 正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，故选项C 错误； ∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x＝2，∴−b2a=2，∴b＝﹣4a＞0，∴ab＜0，故选项D错误；故选：B．5．（2020•娄底）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m ＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b【分析】依照题意画出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，观察图象即可得出结论．【解析】二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．观察图象，可知：m＜a＜b＜n．故选：C．6．（2020•碑林区校级模拟）如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（）A．﹣12＜t＜3B．﹣12＜t≤4C．3＜t≤4D．t＞﹣12【分析】先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和6对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜6时有公共点时，t的范围即可．【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=−m2×(−1)=2，解得m＝4，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，抛物线的顶点坐标为（2，4），当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；当x＝6时，y＝﹣x2+4x＝﹣36+24＝﹣12，当x＝2时，y＝4，在1＜x＜6时有公共点时当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜6时有公共点时，﹣12＜t≤4，故选：B．7．（2020•牡丹江一模）若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a+b＝0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为（）A．x1＝﹣7，x2＝3B．x1＝﹣6，x2＝4C．x1＝6，x2＝﹣4D．x1＝7，x2＝﹣3【分析】函数的对称轴为x=−b2a=−−4a2a=2，即可求解．【解析】函数的对称轴为x=−b2a=−−4a2a=2，而两个交点之间的距离为10，则两个交点的坐标分别为：（7，0）、（﹣3，0），故选：D．8．（2020•和平区三模）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝2x﹣m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝2x﹣m 与新函数图象有4个交点时，m的取值范围是（）A．﹣4＜m＜6B．−254＜m＜﹣4C．6＜m＜334D．−254＜m＜6【分析】当直线位于直线a、b的位置时，直线y＝2x﹣m与新函数图象有3个交点，直线y＝2x﹣m处于a、b之间时，有4个交点，即可求解．【解析】令y＝﹣x2+x+6＝0，则x＝﹣2或3，即抛物线与x轴交点的坐标为（﹣2，0）、（3，0），二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，根据点的对称性，两个图象关于x轴对称，则新图象的表达式为：﹣y′＝﹣x2+x+6，即y′＝x2﹣x﹣6，如下图，当直线位于直线a、b的位置时，直线y＝2x﹣m与新函数图象有3个交点，处于a、b之间时，有4个交点，当直线处于直线a的位置时，将（3，0）代入y＝2x﹣m并解得：m＝6；当直线处于直线b的位置，即直线与y′＝x2﹣x﹣6只有一个交点，联立两个函数表达式并整理得：x2﹣3x+m﹣6＝0，则△＝（﹣3）2﹣4（m﹣6）＝0，解得：m=33 4；故选：C．9．（2020•鼓楼区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列命题中：①b＝﹣2a；②此抛物线向下移动c个单位后过点（2，0）；③﹣1＜a＜−12；④方程x2﹣2x+1c=0有实数根，结论正确的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】A．函数的对称轴为x=−b2a=1，即可求解；B．新抛物线表达式为：y＝ax2+bx＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），即可求解；C ．x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，即{b =−2aa +b +c =2a −b +c ＜0，即可求解；D ．△＝4a 2﹣4a ＝4a （a ﹣1），而﹣1＜a ＜−12，故△＞0，即可求解． 【解析】A ．函数的对称轴为x =−b2a =1，解得：b ＝﹣2a ； 故A 正确；B ．此抛物线向下移动c 个单位后，新抛物线表达式为：y ＝ax 2+bx ＝ax 2﹣2ax ＝ax （x ﹣2）， 则x ＝2时，y ＝0，故抛物线过点（2，0）， 故B 正确；C ．x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，即{b =−2aa +b +c =2a −b +c ＜0，解得：﹣1＜a ＜−12，故C 正确；D ．∵a ＜0，∴x 2﹣2x +1c=0变形为ax 2﹣2ax +1＝0， ∵△＝4a 2﹣4a ＝4a （a ﹣1），而﹣1＜a ＜−12， ∴△＞0，故方程x 2﹣2x +1c=0有实数根， 故D 正确； 故选：D ．10．（2020春•岳麓区校级期末）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a +b ＝0；②若m 为任意实数，则a +b ≥am 2+bm ；③a ﹣b +c ＞0；④3a +c ＜0；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，则x 1+x 2＝2．其中正确的个数为（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，即可判断①；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，即可判断③；把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0可对④进行判断；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=−ba，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2可对⑤进行判断．【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以③错误；∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确；∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=−b a，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，所以⑤正确．综上所述，正确的有①②④⑤共4个． 故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•立山区二模）若二次函数y ＝mx 2+（m ﹣2）x +m 的顶点在x 轴上，则m ＝ ﹣2或23 ．【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求解即可． 【解析】∵二次函数y ＝mx 2+（m ﹣2）x +m 的顶点在x 轴上， ∴4m⋅m−(m−2)24m=0，解得m ＝﹣2或23． 故答案为：﹣2或23．12．（2020•朝阳）抛物线y ＝（k ﹣1）x 2﹣x +1与x 轴有交点，则k 的取值范围是 k ≤54且k ≠1 ． 【分析】直接利用根的判别式得到△＝（﹣1）2﹣4×（k ﹣1）×1≥0，再利用二次函数的意义得到k ﹣1≠0，然后解两不等式得到k 的范围．【解析】∵抛物线y ＝（k ﹣1）x 2﹣x +1与x 轴有交点， ∴△＝（﹣1）2﹣4×（k ﹣1）×1≥0，解得k ≤54， 又∵k ﹣1≠0， ∴k ≠1，∴k 的取值范围是k ≤54且k ≠1； 故答案为：k ≤54且k ≠1．13．（2020•东莞市校级模拟）已知抛物线y ＝x 2+bx +c 的部分图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是 ﹣1＜x ＜3 ．【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以得到该抛物线与x 轴的另一个交点，从而可以得到当y ＜0时，x 的取值范围．【解析】由图象可得，该抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），故抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），故当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．14．（2020•宁夏）若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是k＞﹣1．【分析】根据二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，可知判别式△＞0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．【解析】∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，解得：k＞﹣1，故答案为：k＞﹣1．15．（2020•包头）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n 的最小值为4．【分析】根据点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，可以得到b的值，然后将函数解析式化为顶点式，再根据题目中的条件，即可得到正整数n的最小值，本题得以解决．【解析】∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，∴−b2×1=−1+52，解得，b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∵将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，∴n的最小值是4，故答案为：4．16．（2020•高邮市二模）若二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：x…﹣10123…y…100686…则它的图象与x轴的两个交点横坐标的和为4．【分析】从表格看通过函数的对称轴为确定图象和x轴的两个交点的横坐标，即可求解．【解析】从表格看，函数的对称轴为x＝2，根据点的对称性，x＝0，y＝0，则x＝4时，y＝0，即图象和x轴的两个交点的横坐标为0、4，则图象与x轴的两个交点横坐标的和为0+4＝4，故答案为4．17．（2020•玄武区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…若点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，则y1＞y2．（选填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线x=12，且抛物线开口向上，然后根据两点到对称轴的距离进行判断即可．【解析】∵x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝6，∴抛物线的对称轴为直线x=12，且抛物线开口向下，∵点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，且|m2﹣2−12|＜|m2+4−12|，∴y1＞y2，故答案为＞．18．（2020•铁西区二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有①③．（填序号）【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．【解析】抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，因此可得，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），a﹣b+c＝0，x=−b2a=2，即4a+b＝0，因此①正确；当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，因此②不正确；当x＝5时，y＝25a+5b+c＝0，又b＝﹣4a，所以5a+c＝0，而a＜0，因此有3a+c＞0，故③正确；在对称轴的左侧，即当x＜2时，y随x的增大而增大，因此④不正确；当x＝2时，y最大＝4a+2b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，因此有4a+2b≥am2+bm，故⑤错误；综上所述，正确的结论有：①③，故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•海淀区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣101234…y…50﹣3﹣4﹣30m…（1）二次函数图象的开口方向向上，顶点坐标是（1，﹣4），m的值为5；（2）点P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函数图象上，y1＞y2（填＜、＞、＝）；（3）当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；（4）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为x＝﹣2或4．【分析】根据表格数据确定函数的对称轴，根据函数图象对称性即可求解．【解析】（1）由表格可见，函数的对称轴为x＝1，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），根据函数的对称性m＝5；故答案为：向上；（1，﹣4）；5；（2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故y1＞y2；故答案为：＞；（3）从表格看，当y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3；（4）从表格看，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解为：x＝﹣2或4，故答案为：x＝﹣2或4．20．（2020•玄武区二模）已知函数y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）（m为常数）．（1）求证：无论m为何值，该函数的图象都经过x轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数，求m的值．【分析】（1）需要分类讨论：①该函数是一次函数时，求得其函数图象与x轴交点坐标；②该函数是二次函数时，观察y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）可化为y＝（x﹣1）[m（x﹣1）+2]，由此得到抛物线与x轴的交点坐标；（2）需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数，根据函数解析式求得函数图象与坐标轴的交点坐标，结合条件“该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数”来求m的值即可．【解答】（1）证明：①当m＝0时，该函数是一次函数y＝2x﹣2，其函数图象与x轴交点坐标是（1，0）；②当m≠0时，∵y＝m（x﹣1）2+2（x﹣1）＝（x﹣1）[m（x﹣1）+2]，∴该抛物线与x轴交点横坐标分别是1和1−2 m．∴无论m取何值，该抛物线与x轴总交于点（1，0）；（2）解：若m＝0，则y＝2x﹣2，此时函数与x轴，y轴交点分别是（1，0），（0，2），符合题意；若m≠0时，则函数与x轴交点分别是（1，0），（1−2m，0），与y轴交点是（0，m﹣2）．即当m﹣2是整数时，1−2m也是整数，所以m＝±1，±2．综上所述，m＝﹣2，﹣1，0，1，2．21．（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．【分析】（1）由题意可得0＝4a+2b+c①，−b2a=1②，△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；（2）由n＜﹣5，可得点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，由二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），∴0＝4a+2b+c①，∵对称轴是直线x＝1，∴−b2a=1②，∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，∴△＝（b ﹣1）2﹣4ac ＝0③， 由①②③可得：{a =−12b =1c =0，∴抛物线的解析式为y =−12x 2+x ； （2）∵n ＜﹣5，∴3n ﹣4＜﹣19，5n +6＜﹣19∴点B ，点C 在对称轴直线x ＝1的左侧， ∵抛物线y =−12x 2+x ，∴−12＜0，即y 随x 的增大而增大，∵（3n ﹣4）﹣（5n +6）＝﹣2n ﹣10＝﹣2（n +5）＞0， ∴3n ﹣4＞5n +6， ∴y 1＞y 2；（3）若点B 在对称轴直线x ＝1的左侧，点C 在对称轴直线x ＝1的右侧时，由题意可得{3n −4＜15n +6＞11−(3n −4)＜5n +6−1，∴0＜n ＜53，若点C 在对称轴直线x ＝1的左侧，点B 在对称轴直线x ＝1的右侧时，由题意可得：{3n −4＞15n +6＜13n −4−1＜1−(5n +6)，∴不等式组无解， 综上所述：0＜n ＜53．22．（2020•雁塔区校级模拟）已知抛物线L ：y ＝﹣ax 2+2ax +c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB ＝4．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）将抛物线L 沿x 轴翻折后得到的新抛物线记为L '，且记L 和L '的顶点分别记为M 、M '，要使点A 、B 、M 、M '为顶点的四边形是正方形，请求抛物线L 的解析式．【分析】（1）根据抛物线的对称轴和AB ＝4，即可求得A （﹣1，0），B （3，0）； （2）根据题意得出|4⋅(−a)c+(2a)24⋅(−a)|＝2，即|c +a |＝2，即可得出c ＝±2﹣a ，即可得到y ＝﹣ax 2+2ax ±2﹣a ，把A 的坐标代入解析式即可求得a ，进而求得c ，从而求得抛物线的解析式． 【解析】（1）∵抛物线L ：y ＝﹣ax 2+2ax +c 的对称轴为x =−2a2×(−a)=1，且AB ＝4，∴OB ＝3，OA ＝1，∴点A （﹣1，0），点B （3，0），（2）∵点A 、B 、M 、M '为顶点的四边形是正方形， ∴MM ′＝AB ＝4， ∴|4⋅(−a)c+(2a)24⋅(−a)|＝2，即|c +a |＝2，当c +a ＝2时，c ＝2﹣a ，∴抛物线L 为：y ＝﹣ax 2+2ax +2﹣a ，代入A （﹣1，0）得，﹣a ﹣2a +2﹣a ＝0，解得a =12，c =32， ∴抛物线L 的解析式为：y =−12x 2+x +32； 当c +a ＝﹣2时，c ＝﹣2﹣a ， ∴抛物线L 为：y ＝﹣ax 2+2ax ﹣2﹣a ，代入A （﹣1，0）得，﹣a ﹣2a ﹣2﹣a ＝0，解得a =−12，c =−32， ∴抛物线L 解析式为：y =12x 2﹣x −32，综上，抛物线L 的解析式为y =−12x 2+x +32或y =12x 2﹣x −32．23．（2020•黑龙江）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+（a +1）x ﹣a 与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知△BAC 的面积是6． （1）求a 的值；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使S △ABP ＝S △ABC ．若存在请求出P 坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）由y ＝﹣x 2+（a +1）x ﹣a ，令y ＝0，即﹣x 2+（a +1）x ﹣a ＝0，可求出A 、B 坐标结合三角形的面积，解出a ＝﹣3；（2）根据题意P 的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P 的坐标． 【解析】（1）∵y ＝﹣x 2+（a +1）x ﹣a ， 令x ＝0，则y ＝﹣a ， ∴C （0，﹣a ），令y ＝0，即﹣x 2+（a +1）x ﹣a ＝0 解得x 1＝a ，x 2＝1 由图象知：a ＜0 ∴A （a ，0），B （1，0） ∵S △ABC ＝6∴12（1﹣a ）（﹣a ）＝6解得：a ＝﹣3，（a ＝4舍去）； （2）∵a ＝﹣3， ∴C （0，3）， ∵S △ABP ＝S △ABC ． ∴P 点的纵坐标为±3，把y ＝3代入y ＝﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3＝3，解得x ＝﹣2或x ＝0（与点C 重合，舍去）； 把y ＝﹣3代入y ＝﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3＝﹣3，解得x ＝﹣1+√7或x ＝﹣1−√7， ∴P 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+√7，﹣3）或（﹣1−√7，﹣3）．24．（2020春•南岸区校级月考）如图，抛物线y ＝x 2+2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为点D ． （1）求AB 的长度和点D 的坐标；（2）求直线AC 的函数表达式；（3）点P 是第四象限抛物线上一点，当2S △P AC ＝S △P AB 时，求点P 的坐标．【分析】（1）令y ＝0，得y ＝x 2+2x ﹣3＝0，解一元二次方程便可得A 、B 点的坐标，把解析式化成顶点式，便可求得D 点坐标；（2）先求出抛物线与y 轴的交点C 的坐标，再用待定系数法求直线AC 的解析式；（3）设P （m ，m 2+2m ﹣3）（0＜m ＜1），过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，根据已知的面积关系列出m 的方程，解方程便可．【解析】（1）令y ＝0，得y ＝x 2+2x ﹣3＝0， 解得，x ＝﹣3或1， ∴A （﹣3，0），B （1，0）， ∴AB ＝1﹣（﹣3）＝4， ∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4， ∴D （﹣1，﹣4）；（2）令x ＝0，得y ＝x 2+2x ﹣3＝﹣3， ∴C （0，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），得 {−3k +b =0b =−3， 解得，{k =−1b =−3，∴直线AC 的解析式为：y ＝﹣x ﹣3；（3）设P （m ，m 2+2m ﹣3）（0＜m ＜1），过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，如下图， 则PQ ＝﹣m 2﹣2m +3，OQ ＝m ，AQ ＝m +3 ∵2S △P AC ＝S △P AB ，∴2（S △AOC +S 梯形OQPC ﹣S △APQ ）＝S △P AB ，即2[12×3×3+12(3−m2−2m+3)⋅m−12(m+3)(−m2−2m+3)]=12×4(−m2−2m+3)，解得，m＝﹣3（舍），m=2 5，∴P(25，−5125)．。
二次函数与一元二次方程练习题(含答案)
二次函数与一元二次方程一、选择题1．如图2－128所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则一次函数y=ax －b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若a 与c 异号，则其图象与x 轴的交点个数为 ( )A ．2个B ．1个C ．0个D ．不能确定 3．根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2＋bx ＋c－0.06－0.020.030.09判断方程 ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的取值范围是 ( )A ．3＜x ＜3.23B ．3．23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.26 4．函数cbx axy ++=2的图象如图l －2－30，那么关于x 的方程a x 2+b+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等实数根D ．无实数根5．二次函数cbx ax y ++=2的图象如图l －2－31所示，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，bc ＞0，△＜0 B.a ＜0，bc ＞0，△＜0 C ．a ＞0，bc ＜0，△＜0 D.a ＜0，bc ＜0，△＞06．函数cbx ax y ++=2的图象如图 l －2－32所示，则下列结论错误的是（ ）A ．a ＞0B ．b 2－4ac ＞0C 、20ax bx c ++=的两根之和为负D 、20ax bx c ++=的两根之积为正7.不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（ ） A ．在x 轴上方 B ．与x 轴只有一个交点 C ．与x 轴有两个交点 D ．在x 轴下方 二、填空题8．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图 2－129所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为 ．9．若抛物线y=kx 2－2x ＋l 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 ． 10．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴只有一个交 点，则这个交点的坐标是 .11．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 12．直线y=3x —3与抛物线y=x 2 －x+1的交点的个数是 . 三、解答题13.已知二次函数y=-x 2+4x-3,其图象与y 轴交于点B,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积.14..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A 点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B 点的坐标为B(6,5).(1)求这个二次函数的表达式;(2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).B(6,5)A(0,2)14121086420246xCy15.如图,已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴的两个交点分别为A(x 1,0),B(x 2,0) , 且x 1+x 2=4,1213x x .(1)求抛物线的代数表达式; (2)设抛物线与y 轴交于C 点,求直线BC 的表达式; (3)求△ABC 的面积.16．如果一个二次函数的图象经过点A(6，10)，与x 轴交于B ，C 两点，点B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝5，求这个二次函数的解析式．17．已知关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y ＝(2m －3)x －4m ＋7能否经过点A(－2，4)，并说明理由．18．二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图2－130所示，根据图象解 答下列问题．(1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根； (2)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集；(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；BxOCy A(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．19．如图2－131所示，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，抛物线P上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下.x …－3 －2 1 2 …y …－52－4 －520 …(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；(3)当矩形DEFG的面积S最大时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围；(4)若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积．参考答案1．B[提示：a ＞0，－2ba＜0，∴b ＞0．] 2．A 3．C 4.C 5.D 6.D 7.C8．x 1＝－l ，x 2＝3[提示：由图象可知，抛物线的对称轴为x=l ，与x 轴的交点是(3，0)，根据对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－l ，0)，所以一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3．故填x 1＝－l ，x 2＝3．]9．k ＜1，且k ≠0[提示：若抛物线与x 轴有两个交点，则(－2)2－4k ＞0．] 10．(－2ba，0) 11.略 12.113.令x=0,得y=-3,故B 点坐标为(0,-3). 解方程-x 2+4x-3=0,得x 1=1,x 2=3. 故A 、C 两点的坐标为(1,0),(3,0).所以AC=3-1=2,AB=221310+=,BC=223332+=, OB=│-3│=3. C △ABC =AB+BC+AC=21032++. S △ABC =12AC ·OB=12×2×3=3.14.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a=112-. 故y=112-(x-6)2+5. (2)由 112-(x-6)2+5=0,得x 1=26215,6215x +=-.结合图象可知:C 点坐标为(6215+ 故OC=6215+13.75(米)即该男生把铅球推出约13.75米15..(1)解方程组1212413x xxx+=⎧⎪⎨=⎪⎩, 得x1=1,x2=3故2210330b cb c⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩,解这个方程组,得b=4,c=-3.所以,该抛物线的代数表达式为y=-x2+4x-3.(2)设直线BC的表达式为y=kx+m.由(1)得,当x=0时,y=-3,故C点坐标为(0,-3).所以330mk m=-⎧⎨+=⎩, 解得13km=⎧⎨=-⎩∴直线BC的代数表达式为y=x-3 (3)由于AB=3-1=2,OC=│-3│=3.故S△ABC =12AB·OC=12×2×3=3.16．解：设函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(6，10)代入，得10＝36a＋6b＋c①，当y＝0时，ax2＋bx＋c=0，又x1＋x2＝－ba=6②，x1x2＝ca＝5③，由①②③解得a=2，b＝－12，c＝10．所以解析式为y＝2x2－12x＋10．17．解：该直线不经过点A．理由如下：∵方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根，∴△=(2m＋1)2－4(m2＋2)=4m－7＞0，∴2m－72＞0，∴2m－3＞0．又由4m－7＞0，得－4m＋7＜0，∴直线y=(2m－3)x－4m＋7经过第一、三、四象限，而A(－2，4)在第二象限，∴该直线不经过点A.18．解：(1)由二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可知，抛物线与x轴交于(1，0)，B(3，0)两点，即x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集，即是求y＞0的解集，由图象可知l＜x ＜3．(3)因为a＜0，故在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即当x＞2时，y随x的增大而减小．(4)由图可知，22,242,43,baac baca⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,8,6.abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩代入方程得－2x2＋8x－6－k＝O．又因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即82－4×(－2)×(－6－k)＞0，解得k＜2．19．解法l：(1)任取x，y的三组值代入y=ax2＋bx＋c(a≠0)，求出解析式为y＝12x2＋x－4．令y＝0，得x1＝－4，x2＝2；令x＝0，得y=－4，∴A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．解法2：(1)由抛物线P过点(1，－52)，(－3，－52)可知，抛物线P的对称轴为x＝－1．又∵抛物线P过(2，0)，(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知，点A，B，C的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)． (2)由题意，知AD DG AO OC=，而AO=2，OC=4，AD=2－m，故DG=4－2m．又BE EFBO OC=，EF=DG，得BE=4－2m，∴DE＝3m，∴S矩形DEFG ＝DG·DE＝(4－2m)·3m=12m－6m2(0＜m＜2)． (3)∵S矩形DEFG=12m－6m2(0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)．设直线DF的解析式为y＝kx＋b，易知k＝23，b＝－23.∴y=23x－23.又抛物线P的解析式为y＝12x2＋x－4．令23x－23=12x2＋x－4，解得x161-±.如图2－132所示，设射线DF与抛物线P相交于点N，则N161--．过N作x轴的垂线交x轴于H，得1612561339FN HEDF DE-----+===.∵点M不在抛物线P上，即点M不与N重合，此时k的取值范围是k561-+且k＞0． (4)由(3)知S矩形DEFG＝6．。
2022-2023学年九年级数学上学期期末高分必刷专题《一元二次方程与二次函数》强化训练
期末高分必刷专题《一元二次方程与二次函数》强化训练1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．B．C．D．2．用配方法解一元二次方程，配方后的方程为（）A．B．C．D．3．已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x+k2-2k-3=0的常数项等于0，则k的值等于（）A．-1 B．3 C．-1或3 D．-34．若关于x的一元二次方程x2＋x－3m＋1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＜C．m≥D．m≤5．下列关于一元二次方程的根的情况判断正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根6．已知4是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．7或C．或D．7．若实数、满足，则一元二次方程根的情况是（）．A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根C．无实数根D．两个实数根8．定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n-m+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算，例如：-3☆2=(-3)2×2-(-3)+2=23．根据以上知识请判断方程：x☆2=0的根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．只有一个实数根9．若α、β是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2015 B．2013 C．﹣2015 D．403010．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A ． B ． C ．2- D ．11．某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到49万元．设平均月增长率为x ，根据题意可列方程是（ ）A ．25(1+ x %)2=49B ．25(1+x)2=49C ．25(1+ x 2) =49D ．25(1- x)2=4912．某医院内科病房有护士人，每人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是天，则（ ） A ． B ． C ． D ．13．某商场销售一种新文具，进价为20元/件，市场调查发现，每件售价35元，每天可销售此文具250件，在此基础上，若销售单价每上涨1元，每天销售量将减少10件，针对这种文具的销售情况，若销售单价定为元时，每天可获得4000元的销售利润，则应满足的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．14．下列关系式中,属于二次函数的是( )A ．B ．C ．D ．15．若函数是二次函数，则m 的值为（ ） A ．3 B ． C ． D ．916．下列二次函数中，图像的开口向上的是（ ）A ．216y x x =--B ．281y x x =-++C ．()()15y x x =-+D ．()225y x =-- 17．抛物线的顶点坐标为（ ）A ．(1,4)--B ．C ．D ． 18．抛物线()21+5y x =--与轴的交点坐标是（ ）A ．（0，4）B ．（1，4）C ．（0，5）D ．（4，0） 19．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A ．图象的开口向上B ．图象的顶点坐标是C ．当时，随的增大而增大D ．图象与轴有唯一交点20．已知关于x 的二次函数21(3)(2)4y m x m x m =+-++ 的图像与x 轴总有交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＞﹣4且m≠﹣3B ．m≥﹣4且m≠﹣3C ．m ＞﹣4D ．m≥﹣4 21．在平面直角坐标系中，将抛物线22y x = 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( )A ．22(3)4y x =--B ．C ．D ．22．若（，）， （，）， （，）为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．23．已知二次函数，关于该函数在31x -≤≤的取值范围内，下列说法正确的是（ ）． A ．有最大值6，有最小值-3B ．有最大值5，有最小值-3C ．有最大值6，有最小值5D ．有最大值6，有最小值-1 24．函数23y ax bx =++．当与时，函数值相等，则当时，函数值等于（ ） A ．－3 B ． C ． D ．325．用一根长60cm 的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为（ ）A ．125cm2B ．225cm2C ．200cm2D ．250cm226．二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a>0 B．b>0 C．c>0 D．b2-4ac>027．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，说法：①；②；③；④若、是抛物线上两点，则，其中说法正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．428．已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，给出以下结论：①abc<0；②当x=-1时，函数有最大值；③方程ax²+bx+c=0的解是x=1，x=-3；④4a+2b+c>0，⑤2a-b=0，其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．429．在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．30．如图，已知中，2,30,AB AC B P ︒==∠=是边上一个动点，过点作，交其他边于点．若设为，的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、解答题 1．（2021·山东安丘·九年级期末）已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．2．（2021·广东郁南·九年级期末）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G 基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G 基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G 基站的数量是多少万座？；（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率．3．（2021·河北卢龙·九年级期末）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？4．（2021·山东郓城·九年级期末）已知关于x 的方程x2+（2k ﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k 的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k 的值．5．（2021·河北曲阳·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知点()()()1,2.2,3.2,1A B C ，直线y x m =+经过点A ．抛物线21y ax bx =++恰好经过,,A B C 三点中的两点．()1判断点B 是否在直线y x m =+上．并说明理由；()2求,a b 的值；()3平移抛物线21y ax bx =++，使其顶点仍在直线y x m =+上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．6．（2021·海南海口·九年级期末）如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过()2,0A ，()0,6B -两点．（1）求这个二次函数的解析式；的面积．（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC7．（2021·山东禹城·九年级期末）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．8．（2021·广西玉林·九年级期末）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．D 符合一元二次方程定义的是21023x x --=， 故选：D.2．A∵29190x x -+=，∴2919x x -=-， 则2818191944x x -+=-+， 即29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故选：A.3．B由题意，得2230k k --=且10k +≠，∴()()310k k -+=且10k +≠，∴30k -=．解得3k =．故选：B ．4．C∵ 关于x 的一元二次方程2310x x m +-+=有两个实数根， ∴ ()214131m ∆=-⨯⨯-+≥0， 解得：m≥14， 故选：C ．5．C解：∵△=22-4×1×3=-8＜0， ∴方程23210x x ++=没有实数根．故选：C ．6．C解：把x=4代入方程得16-4（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x 2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11； ②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10． 综上所述，该△ABC 的周长为10或11．故选C ．7．A ∵21203ax x b +-= ∴∆=4-4a×13b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=4+43ab ， ∵0b a>， ∴ab>0，∴∆=4+43ab >0， ∴一元二次方程21203ax x b +-=有两个不相等的实数根． 故选A ．8．C解：∵x ☆2=0，∴2x2-x+2=0，∵a=2，b=-1,，c=2，∴△=b²-4ac=1-16=-15<0，∴无实数根， 故选C ．9．B解：∵α是方程x2+2x ﹣2015＝0的根，∴α2+2α﹣2015＝0，∴α2+2α＝2015，∴α2+3α+β＝2015+α+β，∵α、β是方程x2+2x ﹣2015＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣2，∴α2+3α+β＝2015﹣2＝2013．故选：B ．10．A∵1x ，2x 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴1x +2x =2，1x 2x =-1， ∴12112121x x +-- 21122121(21)(21)x x x x -+-=-- 1212122()242()1x x x x x x +-=-++ 2224(1)221⨯-=⨯--⨯+ =27-， 故选：A.11．B解：依题意得七月份的利润为25（1+x ）2，∴25（1+x ）2=49．故选：B ．12．C解：由已知护士x 人，每2人一班，轮流值班，可得共有()12x x -种组合，又已知每8小时换班一次，每天3个班次，所以由题意得：()12x x -÷(24÷8)=70解得：x=21，即有21名护士．故选C ．13．C由题意知：销售单价定为x 元，∵进价为20元/件，每件售价35元，每天可销售此文具250件，∴销售利润=（35-20）×250=3750＜4000 ∴销售利润为4000时，x ＞35，又∵销售单价每上涨1元，每天销售量将减少10件∴可得方程为(20)[25010(35)]4000x x ---=．故选C ．14．A根据二次函数的定义：2(0)y ax bx c a =++≠，可判断出只有A 符合二次函数的定义，故选：A ．15．C 由题意得：272320m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得3m =±，故选：C ．16．B解：A. 261y x x =--+，开口方向向下；B. 281y x x =-+，开口方向向上；C. ()()215=45y x x x x =-+--+，开口方向向下；D. ()22251023y x x x =--=-+-，开口方向向下．故答案为B ．17．D 解：2223(1)4y x x x∴顶点坐标为(1,4)-．故选：D ．18．A把x ＝0代入得y ＝-（-1）2+5，即y ＝4，∴抛物线()21+5y x =--与y 轴的交点坐标是（0，4）．故选：A ．19．C解：2224(1)5y x x x =-++=--+， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,5)，抛物线的对称轴为直线1x =，当 1x <时，y 随x 的增大而增大，令0y =，则2240x x -++=，解方程解得 11x =21x =，∴△44(1)4200=-⨯-⨯=>，∴抛物线与x 轴有两个交点．故选：C ．20．B解：∵关于x 的二次函数21(3)(2)4y m x m x m =+-++的图像与x 轴总有交点， ∴△=()()212434m m m ---+⋅=22443m m m m ++--=4m +≥0解得：m≥﹣4又∵m+3≠0∴m≠-3∴实数m 的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3．故选B ．21．D解：∵抛物线22y x = 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴所得到的抛物线的表达式为22(3)4y x =+-，故选：D ．22．B解：∵245y x x =--∴该函数图像开口方向向上，对称轴为x=422-=- ∵|134--2|=5.25，|54--2|=3.25，|14-2|=1.75， ∴1.75＜3.25＜5.25∴y3＜y2＜y1．故答案为B ．23．A∵242y x x =--+∴二次函数图像的对称轴为：()()422x -=-=-- ∵31x -≤≤，且10-< ∴当2x =-时，函数取最大值()()224226y =----+=又∵242y x x =--+在2x =-右侧，y 随着x 的增大而减小；在2x =-左侧，y 随着x 的增大而增大∴当3x =-时，()()234325y =----+=当1x =时，1423y =--+=-∵35-<∴31x -≤≤，二次函数取最小值-3故选：A ．24．D解：∵当x=1与x=2018时，函数值相等，故该函数为二次函数，∴对称轴为：x=12018201922+-=- ∴x=2019与x=0的函数值相等，∵当x=0时，y=3，∴当x=2019时，y=3，故选：D ．25．B解：设矩形的长为xcm ，则宽为602x 2-cm ， ∴矩形的面积S ＝(602x 2-)x ＝−x2＋30x ． ∵a ＝−1＜0， ∴S 最大＝24ac 4b a-＝9004--＝225（cm2）． 故矩形的最大面积是225cm2．故选：B ．26．D解：由函数图象，可得：函数开口向下，则a ＜0，对称轴在y 轴左侧，则b ＜0，图象与y 轴交点在y 轴负半轴，则c ＜0，抛物线与x 轴有两个交点，则b2−4ac ＞0，故错误的结论是A 、B 、C ，正确的结论是D ．故选：D ．27．C解：∵抛物线开口向上，∴0a >， ∵抛物线对称轴是直线12b x a=-=-， ∴20b a =>，则20a b -=，故②正确，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴0c <，∴0abc <，故①正确，∵当3x =-时，0y =，且图象关于直线1x =-对称，∴当1x =时，0y a b c =++=，即a c b +=-，∵0b >，∴0a c +<，故③正确，∵点()15,y -离对称轴要比点25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭离对称轴远， ∴12y y >，故④错误．故选：C ．28．C∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴为直线x=2b a-=-1， ∴b=2a<0，2a-b=0，故⑤正确，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c>0，∴abc>0，所以①错误；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，∴当x=-1时，函数有最大值，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，而对称轴为直线x=-1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(−3，0)，∴当x=1或x=-3时，函数y 的值都等于0，∴方程ax2+bx+c=0的解是：x1=1，x2=-3，所以③正确；∵x=2时，y<0，∴4a+2b+c<0，所以④错误，综上，正确的有②③⑤故选：C ．29．D解：解法一：逐项分析；A 、由函数y mx m =+的图象可知0m <，即函数222y mx x =-++开口方向朝上，与图象不符，故A 选项错误；B 、由函数y mx m =+的图象可知0m <，二次函数的对称轴为21022b x a m m=-=-=<，则对称轴应在y 轴左侧，与图象不符，故B 选项错误；C 、由函数y mx m =+的图象可知0m >，即函数222y mx x =-++开口方向朝下，与图象不符，故C 选项错误；D 、由函数y mx m =+的图象可知0m <，即函数222y mx x =-++开口方向朝上，对称轴为 21022b x a m m=-=-=<，则对称轴应在y 轴左侧，与图象相符，故D 选项正确； 解法二：系统分析当二次函数开口向下时，0m -<，0m >，一次函数图象过一、二、三象限．当二次函数开口向上时，0m ->，0m <， 对称轴2102x m m==<， 这时二次函数图象的对称轴在y 轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限． 故选：D ．30．C解：（1）当03BP<时，在ABC ∆中，2AB AC ==，30B ∠=︒，PD BC ⊥，BP ∴=；21(03)2y BP DP x ∴=⨯<，2>， ∴函数图象开口向上；（2BP <<BP ==；11)22y BP DP x ∴=⨯=，22y x =-+； 302-<， ∴函数图象开口向下；综上，答案C 的图象大致符合．故选：C ．二：解答题1解析：（1）证明：∵()230x m x m ---=，∴△=[﹣（m ﹣3）]2﹣4×1×（﹣m ）=m2﹣2m+9=（m ﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵()230x m x m ---=，方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，∴123x x m +=- ，12x x m =- ，∴()2121237x x x x +-=，∴（m ﹣3）2﹣3×（﹣m ）=7，解得，m1=1，m2=2，即m 的值是1或2．2解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G 基站的数量是1.546⨯=（万座）.答：到2020年底，全省5G 基站的数量是6万座.（2）设年平均增长率为x ，由题意可得： ()26117.34x +=，解得：10.7=70%x =，2 2.7x =-（不符合，舍去）答：2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．3解析：（1）由题意得60×（360－280）＝4800（元）.即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； （2）设每件商品应降价x 元，由题意得（360－x －280）（5x ＋60）＝7200，解得x1＝8，x2＝60.要更有利于减少库存，则x ＝60.即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元. 4：（1）∵关于x 的方程x2+（2k ﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，∴△=（2k ﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k 的取值范围为k≤． （2）∵关于x 的方程x2+（2k ﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=1﹣2k ，x1x2=k2﹣1．∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2，∴（1﹣2k ）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），即k2﹣4k ﹣12=0，解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．∴实数k 的值为﹣2．5【详解】（1）点B 在直线y x m =+上，理由如下：将A （1，2）代入y x m =+得21m =+，解得m=1，∴直线解析式为1y x ， 将B （2，3）代入1y x ，式子成立，∴点B 在直线y x m =+上；（2）∵抛物线21y ax bx =++与直线AB 都经过（0，1）点，且B ，C 两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过A ，C 两点，将A ，C 两点坐标代入21y ax bx =++得124211a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得：a=-1，b=2；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h ）2+k ，∵顶点在直线1y x 上，∴k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为-h2+h+1，∵-h2+h+1=-（h-12）2+54， ∴当h=12时，此抛物线与y 轴交点的纵坐标取得最大值54．6（1）把()2,0A ，()0,6B -代入212y x bx c =-++得 2206b c c -++=⎧⎨=-⎩， 解得46b c =⎧⎨=-⎩. ∴这个二次函数解析式为21462y x x =-+-.（2）∵抛物线对称轴为直线44122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ∴C 的坐标为()4,0， ∴422AC OC OA =-=-=， ∴1126622ABC S AC OB ∆=⨯=⨯⨯=. 7解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB 时，，∴或OP=PC ﹣3 ∴P1（0，，P2（0，3﹣；②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，）或（0，3﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．8（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t2+2t+6）其中0＜t ＜6，则N （t ，﹣t+6），∴PN=PM ﹣MN=﹣12t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t2+2t+6+t ﹣6=﹣12t2+3t ， ∴S △PAB=S △PAN+S △PBN =12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t2+3t ）×6 =﹣32t2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，P(3,152),△PAB 的面积有最大值； （3）△PDE 为等腰直角三角形，则PE=PD ，点P （m ，-12m2+2m+6），函数的对称轴为：x=2，则点E 的横坐标为：4-m ，则PE=|2m-4|，m2+2m+6+m-6=|2m-4|，即-12解得：m=4或-2或或-2和故点P的坐标为：（4，6）或（）．。
22.2《二次函数与一元二次方程》练习题(含答案)
22.2 二次函数与一元二次方程01 基础题知识点1 二次函数与一元二次方程1．(柳州中考)小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是(D )A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x ＝－1或x ＝42．(青岛中考)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是m ＞9． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围为m ≤3．4．(1)已知一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2.求二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标；(2)若二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点，求a 的值．解：(1)∵一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2， ∴二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点， 令y ＝0，则－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根， ∴1＋4a ＝0，解得a ＝－14.知识点2利用二次函数求一元二次方程的近似解5．(兰州中考)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(C)A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3知识点3二次函数与不等式6．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是(C)A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜2D．x＜－1或x＞27．画出二次函数y＝x2－2x的图象．利用图象回答：(1)方程x2－2x＝0的解是什么？(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.解：列表：描点并连线：(1)方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2.(2)当x<0或x>2时，函数值大于0.(3)当0<x<2时，函数值小于0.易错点1漏掉函数是一次函数的情况8．(吕梁市文水县期中)若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为－1或2或1.易错点2忽视坐标轴包含x轴和y轴9．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是(C)A．0 B．1C．2 D．310．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y＝x2＋6x＋9或y＝x2＋9．02中档题11．(牡丹江中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(C)A．x＜2 B．x＞－3C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞112．(大同市期中)二次函数y＝(x－2)2＋m的图象如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B(4，3)，则满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围是(A) A．1≤x≤4 B．x≤1C．x≥4 D．x≤1或x≥413．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x 的取值范围是(B )A ．0＜x ＜12B ．0＜x ＜1 C.12＜x ＜1 D ．－1＜x ＜214．(济南中考)二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是(C )A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜815．(阳泉市平定县月考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．(杭州中考)把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t (秒)时该足球距离地面的高度h (米)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为10米时，求t ；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (米)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15， ∴此时足球距离地面的高度为15米． (2)当h ＝10时，20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－ 2.答：经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10米． (3)由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m (m ≥0)的两个不相等的实数根，则 Δ＝202－20m >0.解得m <20. ∴m 的取值范围是0≤m <20. 03 综合题17．有这样一个问题：探究函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)下表是y 与x 的几组对应值．函数y ＝12x 2＋1x 的自变量x 的取值范围是x ≠0，m 的值为296；(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；(3)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有1个交点，所以对应方程12x 2＋1x ＝0有1个实数根；②方程12x 2＋1x＝2有3个实数根；③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．解：(2)函数图象如图所示．(3)③答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限．。
二次函数与一元二次方程 练习题
二次函数与一元二次方程练习题1.抛物线y=2x-8-3x与x轴有2个交点，因为其判别式b-4ac=25>0.2，相应二次方程3x^2-2x+8=0的根的情况为2个不相等的实根。
3.关于二次函数y=ax^2+bx+c的图像有下列命题：①当c=0时，函数的图像经过原点；②当c>0，且函数的图像开口向下时，方程ax^2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是-Δ/4a；④当b=0时，函数的图像关于y 轴对称。
其中正确命题的个数是3个。
4.关于x的方程mx^2+mx+5=m有两个相等的实数根，则相应二次函数y=mx^2+mx+5-m与x轴必然相交于点(0,5-m)，此时m=1.5.要使抛物线y=x^2-(2m-1)x-6m与x轴交于两点(x1,0)和(x2,0)，经过原点，应将它向右平移1个单位。
6.关于x的二次函数y=2mx+(8m+1)x+8m的图像与x轴有交点，则m的范围是m≥-11/16且m≠16/27.7.已知抛物线y=-(x-h)^2+k的顶点在抛物线y=x上，且抛物线在x轴上截得的线段长是4/3，求h和k的值。
解得h=±1/3，k=2/3.8.已知函数y=x-mx+m-2.(1) 求证：不论m为何实数，此二次函数的图像与x轴都有两个不同交点；(2) 若函数y有最小值-2，求m的值。
(1) 当y=0时，解得x=1和x=m-2，因此与x轴有两个交点；(2) 当m=1时，函数的最小值为-2，因此m=1.9.下图是二次函数y=ax^2+bx+c的图像，与x轴交于B，C两点，与y轴交于A点。
已知BC=5，∠ABC=45°，∠ACB=60°，(1) 根据图像确定a，并说明理由；(2) 如果A点的坐标为(0,-3)，b，c的符号，求这个二次函数的函数表达式。
(1) 因为∠ABC=45°，∠ACB=60°，所以BC的长度为5，AB的长度为5cos45°=5/√2，AC的长度为5cos30°=5√3/2.因此，函数的开口向下，a<0.又因为函数与y轴交于A点，所以c=0.(2) 由于A点的坐标为(0,-3)，所以c=-3.又因为函数与x轴交于B，C两点，所以b=-a(Bx+Cx)=-a(BC)=5a。
二次函数与一元二次方程及不等式综合专题训练
二次函数与一元二次方程及不等式综合专题训练1、（1）抛物线2x x 2y －－=与x 轴有 个交点； （2）抛物线2x 41x 1y －－=与x 轴有 个交点； （3）抛物线222+-=x x y 与x 轴有 个交点。
2、下列函数图象与x 轴有两个交点的是（ ）A ．y =7(x +8)2+2 B ．y =7(x -8)2+2 C ．y = -7(x -8)2-2 D ．y = -7(x +8)2+2 3、（1）抛物线532+-=x x y －与直线2y =有 个交点； （2）抛物线642+-=x x y 与直线2y =有 个交点； （3）抛物线232+-=x x y －与直线2y =有 个交点； （4）抛物线243y x x =++与直线x=-9有 个交点； 4、抛物线231y x x =-+与直线y k =有1个交点，则_____k =. 5、已知二次函数y =－12 x 2 － x + 32。
在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图 象直接作答： （1）方程 - 12 x 2 - x + 32 =0的解为x= ；（2）当y ＜ 0时，x 的取值范围是 ； （3）当x 满足条件： 时，y 随x 的增大而减小； （4）当x= 时，y 的最小值为 ； （5）以图象与坐标轴交点为顶点的三角形面积是 ；（6）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位所对应的函数关系式是 ． (7)当x 取何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0； (8)当y 取何值时，－4＜x ＜0；6、如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点. （1）求出二次函数的解析式； （2）根据图象回答下列问题：①当x 取何值时，两函数的函数值都随x 增大而增大； ②当x 取何值时，一次函数值等于二次函数值； ③当x 取何值时，一次函数值大于二次函数值； ④当x 取何值时，两函数的函数值的积小于0．1－1 －3 3xyO A BCxyO7、已知抛物线y=x 2-8x+c,(1)、若抛物线的顶点在x 轴上,则c= ；(2)、若抛物线与x 轴有两个交点,则c 的范围是 ； (3)、若抛物线与坐标轴有两个公共点,则c 的范围是 。
专项练习二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合练习
专项练习二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合练习1．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象如图3－ZT －1所示，那么关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝m 有实数根的条件是( ) 图3－ZT －1A 、m ≥－2B 、m ≥5C 、m ≥0D 、m ＞42．如图3－ZT －2是二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝( )图3－ZT －2A 、－1.6B 、3.2C 、4.4D 、以上都不对3．2019·杭州四名同学在研究函数y ＝x2＋bx ＋c(b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x2＋bx ＋c ＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，这四名同学中只有一名同学发现的结论是错误的，那么该同学是( )A 、甲B 、乙C 、丙D 、丁4．直线y ＝3x －3与抛物线y ＝x2－x ＋1的交点的个数是( )A 、0B 、1C 、2D 、不能确定5．抛物线y1＝ax2＋bx ＋c 与直线y2＝mx ＋n 如图3－ZT －3所示，以下判断：①abc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③5a －c ＝0；④当x ＜12或x ＞6时，y1＞y2.其中正确的个数是( )图3－ZT －3A 、1B 、2C 、3D 、46．2019·绵阳将二次函数y ＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y ＝2x ＋b 的图象有公共点，那么实数b 的取值范围是( )A 、b ＞8B 、b ＞－8C 、b ≥8D 、b ≥－87．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 和正比例函数y ＝23x 的图象如图3－ZT －4所示，那么方程ax2＋(b －23)x ＋c ＝0的两根之和( )图3－ZT －4A 、大于0B 、等于0C 、小于0D 、不能确定8．如图3－ZT －5是抛物线y1＝ax2＋bx ＋c 的一部分，抛物线的顶点是A(1，3)，与x 轴的一个交点为B(4，0)，直线y2＝mx ＋n(m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，以下结论：①2a ＋b ＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1.其中正确的选项是( )图3－ZT －5A 、①②③B 、①③④C 、①③⑤D 、②④⑤9．二次函数y ＝(x －h)2＋1(h 为常数), 在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，那么h 的值为( )A 、1或－5B 、－1或5C 、1或－3D 、1或310．2019·孝感如图3－ZT －6，抛物线y ＝ax2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，那么方程ax2＝bx ＋c 的解是________．图3－ZT －611．二次函数y ＝kx2＋(2k －1)x －1的图象与x 轴交点的横坐标为x1，x2(x1＜x2)，那么对于以下结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②方程kx2＋(2k －1)x －1＝0有两个不相等的实数根x1，x2；③x2－x1＝1＋4k2k.其中正确的选项是__________(只填序号)．12．如图3－ZT－7，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象分别与x轴、y轴相交于点A(－3，0)，B(0，－3)，二次函数y＝x2＋mx ＋n的图象经过点A.(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)假设二次函数y＝x2＋mx＋n的图象的顶点在直线AB上，求m，n 的值；(3)当－3≤x≤0时，二次函数y＝x2＋mx＋n的最小值为－4，求m，n 的值．图3－ZT－713．请阅读以下解题过程，并回答以下问题．解一元二次不等式：x2－5x＞0.解：设x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，那么抛物线y＝x2－5x与x轴的交点坐标为(0，0)和(5，0)．画出二次函数y＝x2－5x的大致图象(如图3－ZT－8所示)，由图象可知：当x＜0或x＞5时，函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2－5x＞0，所以一元二次不等式x2－5x＞0的解集为x＜0或x＞5.通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答以下问题：(1)上述解题过程中，渗透了以下数学思想中的________和_______ _．(只填序号)①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．(2)一元二次不等式x2－5x＜0的解集为____________．(3)用类似的方法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0.图3－ZT－814．小明在复习数学知识时，针对〝求一元二次方程的解〞整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的解．(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)．(2)解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图3－ZT －9(a)，把方程x2－x －1＝0的解看成是二次函数y ＝________的图象与x 轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．①把方程x2－x －1＝0的解看成是二次函数y ＝________的图象与一次函数y ＝________的图象交点的横坐标；②在图(b)中，画出这两个函数的图象，用x1，x2在x 轴上标出方程的解．图3－ZT －9教师详解详析1．[解析] A 求方程ax2＋bx ＋c ＝m 有实数根的条件就是求二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与常数函数y ＝m 的图象什么时候有交点，由二次函数的图象可知，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 有最小值－2，因此，当m ≥－2时，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与常数函数y ＝m 的图象有交点．2．[解析] C 由图可知，抛物线的对称轴为直线x ＝3，∴抛物线与x 轴的两个交点关于直线x ＝3对称．而关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x1，x2， ∴两根满足x1＋x2＝2×3.∵x1＝1.6，∴x2＝4.4. 3．[解析] B 假设甲和丙的结论正确，那么⎩⎨⎧－b 2＝1，4c －b24＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝4， ∴函数的表达式为y ＝x2－2x ＋4.当x ＝－1时，y ＝x2－2x ＋4＝7，∴乙的结论不正确；当x ＝2时，y ＝x2－2x ＋4＝4，∴丁的结论正确．∵四名同学中只有一名同学发现的结论是错误的，∴假设成立．应选B.4．[解析] B 由3x －3＝x2－x ＋1，得x2－4x ＋4＝0，即(x －2)2＝0，x1＝x2＝2.故直线y ＝3x －3与抛物线y ＝x2－x ＋1的交点只有一个．5．[解析] C 由图知抛物线开口向上，∴a ＞0.对称轴为直线x ＝－b 2a ＝3，∴b ＜0.∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＜0，∴①正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝3，且与x 轴交于点(5，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(1，0)，∴当x ＝1时，y1＝a ＋b ＋c ＝0，∴②错误；由①知－b 2a ＝3，∴b ＝－6a ，由②知当x ＝1时，y1＝a ＋b ＋c ＝0，∴a －6a ＋c ＝0，即－5a ＋c ＝0，5a －c ＝0，∴③正确；观察图象可知抛物线与直线交点的横坐标分别是12与6，∴当x<12或x>6时，y1>y2，∴④正确．应选C.6．[解析] D 二次函数y ＝x2的图象向下平移1个单位，再向右平移3个单位后，得到y ＝(x －3)2－1的图象，再结合与一次函数y ＝2x ＋b 的图象有公共点，建立关于x 的一元二次方程，利用一元二次方程有解的条件Δ≥0，可求出b 的取值范围．7．[解析] A 设ax2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x1，x2.∵由二次函数的图象可知x1＋x2＞0，a ＞0，∴－b a ＞0. 设方程ax2＋(b －23)x ＋c ＝0(a ≠0)的两根为m ，n ，那么m ＋n ＝－b －23a ＝－b a ＋23a .∵a ＞0，∴23a ＞0，∴m ＋n ＞0.应选A.8．[答案] C9．[解析] B 根据题意知，最小值肯定不是x ＝h 时y 的值，∴对称轴x ＝h 中的h 不在1≤x ≤3的范围内．∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，∴①假设h ＜1，那么当x ＝1时，y 取得最小值5，可得(1－h)2＋1＝5，解得h ＝－1或h ＝3(舍去)；②假设h>3，那么当x ＝3时，y 取得最小值5，可得(3－h)2＋1＝5，解得h ＝5或h ＝1(舍去)．综上所述，h 的值为－1或5.应选B.10．[答案] x1＝－2，x2＝1[解析] ∵抛物线y ＝ax2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax2，y ＝bx ＋c 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－2，y1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x2＝1，y2＝1， 即方程ax2＝bx ＋c 的解是x1＝－2，x2＝1.11．[答案] ①②[解析] ①当x ＝－2时，y ＝4k －2×(2k －1)－1＝4k －4k ＋2－1＝1，故本结论正确；②∵抛物线与x 轴交点的横坐标为x1，x2(x1＜x2)，∴方程kx2＋(2k －1)x －1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，故本结论正确；③∵二次函数y ＝kx2＋(2k －1)x －1的图象与x 轴交点的横坐标为x1，x2(x1＜x2)， ∴x1＋x2＝1－2k k ，x1·x2＝－1k ， ∴x2－x1＝()x1＋x22－4x1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2＋4×1k ＝1＋4k2k2＝1＋4k2||k ， 故本结论错误．故答案为①②. 12．解：(1)由题意可得y ＝kx －3，把点A 的坐标代入y ＝kx －3，得－3k －3＝0，解得k ＝－1.∴一次函数的表达式为y ＝－x －3.(2)∵y ＝x2＋mx ＋n 的图象经过点A(－3，0)， ∴9－3m ＋n ＝0，n ＝3m －9，∴y ＝x2＋mx ＋3m －9，其顶点坐标为(－m 2，－m2＋12m －364)． ∵该抛物线的顶点在直线AB 上，∴－(－m 2)－3＝－m2＋12m －364， 化简，得m2－10m ＋24＝0，解得m1＝4，m2＝6.当m ＝4时，n ＝3m －9＝3；当m ＝6时，n ＝3m －9＝9. 综上可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝9. (3)抛物线y ＝x2＋mx ＋3m －9的对称轴是直线x ＝－m 2.①假设－m 2<－3，即m>6，那么当x ＝－3时，y 最小值＝9－3m ＋3m－9＝0≠－4(不符合题意，舍去)．②假设－3≤－m 2≤0，即0≤m ≤6，那么当x ＝－m 2时，y 最小值＝－m2＋12m －364＝－4，得m2－12m ＋20＝0，解得m1＝2，m2＝10(不符合题意，舍去)．③假设－m 2>0，即m<0，那么当x ＝0时，y 最小值＝3m －9＝－4，∴m ＝53>0(不符合题意，舍去)．综上所述，m ＝2符合题意，此时n ＝－3.13．[解析] (1)根据题意容易得出结论．(2)由图象可知：当0＜x ＜5时函数图象位于x 轴下方，此时y ＜0，即x2－5x ＜0，即可得出结果．(3)设x2－2x －3＝0，解方程得出抛物线y ＝x2－2x －3与x 轴的交点坐标，画出二次函数y ＝x2－2x －3的大致图象，由图象可知：当x ＜－1或x ＞3时，函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即x2－2x －3＞0.解：(1)① ③(2)由图象可知：当0＜x ＜5时，函数图象位于x 轴下方，此时y ＜0，即x2－5x ＜0，∴一元二次不等式x2－5x ＜0的解集为0＜x ＜5.故答案为0＜x ＜5.(3)设x2－2x －3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴抛物线y ＝x2－2x －3与x 轴的交点坐标为(3，0)和(－1，0)． 画出二次函数y ＝x2－2x －3的大致图象(如下图)，由图象可知：当x ＜－1或x ＞3时，函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即x2－2x －3＞0，∴一元二次不等式x2－2x －3＞0的解集为x ＜－1或x ＞3.14．解：(1)由原方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＝54， 解得x1＝－5＋12，x2＝5＋12. (2)x2－x －1(3)(答案不唯一)①x2 x ＋1 ②如图．。
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一元二次方程与二次函数提高训练题1、已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 解：（1）由题意得，168(1)0k ∆=--≥． ∴3k ≤． ∵k 为正整数，∴123k =，，． （2）当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零； 当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根． 综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．当3k =时，二次函数为2242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．（3）设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A B 、两点，则(30)A -，，(10)B ，．依题意翻折后的图象如图所示．当直线12y x b =+经过A 点时，可得32b =；当直线12y x b =+经过B 点时，可得12b =-．由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<．2、已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+=（1）若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值． 证明： []22=2(23)-4414884m m m m ---++（）=0,m > 840.m ∴+>∴方程有两个不相等的实数根。
（2）=(23)x m -±∵方程有两个整数根，且m 为整数． 又∵12＜m ＜40， 252181.m ∴<+< ∴ 59．356,.27,24.638,.2m m m =∴==∴==∴=∴m=243、已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2－bx+kc（c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcabb kc +-22)(的值；（3）求证: 关于x 的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根. 解：由 kx=x+2，得(k －1) x=2. 依题意 k －1≠0. ∴ 12-=k x . ∵ 方程的根为正整数，k 为整数, ∴ k －1=1或k －1=2. ∴ k1= 2, k2=3.（2）解：依题意，二次函数y=ax2－bx+kc 的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a －b+kc, kc = b －a .∴222222222a ab abb a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()(=.122-=--a ab aba （3）证明：方程②的判别式为 Δ=(－b)2－4ac= b2－4ac. 由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.( i ) 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数 根.( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a －b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b2－4ac= (a+kc)2－4ac=a2+2kac+(kc)2－4ac = a2－2kac+(kc)2+4kac －4ac =(a －kc)2+4ac(k －1). ∵ 方程kx=x+2的根为正实数，∴ 方程(k －1) x=2的根为正实数. 由 x>0, 2>0, 得 k －1>0. ∴ 4ac(k －1)>0. ∵ (a －kc)2≥0,∴Δ=(a －kc)2+4ac(k －1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax2－bx+kc 与x 轴有交点, ∴ Δ1=(－b)2－4akc =b2－4akc ≥0. (b2－4ac)－( b2－4akc)=4ac(k －1). 由证法一知 k －1>0, ∴ b2－4ac> b2－4akc ≥0.∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.4、 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=．（1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根12x x ，满足12211m x x m +-=+-，求m 的值． （1）[]22(21)4(2)m m m ∆=-+-+-22441448m m m m =++--+ 90=>∴不论m 取何值，方程总有两个不相等实数根（2）由原方程可得12(21)32m x +±==，∴ 1221x m x m =+=-， －－ ∴ 123x x -=又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2311m m +=+-∴ 4m = －经检验：4m =符合题意． ∴ m 的值为4．5\已知关于x 的一元二次方程22(4)0x a x a +++=．(1) 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 抛物线21:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ．求抛物 线2C 的解析式；(3) 点A (m ,n )和B (n ,m )都在(2)中抛物线C 2上，且A 、B 两点不重合，求代数式33222m mn n -+的值．（1）证明：∵22(4)4216a a a ∆=+-⨯=+， …………………………………1分 而20a ≥，∴2160a +>，即0∆>.∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. …………2分 （2）解：∵当2ax =时，0y =，∴22()(4)022a aa a ⨯++⨯+=. ∴230a a +=，即(3)0a a +=.∵0a ≠，∴3a =-. ………………………………………………………… 3分∴抛物线1C 的解析式为22125232()48y x x x =+-=+-. ∴抛物线1C 的顶点为125(,)48--. ∴抛物线2C 的顶点为(0,3)-.∴抛物线2C 的解析式为223y x =-. …………………………4分（3）解：∵点A （m ，n ）和B （n ，m ）都在抛物线2C 上，∴223n m =-，且223m n =-.∴222()n m m n -=-.∴2()()n m m n m n -=-+. ∴()[2()1]0m n m n -++=. ∵A 、B 两点不重合，即m n ≠， ∴2()10m n ++=. ∴12m n +=-. ……………………………………………………… 5分 ∵223m n =+，223n m =+， ∴33222m mn n -+22222m m mn n n =⋅-+⋅n m mn m n ⋅++-⋅+=)3(2)3().(3n m += ………………………………………………………………6分32=-. ………………………………………………………………7分6、已抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y （m 为实数）。
（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？（2）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。
分析：抛物线与x 轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m 应满足的条件。
略解：（1）由已知有⎩⎨⎧>=∆≠-0012m m ，解得0≠m 且1≠m （2）由0=x 得C （0，－1）又∵1-=∆=m ma AB ∴2112121=⋅-⋅=⋅⋅=∆m m OC AB S ABC ∴34=m 或54=m ∴132312--=x x y 或156512---=x x y6、如图，抛物线4)(22c x b a x y ++-=，其中a 、b 、c 分别是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边。
（1）求证：该抛物线与x 轴必有两个交点；（2）设有直线bc ax y -=与抛物线交于点E 、F ，与y 轴交于点M ，抛物线与y 轴交于点N ，若抛物线的对称轴为a x =，△MNE 与△MNF 的面积之比为5∶1，求证ABC 是等边三角形；（1）))(()(22c b a c b a c b a -+++=-+=∆∵0>++c b a ，0>-+c b a∴0>∆ （2）由a ba =+2得b a = 由⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=bcax y c x b a x y 4)(22得：0432=++-ac c ax x 设E （1x ，1y ），F （2x ，2y ），那么：a x x 321=+，ac c x x +=4221 由MNE S ∆∶MNF S ∆＝5∶1得：215x x =∴215x x =或215x x -=由021>⋅x x 知215x x -=应舍去。
由⎩⎨⎧==+212153x x a x x 解得22ax =∴ac c a +=⎪⎭⎫⎝⎛42522，即04522=--c ac a∴ c a =或05=+c a （舍去） ∴ c b a ==∴△ABC 是等边三角形。
7、 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点C ，与x 轴交于点)0,(1x A ,)0,(2x B )(21x x <，顶点M 的纵坐标为-4，若21x x 和是方程222(1)70x m x m --+-=的两个根，且102221=+x x(1)求A ，B 两点的坐标（2）求抛物线的解析式和点C 的坐标（3）在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积等于四边形ACMB 面积的两倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。
1、因为x1，x2是方程x^2－2(m－1)x＋m^2－7＝0的两个根所以x1＋x2＝2(m－1) ，x1*x2＝m^2－7又因为(x1)^2＋(x2)^2＝10所以(x1＋x2)^2－2x1*x2＝10即[2(m－1)]^2－2(m^2－7)＝10整理得：m^2－4m＋4＝0所以m＝2代入x^2－2(m－1)x＋m^2－7＝0 得x^2－2x－3＝0解得x1＝－1，x2＝3所以A、B的坐标为：A(－1，0)，B(3，0)2、把A、B坐标代入y＝ax^2＋bx＋c，得a－b＋c＝09a＋3b＋c＝0因为抛物线y＝ax^2＋bx＋c顶点M的纵坐标为－4所以(4ac－b^2)/(4a)＝－4上述三式组成方程组，解得a＝1，b＝－2，c＝－3 (a＝0不合，已舍去)所以抛物线的解析式是y＝x^2－2x－3当x＝0时，y＝－3所以C点坐标是(0，－3)3、抛物线y＝x^2－2x－3的顶点是M(1，－4)，AB＝3－(－1)＝4 设点P的坐标为(x，y)S△PAB＝AB*|y|/2＝4*|y|/2＝2|y|过M作MN⊥X轴，交X轴于N点，则S四边形ACMB＝S△AOC＋S△BNM＋S梯形MNOC＝1*3/2＋(3－1)*4/2＋(3＋4)*1/2＝9若S△PAB＝2S△PAB则有2|y|＝2*9＝18所以|y|＝9>4，所以P 在X 轴的上方所以y ＝9所以9＝x^2－2x －3即x^2－2x －12＝0解得x ＝1±√13所以存在点P 使三角形PAB 的面积等于四边形ACMB 的面积的2倍，坐标为：P1[(1＋√13)，9]，P2[(1－√13)，9]课后练习、1、已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.1）证明：①当0m =时，方程为220x -+=，所以 1x =，方程有实数根.…… 1分 ②当0m ≠时, []2(32)4(22)m m m ∆=-+-+ =22912488m m m m ++--=244m m ++ =2(2)0m +≥ ………………………………2分 所以,方程有实数根综①②所述，无论m 取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分（2）令0y =，则2(32)220mx m x m -+++= 解关于x 的一元二次方程，得11x = ，222x m =+ ……………………5分 二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，所以m 只能取1，2所以抛物线的解析式为254y x x =-+或2286y x x =-+………………7分 2、已知抛物线)6(2)8(222+++-=m x m x y 。