2019-2020学年上海市建平中学2018级高二下学期期中考试数学试卷及解析
2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。
2018-2019学年上海市建平中学高二(下)期中数学试卷
2018-2019学年上海市建平中学高二（下）期中数学试卷一.填空题1．设复数z=3+4i（i是虚数单位），则•z=．2．已知复数为纯虚数（i是虚数单位），则实数a=．3．已知点A、B到平面α的距离分别是4、6，则线段AB的中点M到平面的距离α是．4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．5．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是．6．已知A是△BCD所在平面外一点，E、F分别是BC和AD的中点，若BD⊥AC，BD=AC，则EF与BD所成角的大小是．7．双曲线3y2﹣x2=1的两条渐近线的夹角是．8．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=．9．已知复数z满足|z+2﹣i|=1，则|2z﹣1|的取值范围是．10．设实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，下列命题中，假命题的序号是（1）方程可能有两个相等的虚根（2）ax2+bx+c=（x﹣x1）（x﹣x2）（3）（4）若b2﹣4ac＜0，则x1﹣x2一定是纯虚数．11．定长是3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，M是线段AB的中点，则M到y轴距离的最小值是．12．斜率是1的直线与椭圆交于A、B两点，P为线段AB上的点，且AP=2PB，则点P的轨迹方程是．二.选择题13．下列几何体中，多面体是（）A． B．C．D．14．一条直线和该直线外不共线的三点最多可以确定平面的个数为（）A．1个 B．3个 C．4个 D．6个15．下列命题中，假命题的个数是（）（1）若直线a在平面α上，直线b不在平面α上，则a、b是异面直线（2）若a、b是异面直线，则与a、b都垂直的直线有且只有一条（3）若a、b是异面直线，则与c、d与直线a、b都相交，则c、d也是异面直线（4）设a、b是两条直线，若a∥平面α，a∥b，则b∥平面αA．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．已知圆F的方程是x2+y2﹣2y=0，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F 引倾斜角为α的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点（在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D），若|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，则α的值为（）A．±arctan B．C．arctan D．arctan或π﹣arctan三.简答题17．实数x取什么值时，复数z=（x2﹣2x﹣3）+（x2+3x+2）i（i为虚数单位）；（1）是实数？（2）对应的点位于复平面的第二象限？18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=4；（1）求证：AD1⊥平面A1B1D；（2）求BD与平面ACC1A1所成角的大小．19．某乳业公司生产甲、乙两种产品，需要A、B、C三种苜蓿草饲料，生产1个单位甲种产品和生产1个单位乙种产品所需三种苜蓿草饲料的吨数如表所示：现有A种饲料200吨，B种饲料360吨，C种饲料300吨，在此基础上生产甲乙两种产品，已知生产1个单位甲产品，产生的利润为2万元，生产1个单位乙产品，产生的利润为3万元，分别用x、y表示生产甲、乙两种产品的数量；（1）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲乙两种产品多少时，能够产出最大的利润？并求出此最大利润．20．已知下列两个命题：命题p：实系数一元二次方程x2+mx+2=0有虚根；命题q：关于x的方程：2x2﹣4（m﹣1）x+m2+7=0（m∈R）的两个虚根的模的和不大于，若p、q均为真命题，求实数m的取值范围．21．已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O 为坐标原点；（1）求△ABF2的周长；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：；（3）问直线l是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，说明理由．2018-2019学年上海市建平中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．设复数z=3+4i（i是虚数单位），则•z=25．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：•z=（3+4i）•（3﹣4i）=32+42=25．故答案为：25．2．已知复数为纯虚数（i是虚数单位），则实数a=4．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==+i为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=4．故答案为：4．3．已知点A、B到平面α的距离分别是4、6，则线段AB的中点M到平面的距离α是5或1．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】由于A，B的位置可在同侧与异侧，故需要讨论．考虑两种情况：当A、B两点有平面α的同侧时，当A、B两点有平面α的异侧时，分别利用平面几何的知识求得M到平面α的距离即可．【解答】解：考虑两种情况：当A、B两点有平面α的同侧时，如图，分别过A、B、M作α的垂线，可得直角梯形，则AB中点M到平面α的距离为5；当A、B两点有平面α的异侧时，如图，分别过A、B、M作α的垂线，则，∴，则点M到平面α的距离为1．综上，点M到平面α的距离为5或1．故答案为：5或1．4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．【考点】LT：直线与平面平行的性质．【分析】根据已知EF∥平面AB1C和线面平行的性质定理，证明EF∥AC，又点E 为AD的中点，点F在CD上，以及三角形中位线定理可知点F是CD的中点，从而求得线段EF的长度．【解答】解：∵EF∥平面AB1C，EF⊆平面AC，平面AB1C∩平面AC=AC，∴EF∥AC，又点E为AD的中点，点F在CD上，∴点F是CD的中点，∴EF=．故答案为．5．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a，b分别垂直于两个平面，则两条直线的夹角与二面角相等或互补，由于已知的二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案．【解答】解：根据二面角的定义则线面垂直的性质，∵二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，有两条异面直线a，b分别垂直于平面，设异面直线a，b的夹角为θ则θ=60°．故答案为：60°．6．已知A是△BCD所在平面外一点，E、F分别是BC和AD的中点，若BD⊥AC，BD=AC，则EF与BD所成角的大小是45°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】取CD的中点G，利用三角形中位线的性质找出异面直线成的角∠FEG，把此角放在一个三角形中，解此三角形，求出此角的大小．【解答】解：取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，求得∠FEG=45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°．7．双曲线3y2﹣x2=1的两条渐近线的夹角是．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程计算可得其渐近线方程，由渐近线方程得到渐近线的倾斜角，即可得到结论【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：3y2﹣x2=1，其渐近线方程为y=±x，直线y=x的倾斜角为，直线y=﹣x的倾斜角为，则直线y=x与y=﹣x的夹角为，故答案为：．8．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=20．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意作出图象，设线段MN的中点为D，连结DF1，DF2，用椭圆的定义解答即可．【解答】解：如图，设线段MN的中点为D，连结DF1，DF2，则DF1，DF2，分别是△AMN，△BMN的中位线，则|AN|+|BN|=2|DF1|+2|DF2|=2（|DF1|+|DF2|）=2×2a=4×5=20．故答案为：209．已知复数z满足|z+2﹣i|=1，则|2z﹣1|的取值范围是．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z+2﹣i|=1，表示以C（﹣2，1）为圆心，1为半径的圆．可得|2z﹣1|=2|z﹣|表示圆上的点到P的距离的2倍．圆心C到点P的距离d．即可得出．【解答】解：复数z满足|z+2﹣i|=1，表示以C（﹣2，1）为圆心，1为半径的圆．则|2z﹣1|=2|z﹣|表示圆上的点到P的距离的2倍．圆心C到点P的距离d==．∴|2z﹣1|的取值最值分别为：2=±2．∴取值范围是：．故答案为：．10．设实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，下列命题中，假命题的序号是（1）（2）（1）方程可能有两个相等的虚根（2）ax2+bx+c=（x﹣x1）（x﹣x2）（3）（4）若b2﹣4ac＜0，则x1﹣x2一定是纯虚数．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】（1）实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，方程可能有两个共轭虚根，即可判断出真假．（2）由ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2），即可判断出真假．（3）x1+x2=﹣，x1x2=，可得+=（x1+x2）•x1x2，即可得出．（4）由b2﹣4ac＜0，则x1﹣x2一定是纯虚数．即可得出．【解答】解：（1）实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，方程可能有两个共轭虚根，因此是假命题．（2）由于ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2），因此（2）是假命题．（3）∵x1+x2=﹣，x1x2=，∴+=（x1+x2）•x1x2=﹣•=，是真命题．（4）若b2﹣4ac＜0，则x1﹣x2一定是纯虚数．因此是真命题．综上可得：假命题的序号是（1）（2）．故答案为：（1）（2）．11．定长是3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，M是线段AB的中点，则M到y轴距离的最小值是．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先设出A，B的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线的定义，以及利用两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号判断出﹣≥﹣=﹣=，进而求得其最小值．【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），焦点为F（，0）抛物线准线x=﹣所求的距离为S=||=﹣=﹣，[两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号]∴﹣≥﹣=﹣=，故答案为：．12．斜率是1的直线与椭圆交于A、B两点，P为线段AB上的点，且AP=2PB，则点P的轨迹方程是148x2+13y2+64xy﹣20=0（在椭圆内）．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设直线l的方程，代入椭圆方程，由x1，x2是方的两个根，分别求得x1，x2，由AP=2PB，求得x′=，代入即可即可求得P的轨迹方程．【解答】解：设动点为P（x′，y′），则过y=x+（y′﹣x′），整理得：5x2+2（y′﹣x′）x+（y′﹣x′）2﹣4=0，（※）若直线l椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，则x1，x2是方程（※）的两个根，且x1=，①x2=，②由AP=2PB，x1＜x2，则x′=，代入整理得：4x′+y′=，丨y′﹣x′丨＜，两边同时平方：148x′2+13y′2+64x′y′﹣20=0，∴点P的轨迹方程148x2+13y2+64xy﹣20=0（在椭圆内）．故答案为：148x2+13y2+64xy﹣20=0（在椭圆内）．二.选择题13．下列几何体中，多面体是（）A． B．C．D．【考点】L1：构成空间几何体的基本元素．【分析】选项A、C、D中给的几何体都是旋转体，选项B中给的几何体是三棱柱，它是多面体．【解答】解：选项A中给的几何体是球，它是旋转体，故A错误；选项B中给的几何体是三棱柱，它是多面体，故B正确；选项C给的几何体是圆柱，它是旋转体，故C错误；选项D给的几何体是圆锥，它是旋转体，故D错误．故选：B．14．一条直线和该直线外不共线的三点最多可以确定平面的个数为（）A．1个 B．3个 C．4个 D．6个【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据不共线的三点确定一个平面即可得出结论．【解答】解：设直线为a，直线a外不共线的三点为A，B，C，则A，B，C三点确定一个平面；直线a与A确定一个平面；直线a与B确定一个平面；直线a与C确定一个平面，故最多可确定4个平面．故选C．15．下列命题中，假命题的个数是（）（1）若直线a在平面α上，直线b不在平面α上，则a、b是异面直线（2）若a、b是异面直线，则与a、b都垂直的直线有且只有一条（3）若a、b是异面直线，则与c、d与直线a、b都相交，则c、d也是异面直线（4）设a、b是两条直线，若a∥平面α，a∥b，则b∥平面αA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在（1）中，a、b相交、平行或异面；在（2）中，与a、b都垂直的直线有有无数条；在（3）中，c、d相交、平行或异面；在（4）中，b∥平面α或b⊂α．【解答】解：在（1）中，若直线a在平面α上，直线b不在平面α上，则a、b 相交、平行或异面，故（1）是假命题；在（2）中，若a、b是异面直线，则与a、b都垂直的直线有有无数条，故（2）是假命题；在（3）中，若a、b是异面直线，c、d与直线a、b都相交，则c、d相交、平行或异面，故（3）是假命题；在（4）中，设a、b是两条直线，若a∥平面α，a∥b，则b∥平面α或b⊂α，故（4）是假命题．故选：D．16．已知圆F的方程是x2+y2﹣2y=0，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F 引倾斜角为α的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点（在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D），若|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，则α的值为（）A．±arctan B．C．arctan D．arctan或π﹣arctan【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】根据抛物线的焦点是圆心F，求出p，进而求出抛物线的解析式；据|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，求出AD的长度，A、D两点是抛物线和直线的交点，联立抛物线和直线，利用两点间距离公式即可求出结果．【解答】解：∵圆Fx2+y2﹣2y=0 即x2+（y﹣1）2=1∴F（0，1），r=1∵抛物线以F点为焦点=1∴抛物线方程为：x2=4y过F点的直线与抛物线相交于A、D两点，BC为圆F的直径|BC|=2∵|AB|，|BC|，|CD|成等差数列∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|﹣|BC|=|=|AD|﹣2=4∴|AD|=6∵直线l过F（0，1）则设直线解析式为：y=kx+1A、D两点是过F点的直线与抛物线交点设A（x1，y1）D（x2，y2）则|AD|==6联立y=kx+1和x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0∴x1x2=﹣4 x1+x2=4k∴|AD|=====6∴1+k2=∴k=±∴α的值为：arctan或π﹣arctan故选D．三.简答题17．实数x取什么值时，复数z=（x2﹣2x﹣3）+（x2+3x+2）i（i为虚数单位）；（1）是实数？（2）对应的点位于复平面的第二象限？【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）直接虚部为0求得z值；（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．【解答】解：（1）由x2+3x+2=0，解得x=﹣2或﹣1；（2）由，解得﹣1＜x＜3．∴x∈（﹣1，3）时，复数z对应的点位于复平面的第二象限．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=4；（1）求证：AD1⊥平面A1B1D；（2）求BD与平面ACC1A1所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，由此能证明AD1⊥平面A1B1D．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD与平面ACC1A1所成角的大小．【解答】证明：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=4，∴四边形ADD1A1是正方形，∴AD1⊥A1D，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴AD1⊥A1B1，∵A1B1∩A1D=A1，∴AD1⊥平面A1B1D．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0，），B（2，4，0），C（0，4，0），D（0，0，0），A1（2，0，2），=（0，0，2），=（﹣2，4，0），=（﹣2，﹣4，0），设平面ACC1A1的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，1，0），设BD与平面ACC1A1所成角为θ，则sinθ===．∴θ=arcsin，∴BD与平面ACC1A1所成角为arcsin．19．某乳业公司生产甲、乙两种产品，需要A、B、C三种苜蓿草饲料，生产1个单位甲种产品和生产1个单位乙种产品所需三种苜蓿草饲料的吨数如表所示：现有A种饲料200吨，B种饲料360吨，C种饲料300吨，在此基础上生产甲乙两种产品，已知生产1个单位甲产品，产生的利润为2万元，生产1个单位乙产品，产生的利润为3万元，分别用x、y表示生产甲、乙两种产品的数量；（1）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲乙两种产品多少时，能够产出最大的利润？并求出此最大利润．【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】（1）利用已知条件列出约束条件、画出可行域即可．（2）利用可行域．求出目标函数的最优解，然后求解最值．【解答】解：（1）分别用x、y表示生产甲、乙两种产品的数量；由题意可得：；相应的平面区域如图：（2）由约束条件的可行域可知z=2x+3y的最优解A，由解得A（40，8），最大值z max=104；分别生产甲乙两种产品40吨；8吨，能够产出最大的利润，最大利润104万元．20．已知下列两个命题：命题p：实系数一元二次方程x2+mx+2=0有虚根；命题q：关于x的方程：2x2﹣4（m﹣1）x+m2+7=0（m∈R）的两个虚根的模的和不大于，若p、q均为真命题，求实数m的取值范围．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的条件：判别式小于0，以及共轭复数的积与模的关系，根据二次不等式的解法，以及p、q均为真命题，求交集即可得到所求范围．【解答】解：命题p：实系数一元二次方程x2+mx+2=0有虚根，等价为m2﹣8＜0，解得﹣2＜m＜2①命题q：关于x的方程：2x2﹣4（m﹣1）x+m2+7=0（m∈R）的两个虚根的模的和不大于，等价为16（m﹣1）2﹣8（m2+7）＜0，解得﹣1＜m＜5，②设两个虚根为x1，x2，则有x1+x2=2（m﹣1），x1x2=（m2+7），由x1，x2，互为共轭复数，可得|x1|+|x2|=2|x1|=2=，即有≤4，解得﹣3≤m≤3，③若p、q均为真命题，由①②③可得，﹣1＜m＜2．可得实数m的取值范围为（﹣1，2）．21．已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O 为坐标原点；（1）求△ABF2的周长；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：；（3）问直线l是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）△ABF2的周长为：|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a．（2）由于F1（﹣1，0）、F2（1，0），PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上，得到k1≠k2，k1≠0，k2≠0．直线PF1、PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x﹣1），联立方程组，得P（，），由点P在直线x+y=2上，能证明=2．（3）设A（x A，y A），B（x B，y B），C（x C，y C），D（x D，y D），联立直线PF1和椭圆的方程得，得（2k12+1）x2+4k12x+2k﹣2=0，由此利用韦达定理得k OA+k OB==，同理可得：k OC+k OD=，由此利用k OA+k OB+k OC+k OD=0，能求出满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）∵椭圆左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与椭圆的交点为A、B，∴△ABF2的周长为：|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．证明：（2）由于F1（﹣1，0）、F2（1，0），PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上，∴k1≠k2，k1≠0，k2≠0．又直线PF1、PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x﹣1），联立方程组，解得，∴P（，），∵点P在直线x+y=2上，∴+=2，即2k1k2+3k1﹣k2=0，故=2．解：（3）设A（x A，y A），B（x B，y B），C（x C，y C），D（x D，y D），联立直线PF1和椭圆的方程得，得（2k12+1）x2+4k12x+2k﹣2=0，∴x A+x B=﹣，x A x B=，∴k OA+k OB==+==2k1+=，同理可得：k OC+k OD=，∵直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0，∴+==0，∴k1+k2=0或k1k2=1，当k1+k2=0时，由（2）得k2=﹣2，解得P点的坐标为（0，2）当k1k2=1时，由（2）得k2=3或k2=﹣1（舍去），此时直线CD的方程为y=3（x﹣1）与x+y=2联立得x=，y=，∴P（，），综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（0，2）或．。
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知扇形的弧长是6，圆心角为2，则扇形的面积为___ ．2.（填空题，3分）数列{a n}是等比数列，a1=12，q=12，a n=132，则n=___ ．3.（填空题，3分）已知tanθ=-2，则cosθ−sinθsinθ+cosθ=___ ．4.（填空题，3分）三角方程tan(x−π6)=3的解集为___ ．5.（填空题，3分）sinx=13，x∈[3π2，5π2]，则x用反正弦可以表示为___ ．6.（填空题，3分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=n√3√3a+1（n∈N*），则a2020=___ ．7.（填空题，3分）等差数列{a n}的通项为a n=2n-1，令b n=a2n-1，则数列{b n}的前20项之和为___ ．8.（填空题，3分）函数y=sin2ωx-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π，则ω=___ ．9.（填空题，3分）已知12sinα+5cosα可表示为Asin（α+φ）（A＞0，0≤φ＜π）的形式，则sin2φ=___ ．10.（填空题，3分）已知角α，β∈(0，π4)，3sinβ=sin（2α+β），4tanα2=1−tan2α2，则α+β=___ ．11.（填空题，3分）方程x2−10xsinπx2+1=0实数解的个数为___ ．12.（填空题，3分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n-3（n∈N*），数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值，则数列{b n}的前2m项和为___ ．（结果用m表示）13.（单选题，3分）已知α是第二象限角，则α2是（）A.锐角B.第一象限角C.第一、三象限角D.第二、四象限角14.（单选题，3分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定15.（单选题，3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ| ＜π2）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A.f（x）=sin（2x+ π3）B.f（x）=sin（12x+π3）C.f（x）=sin（12x−π3）D.f（x）=sin（2x −π3）16.（单选题，3分）已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n=a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10=（）A.-47B.47C.-1D.117.（问答题，0分）已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若函数f(x)=√22，x∈[0，π），求x．18.（问答题，0分）已知sinα+cosα=−15，α∈（0，π），求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）tanα2；（3）sin3α+cos3α．19.（问答题，0分）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的正弦值是多少？20.（问答题，0分）设{a n}是无穷等差数列，公差为d，前n项和为S n．（1）设a1=40，a6=38，求S n的最大值；（2）设S9=0，且a2+a3+a4+a5=-18，令b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．21.（问答题，0分）已知定义在R上的函数f（x）和数列{a n}满足下列条件：a1=a，a2≠a1，当n∈N*且n≥2时，a n=f（a n-1）且f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），其中a、k均为非零常数．（1）若{a n}是等差数列，求实数k的值；（2）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若b1=1，求数列{b n}的通项公式；（3）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若c1=b1=k＜0，数列{c n}满足c n+1-c n=2（b n+1-b n），若数列{c n}∈(−2，2)，求k的取值范围．有最大值M，最小值m，且Mm2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知扇形的弧长是6，圆心角为2，则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：利用扇形的弧长公式可求扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求解．【解答】：解：设扇形的半径为r，则r= 62=3，则扇形的面积S= 12×6×3=9．故答案为：9．【点评】：本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，属于基础题．2.（填空题，3分）数列{a n}是等比数列，a1=12，q=12，a n=132，则n=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：利用等比数列的通面公式直接求解．【解答】：解：∵数列{a n}是等比数列，a1=12，q=12，a n=132，∴ a n=12×(12)n−1=132，解得n=5．故答案为：5．【点评】：本题考查等比数列的项数n的求法，考查等比数列的性质等基础知识，是基础题．3.（填空题，3分）已知tanθ=-2，则cosθ−sinθsinθ+cosθ=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．【解答】：解：∵tanθ=-2，∴ cosθ−sinθsinθ+cosθ = 1−tanθtanθ+1= 1−(−2)−2+1=-3．故答案为：-3．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.（填空题，3分）三角方程tan(x−π6)=3的解集为___ ．【正确答案】：[1] {x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}【解析】：直接根据tan(x−π6)=3，解方程即可．【解答】：解：∵ tan(x−π6)=3，∴ x−π6=arctan3+kπ，k∈Z，∴ x=arctan3+π6+kπ，k∈Z．∴方程的解集为{x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}．故答案为：{x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}．【点评】：本题考查了三角方程的求法，属基础题．5.（填空题，3分）sinx=13，x∈[3π2，5π2]，则x用反正弦可以表示为___ ．【正确答案】：[1] x=2π+arcsin13【解析】：根据sinx=13，x∈[3π2，5π2]，直接求出x即可．【解答】：解：∵ sinx=13，x∈[3π2，5π2]，∴ x=2π+arcsin13．故答案为：x=2π+arcsin13．【点评】：本题考查了三角方程的求法，属基础题．6.（填空题，3分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=n√3√3a+1（n∈N*），则a2020=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：求出数列的前几项，判断数列是周期数列，然后求解即可．（n∈N*），【解答】：解：数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n−√3√3a+1=- √3，可得a2= √3√3×0+1a3= √3−√3= √3，√3×(−√3)+1=0，…a4= √3−√3√3×√3+1所以数列是周期数列，周期为3，所以a2020=a3×673+1=a1=0，故答案为：0．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，判断数列是周期数列是解题的关键．7.（填空题，3分）等差数列{a n}的通项为a n=2n-1，令b n=a2n-1，则数列{b n}的前20项之和为___ ．【正确答案】：[1]780【解析】：由已知代入可求b n，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【解答】：解：由a n=2n-1，可得b n=a2n-1=2（2n-1）-1=4n-3，则数列{b n}是以1为首项，以4为公差的等差数列，×4 =780．故前20项之和S20=20×1+ 20×192故答案为：780．【点评】：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．8.（填空题，3分）函数y=sin2ωx-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π，则ω=___ ．【正确答案】：[1] 14【解析】：利用二倍角的余弦函数公式化简函数解析式，根据余弦函数的周期公式即可求解．，【解答】：解：∵y=sin2ωx-cos2ωx=-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π，即4π= 2π2ω．∴ω= 14．故答案为：14【点评】：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的周期公式的应用，考查了函数思想，属于基础题．9.（填空题，3分）已知12sinα+5cosα可表示为Asin（α+φ）（A＞0，0≤φ＜π）的形式，则sin2φ=___ ．【正确答案】：[1] 120169【解析】：由题意利用三角恒等变换，辅助角公式，先求出sinφ 和cosφ的值，可得sin2φ的值．【解答】：解：∵12sinα+5cosα=13（1213sinα+ 513cosα）可表示为Asin（α+φ）（A＞0，0≤φ＜π）的形式，则sinφ= 513，cosφ= 1213，∴sin2φ=2sinφcosφ= 120169，故答案为：120169．【点评】：本题主要考查三角恒等变换，辅助角公式的应用，属于中档题．10.（填空题，3分）已知角α，β∈(0，π4)，3sinβ=sin（2α+β），4tanα2=1−tan2α2，则α+β=___ ．【正确答案】：[1] π4【解析】：从4tan α2 =1-tan2α2．中解出tanα，利用配角法化简3sinβ=sin（2α+β），即将其中的2α+β用（α+β）+α，β用（α+β）-α代换，从而求出tan（α+β），利用三角函数值求解得α+β的值．【解答】：解：∵4tan α2 =1-tan2α2，∴2•tanα=1，tanα= 12．∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα．∴tan（α+β）=2tanα=1．又α，β∈(0，π4)，∴α+β= π4．故答案为：π4．【点评】：本题主要考查了三角函数化简求值，角的变换是常用技巧．如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）-α等．三角变换中的角的变换，在本题中显得尤为突出，将单角化为复角，对字母角度的巧妙拼凑，使得问题顺利解决，属于基础题．11.（填空题，3分）方程x2−10xsinπx2+1=0实数解的个数为___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：将方程变形得sin πx2 = 110x+ x10（x≠0）分别作出sin πx2和y= 110x+ x10的函数图象，根据交点个数进行判断．【解答】：解：∵ x2−10xsinπx2+1=0，∴sin πx2 = 110x+ x10（x≠0），令f（x）= 110x + x10= 110（x+ 1x），则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，作出y=sin πx2和y=f（x）在（0，+∞）上函数图象如图所示：由图象可知y=sin πx2和y=f（x）在（0，+∞）上有6个交点，又y=sin πx2和y=f（x）都是奇函数，∴y=sin πx2和y=f（x）在（-∞，0）上有6个交点，∴方程x2−10xsinπx2+1=0有个解，故答案为：12．【点评】：本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题．12.（填空题，3分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n-3（n∈N*），数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值，则数列{b n}的前2m项和为___ ．（结果用m表示）【正确答案】：[1]m2+4m【解析】：先由题设条件求出数列{b n}的前几项，归纳出b2k-1+b2k=2k+3（k∈N*），再求出其前2m项和即可．【解答】：解：由题设条件可得：当m=1时，b1=2，当m=2时，b2=3，当m=3时，b3=3，当m=4时，b4=4，当m=5时，b5=4，…，故易知：b2k-1=2+k-1=k+1，b2k=3+k-1=k+2，k∈N*，故b2k-1+b2k=2k+3，∴数列{b n}的前2m项和为m(5+2m+3)2=m2+4m．故答案为：m2+4m．【点评】：本题主要考查数列通项公式的求法及数列求和，属于基础题．13.（单选题，3分）已知α是第二象限角，则α2是（）A.锐角B.第一象限角C.第一、三象限角D.第二、四象限角【正确答案】：C【解析】：由α是第二象限角对应的范围，即可求解结论．【解答】：解：∵α是第二象限角，所以π2+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z，∴ π4+kπ＜α2＜kπ +π2，k∈Z，∴ α2是第一象限或第三象限角，故选：C．【点评】：本题考查角在第几象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意象限角定义的合理运用．14.（单选题，3分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【正确答案】：A【解析】：利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），根据A与B的范围以及tanAtanB＞1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形．【解答】：解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1-tanAtanB＜0，且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，＜0，所以tan（A+B）= tanA+tanB1−tanAtanB，π），即C都为锐角，则A+B∈（π2所以△ABC是锐角三角形．故选：A．【点评】：此题考查了三角形的形状判断，用的知识有两角和与差的正切函数公式．解本题的思路是：根据tanAtanB＞1和A与B都为三角形的内角得到tanA和tanB都大于0，即A和B都为锐角，进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan（A+B）的值为负数，进而得到A+B的范围，判断出C也为锐角．）的部分图象如15.（单选题，3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ| ＜π2图所示，则f（x）的解析式为（）A.f（x）=sin（2x+ π）3B.f （x ）=sin （ 12x +π3 ） C.f （x ）=sin （ 12x −π3 ） D.f （x ）=sin （2x −π3 ） 【正确答案】：A【解析】：依题意，可求得A=1，由T= 2πω =π可求得ω=2，由 π3 ω+φ=π可求得φ．【解答】：解：由图知，A=1； 又 T4 = 7π12 - π3 = π4 ， ∴T=π，又T= 2πω ， ∴ω=2；∵f （x ）=Asin （ωx+φ）经过（ π3，0），且在该处为递减趋势， ∴ π3 ω+φ=π， ∴φ=π- π3 ×2= π3 ．∴f （x ）的解析式为：f （x ）=sin （2x+ π3 ）． 故选：A ．【点评】：本题考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定φ的值是难点，考查观察与运算能力，属于中档题．16.（单选题，3分）已知{a n }、{b n }均是等差数列，c n =a n •b n ，若{c n }前三项是7、9、9，则c 10=（ ） A.-47 B.47 C.-1 D.1【正确答案】：A【解析】：{a n }、{b n }均是等差数列，故{c n }为二次函数，设c n =an 2+bn+c ，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到c 10．【解答】：解：设c n =a n •b n =an 2+bn+c ， 则 {a +b +c =74a +2b +c =99a +3b +c =9，解得a=-1，b=5，c=3，∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．17.（问答题，0分）已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若函数f(x)=√22，x∈[0，π），求x．【正确答案】：【解析】：（1）利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式为f（x）= √2 sin（2x+ π4），令2kπ+ π2≤2x+ π4≤2kπ+ 3π2，（k∈Z），解得x的范围即得f（x）的单调递减区间．（2）由题意可得sin（2x+ π4）= 12，可求范围2x+ π4∈[ π4，9π4），根据正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】：解：（1）∵f（x）=sin2x+cos2x= √2 sin（2x+ π4），∴令2kπ+ π2≤2x+ π4≤2kπ+ 3π2，（k∈Z），解得kπ+ π8≤x≤kπ+ 5π8，（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间是：[π8+kπ，5π8+kπ]，k∈Z；（2）∵ f(x)=√22，即√2 sin（2x+ π4）= √22，∴解得：sin（2x+ π4）= 12，∵x∈[0，π），∴2x+ π4∈[ π4，9π4），∴2x+ π4 = 5π6，或13π6，解得x= 7π24，或23π24．【点评】：本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的图象和性质，考查了函数思想和转化思想，属于基础题．18.（问答题，0分）已知sinα+cosα=−15，α∈（0，π），求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）tanα2；（3）sin3α+cos3α．【正确答案】：【解析】：（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得sinαcosα的值；（2）由已知可求α2∈（0，π2），sinα＞0，cosα＜0，tan α2＞0，利用平方差公式可求sinα-cosα= 75，进而可求sinα= 35，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tanα2的值．（3）利用立方和公式即可求解．【解答】：解：（1）∵ sinα+cosα=−15，α∈（0，π），∴两边平方，可得1+2sinαcosα= 125，∴解得sinαcosα=- 1225；（2）∵ sinα+cosα=−15＜0，①又α∈（0，π），α2∈（0，π2），∴sinα＞0，cosα＜0，tan α2＞0，∴sinα-cosα= √(sinα−cosα)2 = √1−2sinαcosα = 75，②∴由① ② 可得sinα= 35，即2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2= 2tanα21+tan2α2= 35，整理可得：3tan2α2-10tan α2+3=0，∴解得tan α2 =3，或- 13（舍去）．（3）sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（sin2α+cos2α-sinαcosα）=（- 15）×（1+ 1225）=- 37125．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，平方差公式，二倍角的正弦函数公式，立方和公式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．19.（问答题，0分）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的正弦值是多少？【正确答案】：【解析】：（1）由题意C在A处北偏东30°方向上，所以可得∠CAB=90°+30°=120°，及|AB|，|AC|与|BC|的关系，在三角形ABC中由余弦定理可得|BC|的值，（2）由（1）可得|BC|，|AC|，∠BAC=120°，由正弦定理可得sin∠B的值．【解答】：解：（1）由题意可得|AB|+|BC|=0.2×10=2，|AC|-|AB|=0.4，所以|AC|+|BC|=2.4，|AB|=2-|BC|，|AC|=2.4-|BC|，因为C在A处北偏东30°方向上，所以∠CAB=90°+30°=120°，在三角形ABC中，∠BAC=120°，由余弦定理可得|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos120°=（2-|BC|）2+（2.4-|BC|）2+（2-|BC|）（2.4-|BC|），整理可得|BC|2-6.6|BC|+7.28=0，解得|BC|=1.4或|BC|=5.2（舍），所以B、C两处垃圾的距离是1.4米；（2）由（1）可得|BC|=1.4，|AC|=2.4-1.4=1，∠CAB=120°，由正弦定理可得 |AC|sin∠B = |BC|sin∠CAB ， 所以sin∠B= |AC||BC| •sin120°= 11.4 •√32 = 5√314．【点评】：本题考查三角形中正余弦定理的应用，属于中档题． 20.（问答题，0分）设{a n }是无穷等差数列，公差为d ，前n 项和为S n ． （1）设a 1=40，a 6=38，求S n 的最大值；（2）设S 9=0，且a 2+a 3+a 4+a 5=-18，令b n =|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ．【正确答案】：【解析】：（1）首先求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．（2）利用函数的通项公式，进一步利用含绝对值的数列的应用求出数列的和．【解答】：解：（1）数列{a n }是无穷等差数列，公差为d ， 由于a 1=40，a 6=38，所以a 6=a 1+5d ，a 6-a 1=-2=5d ，解得d=- 25 ． 所以S n = 40n −25×n (n−1)2 = n 2−201n 5 =- 15(n −2012)2+201220； 当n=100或101时，S n 取得最大值2020； （2）由于S 9=0，且a 2+a 3+a 4+a 5=-18， 故 {S 9=0a 2+a 3+a 4+a 5=−18 ，解得 {a 1=−12d =3，故a n =3n-15，b n =|3n-15|，所以当n≤5，故 T n =|a 1|+|a 2|+⋯|a n |=−a 1−+⋯−a n =−n (−12+3n−15)2=−32n 2+272n ．当n≥5时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=（-a1-a2-…-a5）+（a1+a2+…+a n）= 32n2−272n+60所以：T n={−32n2+272(n≤5)3 2n2−272n+60(n≥5)．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，含绝对值的数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21.（问答题，0分）已知定义在R上的函数f（x）和数列{a n}满足下列条件：a1=a，a2≠a1，当n∈N*且n≥2时，a n=f（a n-1）且f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），其中a、k均为非零常数．（1）若{a n}是等差数列，求实数k的值；（2）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若b1=1，求数列{b n}的通项公式；（3）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若c1=b1=k＜0，数列{c n}满足c n+1-c n=2（b n+1-b n），若数列{c n}有最大值M，最小值m，且Mm∈(−2，2)，求k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用等差数列的定义a n+1-a n=a n-a n-1，a n=f（a n-1），易得k=1（2）利用等比数列的定义证明数列{b n}是等比数列，进而写出数列{b n}的通项公式（3）利用累加法求得{c n}的通项公式，结合题意，找到数列{c n}的最大项和最小项，解不等式求的结果．【解答】：解：（1）由已知a n=f（a n-1），f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），a n+1-a n=f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），∵数列{a n}是等差数列，∴a n+1-a n=a n-a n-1，∴k=1；（2）由b1=a2-a1≠0，可得b2=a3-a2=f（a2）-f（a1）=k（a2-a1）≠0，且当n＞2时，b n=a n+1-a n=f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）=…=k n-1（a2-a1）≠0，且b nb n−1 = a n+1−a na n−a n−1= f(a n)−f(a n−1)a n−a n−1=k∴数列{b n}是一个以首项为b1，公比为k的等比数列，若b1=1，则数列{b n}的通项公式为 b n=k n-1（n∈N*）；（3）由（2）可得{b n}是以k为首项，以k为公比的等比数列，∴b n=k n，c1=b1=k＜0，∴c n+1-c n=2（b n+1-b n）=2（k n+1-k n）=2（k-1）k n，∴c2-c1=2（k-1）k1，c3-c2=2（k-1）k2，c4-c3=2（k-1）k3，…，c n-c n-1=2（k-1）k n-1（n≥2），累加得c n-c1=2（k-1）（k1+k2+…+k n-1）=2（k n-k），∴c n=2k n-k（n≥2），当n=1时也满足，∴c n=2k n-k（n∈N*）若{c n}存在最大值，结合k＜0，的条件，则-1＜k＜0，∴c2的是最大项，c1是最小项．∴M=2k2-k，m=k，由Mm ∈（-2，2），得-2＜2k2−kk＜2，解得- 12＜k＜0，∴k的取值范围为（- 12，0）【点评】：本题考查的是数列问题，涉及到的知识点有等差数列的定义，等比数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，数列的最大最小项，属于难题．。
上海市建平中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析板)
mx 4y m 2
18.（10 分）解关于 x, y 的实系数二元一次方程组
x my m
，并对解的情况进行讨论．
【答案】
D m 4 m 2 4 m 2m 2
1m
Dx
m m
2
4 m2 2m mm 2
m
Dy
m 1
m 2 m2 m 2 m 2m 1
m
（1）若 D 0 ，即 m 2 且 m 2
）
（ A ） 1 （ B ） 0 （ C ）1 （ D ） 215
【答案】 A
14． 设 4 阶 方 阵 A 和 4 阶 方 阵 B 第 i 行 第 j 列 的 元 素 分 别 为 aij 和 bij ， 且 满 足 bij aij i j
i 4, j 4,i N*, j N* ，若 A 为单位矩阵，则 B 中不同的元素个数为（
x,
y
的二元一次方程组有无穷多组解，解为
x
y
2 t
2t
,
t
R
．
19.（10 分）如图，已知圆柱的轴截面 ABCD 是正方形，点 E 在底面圆周上， AF DE ， F 是垂
足．
（1）证明： AF DB ； （2）如果圆柱与三棱锥 D ABE 的体积比等于 3 ，求直线 DE 与平面 ABCD 所成角的正弦值．
【答案】 25200
12．已知 x x xi ,i 4,i N* 0,1 ，则随机事件 x1 x2 x2 x3 x3 x4 1发生的概率为
______________．
2
【答案】 3 7
二、选择题（每题 3 分，共 12 分）
13． a 2b15 的二项展开式的系数和等于（
的值为______________．
上海市浦东新区建平中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 上海市浦东新区建平中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分. 1.1和4的等差中项为__________． 【答案】52【解析】 【分析】设1和4的等差中项为x ，利用等差中项公式可得出x 的值. 【详解】设1和4的等差中项为x ，由等差中项公式可得14522x +==，故答案为：52. 【点睛】本题考查等差中项的求解，解题时要充分利用等差中项公式来求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知()1,2a =，(),4b x =，若//a b ，则实数x 的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用共线向量等价条件列等式求出实数x 的值. 【详解】()1,2a =，(),4b x =，且//a b ，214x ∴=⨯，因此，2x =，故答案为：2.【点睛】本题考查利用共线向量来求参数，解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解，考查计算能力，属于基础题.3.设函数()arctan f x x =，则()1f -值为__________．【答案】4π- 【解析】 【分析】根据反正切函数的值域，结合条件得出()1f -的值.【详解】arctan 22x ππ-<<，且tan tan 144ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此，()()1arctan 14f π-=-=-，故答案为：4π-. 【点睛】本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.4.已知数列{}n a 为等比数列，21a =，58a =，则数列{}n a 的公比为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由352a q a =可求出q 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则35281a q a ==，2q ∴=，因此，数列{}n a 的公比为2，故答案为：2.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知3sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos α的值为__________．【答案】3 5【解析】【分析】利用诱导公式将等式3sin25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭化简，可求出cosα的值.【详解】由诱导公式可得3sin cos25παα⎛⎫+==⎪⎝⎭，故答案为：35.【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，在利用诱导公式处理化简求值的问题时，要充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查运算求解能力，属于基础题.6.已知无穷等比数列{}n a的首项为1，公比为12-，则其各项的和为__________．【答案】2 3【解析】【分析】根据无穷等比数列求和公式求出等比数列{}n a的各项和.【详解】由题意可知，等比数列{}n a的各项和为121312S==⎛⎫--⎪⎝⎭，故答案为：23.【点睛】本题考查等比数列各项和的求解，解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.7.311lim312nn nn→∞⎛⎫++=⎪-⎝⎭__________．【答案】1【解析】【分析】在分式3131nn+-的分子和分母上同时除以3n，然后利用极限的性质来进行计算.【详解】113111103lim lim lim 01131221013n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎛⎫+++=+=+= ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭，故答案为：1. 【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见的极限，并充分利用极限的性质来进行计算，考查计算能力，属于基础题.8.已知[)0,2ϕπ∈，若方程()sin 2sin x x x ϕ=-的解集为R ，则ϕ=__________． 【答案】3π【解析】 【分析】将sin x x -利用辅助角公式化简，可得出ϕ的值. 【详解】()()1sin 32sin 2sin cos cos sin2sin 2x x x x x x x ϕϕϕ⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1cos 2sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩02ϕπ≤<，因此，3πϕ=，故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.9.在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若ABC ∆的面积为12，且1b =，2c =，则A ∠的弧度为__________．【答案】6π 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出sin A 的值，结合角A 为锐角，可得出角A 的弧度数.【详解】由三角形的面积公式可知，ABC ∆的面积为111sin 12sin 222ABC S bc A A ∆==⨯⨯⨯=，得1sin 2A =，A 为锐角，因此，A ∠的弧度数为6π，故答案为：6π.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.10.数列{}n a 满足()()11112231n a n N n n *=+++∈⨯⨯+，设n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和，则10S =__________． 【答案】512- 【解析】 【分析】先利用裂项求和法将数列{}n a 的通项化简，并求出1n n a a +-，由此可得出10S 的值. 【详解】()11111n n n n =-++，1111111122311n a n n n ∴=-+-++-=-++. 11111111212n n a a n n n n +-=--+=-+++++， 因此，101111111152334111212212S =-+-+--+=-=-，故答案为：512-. 【点睛】本题考查裂项法求和，要理解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.11.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()8,1=4,2n nn S n N n *=⎧∈⎨≥⎩，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________．【答案】18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩，n *∈N 【解析】 【分析】令3n ≥时，求出1n n n a S S -=-，再令1n =时，求出1a 的值，再检验1a 的值是否符合()2n a n ≥，由此得出数列{}n a 的通项公式.【详解】当3n ≥时，1114434n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，当1n =时，118a S ==，18a =不合适上式，当2n =时，2211688a S a =-=-=，28a =不合适上式， 因此，18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩，n *∈N . 故答案为：18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩,n *∈N . 【点睛】本题考查利用前n 项和求数列的通项，考查计算能力，属于中等题.12.已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，则6a 的取值范围为__________．【答案】()【解析】 【分析】设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，由43a q a =和341a q a =计算出q 的取值范围，再由264a a q =可得出6a 的取值范围.【详解】设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，所以，()431,4a q a =∈，3412aq a =>，)q ∴∈.所以，()264a a q =∈，故答案为：().【点睛】本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.第Ⅱ卷（共90分）二、选择题（每题3分，满分36分，将答案填在答题纸上） 13.已知基本单位向量()1,0i =，()0,1f =，则34i f -的值为（） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25【答案】B 【解析】 【分析】计算出向量34i f -的坐标，再利用向量的求模公式计算出34i f -的值.【详解】由题意可得()()()3431,040,13,4i f -=-=-，因此，(23435i f -=+=， 故选：B.【点睛】本题考查向量模的计算，解题的关键就是求出向量的坐标，并利用坐标求出向量的模，考查运算求解能力，属于基础题.14.在学习等差数列时，我们由110a a d =+，21a a d =+，312a a d =+，⋯⋯，得到等差数列{}n a 的通项公式是()11n a a n d +-=，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（） A. 不完全归纳法 B. 数学归纳法 C. 综合法 D. 分析法【答案】A 【解析】 【分析】根据题干中的推理由特殊到一般的推理属于归纳推理，但又不是数学归纳法，从而可得出结果.【详解】本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法，但本题并不是数学归纳法，因此，本题中的推理方法是不完全归纳法，故选：A.【点睛】本题考查归纳法的特点，判断时要区别数学归纳法与不完全归纳法，考查对概念的理解，属于基础题.15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()4n n a S n N *+=∈，则4S的值为（ ）A. 3B.72C.154D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =求出1a 的值，再令2n ≥时，由4n n a S +=得出114n n a S --+=，两式相减可推出数列{}n a 是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出4S 的值. 【详解】当1n =时，11124a S a +==，得12a =；当2n ≥时，由4n n a S +=得出114n n a S --+=，两式相减得120n n a a --=，可得112n n a a -=. 所以，数列{}n a 是以2为首项，以12为公比的等比数列，因此，441211152414412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=-.故选：C.【点睛】本题考查利用前n 项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及n a 与n S 时，可利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解出n a ，也可以转化为n S 来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16.小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A 、B 、C 三个木桩，A 木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少次数为（ ）A. 126B. 127C. 128D. 129【答案】B 【解析】 【分析】假设A 桩上有1n +个圆环，将1n +个圆环从A 木桩全部套到B 木桩上，需要最少的次数为1n a +，根据题意求出数列{}n a 的递推公式，利用递推公式求出数列{}n a 的通项公式，从而得出7a 的值，可得出结果.【详解】假设A 桩上有1n +个圆环，将1n +个圆环从A 木桩全部套到B 木桩上，需要最少的次数为1n a +，可这样操作，先将n 个圆环从A 木桩全部套到C 木桩上，至少需要的次数为n a ，然后将最大的圆环从A 木桩套在B 木桩上，需要1次，在将C 木桩上n 个圆环从C 木桩套到B 木桩上，至少需要的次数为n a ，所以，121n n a a +=+，易知11a =. 设()12n n a x a x ++=+，得12n n a a x +=+，对比121n n a a +=+得1x =，()1121n n a a +∴+=+，1121n n a a ++∴=+且112a +=，所以，数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列，67122128a ∴+=⨯=，因此，7127a =，故选：B.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，解题的关键就是利用题意得出数列的递推公式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知点G 是ABC ∆重心，2AD DC =. （1）用AB 和AC 表示AG ； （2）用AB 和AC 表示DG . 【答案】（1）()13AG AB AC =+（2）()13DG AB AC =-. 【解析】 【分析】（1）设BC 的中点为M ，可得出()12AM AB AC =+，利用重心性质得出23AG AM =，由此可得出AG 关于AB 、AC 的表达式； （2）由2AD DC =，得出23AD AC =，再由DG AG AD =-，可得出DG 关于AB 、AC 的表达式.【详解】（1）设BC 的中点为M ，则2AM AB AC =+，()12AM AB AC ∴=+， G 为ABC ∆的重心，因此，()()22113323AG AM AB AC AB AC ==⨯+=+； （2）2AD DC =，23AD AC =， 因此，()()121333DG AG AD AB AC AC AB AC =-=+-=-. 【点睛】本题考查利基底表示向量，应充分利用平面几何中一些性质，将问题中所涉及的向量利用基底表示，并结合平面向量的线性运算法则进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =++，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最小值和取得最小值时x 的取值. 【答案】（1）π；（2）当()4x k k Z ππ=-+∈时，()min 0f x =.【解析】 【分析】如果您喜欢这份文档，欢迎下载!来源网络，造福学生———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————（1）利用二倍角公式将函数()y f x =的解析式化简得()1sin 2f x x =+，再利用周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期； （2）由()222x k k Z ππ=-+∈可得出函数()y f x =的最小值和对应的x 的值.【详解】（1）()22sin 2sin cos cos 1sin 2f x x x x x x =++=+，因此，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=； （2）由（1）知，当()22x k k Z ππ=-+∈，即当()4x k k Z ππ=-+∈时，函数()y f x =取到最小值()min 110f x =-=.【点睛】本题考查利用二倍角公式化简，同时也考查了正弦型函数的周期和最值的求解，考查学生的化简运算能力，属于基础题.19.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；如果您喜欢这份文档，欢迎下载!来源网络，造福学生———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————（2）霍尔顿发现麦田生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.【答案】（1cos 1A C -=；（2）14. 【解析】 【分析】（1）在ABD ∆和BCD ∆中分别对BD 使用余弦定理，可推出A 与C 的关系，即可得出cos A C -是一个定值；（2）求出2212S S +的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出2212S S +的最大值.【详解】（1）在ABD ∆中，由余弦定理得241216BD A A =+-=-， 在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，1688cos A C -=-， 则)8cos 8A C -=，cos 1A C -=；（2）1122S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=，则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C A C +=+=-+， 由（11cos A C =+，代入上式得：)22222121612cos 4124cos 12S S A A A A +=---=-++，配方得：2221224cos 146S S A ⎛+=--+ ⎝⎭， ∴当A =时，2212S S +取到最大值14.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知()()1,n n A A n n n N*+=∈.（1）求122334A A A A A A ++的坐标； （2）设()11n n b A A n N*+=∈，求数列{}nb 的通项公式；（3）设111,22n n a a B B +--⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1n n a C C n N *+⎛=∈ ⎝⎭，其中a 为常数，1a ≥，求()112111lim 1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++⋅++的值.【答案】（1）()1223346,6A A A A A A ++=；（2）22,22n n n n n b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭； （3）当1a =-时，()112111lim 21n n n n n n n n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++=-⋅++；当1a =或1a >时，()112111lim 01n n n n n nn n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++=⋅++.【解析】 【分析】（1）利用题中定义结合平面向量加法的坐标运算可得出结果；（2）利用等差数列的求和公式和平面向量加法的坐标运算可得出数列{}n b 的通项公式；（3）先计算出()1121111n n n n n n n n A A B B a A AC C n ++++⋅++⋅++的表达式，然后分1a =、1a =-、1a >三种情况计算出()112111lim1n n n n n nn n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++⋅++的值.【详解】（1）由题意得()()122334123,1236,6A A A A A A ++=++++=； （2）()112231=123,123n n n n n b A A A A A A A A n n ++==+++++++++++22,22n n n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（3）()112111111n n n n nn n n n a a A A B B a A AC C n ++++-++⋅++=⋅++①当1a =时，()1121112limlim011n n n n n n nn n n A A B B a n A AC C n ++→∞→∞++⋅++==+⋅++； ②当1a =-时，()112111222limlimlim 211111n n n n n n n nn n n A A B B a n n A AC C n n++→∞→∞→∞++⋅++---====-++⋅+++； ③当1a >时，()()211211211111limlim0111n n n n n n n n n n n a a n a a A A B B a n n A A C C n n n++→∞→∞++-++-++⋅++===⋅++++.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查等差数列求和以及数列极限的运算，计算时要充分利用数列极限的运算法则进行求解，综合性较强，属于中等题.21.无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a 、2a 、、n a 中等于n a 的项的个数.（1）若12019a =，求2a 和4a 的值； （2）已知命题:P 存在正整数m ，使得12m ma a +=，判断命题P 的真假并说明理由； （3）若对任意正整数n ，都有2n n a a +≥恒成立，求1039a 的值.【答案】（1）21a =，42a =；（2）真命题，证明见解析；（3）1039520a =. 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出2a 、3a 、4a 的值，可得出结果；（2）分11a =和11a >两种情况讨论，找出使得等式12m ma a +=成立的正整数m ，可得知命题P 为真命题；（3）先证明出“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件，由此可得出11a =，然后利用定义得出()21n a n n N *-=∈，由此可得出1039a 的值.【详解】（1）根据题意知，对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a 、2a 、、n a 中等于n a 的项的个数，因此，21a =，31a =，42a =； （2）真命题，证明如下：①当11a =时，则21a =，32a =，41a =，此时，当2m =时，1322m m a a a a +==； ②当11a >时，设()12,a k k k N *=≥∈，则21a =，31a =，42a =，此时，当3n =时，1432m m a a a a +==. 综上所述，命题P 为真命题；（3）先证明：“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件. 假设存在()11,a k k k N*=>∈，使得“存在m N*∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”.则数列{}n a 的前21k -项为k ，211,1,2,1,3,1,4,,1,2,1,1,1,k k k k---项，212,2,3,2,4,2,5,,2,2,2,1,2,k k k k---项…，213,3,4,3,5,3,6,,3,2,3,1,3,,,k k k k ---项……，2,2,1,2,k k k k k k----项，1,1,,k k k k k--项，后面的项顺次为21,1,1,2,1,3,,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k++---+--项…，22,1,2,2,2,3,,2,2,2,1,2,k k k k k k k k k k+-+--+-+项…，23,1,3,2,3,3,,3,2,3,1,3,k k k k k k k k k k+--+-+-+项…，21,1,1,2,1,3,,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k++++-+--项…，故对任意的1,2,3,,2,1,s k k k =--…，t N *∈2212(1)2112(1)2k t k t k t k ta k ta s ++-+-+--+=÷⎧⎪⎨=⎪⎩， 对任意的m ，取12m t k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则2kt m >，令212n k kt =++，则n m >，此时n a k =，21n a += 有2n n a a +>，这与2n n a a +≤矛盾，故若存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立，必有11a =；从而得证. 另外：当11a =时，数列{}n a 为1,1,2,1,3,1,4,,1,1,1,,k k -……， 故()21n a n n N*-=∈，则1039520a=.【点睛】本题考查数列知识的应用，涉及到命题真假的判断，同时也考查了数列新定义问题，解题时要充分从题中数列的定义出发，充分利用分类讨论思想，综合性强，属于难题.。
上海市建平中学2018-2019学年高二上12月月考数学试题
建平中学2018-2019学年度第一学期高二12月月考数学试卷一、选择题1.直线13+=x y 的倾斜角的大小为________.2.过点P(1,-1),法向量()52，=的直线的般式方程为________.3.以A(2,7)、B(4,5)为直径的圆的方程为____________.4.直线013=+-y x 与直线03=-+y x 的夹角大小为________.5.直线32+=x y 与曲线2x y =相交于A 、B 两点,则=AB ______.6.到x 轴和直线034=-y x 的距离相等的点的轨迹方程是________.7.关于y x 、的二元线性方程组⎩⎨⎧=-=+252y nx my x 的增广矩阵经过变换,最后得到的矩阵 ⎝⎛01 10 ，⎪⎪⎭⎫13则=mn _______. 8.已知点A(2,-1)、B(-3,-2),若直线01:=++y ax l 与线段AB 不相交,则a 的取值范围是__.9.若00≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥311y x y x 时,恒有，3≤+by ax 则以b a 、为坐标点的P ()b a ，所形成的平面区域的面积为___________.10.经过P(1,2)的直线l 与两直线0103:1=+-y x l 和082:2=-+y x l 分别交于21P P 、两点,且满足213PP P =则直线l 的方程为__________. 11.-条封闭的曲线C 由1C 与2C 组成,其中，，222111:11:y x C x y C -+=-+=若直线 0=-+a y x 与曲线C 恰有两个公共点,则实数a 的取值范围是___________.12.已知，122=+y x 则x y x y x 22332232-+-++++的取值范围是_________.二、选择题13.若直线()0211=-+-+a y x a 与()()015112=--+-y a x a 平行,则a 的值为A.-1B.1C.-1或2D.±114.已知，，，022≠+∈b a R b a 则直线0:22=+++b a by ax l 与圆022=+++by ax y x 的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.不能确定15.若P(2,3)既是()()2211b a B b a A ，、，的中点,又是直线013:111=-+y b x a l 与直线 013:222=-+y b x a l 的交点,则线段AB 的中垂线方程是A.023=-y xB.01223=--y xC.01332=--y xD.0532=+-y x16.在平面直线坐标系中,定义(){}2121max y y x x B A d --=，，为两点()()2211y x B y x A ，、，的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q,称()Q P a ，的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”记作()，，l P d 给出下列四个命题: ①对任意三点A 、B 、C ，都有()()()；，，，B A d B C d A C d ≥+②已知点P(3,1)和直线，012:=--y x l 则()；，34=l P d③到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等点的轨迹是正方形； ④定点()()，，、，0021c F c F -动点()y x P ，满足()()()，＞＞，，022221a c a F P d F P d =-则点P的轨迹与直线k y =y=k(k 为常数)有且仅有2个公共点。
2023年上海建平中学高二下期中数学试卷及答案
建平中学高二期中考试数学试卷2023.04说明：（1）本场考试时间为120分钟，总分150分；（2）请认真答卷，并用规范文字书写.一､填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知299C C x x=，则正整数x =__________.2.444444445678910C C C C C C C ++++++=__________.3.函数()212ln 2f x x x x =-+的驻点为__________.4.6x ⎛⎝的二项展开式中常数项是__________.5.函数()3213523f x x x x =+++的极大值为__________.6.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有____人.7.已知函数()()1exf x x =-，则1()(1)lim1x f x f x →-=-__________.8.10(23)x +的二项展开式中系数最大的项为__________.9.一场晩会共有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，随机排序形成一个节目单，则节目单中前3个节目仅有2个舞蹈节目的概率为__________.10.已知关于x 的不等式ln 0x x a -->对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是__________.11.若()()()()()88128012812111x x a a x a x a x +++=+-+-+⋅⋅⋅+-对任意x ∈R 恒成立，则4a =__________.12.已知()()22,1,,1A a a B b b --，其中0ab <，过A B ､分别作二次函数21y x =-的切线，则两条切线与x 轴围成的三角形面积的最小值为__________.二､选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.在古典概率模型中，Ω是样本空间，x 是样本点，A 是随机事件，则下列表述正确的是（）A.x ∈ΩB.x ⊆ΩC.A ∈ΩD.AΩ⊆14.已知A B ､为两个随机事件，则“A B ､为互斥事件”是“A B ､为对立事件”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件15.下列关于排列数1A m n -和组合数1C m n -的计算中正确的是（）A.()1!A 1!m nn m -=- B.()1!A 1!m nn n m -=--C.()()1!C 1!1!m n n m n m -=--+ D.()()1!C 1!1!m n n m n m -=---16.已知N,N,x y x y ∈∈<，则方程y x x y =的解的组数为（）A.0B.1C.2D.无穷多个三､解答题（本大题共5题，共141414161876++++=分）17.已知函数()()3212f x x ax a x a =-++-+.（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在R 上严格递减，求实数a 的取值范围.18.甲､乙两人进行乒乓球决赛，采用五局三胜制.对于每局比赛，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛的结果互相独立.（1）在乒兵球比赛中，如果一方连胜最终获得比赛的胜利，那么将其形象地称之为“剃光头”.求甲､乙的这场乒乓球决赛“剃光头”的概率；（2）在乒乓球比赛中，如果实力较弱的一方最终获得比赛的胜利，那么将其称之为“爆冷门”，求甲､乙的这场乒乓球决赛“爆冷门”的概率.19.“得地率”是指可供人活动的区域的占地面积与总占地面积之比.“得地率”越高，也就意味着人们可活动的区域更大，因此在设计活动场地时，通常会将“得地率”作为一个重要的指标进行考虑.上海某大型购物商场欲将地下一层的一块半圆形空地改建为亲子乐园，建造一个供亲子游玩的海洋球池和两个供人们休息和娱乐，且大小完全相同的休息区.除海洋球池和休息区外的剩余空地全部用气垫筑起“高墙”，以保护亲子乐园中的人们.如图所示，设半圆形空地的圆心为O ，半径为R ，MN 为直径，矩形海洋球池ABCD 的顶点,A B 在MN 上，顶点,C D 在半圆的圆周上.矩形休息区BEFG 和AHIJ 的顶点,E H 在MN 上，顶点,F I 在半圆的圆周上，顶点,G J 分别在线段,BC AD 上.已知π6EOF ∠=，设BOC θ∠=，其中,43ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求当π4θ=时该亲子乐园可供人活动的区域面积S ，并求出此时的“得地率”（结果精确到1%）；（2）求当θ为多大时，该亲子乐园的“得地率”最大？20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左､右焦点分别为12F F ､.椭圆Γ上有互异的且不在x轴上的三点A B C ､､满足直线AC 经过1F ，直线BC 经过2F .（1）若椭圆Γ的长轴长为4，离心率为12，求b 的值；（2）若点C 的坐标为()0,1,ABC 的面积S =，求a 的值；（3）若1a b ==，直线AB 经过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，求C 的坐标.21.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()1f x '≤对任意x ∈R 恒成立，则称函数()f x 为“线性控制函数”.（1）判断函数()sin f x x =和()e x g x =是否为“线性控制函数”，并说明理由；（2）若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 在R 上严格增，设A B ､为函数()f x 图像上互异的两点，设直线AB 的斜率为k ，判断命题“01k <≤”的真假，并说明理由；（3）若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 是以(0)T T >为周期的周期函数，证明：对任意12,x x 都有()()12f x f x T -≤.建平中学高二期中考试数学试卷2023.04说明：（1）本场考试时间为120分钟，总分150分；（2）请认真答卷，并用规范文字书写.一､填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知299C C x x=，则正整数x =__________.【答案】3【解析】【分析】根据组合数的性质计算即可.【详解】由299C C xx=，得2x x =或29x x +=，解得0x =或3x =，所以正整数3x =.故答案为：3.2.444444445678910C C C C C C C ++++++=__________.【答案】462【解析】【分析】根据组合数的性质111C C C m m m n n n ++++=，运算求解.【详解】由题意可得：444444444444445678910567895150C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++444444444467891078910555567101101C 4C C C C C C C C C C C C C 62=⋅⋅⋅==+++++=++=+++.故答案为：462.3.函数()212ln 2f x x x x =-+的驻点为__________.【答案】1【解析】【分析】由()0f x '=求得正确答案.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，由()120f x x x'=-+=解得1x =，所以()f x 的驻点为1.故答案为：14.6x⎛⎝的二项展开式中常数项是__________.【答案】240【解析】【分析】根据二项式定理可得展开式通项，代入4r =即可得到常数项.【详解】6x⎛+ ⎝展开式通项公式为：3662166C 2C rr r r r r r T x x--+=⋅=⋅，令3602r -=，解得：4r =，6x⎛∴ ⎝展开式中常数项为4462C 1615240⨯=⨯=.故答案为：240.5.函数()3213523f x x x x =+++的极大值为__________.【答案】313##1103【解析】【分析】对函数()f x 求导，利用单调性即可得出函数的极大值.【详解】依题意，因为()3213523f x x x x =+++，所以x ∈R ，所以()()()26515f x x x x x '=++=++，当()0f x ¢>时，()f x 在()(),5,1,-∞--+∞上单调递增；当()0f x '<时，()f x 在()5,1--上单调递减.所以()f x 在5x =-处取得极大值，且()()()()32131553555233f -=⨯-+⨯-+⨯-+=.故答案为：313.6.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有____人.【答案】2或3【解析】【分析】设女生有n 人，则男生有8n -人，由条件列方程求解.【详解】设女生有n 人，则男生有8n -人，由已知至有1名女生，至少2名男生，则16n ≤≤，N n *∈由题意得：218C C 30n n -⋅=，即()()87302n n n --⨯=，所以321556600n n n -+-=，所以()32231256600n n n n ---+=()()()23312200n n n n ----=，()()2312200n n n --+=，()()()32100n n n ---=解得2n =或3n =或10n =（舍去），经检验，2n =，3n =都是方程218C C 30n n -⋅=的解，所以女生有2人或3人.故选：BC.7.已知函数()()1e xf x x =-，则1()(1)lim1x f x f x →-=-__________.【答案】e 【解析】【分析】根据导数定义，结合求导公式直接求解即可.【详解】由导数定义可知，1()(1)lim(1)1x f x f f x →'-=-因为()e xf x x '=，所以()1e f '=，即1()(1)lime 1x f x f x →-=-.故答案为：e8.10(23)x +的二项展开式中系数最大的项为__________.【答案】62449440x 【解析】【分析】先求得展开式的通项为1011032C rrr r r T x -+=⋅⋅，设系数最大的项为第1k +项，列出不等式组101111101010191101032C 32C 32C 32C k k k k k k k k k k k k -----+-+⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，求得k 的值，代入即可求解.【详解】由二项式10(23)x +的展开式的通项为101011010C 2(3)32C rrr r r rr r T x x --+=⋅=⋅⋅，设系数最大的项为第1k +项，可得101111101010191101032C 32C 32C 32C k k k k k k k k k k k k -----+-+⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，即310!10!2!(10)!(1)!(11)!10!2310!!(10)!(1)!(9)!k k k k k k k k ⨯⨯⎧≥⎪⋅--⋅-⎪⎨⨯⨯⎪≥⎪⋅-+⋅-⎩，即321123101k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得283355k ≤≤，因为N k *∈，所以6k =，所以展开式中系数最大的项为64661670324429440C T x x =⋅⋅=.故答案为：62449440x .9.一场晩会共有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，随机排序形成一个节目单，则节目单中前3个节目仅有2个舞蹈节目的概率为__________.【答案】1556【解析】【分析】根据分步乘法计数原理结合古典概型分析运算.【详解】由题意可得：所有节目的排序总数为88A ，若前3个节目仅有2个舞蹈节目，先选择2个舞蹈节目与1个唱歌节目排序，再将剩余的节目排序，所以总数为216356C C A ，所以节目单中前3个节目有2个舞蹈节目的概率21635688C C A 356!15A 8!56P ⨯⨯===.故答案为：1556.10.已知关于x 的不等式ln 0x x a -->对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】(),1-∞【解析】【分析】该题中不等式恒成立问题可以先分离参数，得到ln a x x <-对任意()0,x ∈+∞恒成立，令新函数()ln f x x x =-，只需求min ()a f x <即可.【详解】关于x 的不等式ln 0x x a -->对任意()0,x ∈+∞恒成立，则有ln a x x <-对任意()0,x ∈+∞恒成立，令()ln f x x x =-，则11()1x f x x x'-=-=，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()(1)1f x f ==，所以1a <，即实数a 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞11.若()()()()()88128012812111x x a a x a x a x+++=+-+-+⋅⋅⋅+-对任意x ∈R 恒成立，则4a =__________.【答案】6790【解析】【分析】将等式左侧变型为()()882131x x --+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，根据二项式定理可整理得到展开式通项，代入4r =即可求得结果.【详解】()()()()8888122131x x x x +++=--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，()821x ∴--⎡⎤⎣⎦展开式通项为：()()()188188C 2112C 1rrrr r r rr T x x --+=⋅--=-⋅⋅⋅-⎡⎤⎣⎦；()831x --⎡⎤⎣⎦展开式通项为：()()()288188C 3113C 1rrrr r r rk T x x --+=⋅--=-⋅⋅⋅-⎡⎤⎣⎦；4a 为()41x -的系数，令4r k ==，()()()44444448812C 13C 1681706790a ∴=-⨯⨯+-⨯⨯=+⨯=.故答案为：6790.12.已知()()22,1,,1A a aB b b --，其中0ab <，过A B ､分别作二次函数21y x =-的切线，则两条切线与x 轴围成的三角形面积的最小值为__________.【答案】839【解析】【分析】先求得过,A B 的切线方程，求得两条切线的交点坐标以及切线与x 轴的交点坐标，由此求得围成的三角形的面积的表达式，利用导数求得面积的最小值.【详解】由二次函数21y x =-，可得2y x '=-，因为()()22,1,,1A a aB b b --在二次函数21y x=-的图象上，所以曲线在()2,1A a a-处的切线方程为()()212y a a x a --=--，即221y ax a =-++，同理可求得曲线在()2,1B b b-处的切线方程为221y bx b=-++，由于0ab <，所以不妨设0,0a b ><，直线221y ax a =-++与x 轴的交点为21,02a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，直线221y bx b =-++与x 轴的交点为21,02b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由222121y ax a y bx b ⎧=-++⎨=-++⎩解得,12a bx y ab +==-，即两条切线的交点坐标为,12a b ab +⎛⎫-⎪⎝⎭，所以两条切线与x 轴围成的三角形面积为()221111222a b S ab a b ⎛⎫++=⨯-⨯- ⎪⎝⎭()1124a b ab ab ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，假设00b b =<时，S 取得最小值，令()()000114f a a b a ab ab ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则()2002122f a ab b a'=-+-+，令()00f a '=得2000201220a b b a -+-+=①，()()()00000min 001124f a f a a b a b a b ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭，即00a a =>时，S 取得最小值.令()()0001124f b a b a b a b ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则()2002122f b a b a b '=-+-+，令()00f b '=得2000201220a b a b -+-+=②，由000a b >>，以及①②解得0033,33a b ==-，所以S 的最小值为133338324333393333⎛⎫⎪⎛⎫ +++= ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭.故答案为：839【点睛】求曲线的切线方程，首先要判断题目所给的点是在曲线上还是在曲线外，然后根据切点和斜率求得切线方程，斜率是利用导数来求得，切点可利用切线或曲线来求得.二､选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.在古典概率模型中，Ω是样本空间，x 是样本点，A 是随机事件，则下列表述正确的是（）A.x ∈ΩB.x ⊆ΩC.A ∈ΩD.AΩ⊆【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由古典概型的概念即可得到结果.【详解】由古典概率模型可知，,x A ∈Ω⊆Ω，故选:A14.已知A B ､为两个随机事件，则“A B ､为互斥事件”是“A B ､为对立事件”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念直接判断即可.【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“A ､B 为互斥事件”是“A ､B 为对立事件”的必要非充分条件.故选：B15.下列关于排列数1A m n -和组合数1C m n-的计算中正确的是（）A.()1!A 1!m n n m -=- B.()1!A 1!m n n n m -=--C.()()1!C 1!1!m n n m n m -=--+ D.()()1!C 1!1!m n n m n m -=---【答案】C 【解析】【分析】根据排列数与组合数的计算公式，准确化简，即可求解.【详解】对于A 中，由排列数的计算公式，可得1!(1)(2)(1)!A m n n n n n m n m -=--+=-+ ，所以A 、B 不正确；对于C 中，由组合数的计算公式，可得()()1(1)(2)!C (1)!1!1!m n n n n m m n m n m --⋅-+=-=--+ ，所以C 正确，D 不正确.故选：C.16.已知N,N,x y x y ∈∈<，则方程y x x y =的解的组数为（）A.0B.1C.2D.无穷多个【答案】B 【解析】【分析】首先等式两边取对数，变形等式后，再构造函数()ln xf x x=，利用导数判断方程解的个数.【详解】y x x y =，两边取对数，得ln ln y x x y =，即ln ln x yx y=，设()ln x f x x =，()21ln xf x x-'=，当()0,e x ∈，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()e,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，且当(]0,1x ∈时，()0f x ≤，当1x >时，()0f x >，()ln 222f =，()ln 4ln 2442f ==，所以满足N,N,x y x y ∈∈<，则方程y x x y =的解的组数为1组.故选：B三､解答题（本大题共5题，共141414161876++++=分）17.已知函数()()3212f x x ax a x a =-++-+.（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在R 上严格递减，求实数a 的取值范围.【答案】（1）220x y +-=（2）3⎡-+⎣【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可；（2）根据导数的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【小问1详解】()()()()210,321212f f x x ax a f ==-'⇒'++-=-函数()f x 在1x =处的切线方程为()021220y x x y -=--⇒+-=；【小问2详解】()()232120f x x ax a '=-++-≤对任意x ∈R 恒成立故()2241212424120a a a a ∆=+-=-+≤，解得33a ≤≤+故a 的取值范围为3⎡+⎣.18.甲､乙两人进行乒乓球决赛，采用五局三胜制.对于每局比赛，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛的结果互相独立.（1）在乒兵球比赛中，如果一方连胜最终获得比赛的胜利，那么将其形象地称之为“剃光头”.求甲､乙的这场乒乓球决赛“剃光头”的概率；（2）在乒乓球比赛中，如果实力较弱的一方最终获得比赛的胜利，那么将其称之为“爆冷门”，求甲､乙的这场乒乓球决赛“爆冷门”的概率.【答案】（1）13（2）1781【解析】【分析】（1）分别计算甲、乙连胜三局的概率，相加即可得到结果；（2）分析可知乙实力较弱，将乙共用三局、四局和五局获得比赛胜利的概率相加即可求得结果.【小问1详解】甲连胜三局的概率为328327⎛⎫= ⎪⎝⎭，乙连胜三局的概率为311327⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴甲､乙的这场乒乓球决赛“剃光头”的概率为81127273+=.【小问2详解】甲每局比赛获胜的概率大于乙每局比赛获胜的概率，∴乙实力较弱，∴“爆冷门”的概率32221234121121112817C C 333333327278181p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19.“得地率”是指可供人活动的区域的占地面积与总占地面积之比.“得地率”越高，也就意味着人们可活动的区域更大，因此在设计活动场地时，通常会将“得地率”作为一个重要的指标进行考虑.上海某大型购物商场欲将地下一层的一块半圆形空地改建为亲子乐园，建造一个供亲子游玩的海洋球池和两个供人们休息和娱乐，且大小完全相同的休息区.除海洋球池和休息区外的剩余空地全部用气垫筑起“高墙”，以保护亲子乐园中的人们.如图所示，设半圆形空地的圆心为O ，半径为R ，MN 为直径，矩形海洋球池ABCD 的顶点,A B 在MN 上，顶点,C D 在半圆的圆周上.矩形休息区BEFG 和AHIJ 的顶点,E H 在MN 上，顶点,F I 在半圆的圆周上，顶点,G J 分别在线段,BC AD 上.已知π6EOF ∠=，设BOC θ∠=，其中,43ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求当π4θ=时该亲子乐园可供人活动的区域面积S ，并求出此时的“得地率”（结果精确到1%）；（2）求当θ为多大时，该亲子乐园的“得地率”最大？【答案】（1）223122S R ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，74%（2）1arcsin 8θ=【解析】【分析】（1）根据题意，结合π4θ=，利用ABCD BEGF AHIJ S S S S =++，再设亲子乐园的“得地率”为()fθ，得出π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，即可求解；（2）由函数()2sin 22cos 3f θθθπ-=，求得()28sin 2sin 4ππ,,43f θθθθπ-++⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦'，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解.【小问1详解】解：由题意，可得22cos sin sin 2ABCD S R R R θθθ=⋅=2232cos cos sin cos 662BEGF AHIJ S S R R R R ππθθ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭当π4θ=时，223122ABCD BEGF AHIJ S S S S R ⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭+，设亲子乐园的“得地率”为()f θ，则()223sin 2cos 212R f R θθθπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，可得π274%4f π⎛⎫=≈⎪⎝⎭，故当π4θ=时该亲子乐园可供人活动的区域面积223122S R ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，此时的“得地率”为74%.【小问2详解】解：由函数()22sin 2cos 22sin 22cos 1ππ2R f R θθθθθ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭==可得()24cos 22sin 8sin 2sin 4ππ,,ππ43f θθθθθθ+-++⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦'令()0f θ'=，可得1sin 8θ+=或18-（舍），故1arcsin 8θ=经检验，133π133πarcsin,arcsin8483 f f f f⎛⎫⎛⎫++⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当133arcsin8θ=时，该亲子乐园的“得地率”最大.20.已知椭圆2222:1(0)x y a ba bΓ+=>>的左､右焦点分别为12F F､.椭圆Γ上有互异的且不在x 轴上的三点A B C､､满足直线AC经过1F，直线BC经过2F.（1）若椭圆Γ的长轴长为4，离心率为12，求b的值；（2）若点C的坐标为()0,1,ABC的面积S=，求a的值；（3）若1a b==，直线AB经过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，求C的坐标.【答案】（1（2）2（3）41,33⎛⎫--⎪⎝⎭或41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据椭圆Γ的几何性质，求得,a c的值，结合b=（2）由C的坐标为()0,1，设222:11x ycΓ+=+，根据三角形的面积列出关于c的方程，求得c的值，进而求得a的值；（3）设()()()001122,,,,,C x y A x y B x y，得到2222220120121222x x xy y y+=+=+=，根据直线AC经过1F，直线BC经过2F，直线AB经过3,02⎛⎫⎪⎝⎭，列出001122,,,,,x y x y x y的关系式，得到12,x x是方程2913024t x x t⎛⎫+-+-=⎪⎝⎭的两个互异实根，得到()1212121724x x x x =+-，同理可得0103423x x x --=+和0203423x x x -=-，从而求得043x =-，进而求得点C 的坐标.【小问1详解】解：由椭圆Γ的长轴长为4，离心率为12，可得24a =且12c e a ==，所以2,1a c ==，所以b ==【小问2详解】解：设()2,0F c ，点C 的坐标为()0,1，故1b =，由221a c =+，所以222:11x y c Γ+=+，设直线2CF 的方程为11y x c =-+，联立方程组2221111y x cx y c ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪+⎩，整理得222112()01x x c c c +-=+，解得0x =或()222121c c x c +=+，所以ABC 的面积()()222221211222121c c c S c c ++=⨯⨯⨯=++，整理得()4324953160c cc --+-+=.即()()432222495316494491116c c c c c -+-+=-++-+因为2494y c =-+，可得2(44940∆=--⨯⨯<，因为24916y c =-+，可得2(449160∆=--⨯⨯<，所以224940,49160c c -+>-+>，所以4324953160c c -+-+>所以0c =，解得c =2a =.【小问3详解】解：由1a b ==，可得椭圆22:12x y Γ+=且()()121,0,1,0F F -，设()()()001122,,,,,C x y A x y B x y ，可得2222220120121222x x x y y y +=+=+=因为直线AC 经过1F ，直线BC 经过2F ，直线AB 经过3,02⎛⎫⎪⎝⎭，可得12120110022033221111y y x x y y x x yy x x ⎧=⎪--⎪⎪⎪=⎨++⎪⎪=⎪--⎪⎩，即()()()()22122212220122102202222033221111y y x x y y x x y y x x ⎧=⎪⎛⎫⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪=⎨++⎪⎪⎪=⎪--⎪⎩，即()()()()22122212221022102220222011111223322111112211111112211x x t x x x x m x x x x n x x ⎧--⎪==⎪⎛⎫⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪--⎪==⎨++⎪⎪⎪--⎪==⎪--⎪⎪⎩，故12,x x 是方程2913024t x x t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭的两个互异实根，根据韦达定理易知()1212121724x x x x =+-，①故10,x x 是方程212102m x x m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭的两个互异实根，根据韦达定理易知()01010103423423x x x x x x x --=-+-⇒=+，②故20,x x 是方程212102n x x n ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭的两个互异实根，根据韦达定理易知()02020203423423x x x x x x x -=+-⇒=-，③将②､③代入①可得000000003434343412172423232323x x x x x x x x ⎛⎫------⨯⨯=+- ⎪+-+-⎝⎭，化简得200617120x x ++=，解得043x =-或32-（舍去）故043x =-，此时12240,17x x ==当031y =-时，1211,17y y ==；当013y =时，1211,17y y =-=-综上所述，C 的坐标为41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭或41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的综合问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.21.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()1f x '≤对任意x ∈R 恒成立，则称函数()f x 为“线性控制函数”.（1）判断函数()sin f x x =和()e x g x =是否为“线性控制函数”，并说明理由；（2）若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 在R 上严格增，设A B ､为函数()f x 图像上互异的两点，设直线AB 的斜率为k ，判断命题“01k <≤”的真假，并说明理由；（3）若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 是以(0)T T >为周期的周期函数，证明：对任意12,x x 都有()()12f x f x T -≤.【答案】（1）不是，理由见解析（2）真命题，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“线性控制函数”的定义即可判断选项；（2）根据()f x 为“线性控制函数”，构造函数()()F x f x x =-，利用导数判断函数的单调性，再结合函数()f x 单调递增的式子，化简判断01k <≤；（3）根据()f x 为“线性控制函数”，构造函数()()G x f x x =+，利用导数判断函数的单调性，分12x x =，21x x T -≤和21x x T ->三种情况讨论.【小问1详解】()cos 1f x x =≤'，故()sin f x x =是“线性控制函数”；()1e 1g '=>，故()e x g x =不是“线性控制函数”.【小问2详解】命题为真，理由如下：设()()()()1122,,,A x f x B x f x ，其中12x x <由于()f x 在R 上严格增，故()()12f x f x <，因此()()1212f x f x k x x -=>-由于()f x 为“线性控制函数”，故()1f x '≤，即()10f x '-≤令()()F x f x x =-，故()()10F x f x ''=-≤，因此()F x 在R 上为减函数()()()()()()()()112212121212121101f x x f x x f x f x F x F x k k x x x x x x ------=-==≤⇒≤---，综上所述，01k <≤，即命题“01k <≤”为真命题.【小问3详解】根据（2）中证明知，对任意a b <都有()()1f a f b k a b-=≤-由于()f x 为“线性控制函数”，故()1f x '≥-，即()10f x '+≥令()()G x f x x =+，故()()10G x f x '=+≥'，因此()F x 在R 上为增函数()()()()()()()()()()101f a a f b b f a f b G a G b f a f b a b a b a b a b+-+---+==≥⇒≥-----因此对任意a b <都有()()[]1,1f a f b a b-∈--，即()()1f a f b a b-≤-当12x x =时，则()()120f x f x T -=≤恒成立当12x x ≠时，若21x x T -≤，则()()()()1212121f x f x f x f x x x T--≥≥-，故()()12f x f x T-≤若21x x T ->时，则存在[)311,x x x T ∈+使得()()32f x f x =故1()()()()131313f x f x f x f x x x T--≥>-，因此()()()()1213f x f x f x f x T-=-<综上所述，对任意12,x x 都有()()12f x f x T -≤.（事实上，对任意12,x x 都有()()122Tf x f x -≤，此处不再赘述）【点睛】关键点点睛：第二问构造函数并作差判断1k ≤，第三问的关键是讨论12x x -和T 的关系，从而根据函数的单调性，证明不等式。
上海市高二下学期数学期中试卷含答案
上海市高二下学期期中数学卷一. 填空题1. 在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为 2. 已知向量2(3,2,3)a x =+，(4,2,)b x x =-，若a b ⊥，则实数x 的值是3. 球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm4. 一条直线a 上的3个点A 、B 、C 到平面M 的距离都为1，这条直线和平面的关系是5. 正四面体侧面与底面所成二面角的余值6. 圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为7. 如图是三角形ABC 的直观图，ABC ∆平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8. 把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A 、B 两点间的球面距离 （结果用反三角表示）9. 下列命题（1）n 条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a 、b 不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a ∥b ；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是10. 由曲线22x y =、22x y =-、2x =、2x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满足224x y +≤、22(1)1x y +-≥、22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式11. 如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则x 、y 、z 的值分别为12. 如图，1111ABCD A BC D -是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线1AC 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 的范围分别是 、 （用集合表示）二. 选择题13. 已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l （ ）A. 与m 、n 都相交B. 与m 、n 至少一条相交C. 与m 、n 都不相交D. 至多与m 、n 中的一条相交14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 83π B. 3π C. 103π D. 6π 15. 连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：① 弦AB 、CD 可能相交于点M ；② 弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN的最大值为5；④MN 的最小值为1；其中真命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）A B C D三. 简答题17. 直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =E 、F 分别是BC 、1AA 的中点，求：（1）EF 与底面所成角的大小；（2）异面直线EF 和1A B 所成角的大小；18. 图1是某储蓄罐的平面展开图，其中90GCD EDC F ∠=∠=∠=︒，且AD CD DE CG ===，FG FE =，若将五边形CDEFG 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱；（1）图2为面ABCD 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为31250V cm =，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度，接缝及投币口的面积忽略不计）19. 如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，4AB =，18AA =； （1）求异面直线1B C 与11AC 所成角的大小；（用反三角函数形式表示） （2）若E 是线段1DD 上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题；20. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60ABC ∠=︒，PA AC a ==，PB PD ==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =；（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在棱PB 上是否存在一点F ，使三棱锥F ABC -是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；21. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心1O 且平行于母线AB 的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点 到准线的距离）为p 的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C 作垂直且于母线AB 的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a 的椭 圆，求椭圆的面积（椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=）；参考答案一. 填空题 1. 2π 2. 2或3- 3. 323π 4. 平行 5. 136. 4π7. 直角三角形8. 5arccos 8R 9.（4） 10. 12V V =11. 16x =，13y z == 12. ，二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）4π；（2）6π. 18.（1）略；（2）691.19.（1）（2）略. 20.（1）略；（2）6π.21.（1）3π；（2）212p π；（3。
精品解析：上海市建平中学高二下学期期中数学试题解析版
则 ，
所以 ， .
又因为 是线段 上的一个动点，
所以 , .
所以 ,所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 得 .
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
又因为 ，
显然，当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 .
直线 与平面 所成角的范围是 .
A.960种B.720种C.480种D.240种
【答案】C
【解析】
【分析】本题是一个分步问题，采用插空法，先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，根据分步计数原理得到结果．
【详解】解：先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，则不同的排法有 种.
故选：C．
故答案为:
12.已知等差数列 满足： ，则正整数 的最大值为________
【答案】62
【解析】
【分析】设 ，等差数列的公差为 ，不妨设 ，则 ，且 ，即 ，根据 ，得到即有 ，再根据等差数列的前n项和公式，求得 ，从而得出 ，即可求解.
【详解】解： 由题意知：等差数列 满足
，
故等差数列不是常数列，且 中的项一定满足 或 ，且项数为偶数，
15.以下关于多面体的命题种，真命题为（）
A.所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥
B.所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱
故答案为：
6.已知圆锥的轴截面 是等边三角形， 为底面弧 的中点， 为母线 的中点，则异面直线 和 所成角】
【分析】如下图所示，连接OP，OC，过点D作 底面于H，连接CH，根据中位线定理得 ，所以 （或其补角）就是异面直线 和 所成的角，设 ，解三角形可求得答案.
上海市2019-2020学年第二学期期中考试高二数学试卷
第二学期期中考试高二数学试卷（2019.4）一、填空题1、设ii z +=3，则z Im =______ 2、已知直线α平面//m ，直线n 在α内，则m 与n 所有可能的位置关系是________3、已知复数22)21()3()31(i i i z --+=，则||z =______ 4、已知R b a ∈,，且i b ai ++,2是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，则pq =_______5、若1|2|≤-i z ，则复数||z 的取值范围是_________6、正四棱锥ABCD P -的底面边长为1，2=PA ，则顶点P 到底面ABCD 的距离为______7、若一圆柱的侧面积为π6，则经过圆柱的轴的截面积为______8、已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，点P 为线段1BC 上一点，Q 是平面ABCD 上一点，那么PQ P D +1的最小值是______二、 选择题9、0=x 是),(R y x yi x z ∈+=为纯虚数的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、不充分且不必要条件10、下列命题中错误的是（ ）A 、过平面α外的一点可以作无数条直线与平面α平行B 、与同一个平面所成角相等的两条直线必平行C 、若直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直于平面αD 、垂直于同一个平面的两条直线平行11、若b a 、为非零实数，则以下四个命题都成立：①01≠+aa ②2222)(b ab a b a ++=+③若||||b a =，则b a ±=④若ab a =2，则b a = 则对于任意非零复数b a 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4三、解答题12、已知ABC ∆的三边分别是5,4,3===AB BC AC ，以AB 所在直线为轴将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积13、在长方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是棱AB AA 、1的中点，4==BC AB ，31=AA ，求（1）EF 与11C A 所成的角（2）C A 1与平面ABCD 所成的角14、在复数集中，解方程0||2=+z z 解：0||2=+z z 0)1|(|||0||||2=+=+∴z z z z ，即0,11||0||=≥+=∴z z z 解得）（又0=∴z 方程的解是请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误，如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程15、在空间四边形ABCD 中，BCD AB 平面⊥，︒=∠90BCD ，且1==BC AB ，3=BD （1）若AD EF BD CE ⊥⊥,，求证：CEF AD 平面⊥（2）求二面角B AD C --的大小。
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（1）若 ,即 且
此时关于 的二元一次方程组有唯一解,解为 ．
（2）若 ,即 或
当 时, ,
此时关于 的二元一次方程组无解．
当 时, ,
此时关于 的二元一次方程组有无穷多组解,解为 ．
19.（10分）如图,已知圆柱的轴截面 是正方形,点 在底面圆周上, , 是垂足．
（1）证明： ；
（2）如果圆柱与三棱锥 的体积比等于 ,求直线 与平面 所成角的正弦值．
在等边 中,
在等 中,
在 中,
故异面直线 与 所成角为 ．
（2） , ,故
因此 ,设
在等腰 中, , ,故
在等腰 中, ,
故截面 面积 的最小值为 ,当且仅当 时取到等号．
21.（14分）已知椭圆 的一个焦点为 ,点 在椭圆 上,点 满足 （其中 为坐标原点）,过点 作一直线交椭圆于 两点．
（1）求椭圆 的方程；
【答案】
（1） 平面 , 平面 ,故
为底面圆周的直径,故
, ,故 平面
平面 , 平面 ,故
, ,故 平面
平面 , 平面 ,故 ．
（2）设 的中点为 ,
圆柱的轴截面 是正方形,故
过 作 垂直于 ,垂足为 ,联结
平面 , 平面 ,故
, ,故 平面
故 为直线 与平面 所成角
,故点 与点 重合
, ,故
在直角 中,
【答案】
3．已知 的中位数为 ,则实数 的取值范围为_______________．
【答案】
4．下图为某项产品数量统计的频率分布直方图,图中 个矩形的面积总和等于___________．
【答案】
5． 的常数项为_____________．
【答案】
6．现对容量为 的总体进行分层抽样,按要求将总体分为 层,若样本容量为 ,则第 层中每个个体被抽中的概率为_______________．
2019-2020学年上海市建平中学2018级高二下学期期中考试
数学试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
说明：（1）本场考试时间为90分钟,总分100分；
（2）请认真答卷,并用规范文字书写。
一、填空题（每题3分,共36分）
1．二阶行列式 的值为______________．
【答案】
2．关于 的二元一次方程组 的系数矩阵为_______________．
（2）求 面积的最大值；
（3）设点 关于 轴的对称点为点 ,若 , ,求 的值．
【答案】
（1） ,故椭圆 的方程为 ．
（2）
设过点 的直线 交椭圆于 两点
,
当且仅当 即 时, 面积取到最大值,为 ．
（3）设过点 的直线 交椭圆于 两点,则
故
设过点 的直线 交椭圆于 两点,则
故
综上所述, ．
2019-2020学年上海市建平中学2018级高二下学期期中考试数学试卷
【答案】
12．已知 ,则随机事件 发生的概率为______________．
【答案】
二、选择题（每题3分,共12分）
13． 的二项展开式的系数和等于（ ）
（ ） （ ） （ ） （ ）
【答案】
14．设 阶方阵 和 阶方阵 第 行第 列的元素分别为 和 ,且满足 ,若 为单位矩阵,则 中不同的元素个数为（ ）
（ ） （ ） （ ） （ ）
【答案】
15．已知实系数二元一次方程组 ,设 , ,下列说法中正确的是（ ）
（ ）若方程组有零解,则
（ ）若方程组无零解,则 且
（ ）若 ,则方程组有无穷多组解
（ ）若 且 ,则方程组无解
【答案】
16．把地球当作半径为 的球,地点 位于北纬 ,东经 ,地点 位于北纬 ,西经 ,地点 位于南纬 ,东经 ,设 两点的球面距离为 , 两点的球面距离为 , 两点的球面距离为 ,则（ ）
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
20.（10分）如图,已知三棱锥 为正三棱锥,设其底面 的边长为 ,侧棱长为 ．
（1）设底边 的中点为 ,若 ,求异面直线 与 所成角的大小；
（2）设过底边 的截面交侧棱 于点 ,若 ,求截面 面积的最小值．
【答案】
（1）取 的中点为 ,联结 和
在等边 中, ,
故 为异面直线 与 所成角
【答案】
10．左下图为二项式系数表,史称“杨辉三角”,是我国数学成果中的瑰宝之一,右下图为二项式系数表的某一个局部,则 _______________．
【答案】
11．公司从 名员工中任意选出 名员工,给每名员工评定一个星级,一共有 种不同的星级且每种星级至多评给一名员工,则共有______________种不同的评定结果．
（ ） （ ） （ ） （ ）
【答案】
三、解答题（本题共5大题,满分52分）
17.（8分）已知复数 ,其中 , 为虚数单位．
（1）若 是实系数一元二次方程 的一个虚根,求 的值；
（2）若 且 ,求 的值．
【答案】
（1） 和 是实系数一元二次方程 的两个共轭虚根
故 ．
（2） ．
18.（10分）解关于 的实系数二元一次方程组 ,并对解的情况进行讨论．
【答案】
7．若 ,则自然数 的值为______________．
【答案】
8．从某校高二年级全体学生中随机抽样 名学生进行调研,他们的体重（ ）如下所示：
66
51
48
79
68
45
48
41
52
82
则该校高二全体学生的体重的方差的点估计值为______________．（保留 位小数）
【答案】
9．从 中选出 个不同的数,则这 个数均为偶数的概率为______________．