近代概率论题库(计算证明题部分)

近代概率论基础题库（计算证明题部分）一、某人写好n 封信，又写好n 个信封，然后在黑暗中随机地把n 封信放入n 个信封中（一个信封中只能放一封信），试求至少有一封信放对的概率。

（10分） 一、解：若以i A 记第i 封信与信封符合，则所求的事件为：12n A A A 。

不难求得：(1)!1()!i n P A n n-== ， (2)!1()!(1)i j n P A A n n n -==-， (3)!1()!(1)(2)i j k n P A A A n n n n -==--，121()!n P A A A n =故12()n P A A A11111(1)123(1)(1)(2)!n n n n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111(1)2!3!!n n -=-+-+-二、从数字1,2,,9中（可重复地）任取n 次，试求所取的n 个数的乘积能被10整除的概率。

（10分）二、解：n 个数的乘积要能被10整除，则这n 个数中至少有一个是偶数，也至少有一个为5。

因取数是放回抽样，显然样本空间中有基本事件9n个。

设A ={所取的n 个数的乘积能被10整除}，B ={所取的n 个数中至少有一个是偶数}，={所取的n 个数中至少有一个为5}， 则为所取的n 个数全为奇数，故B 所含基本事件数为5n；C 为所取的n 个数无5，故C 所含基本事件数为8n ；BC 为所取的n 个数全为奇数且不含5，故BC 所含基本事件数为4n ，且,A BC A B C ==所以由计算公式得：()1()1()1[()()()]P A P A P B C P B P C P BC =-=-=-+-5845841()1.999999n n n n n nn n n n n n =-+-=--+三、一质点从平面上某点出发，等可能的向上、下、左及右方向移动，每次移动的距离为1，求经过2n 次移动后回到出发点的概率。

（10分）三、解：若要在2n 次移动后回到原来的出发点，则向左移动的次数与向右移动的次数应该相等，向上移动的次数与向下移动的次数也应该相等，而总移动次数为2n 。

故所求的概率为：222(2)!1()(!)(!)4nk m n n P k m +==∑ 2220(2)!1()(!)[()!]4nn k n k n k ==-∑22201(2)!!()4(!)!()!n n k n n n k n k =⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦∑22021()4n n k n n n k =⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑2221().4n n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭四、假定一块放射性物质在单位时间内发射出的α粒子数ξ服从参数为λ的泊松分布。

而每个放射出的α粒子被记录下来的概率均为p 。

如果各粒子是否被记录相互独立，试求记录下的α粒子数η的分布。

（10分）四、解：以事件{},0,1,2,n n ξ==为分割用全概率公式得：对任意得非负整数k 有：0{}{}{|}n P k P n P k n ηξηξ∞======∑(;)(;,)n kp n b k n p λ∞==∑!nk n k n kn e p q k n λλ∞--=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑1()()!()!n k k n kq p e k n k λλλ-∞-==-∑ 1()!k p p e k λλ-=五、证明：在独立重复的伯努利实验序列中，如果实验重复的次数ζ服从参数为λ泊松分布，求成功次数ξ和失败次数η的概率分布，并证明ξ与η相互独立。

（10分）五、解：以事件{},0,1,2,n n ζ==为分割用全概率公式得：对任意得非负整数k 有：0{}{}{|}n P k P n P k n ξζηζ∞======∑(;)(;,)n kp n b k n p λ∞==∑!nk n k n kn e p q k n λλ∞--=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑1()()!()!n k k n k q p e k n k λλλ-∞-==-∑ 1()!k p p e k λλ-=同理{}P k η==1()!k p p e k λλ- 进一步地，{,}P m n ξη=={}{,|}P m n P m n m n ζξηζ==+===+()!m nm nm n e p q n m n λλ+-+⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭!!m mn npq p q ee m n λλλλ--=⋅{}{}.P m P n ξη==⋅=六、若1,,n ξξ是相互独立的随机变量，具有相同的分布函数()F x ，而*n ξ及*1ξ相当于把1,,n ξξ按大小顺序重新排列为***12n ξξξ≤≤≤的末项和首项，求*n ξ及*1ξ的分布函数，并求**1(,)n ξξ的联合分布函数。

（10分）六、解：首先求*n ξ的分布函数：*1{}{max(,,)}n n P x P x ξξξ<=<1{,,}n P x x ξξ=<<1{}{}n P x P x ξξ=<⋅⋅<[]().nF x =再求*1ξ的分布函数： 因为*11{}{min(,,)}n P x P x ξξξ≥=≥1{,,}n P x x ξξ=≥≥1{}{}n P x P x ξξ=≥⋅⋅≥[]1().nF x =-所以[]*{}11().nn P x F x ξ<=--最后求**1(,)n ξξ的联合分布函数：记 **1(,){,}.n G x y P x y ξξ=<<若，则**1(,){,}n G x y P x y ξξ=<<[]*{}().nn P y F x ξ=<=若x y <，则**1(,){,}n G x y P x y ξξ=<<*1{}{,}nn P y P x y x y ξξξ=<-≤<≤<***1{}{,}n n P y P x y ξξξ=<-≥<[][]()()().n nF y F y F x =--七、设1U 与2U 相互独立，且均服从[0,1]上的均匀分布，证明：122V U π=与222V U π=相互独立且均服从标准正态分布。

（10分）七、证明：因为122222y x y x ππ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 则221212122ln tg 2y y x y y x π⎧+=-⎨=⎩ 因此 2212212211arctg2y y x ey x y π+-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故雅可比行列式为：11122212x x y y J x x y y ∂∂∂∂=∂∂∂∂221221.2y y e π+-= 因为1U 与2U 相互独立，故12(,)U U 的密度函数为：12112212(,)()()1,0, 1.p x x p x p x x x ==≤≤因为12(,)V V 的密度函数为：22221212222121(,)1.2y y y yq y y e π+---=⋅=因而，1V 与2V 的边际密度函数分别为：21211122()(,).y q y q y y dy ∞--∞==⎰22222121()(,).y q y q y y dy ∞--∞==⎰并且121122(,)()().q y y q y q y =，因而1V 与2V 相互独立且均服从标准正态分布。

八、（10分）已知随机向量12(,,,)r ξξξ服从多项分布，即1211221212!{,,}!!!r k k k r r r r n P k k k p p p k k k ξξξ====这里0i k ≥且仅当12r k k k n +++=时上式才成立，否则为0.求随机向量12(,,,)r ξξξ的各个分量之间的协方差和相关系数。

八、解：显然~(,),1,2,,i i B n p i r ξ=，因此,(1)i i i i i E np D np p ξξ==-注意到~(,),i j i j B n p p ξξ++因此()(),()()(1)i j i j i j i j i j E n p p D n p p p p ξξξξ+=++=+-- 由于()2cov(,)i j i j i j D D D ξξξξξξ+=++(1)(1)2cov(,)i i j j i j np pnp p ξξ=-+-+ 因而有cov(,)i j i j np p ξξ=-相关系数为： cov(,)ij i j p p r ξξ-===九、袋中有N 张卡片，各记以数字12,,,N Y Y Y ，不放回地从中抽出n 张，求其和的数学期望和方差。

（10分）九、解：取一张时，其数字的均值及方差分别为11Nii Y Y N==∑ 及 2211()Nii Y Y N σ==-∑若以n η记n 张卡片的数字之和，以,1,2,,i i n ξ=记第i 次抽得的卡片上的数字，则12n n ηξξξ=+++由于抽签与顺序无关，因此1{},1,2,,,1,2,,i l P Y l N i n Nξ====故 2,.i i E Y D ξξσ==所以 12n n E E E E nY ηξξξ=+++=2112cov(,)(1)cov(,)nn i i j i j i i j nD D n n n ηξξξσξξ=≤<≤=+=+-∑∑在上式中令n N =，因为1N N Y Y η=++是一个常数，因此0N D η=，于是212(1)cov(,)0N N N σξξ+-=因而212cov(,)1N σξξ=--于是222(1)()11n n n n N n D n N N σσησ--=-=--。

十、掷5颗骰子，求所得总和为15的概率。

（提示：利用母函数）（10分）十1、解：以i ξ表示第i 颗骰子掷出的点数，则总和为：1.n ηξξ=++因i ξ服从1到6上的等可能分布，故其母函数均为234561()().6P s s s s s s s =+++++又因为i ξ相互独立，故其和η的母函数为： 5[()]P s 。

于是，所求的概率恰为5[()]P s 的幂级数展开式中15s 前面的系数。

由于55615555551[()](1)()661s s s P s s s s-=+++=-5612305(1510)6s s s s =-++-05()k k s k ∞=⎡-⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑565(15)6s s =-+04k k k s k ∞=⎡+⎤⎛⎫⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑因此551481651{15}1510466P η⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦。

十2、（10分）掷5颗骰子，求所得总和为16的概率。