普通物理力学例题总结

r
N

mg
mr2
mgsin mr cos 0 r 2 dz r 2 tg g dr g
2
积分

z0
z
dz

0
r
r r dr z z 0 g 2g 抛物线方程
k t m
y0
dy
v
t 0
dt
消去 t ，得轨道方程：
mg m2 g kx x 2 ln 1 y tan kv0 cos mv 0 cos k
例 ４：一根不可伸长的轻绳跨过固定在 O 点的水平光滑细杆，两 端各系一个小球。a 球放在地面上，b 球被拉到 lb b 水平位置，且绳刚好伸直。从这时开始将 b 球 O 自静止释放。设两球质量相同。 求：(1) b 球下摆到与竖直线成 角时的 v ； a (2) = ? a 球刚好离开地面。 解： B的运动：a 球离开地面前 b 做半径为 lb 的竖直圆周运动。 (1) v2 lb b O 选自然坐标系列分量方程： Fn T mg cos m lb dv T Ft mg sin m 由切向方程式得： dt N T v dv dv dv d a g sin mg dt d dt lb d
x

t

t
1 4 x t 2t 3 6
例：己知一质点按顺时针方向沿半径为R 的圆周运动。 1 其路程与时间关系为S V t b t 2 0 、b 为常数) (V
0
，此时质点己沿圆周运行了多少圈? (2) t =? 时, a b
(3) 质点何时开始逆时针方向运动? v2 解: an R (1) a at an dv d 2 s at 2 dt dt
mg

x
0
2
( mg kx )dx mvdv
v 0
2 1 2 v ( mgx kx ) m 2
x
例３：有阻力的抛体问题：质量为 m 的炮弹，以初速度 v0 与水平 方向成仰角 射出。 若空气阻力与速度成正比，即 f kv 求: 运动轨道方程 y(x)= ? y 解: 二维空间的变力情况。 f=-kv (1) 选 m 为研究物体； v0 m v (2) 建坐标 xoy； x = 0，y = 0 vx 0=v0 cos mg 初始条件：t =0 时 x o vy 0=v0 sin (3) 分析受力 dv x dv m kv x (4) 列方程: mg f m dt dt 分量方程
2
求：x ( t )
dv 解： 由 a dt v t
2 t 0
dv
a dt
v 2
2 3 v t 2 3
0
t
2d 2t
2 3 t t 3
dx v dt

2 3 1 4 dx v dt ( t 2 ) dt t 2t 6 3 0 0 3
分析 M (相对惯性系)运动，水平方向： N sin=M aM 由此解得相对加速度 a'=(m+M)sing / (M+msin2)
1 2 由 l at 2
2l ( m sin2 M ) t ( M m ) sin g
例：水桶以 旋转，求水面形状？
z

解：水面 z 轴对称，选柱坐标系。任选 水面一小质元，其在切线方向静止。 在旋转参考系中，做受力分析： 切线方向：

v
0
vdv ( lb g sin )d
/2

v 2lb g cos
mg
当 (2) a 的受力和运动： T = mg 时，a 球刚好离地。 2lb g cos 1 1 cos mg 由法向方程式得： mg cos m
lb
3
例 5：一匀质细绳，质量 m，长 L，一端固定在 O，另一端有一 质量为 M 的小球，其在光滑水平面上以 绕 O 点旋转。 求: 绳上各点的张力。 解 I： 绳上张力是距 O 点距离 r 的函数: T(r) 隔离物体法分析绳上一小段 dm 的受力 T(r) r T(r+r)
解：以斜面为参考系(非惯性系）， N
物体相对于斜面有沿斜面方向的加速度a' 当 m 滑下时，M 加速度方向如图：
aM
maM
分析物体受力 其中 maM 就是惯性力。而 mg 和 N 是真实力。 mgsin+maMcos=ma' 列方程: 沿斜面方向: 垂直于斜面方向:
方向

N-mgcos+maMsin=0
T
r
求解
解 II： 绳某点 r 的张力可理解为此点以外各小段分别所受向心力的 代数和。 T(r) m 微元 r: m r
L
r
m T(r) r ω 2 ri Mω 2 L i L
r
m 2 f(ri ) ω r L
r+r
ri
r
L
r 0
T (r )
L r
O L
M
m 动力学方程： T(r Δr) T(r) dm ω r r ω 2 r L T(r r) T(r) m 2 ω r r 0 dT m ω2 r r L dr L 每点（无限小，m->0）
2
r+r
L r
合张力为0.
m 2 dT T(M) L( L ω r)dr
vy 1 45
0
vx 错误做法：1 秒钟时的速率：
x t 1 2 t 2 y t 1
2
方向： tan Leabharlann y450 v
x
t 1 得出 v 0
x2 + y2 dt
dr d dr 又如： v = = = dt dt
例2：一质点运动函数为 y t 4 2t 2 (SI)，求质点的运动轨道
v风地 10i 5 j
y 南风
v风地
45° x
o
10 m/s 15 m/s
v风地 10 5 11.2 m/s
2 2
5 tan 10
= 27°
？考虑：
在不同的参照系, 对同一质点的运动状态进行描述
例：一列车（S 系）相对于地面（S系）作匀速直线运动, 一人在 车厢内运动 。分别在 S、S系分别对其进行描述。 设 t = 0 时，两坐标系原点重合。t 时刻的运动情况如下： 位矢变换关系式:
大小:
a
求: (1) t 时刻, 质点的加速度
2
a ?
an
V0 bt 2
R
at b
V0 bt 4
R
2
b
2
a
at

方向:
an V0 bt 2 arctan arctan a Rb t
o
v .an
m
（2） a b 时
例：雨天一辆客车在水平马路上以 20 m/s 的速度向东 开行，雨滴在空中以 10 m/s 的速度垂直下落。 求：雨滴相对于车厢的速度的大小与方向。 解：已知
v 10 m/s
方向向下
v雨对地 v '雨对车 u车对地 ' v 雨对车 v雨对地 u车对地
v' v u 22.4 (m/s)
V0 bt 4 b 2
R
2
b
V0 t b
1 2 V02 t 时刻路程： S t V0 t bt 2 2b St V02 圈数： N 2 R 4 Rb
(3) 由前面a t = - b 可知, 质点作减速率圆周运动。 当 V 减到 0 值时，质点将终止顺时针转，而 开始逆时针转。此时刻记为 t V0 V V0 bt 0 t b 也正是前求 a = b 的时刻 t 。
r r r0
y
S系
y
S 系 Δr A B Δ r
u
S 相对 S 平动 速度为 u x x
r人 地 r人 车 r车 地
两边微分
位移变换关系式:
A
O
v v u
Δ r0
O
绝对速度=相对速度+ 牵连速度
再对上式求导得 a a
a2
求解…..
例 2：质量为 m 的物体通过不可伸长的轻绳和不记质 量的滑轮与弹簧（弹性系数 k）连接，初始时刻 物体静止，弹簧为原长,让物体自由下落。 求: 物体的速度随位置变化的关系。 解： 列动力学方程： mg - T = ma
T
T = kx
dv dx dv dv mv mg kx m m dx dt dx dt
x=2t 例 1：已知运动方程 求 v (t ) 及 1 秒时的速率 2 y=t
解： v ( t ) dx i dy j 2i 2tj
dt dt 1秒时的速度：v t 1 2i 2 j 1秒时的速率 v v 22 22 2 2
m
dv y
mg kv y
kdv y
得
v x v0 cos e m t m mg k v y (v 0 sin g) e k k

kt m
再次积分

x
x0
dx

t
0
v x dt
y

y
得
mv0 cos x (1 e ) k k t mv0 sin m 2 g mg m y( ) (1 e ) t k k k